Faktöriyel Uygulamaları
Bir Faktöriyelin Sonundaki Sıfır Sayısı
1-100 Arası Faktöriyel Tablosu sayfasında verilen faktöriyel değerlerini incelediğimizde ilk bakışta birkaç nokta dikkatimizi çekecektir.
- 5 ve daha büyük sayıların tümünün faktöriyelleri sıfırla bitmektedir.
- Sayılar büyüdükçe son basamaklardaki sıfır sayısı da artmaktadır.
Hemen dikkatimizi çekmeyebilecek diğer birkaç nokta ise şunlardır.
- Her 5 sayıda bir faktöriyel değerinin sonuna bir sıfır eklenmektedir (5!, 10!, 15!, 20!, ...).
- Her 25 sayıda bir faktöriyel değerinin sonuna iki sıfır eklenmektedir (25!, 50!, 75!, 100!, ...).
- Tablo o sayılara çıkmasa da her 125 sayıda bir faktöriyel değerinin sonuna üç sıfır eklenmektedir (125!, 250!, 375!, 500!, ...).
\( A = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d \cdot \ldots \)
Bunun sebebini şu şekilde açıklayabiliriz: Bir sayının sonuna sıfır eklenmesi için o sayıyı 10 ile çarpmamız gerekir. 10 sayısı 2 ve 5 asal çarpanlarından oluştuğu için bir sayının asal çarpan listesine eklenecek her ek 2 ve 5 çarpanı ile sayının sonuna yeni bir sıfır eklenir.
Buna göre, bir faktöriyelin içinde 2 ve 5 asal çarpanlarından hangisi daha az sayıda bulunuyorsa sayı o kadar 10 çarpanı içerir, dolayısıyla sonunda o kadar sıfır bulunur. Önceki bölümde gördüğümüz asal çarpanların kuvvetleri kuralına göre, bir sayının faktöriyeli içinde 5 çarpanı 2 çarpanından daha az ya da ona eşit sayıda bulunur. Bu yüzden bir faktöriyelin sonundaki sıfır sayısı o faktöriyelin içindeki 5 çarpanı sayısına eşittir.
Bir faktöriyelin içinde bulunan 5 çarpanı sayısını bulmak için önceki Bir Faktöriyelde Bulunan Çarpan Sayısı bölümünde öğrendiğimiz yöntemi kullanabiliriz.
\( 99! \) sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulalım.
Öğrendiğimiz yönteme göre bir sayının faktöriyelinin içindeki 5 çarpanının sayısı kadar sonunda sıfır vardır.
Buna göre \( 99! \) sayısının içinde:
5'in her katı için \( \floor{99 / 5} = 19 \) tane
25'in her katı için \( \floor{19 / 5} = 3 \) tane daha
Toplamda \( 19 + 3 = 22 \) tane 5 çarpanı vardır.
Buna göre \( 99! \) sayısının sondan 22 basamağı sıfırdır.
1-100 Arası Faktöriyel Tablosu sayfasında 99!'in değerinin sonundaki sıfır sayısını sayarak bulduğumuz sonucun doğru olduğunu teyit edebiliriz.
\( 73! + 74! \) sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Çözümü Göster\( 73! + 74! = 73! + 73! \cdot 74 \)
\( = 73!(1 + 74) = 73! \cdot 75 \)
\( = 73! \cdot 5^2 \cdot 3 \)
Öğrendiğimiz yönteme göre bir sayının faktöriyelinin içindeki 5 çarpanının sayısı kadar sonunda sıfır vardır.
Buna göre \( 73! \) sayısının içinde:
5'in her katı için \( \floor{73 / 5} = 14 \) tane
25'in her katı için \( \floor{14 / 5} = 2 \) tane daha
Toplamda \( 14 + 2 = 16 \) tane 5 çarpanı vardır.
\( 75 = 5^2 \cdot 3 \) sayısının içinde de iki tane 5 çarpanı olduğu için \( 73! + 74! \) toplamının içinde toplam \( 16 + 2 = 18 \) tane 5 çarpanı vardır.
Buna göre \( 73! + 74! \) toplamının sondan 18 basamağı sıfırdır.
