Asal Sayılar

Verilen iki kare farkı ifadesini çarpanlarına ayıralım.

$$ ve $$ birer doğal sayı olduğu için, toplamları doğal sayı, farkları tam sayı olur.

Sayıların çarpımı bir asal sayı olan 13 olduğuna göre, farkları 1, toplamları 13 olmak zorundadır.

Bu iki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.

$$ bulunur.

23646x sayısı birler basamağı $$ olduğunda 2'ye bölünür.

23646x sayısı birler basamağı $$ olduğunda 5'e bölünür.

23646x sayısı birler basamağı $$ olduğunda (rakamların toplamı 3'ün katı olduğu için) 3'e bölünür.

Buna göre geriye kalan tek seçenek olan 236461 sayısı asal olmalıdır.

2 dışında hiçbir asal sayı çift sayı olamayacağı için Atakan'ın sildiği rakam birler basamağındaki rakam olmalıdır.

$$ tek sayıdır.

$$ rakamını eleme yöntemiyle bulalım.

Birler basamağı 5 olan sayılar 5'e bölündüğü için $$ olamaz.

21042 sayısının rakamları toplamı 9'dur yani 3'e bölünebilir. Buna göre birler basamağı 3 ya da 9 olamaz, aksi durumda sayı 3'e bölünebilir.

21042 sayısı 7'ye bölünebilir, dolayısıyla 210427 sayısı da 7'ye bölünebilir. Buna göre $$ de olamaz.

Geriye tek rakamlardan sadece 1 kalır ve 210421 bir asal sayıdır.

Atakan'ın bir rakamını sildiği asal sayı 210421 olarak bulunur.

2 dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır, dolayısıyla iki asal sayının toplamı tek sayı ise sayılardan biri 2'dir.

Sayılardan biri 2 olduğuna göre diğeri (büyük olanı) 197 olur.

Verilen iki küp farkı ifadesini çarpanlarına ayıralım.

$$ bir asal sayı olduğu için çarpanları sadece 1 ve kendisi olabilir. Sayılar birer asal sayı (ve aynı zamanda pozitif sayı) olduğu için fark ifadesi 1 olmalıdır.

$$ ve $$ de birer asal sayıdır ve farkı 1 olan asal sayılar sadece 3 ve 2 olabilir.

$$ sayısının değerini bulalım.

$$ bulunur.

2 dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır, dolayısıyla iki asal sayının toplamı tek sayı ise sayılardan biri 2'dir.

Buna göre $$ ve $$ olur.

$$ bulunur.

İlk terim bir tam sayı olan 3 olduğu için ikinci terimi tam sayı yapan $$ değerlerini bulalım.

Payı asal çarpanlarına ayıralım.

Bu kesrin bir tam sayı olması için $$ asal sayı değerlerini alabilir.

$$ bulunur.

Paydaki ifadeyi asal çarpanlarına ayıralım.

Bu kesrin bir tam sayı olması için $$ asal sayı değerlerini alabilir.

$$ bulunur.

$$ ve $$ asal sayılar olduğu için 2, 5 ya da 13'ten ikisi olabilirler.

Bulduğumuz eşitlik sadece $$ ve $$ olduğunda sağlanır.

$$ bulunur.

$$ asal sayı olduğuna göre, verilen eşitlikteki çarpanlardan biri 1 olmalıdır, aksi takdirde $$ 1'den farklı iki sayının çarpımı olacağı için bileşik sayı olur.

$$ ifadesi 1'den büyük olacağı için $$ olur.

2 dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır, dolayısıyla iki asal sayının farkı tek sayı ise sayılardan biri 2'dir.

Buna göre $$ ve $$ olmalıdır.

$$ bulunur.

$$ ve $$ asal sayılar olduğuna göre, $$ ve $$ sayılarını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

$$ asal sayılar olmak üzere,

Bu değerleri kullanarak verilen öncülleri inceleyelim.

I. öncül:

Bu ifade birden fazla asal çarpan içerdiği için asal olamaz.

II. öncül:

Bu ifade örneğin $$ ve $$ için asal olabilir.

III. öncül:

Bu ifade örneğin $$ ve $$ için asal olabilir.

Buna göre II. ve III. öncüller asal olabilir.

$$ olmak üzere bir $$ tam sayı değeri seçelim.

$$ ifadesi 1'den $$'ye kadar tüm sayıların çarpımından oluştuğu için $$ sayısını da içerir.

Bu yüzden $$ şeklindeki ifadelerin tümü $$ parantezine alınabilir, dolayısıyla $$ çarpanı içerir ve bileşik sayıdır.

Buna göre verilen aralıkta asal sayı bulunmaz, yani toplamları sıfırdır.

Verilen ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

$$ tam sayı olduğu için eşitliğin solundaki iki çarpan da tam sayı olur. İki tam sayının çarpımının asal sayı olduğu dört durum vardır.

Durum 1: $$

Bulduğumuz $$ değeri asal olmadığı için $$ geçerli bir çözüm değildir.

Durum 2: $$

Bulduğumuz $$ değeri asal olmadığı için $$ geçerli bir çözüm değildir.

Durum 3: $$

Bulduğumuz $$ değeri asal olmadığı için $$ geçerli bir çözüm değildir.

Durum 4: $$

Bulduğumuz $$ değeri asal olduğu için $$ geçerli bir çözümdür.

Buna göre $$'nın alabileceği tek değer $$'dir.

İfadeyi tam kare haline getirmek için 16 ekleyelim ve çıkaralım.

İki kare farkı özdeşliğini kullanalım.

$$ pozitif tam sayı olduğu için bu iki çarpan birbirinden ve birden farklı iki tam sayı olur.

Verilen ifadeyi birbirinden ve birden farklı iki pozitif tam sayının çarpımı şeklinde yazabildiğimiz için ifade kesinlikle asal değildir.

20'den küçük asal sayılar aşağıdaki gibidir.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

0 ve 30 arasında olan ve bu listedeki iki sayının çarpımına eşit olan sayılar aşağıdaki gibidir.

Bu sayıların toplamını bulalım.

$$ bulunur.

İlk birkaç asal sayıyı listeleyelim.

Bu listeden aynı ya da farklı iki asal sayının çarpımını alarak verilen tanımı sağlayan yarı asal sayıları bulalım.

Buna göre verilen koşulu sağlayan 10 tane yarı asal sayı vardır.