EBOB/EKOK Problemleri
Bu bölümde EBOB ve EKOK problemlerini farklı örnekler üzerinden inceleyeceğiz.
EBOB Problemleri
EBOB problemleri genel olarak üç tip altında gruplanabilir.
| Problem Tipi | Örnek |
|---|---|
|
Tek boyutlu ve farklı uzunluklarda \( n \) tane çubuğu eşit uzunlukta ve mümkün olan en büyük parçalara ayırmak |
Uzunlukları 16 m, 20 m ve 28 m olan üç boru, her biri eşit uzunlukta parçalara kesilecektir. Parçaların mümkün olan en büyük uzunlukta olması istendiğine göre, her parçanın uzunluğu kaç metre olmalıdır? Cevap: EBOB(16, 20, 28) = 4
|
|
İki boyutlu bir alanı (tarla, arsa, oda vb.) kare şeklinde ve mümkün olan en büyük alanlara bölmek |
Boyutları 280 m ve 175 m olan bir tarla, kare şeklinde eşit alanlara bölünecektir. Karesel alanların mümkün olan en büyük boyutta olması istendiğine göre, her bir bahçenin boyutları ne olmalıdır? Cevap: EBOB(280, 175) = 35
|
|
Üç boyutlu bir hacmi (oda, depo vb.) küp şeklinde ve mümkün olan en büyük hacimlere bölmek |
Taban ölçüleri 24 cm ve 32 cm ve yüksekliği 56 cm olan bir beyaz peynir tenekesi hiç peynir artmayacak şekilde eş küp kalıplar halinde kesilmek isteniyor. Kalıpların en büyük olduğu durumda her kalıbın bir kenar uzunluğu kaç cm olur? Cevap: EBOB(24, 32, 56) = 8
|
Özetlemek gerekirse, EBOB problemlerinde \( n \) tane farklı sayıyı aynı anda bölen sayılardan en büyüğü istenmektedir. Bu tip problemlerde sıklıkla kullanılan kelimeler "bölmek", "paylaştırmak", "en uzun/büyük/geniş" olmaktadır.
Bazı EBOB problemlerinde bir bütünü mümkün olan en büyük eş parçalara böldükten sonra oluşan parçaların sayısı sorulabilir. Parçalar en büyük olduğunda parça sayısı en küçük olacağı için, parçaların sayısının sorulduğu durumlarda "en büyük" yerine "en az sayıda" ifadesi kullanılabilmektedir.
EKOK Problemleri
EKOK problemleri genel olarak iki tip altında gruplanabilir.
| Problem Tipi | Örnek |
|---|---|
|
İki boyutlu bir nesneyi tekrar kullanarak kare şeklinde ve mümkün olan en küçük alanı oluşturmak |
Boyutları 18 cm ve 30 cm olan fayansları kullanarak oluşturulabilecek en küçük kare alanın bir kenarı kaç cm olur? Cevap: EKOK(18, 30) = 90
|
|
Üç boyutlu bir nesneyi tekrar kullanarak küp şeklinde ve mümkün olan en küçük hacmi oluşturmak |
Boyutları 32 cm, 18 cm ve 24 cm olan eş kutular yan yana ve üst üste dizilerek küp şeklinde paletler oluşturulmak isteniyor. Oluşturulabilecek en küçük palet boyutu ne olur? Cevap: EKOK(32, 18, 24) = 288
|
Özetlemek gerekirse, EKOK problemlerinde \( n \) tane farklı sayının ortak katlarından en küçüğü istenmektedir. Bu tip problemlerde sıklıkla kullanılan kelimeler "tekrarlamak", "oluşturmak", "en küçük" olmaktadır.
Son bir yorum olarak; EBOB problemlerinde büyük parçalardan küçük parçalar, EKOK problemlerinde küçük parçalardan büyük parçalar elde edilmeye çalışılır.
Eni 350 m, genişliği 600 m olan dikdörtgen biçimindeki bir arsa hiç boşluk kalmayacak şekilde eş karesel alanlara bölünecek ve hobi bahçesi olarak kiralanacaktır.
Bu karesel alanların en büyük olduğu durumda oluşan bahçe sayısı kaç olur?
Çözümü GösterArsa en büyük alanlı eş karelere bölüneceği için arsanın eninin ve genişliğinin EBOB'u oluşan bahçelerin bir kenar uzunluğunu verir.
\( EBOB(350, 600) = 50 \)
Buna göre arsanın hiç boşluk kalmayacak şekilde bölünebileceği en büyük alanlı bahçelerin bir kenar uzunluğu 50 m olur.
