Bölünebilme Kuralları

İfadeye göre \( (46d) \) sayısı 3'ün bir katıdır.

\( (46d) \) sayısının 3'e bölünebilmesi için rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.

\( 4 + 6 + d = 10 + d \)

Buna göre \( d \) rakamı \( \{2, 5, 8\} \) değerlerinden birini alabilir.

Bu değerlerin toplamı \( 2 + 5 + 8 = 15 \) olur.

Bir sayının 9'a bölümden kalan, rakamlarının toplamının 9'a bölümünden kalan sayıdır.

\( (3a4) \) sayısının rakamları toplamını alalım.

\( 3 + a + 4 = 7 + a \)

9'a bölümden kalanın 4 olması için \( a = 6 \) olmalıdır.

\( (a1b6) = (61b6) \) sayısının rakamları toplamını alalım.

\( 6 + 1 + b + 6 = 13 + b \)

9'a bölümden kalanın 5 olması için \( b = 1 \) olmalıdır.

\( (ababa) = (61616) \) sayısının rakamları toplamını alalım.

\( 6 + 1 + 6 + 1 + 6 = 20 \)

\( 2 + 0 = 2 \)

Buna göre, \( (61616) \) sayısının 9'a bölümünden kalan 2 olur.

Sayının birler basamağında 1 olduğu için 2'ye bölümünden kalan 1'dir.

\( a = 1 \)

Sayının son iki basamağı 61 olduğu için 4'e bölümünden kalan 1'dir.

\( b = 1 \)

Bir sayının 9'a bölümden kalan, rakamlarının toplamının 9'a bölümünden kalan sayıdır.

\( \underbrace{4 + 6 + 1}_{1} + \ldots + \underbrace{4 + 6 + 1}_{30} \)

\( = 30(4 + 6 + 1) \)

\( = 30 \cdot 11 = 330 \)

330'un rakamları toplamı 6 olduğu için verilen sayının 9'a bölümünden kalan 6'dır.

\( c = 6 \)

\( a + b + c = 1 + 1 + 6 = 8 \) bulunur.

Bir sayının 8'e bölümden kalan, son üç basamağının 8'e bölümünden kalan sayıdır.

\( 79! \) sayısı 2 ve 5 çarpanlarını üçten fazla sayıda içerdiği için \( 2^3 \cdot 5^3 = 1000 \) çarpanını mutlaka içerir, dolayısıyla son 3 basamağı 0'dır ve 8'e tam bölünür.

\( 79! = (\ldots000) \)

\( 79! \) sayısından 11 çıkarıldığında elde edilen sayının son üç basamağı 989 olur.

\( 79! - 11 = (\ldots989) \)

989'un 8'e bölümünden kalanı bulalım.

\( 989 = 8 \cdot 123 + 5 \)

Buna göre \( 79! - 11 \) sayısının 8'e bölümünden kalan 5'tir.

Bir sayının 5'e bölümünden kalan 0, 1, 2, 3, 4 olabilir.

5'e bölündüğünde bölümü ve kalanı bu sayılardan biri olan sayıları bulalım.

\( 5 \cdot 0 + 0 = 0 \)

\( 5 \cdot 1 + 1 = 6 \)

\( 5 \cdot 2 + 2 = 12 \)

\( 5 \cdot 3 + 3 = 18 \)

\( 5 \cdot 4 + 4 = 24 \)

Bu sayılardan iki basamaklı olanlar 12, 18 ve 24'tür.

\( 12 + 18 + 24 = 54 \) bulunur.

\( [3(t + 2)]^2 = 9(t + 2)^2 = (6b61) \) olduğuna göre, \( (6b61) \) sayısı 9'a tam bölünür.

Rakamlarının toplamı 9 ya da 9'un katı olan sayılar 9'a tam bölünür.

\( 6 + b + 6 + 1 = 13 + b \)

\( b \) bir rakam olduğu için \( 13 + b \) sadece 18 olabilir.

