Aralarında Asal Sayılar

$$ pozitif tam sayısının asal çarpanları küçükten büyüğe sıralı şekilde $$ olsun.

$$ sayısının asal çarpanlarının kümesine $$ diyelim.

Buna göre, $$ sayısının tüm asal çarpanlarına bölümünde kalanın sıfır olduğunu söyleyebiliriz.

Bu durumda $$ sayısı ile ardışık olan $$ tam sayısının $$ kümesinin elemanı olan tüm sayılara bölümünde kalan 1 olacaktır.

Bu durum $$'yı tam bölen hiçbir asal sayının $$ sayısını tam bölmediğini, dolayısıyla iki sayının 1 dışında ortak pozitif tam böleni olmadığını gösterir. Bu yüzden $$ ve $$ ardışık tam sayılarının her zaman aralarında asal olduğunu söyleyebiliriz.

Pozitif tek bir sayı olan $$ sayısının asal çarpanları küçükten büyüğe sıralı şekilde $$ olsun.

$$ sayısının asal çarpanlarının kümesine $$ diyelim.

$$ bir tek sayı olduğu için 2'ye bölünmez, dolayısıyla $$'nın en küçük asal çarpanı 3 olabilir.

Pozitif tek bir sayı olan $$ sayısının asal çarpanları $$ olsun. $$ sayısının asal çarpanlarının kümesine $$ diyelim.

Buna göre, $$ sayısının tüm asal çarpanlarına bölümünde kalanın sıfır olduğunu söyleyebiliriz.

Bu durumda $$ sayısı ile ardışık olan $$ pozitif tek sayısının $$ kümesinin elemanı olan tüm sayılara bölümünde kalan 2 olacaktır. $$'nın en küçük asal çarpanı 3 olabileceği için en küçük asal çarpan için de kalan aşağıdaki gibi 2 olacaktır.

Bu durum $$'yı tam bölen hiçbir asal sayının $$ sayısını tam bölmediğini, dolayısıyla iki sayının 1 dışında ortak pozitif tam böleni olmadığını gösterir. Bu yüzden $$ ve $$ ardışık tek sayılarının her zaman aralarında asal olduğunu söyleyebiliriz.

Bu kuralın ispatını çelişki yöntemi ile yapalım.

$$ ve $$ aralarında asal iki sayı olsun.

Bu sayıların toplamı olan $$ sayısının $$ ile aralarında asal olmadığını varsayalım. Dolayısıyla hem $$ hem de $$ sayılarını kalansız bölen 1'den büyük bir $$ tam sayısı mevcut olur.

$$ olmak üzere,

Modüler aritmetiğe giriş bölümünde yaptığımız ispatlardan birine göre, bir sayı iki sayıyı ayrı ayrı kalansız bölüyorsa bu iki sayının toplamını ve farkını da kalansız böler.

Buna göre, $$ sayısı $$ ve $$ sayılarını kalansız bölüyorsa bu sayıların farkını da kalansız bölmelidir.

Bu sonuç $$ sayısının $$'nin de bir böleni olduğu anlamına gelir, $$ sayısı hem $$ hem de $$ sayılarının bir böleni ise $$ ve $$ aralarında asal olamaz.

Buna göre, bu ispatın başında yaptığımız $$ ve $$ sayılarının aralarında asal olmadığı varsayımı doğru olamaz, dolayısıyla bu iki sayı aralarında asal olmalıdır.

Benzer bir ispatı $$ ve $$ sayılarının aralarında asal olduğunu göstermek için de yapabiliriz.

Bu kuralın ispatını çelişki yöntemi ile yapalım.

$$ ve $$ aralarında asal iki sayı olsun.

Bu sayıların toplamı ve çarpımı olan $$ ve $$ sayılarının aralarında asal olmadığını varsayalım. Dolayısıyla hem $$ hem de $$ sayılarını kalansız bölen 1'den büyük bir $$ tam sayısı mevcut olur.

$$ olmak üzere,

$$ sayısı $$ sayısını kalansız bölüyorsa $$ ve $$ sayılarından en az birini kalansız böler. Burada $$ sayısını kalansız böldüğünü varsayalım.

Modüler aritmetiğe giriş bölümünde yaptığımız ispatlardan birine göre, bir sayı iki sayıyı ayrı ayrı kalansız bölüyorsa bu iki sayının toplamını ve farkını da kalansız böler.

Buna göre, $$ sayısı $$ ve $$ sayılarını kalansız bölüyorsa bu sayıların farkını da kalansız bölmelidir.

Bu sonuç $$ sayısının $$'nin de bir böleni olduğu anlamına gelir, $$ sayısı hem $$ hem de $$ sayılarının bir böleni ise $$ ve $$ aralarında asal olamaz.

Buna göre, bu ispatın başında yaptığımız $$ ve $$ sayılarının aralarında asal olmadığı varsayımı doğru olamaz, dolayısıyla bu iki sayı aralarında asal olmalıdır.

$$ ve $$ sayılarının asal çarpanlarına ayrılmış biçimde yazılışları aşağıdaki gibi olsun.

$$ ve $$ sayıları aralarında asal ise asal çarpanları içinde ortak bir çarpan bulunamaz, dolayısıyla aşağıdaki iki kümenin ortak bir elemanı yoktur.

$$ ve $$ sırasıyla $$ ve $$ sayılarının asal çarpanlarından oluşan kümeler olmak üzere,

Buna göre, $$ ve $$ sayılarının birer pozitif tam sayı kuvveti olan $$ ve $$ sayılarının asal çarpanlarına ayrılmış biçimde yazılışları aşağıdaki gibi olur.

Dikkat edilirse $$ ve $$ sayıları $$ ve $$ sayıları ile aynı asal çarpanlardan oluşmaktadır ve sadece bu asal çarpanların kuvvetleri değişmektedir. Dolayısıyla $$ ve $$ sayılarının da 1 dışında ortak bir pozitif böleni bulunmaz ve bu iki sayı aralarında asaldır.