Arsa bu şekilde bölündüğünde arsanın eni boyunca \( 350 \div 50 = 7 \) tane, genişliği boyunca \( 600 \div 50 = 12 \) tane olmak üzere toplamda \( 7 \cdot 12 = 84 \) tane hobi bahçesi oluşur.
Alternatif bir hesaplamayla, arsanın toplam alanı \( 350 \cdot 600 \) metrekaredir. Bir karesel alan \( 50 \cdot 50 \) metrekare olduğu için oluşan toplam hobi bahçesi sayısı \( \frac{350 \cdot 600}{50 \cdot 50} = 84 \) olur.
Eni 3,5 cm, yüksekliği 5 cm olan okey taşlarından en az kaç tanesi ile bir kare yüzey oluşturulabilir?
Çözümü GösterParçalardan kare şeklinde bir bütüne ulaşmamız istendiği için EKOK kullanmamız gerekir.
\( EKOK(3,5; 5) = 35 \)
Buna göre oluşacak en küçük kare yüzeyin bir kenarı 35 cm olur.
Bu kare yüzey; eni boyunca \( 35 \div 3,5 = 10 \) tane, yüksekliği boyunca \( 35 \div 5 = 7 \) tane olmak üzere toplamda \( 10 \cdot 7 = 70 \) tane okey taşı ile oluşturulabilir.
Zeynep el işi ödevinde eni 63 cm ve yüksekliği 36 cm olan bir kartonu eş karelere bölecek ve her parçaya 3'er adet düğme yapıştıracaktır. Zeynep bu ödev sırasında en az kaç düğmeye ihtiyaç duyar?
Çözümü GösterEn az sayıda düğme için kare parçalar en büyük boyutta olmalıdır, bunun için 63 ve 36'nın EBOB'unu bulalım.
\( EBOB(36, 63) = EBOB(2^2 \cdot 3^2, 3^2 \cdot 7) \)
\( = 3^2 = 9 \)
Buna göre en az sayıda kare için karelerin bir kenar uzunluğu 9 cm olmalıdır.
Karton bu şekilde karelere bölününce eni boyunca \( \frac{63}{9} = 7 \) tane, yüksekliği boyunca \( \frac{36}{9} = 4 \) tane olmak üzere toplamda \( 7 \times 4 = 28 \) parça oluşur.
Her parçaya 3 düğme yapıştıracağı için Zeynep en az \( 28 \cdot 3 = 84 \) düğmeye ihtiyaç duyar.
Bir okulun yemekhanesinde öğrencilere dağıtılmak üzere 5850 elma ve 6760 meyve suyu vardır. Yemekhaneye en fazla kaç öğrenci geldiğinde her öğrenci eşit sayıda elma ve eşit sayıda meyve suyu alır?
Çözümü GösterElmalar ve meyve suları öğrencilere eşit şekilde dağıtılmak isteniyor. Bu da öğrenci sayısının elma ve meyve suyu sayılarını ayrı ayrı tam bölmesi anlamına gelir.
5850 ve 6760'ın en büyük ortak bölenini bulalım.
\( 5850 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 13 \)
\( 6760 = 2^3 \cdot 5 \cdot 13^2 \)
\( EBOB(5850, 6760) = 2 \cdot 5 \cdot 13 \)
\( = 130 \)
Buna göre yemekhaneye en fazla 130 öğrenci geldiğinde her öğrenci eşit sayıda elma ve eşit sayıda meyve suyu alır.
Bu durumda her öğrenci \( 5850 \div 130 = 45 \) elma ve \( 6760 \div 130 = 52 \) meyve suyu almış olur.
\( 4 \times 10 \times 15 \) cm boyutlarındaki blokları kullanarak bir küp elde etmek için bu bloklardan en az kaç tane kullanılmalıdır?
Çözümü GösterVerilen bloklarla oluşturulacak küpün bir kenar uzunluğu 4, 10 ve 15'in bir tam sayı katı olmalıdır.
Bu blokların oluşturduğu en küçük küpü bulmak için 4, 10 ve 15'in EKOK'unu bulalım.
\( 4 = 2^2 \)
\( 10 = 2 \cdot 5 \)
\( 15 = 3 \cdot 5 \)
\( EKOK(4, 10, 15) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60 \)
Bir kenar uzunluğu 60 cm olan küp elde etmek için kaç adet blok kullanmamız gerektiğini küpün hacmini bir bloğun hacmine bölerek bulalım.
\( \dfrac{60^3}{4 \cdot 10 \cdot 15} \)
\( = \dfrac{60^2}{10} = 360 \) tane blok kullanılmalıdır.
Kısa kenarı uzun kenarından 3 m kısa olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin çevresine eşit aralıklarla fidan dikilecektir. Bahçenin köşegen uzunluğu \( 3\sqrt{13} \) m olduğuna göre, köşelerde birer fidan olacak şekilde en az kaç fidan dikilebilir?