\( b = 5 \)

\( [3(t + 2)]^2 = 6561 \)

\( 3(t + 2) = 81 \)

\( t = 25 \)

\( b + t = 5 + 25 = 30 \) bulunur.

\( (8a3b) \) sayısı 5'e bölündüğünde iki kalanını vermesi için \( b = 2 \) ya da \( b = 7 \) olmalıdır.

\( b \) sayısının bu iki değeri için \( a \) sayısının alabileceği değerleri bulalım.

Durum 1: \( b = 2 \)

\( (8a32) \)

Bir sayının 11 ile bölünebilirliği aşağıdaki şekilde kontrol edilir.

Sayının tüm basamakları birler basamağından başlayıp sağdan sola, her basamaktaki rakamın işareti sırasıyla "+ – + – + -" olacak şekilde toplanır. Elde edilen toplam 11'in katı ise sayı 11'e tam bölünür.

\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( 2 - 3 + a - 8 = 11k \)

\( a - 9 = 11k \)

\( b = 2 \) için \( a = 9 \) olur.

Durum 2: \( b = 7 \)

\( (8a37) \)

\( 7 - 3 + a - 8 = 11k \)

\( a - 4 = 11k \)

\( b = 7 \) için \( a = 4 \) olur.

\( ab \) çarpımının alabileceği değerleri bulalım.

\( 9 \cdot 2 = 18 \)

\( 4 \cdot 7 = 28 \)

\( ab \) çarpımının alabileceği en büyük değer 28'dir.

\( x \) rakamının \( y \) rakamını böldüğü durumları ayrı ayrı inceleyelim.

Durum 1: \( x = 1 \)

1 rakamının böldüğü \( y \) rakamlarını bulalım.

\( y \in \{ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \)

Bu \( (x, y) \) ikililerinden \( y \) rakamının \( (xy) \) sayısını böldüğü durumları bulalım.

\( (xy) \in \{ 12, 15 \} \)

Durum 2: \( x = 2 \)

2 rakamının böldüğü \( y \) rakamlarını bulalım.

\( y \in \{ 4, 6, 8 \} \)

Bu \( (x, y) \) ikililerinden \( y \) rakamının \( (xy) \) sayısını böldüğü durumları bulalım.

\( (xy) \in \{ 24 \} \)

Durum 3: \( x = 3 \)

3 rakamının böldüğü \( y \) rakamlarını bulalım.

\( y \in \{ 6, 9 \} \)

Bu \( (x, y) \) ikililerinden \( y \) rakamının \( (xy) \) sayısını böldüğü durumları bulalım.

\( (xy) \in \{ 36 \} \)

Durum 4: \( x = 4 \)

4 rakamının böldüğü \( y \) rakamlarını bulalım.

\( y \in \{ 8 \} \)

Bu \( (x, y) \) ikililerinden \( y \) rakamının \( (xy) \) sayısını böldüğü durumları bulalım.

\( (xy) \in \{ 48 \} \)

\( x \ge 5 \) için \( x \) rakamının böldüğü bir \( y \) rakamı yoktur.

Buna göre istenen koşulları sağlayan iki basamaklı \( (xy) \) sayıları 5 tanedir.

\( (xy) \in \{12, 15, 24, 36, 48\} \)

Ahmet'in çikolatalar için harcadığı \( (a2b4) - 219 \) TL 9'un bir tam sayı katı olmalıdır.

Bir sayının 9'a bölümden kalan, rakamlarının toplamının 9'a bölümünden kalan sayıdır.

\( 2 + 1 + 9 = 12 \)

\( 1 + 2 = 3 \)

219'un 9'a bölümünden kalan 3 olduğuna göre, \( (a2b4) \) sayısının 9'a bölümünden kalan da 3 olmalıdır. Bu şekilde 9'a bölümünden kalan 3 olan iki sayının farkı 9'a tam bölünür.

\( (a2b4) \) sayısının 9'a bölümünden kalan 3 ise rakamları toplamının 9'a bölümünden kalan 3'tür.