\( (10!)^{10!} \) sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Çözümü GösterBir sayının faktöriyelinin içindeki 5 çarpanının sayısı kadar sonunda sıfır vardır.
Buna göre \( 10! \) sayısının içinde 5'in her katı için \( \floor{10 / 5} = 2 \) tane 5 çarpanı vardır.
Dolayısıyla \( 10! \) sayısının sondan 2 basamağı sıfırdır.
Sondan iki basamağı sıfır olan bir sayının \( n \). üssünü aldığımızda sondaki sıfır sayısı \( 2n \) olur.
Örnek: \( 1000^4 = 10^{12} \) sayısının sonunda \( 3 \cdot 4 = 12 \) sıfır vardır.
Buna göre \( (10!)^{10!} \) sayısının sondan \( 2 \cdot 10! \) basamağı sıfırdır.
\( \dfrac{1635!}{42! \cdot 27!} \) ifadesinin sondan kaç basamağı sıfırdır?
Çözümü Göster\( 1635! \)'den başlayarak üç ifadeyi de ayrı ayrı inceleyelim.
\( 1635! \) sayısının içinde;
5'in her katı için \( \floor{1635 / 5} = 327 \) tane,
25'in her katı için \( \floor{1635 / 25} = 65 \) tane daha,
125'in her katı için \( \floor{1635 / 125} = 13 \) tane daha,
625'in her katı için \( \floor{1635 / 625} = 2 \) tane daha
olmak üzere, toplamda \( 327 + 65 + 13 + 2 = 407 \) tane 5 çarpanı vardır.
Dolayısıyla, \( 1635! \) sayısının sondan 407 basamağı sıfırdır.
\( 42! \) sayısının içinde;
5'in her katı için \( \floor{42 / 5} = 8 \) tane,
25'in her katı için \( \floor{42 / 25} = 1 \) tane daha,
olmak üzere, toplamda \( 8 + 1 = 9 \) tane 5 çarpanı vardır.
Dolayısıyla, \( 42! \) sayısının sondan 9 basamağı sıfırdır.
\( 27! \) sayısının içinde;
5'in her katı için \( \floor{27 / 5} = 5 \) tane,
25'in her katı için \( \floor{27 / 25} = 1 \) tane daha,
olmak üzere, toplamda \( 5 + 1 = 6 \) tane 5 çarpanı vardır.
Dolayısıyla, \( 27! \) sayısının sondan 6 basamağı sıfırdır.
İfadenin paydasının \( 9 + 6 = 15 \) basamağı sıfırdır.
Dolayısıyla, verilen ifadenin sondan \( 407 - 15 = 392 \) basamağı sıfırdır.
\( A! - 1 \) Şeklindeki İfadelerin Sonundaki Dokuz Sayısı
Benzer bir soru bir faktöriyelin bir eksiğinin sondan kaç basamağının dokuz olduğu şeklinde karşımıza çıkabilir.
Aşağıdaki şekilde görebileceğimiz gibi, \( 50! \) sayısının sonundaki sıfır sayısı \( 50! - 1 \) sayısının sonundaki dokuz sayısına eşittir. Dolayısıyla bir faktöriyelin bir eksiğinin sonundaki dokuz sayısını bulmak için o faktöriyelin sonundaki sıfır sayısını bulmak için kullandığımız yöntemi kullanabiliriz.
\( 92! - 1 \) sayısının sondan kaç basamağında 9 rakamı olduğunu bulalım.
Öğrendiğimiz yönteme göre bir sayının faktöriyelinin sonundaki sıfır sayısı kadar bir eksiğinin sonunda 9 rakamı vardır.
Buna göre \( 92! \) sayısının içinde:
5'in her katı için \( \floor{92 / 5} = 18 \) tane
25'in her katı için \( \floor{18 / 5} = 3 \) tane daha
Toplamda \( 18 + 3 = 21 \) tane 5 çarpanı vardır.
Buna göre, \( 92! \) sayısının sondan 21 basamağı sıfırdır ve \( 92! - 1 \) sayısının sondan 21 basamağında 9 rakamı vardır.