Çözümü GösterBahçenin kısa kenarına \( x \) metre diyelim.
Kenar uzunluklarını bulmak için Pisagor teoremini kullanalım.
\( x^2 + (x + 3)^2 = (3\sqrt{13})^2 \)
\( 2x^2 + 6x + 9 = 117 \)
\( 2x^2 + 6x - 108 = 0 \)
\( 2(x + 9)(x - 6) = 0 \)
Uzunluk negatif değer alamayacağı için \( x = 6 \) m olur.
Buna göre bahçenin kısa kenarı 6 m, uzun kenarı 9 m'dir.
Kenar uzunluklarını bulduktan sonra dikilmesi gereken fidan sayısını bulalım.
Köşelerde birer fidan olacak şekilde fidan sayısının en az olması için fidanlar arasındaki mesafe en büyük değerini almalıdır, bu da 6 ve 9 sayılarının EBOB'una eşittir.
\( EBOB(6, 9) = 3 \)
Buna göre her 3 m'de bir fidan dikilmelidir.
Bahçenin çevresi \( 2(6 + 9) = 30 \) metredir.
Buna göre bahçenin çevresine en az \( \frac{30}{3} = 10 \) adet fidan dikilebilir.
Ömer dikdörtgen şeklindeki tarlasının çevresine 5 metre aralıklarla ağaç dikecektir. Tarlanın uzun kenarlarına köşeler dahil dikilen ağaç sayısı, kısa kenarlarına köşeler dahil dikilen ağaç sayısının 3 katıdır.
Ömer toplam 60 tane ağaç diktiğine göre, tarlanın alanı kaç metrekaredir?
Çözümü GösterBahçenin kısa kenar uzunluğuna \( a \), uzun kenar uzunluğuna \( b \) diyelim.
5 metre aralıklarla ağaç dikildiğinde bir kısa kenar üzerinde köşeler dahil \( \frac{a}{5} + 1 \), bir uzun kenar üzerinde köşeler dahil \( \frac{b}{5} + 1 \) ağaç olur.
Tarlanın uzun kenarlarına köşeler dahil dikilen ağaç sayısı, kısa kenarlarına köşeler dahil dikilen ağaç sayısının 3 katıdır.
\( 2(\dfrac{b}{5} + 1) = 3 \cdot 2(\dfrac{a}{5} + 1) \)
\( b + 5 = 3a + 15 \)
\( 3a - b = -10 \)
Toplam dikilen ağaç sayısı 60'tır. 5 metre aralıklarla ağaç dikildiği için toplam ağaç sayısı tarlanın çevre uzunluğunun 5'te biri olur.
\( \dfrac{2(a + b)}{5} = 60 \)
\( a + b = 150 \)
İki denklemi taraf tarafa toplayalım.
\( 4a = 140 \)
\( a = 35 \)
\( a + b = 150 \Longrightarrow b = 115 \)
Tarlanın alanı iki kenar uzunluğunun çarpımına eşittir.
Alan \( = 35 \cdot 115 = 4025 \) metrekare bulunur.
Bir miktar kalem 8'erli paketlendiğinde 4, 10'arlı paketlendiğinde 6, 12'şerli paketlendiğinde 8 kalem artıyor. Kalemlerin sayısı 3 basamaklı olduğuna göre, kalem sayısının alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterKalem sayısına \( x \) dersek soruda verilen ilişkileri aşağıdaki gibi ifade edebiliriz.
\( x, a, b, c \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( x = 8a + 4 = 10b + 6 = 12c + 8 \)
Eşitliğin tüm taraflarına 4 ekleyelim.
\( x + 4 = 8a + 8 = 10b + 10 = 12c + 12 \)
\( = 8(a + 1) = 10(b + 1) = 12(c + 1) \)
Buna göre kalem sayısının 4 fazlası (\( x + 4 \)); 8, 10 ve 12 sayılarının bir ortak katıdır, dolayısıyla bu sayıların EKOK'unun da bir katıdır.
Bu üç sayının EKOK'unu bulalım.
\( \text{EKOK}(8, 10, 12) = \text{EKOK}(2^3, 2 \cdot 5, 2^2 \cdot 3) \)
\( = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120 \)
120'nin 3 basamaklı en küçük katı 120, en büyük katı 960'tır.
Bulduğumuz sayılar \( x + 4 \) değerleri olduğu için, \( x \)'in 3 basamaklı en küçük değeri \( 120 - 4 = 116 \), 3 basamaklı en büyük değeri \( 960 - 4 = 956 \) olur.
Bu iki değerin toplamı \( 116 + 956 = 1072 \) olarak bulunur.