\( a + 2 + b + 4 = a + b + 6 \)

\( a + b + 6 \) toplamının 9'a bölümünden kalanın 3 olması için \( a + b \) toplamı 6 ya da 15 olmalıdır.

\( ab \) çarpımının en büyük pozitif tam sayı değeri için sayıların toplamı en büyük ve sayılar birbirine en yakın seçilir.

\( a + b = 15, \quad a = 8, \quad b = 7 \)

\( ab \) çarpımının en büyük değeri \( ab = 8 \cdot 7 = 56 \) olur.

\( ab \) çarpımının en küçük pozitif tam sayı değeri için sayıların toplamı en küçük ve sayılar birbirine en uzak seçilir.

\( a + b = 6, \quad a = 5, \quad b = 1 \)

\( ab \) çarpımının en küçük değeri \( ab = 5 \cdot 1 = 5 \) olur.

Buna göre \( ab \) çarpımının alabileceği en büyük ve en küçük pozitif tam sayı değerlerin farkı \( 56 - 5 = 51 \) olarak bulunur.

I. öncül:

Ardışık 4 rakamdan biri 2'ye bir diğeri 4'e tam bölündüğü için bu dört rakamın çarpımı 8'e tam bölünür.

I. öncül her zaman doğrudur.

II. öncül:

Ardışık dört rakamın toplamını birinci rakam cinsinden yazalım.

\( a + b + c + d = a + (a + 1) + (a + 2) + (a + 3) \)

\( = 4a + 6 \)

\( = 4(a + 1) + 2 \)

Bu ifade 4'e bölündüğünde 2 kalanını verir.

II. öncül yanlıştır.

III. öncül:

\( (abcd) \) sayısının rakamlar toplamını \( 4a + 6 \) olarak bulmuştuk.

\( a \) rakamı 3'e bölünüyorsa bu toplam da 3'e bölünür, aksi takdirde bölünmez.

III. öncül her zaman doğru değildir.

Buna göre sadece I. öncül her zaman doğrudur.

\( xxx \) ve \( yyy \) sayılarının rakamları toplamı sırasıyla \( 3x \) ve \( 3y \) olduğu için ikisi de 3'e tam bölünür, dolayısıyla çarpımları olan \( (29570y) \) sayısı en az iki tane 3 çarpanı içerir ve 9'a tam bölünür.

9'a tam bölünen bir sayının rakamları toplamı da 9'a tam bölünür.

\( (29570y) \) sayısının rakamlarının toplamını alalım.

\( 2 + 9 + 5 + 7 + 0 + y = 23 + y \)

Buna göre \( y = 4 \) olmalıdır.

\( (xxx) \cdot 444 = 295704 \)

\( (xxx) = 666 \)

\( x = 6 \) bulunur.

Sayı 15'e tam bölünüyor olamaz, çünkü bu durumda 3'e ve 5'e de tam bölünür ve sayılardan üçüne tam bölünmüş olur.

Sayı 3, 5, ve 9 sayılarından sadece ikisine 3 şekilde bölünebilir.

3'e ve 5'e bölünür, 9'a bölünmez: Bu durum doğru olamaz, çünkü sayı 3'e ve 5'e tam bölünüyorsa 15'e de tam bölünür, bu durumda sayılardan üçüne tam bölünmüş olur.

5'e ve 9'a bölünür, 3'e bölünmez: Bu durum da doğru olamaz, çünkü sayı 9'a tam bölünüyorsa 3'e de tam bölünür, bu durumda sayılardan üçüne tam bölünmüş olur.

3'e ve 9'a bölünür, 5'e bölünmez: Bu durum doğru olabilir.

Buna göre, 3'e ve 9'a bölünen ama 5'e ve 15'e bölünmeyen en büyük sayıyı bulmalıyız.

Asal sayı olan rakamlar 2, 3, 5 ve 7'dir.

Verilen koşulları sağlayan 4 basamaklı en büyük sayı 7722 olur.

Sayının rakamları çarpımı \( 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 2 = 196 \) olur.