Bölmede Kalan
\( A \) ve \( B \) pozitif tam sayılarının \( C \) pozitif tam sayısına bölümünden kalanlar sırasıyla \( k_1 \) ve \( k_2 \) olsun.
\( A + B \) toplamının \( C \) ile bölümünden kalan, \( k_1 + k_2 \)'nin C ile bölümünden kalan olur.
\( 378 \)'in \( 5 \) ile bölümünden kalan \( 3 \)'tür.
\( 134 \)'in \( 5 \) ile bölümünden kalan \( 4 \)'tür.
Buna göre, \( 378 + 134 = 512 \)'nin \( 5 \) ile bölümünden kalan, \( 3 + 4 = 7 \)'nin \( 5 \) ile bölümünden kalan, yani \( 2 \) olur.
İSPATI GÖSTER
\( A \) ve \( B \) sayılarının \( C \) sayısına bölme işlemlerini aşağıdaki şekilde yazabiliriz (\( m \) ve \( n \) sırasıyla bölüm, \( k_1 \) ve \( k_2 \) sırasıyla kalan değerleri olmak üzere).
\( A = m \cdot C + k_1 \)
\( B = n \cdot C + k_2 \)
\( A + B \) ifadesini aşağıdaki gibi yazabiliriz.
\( A + B = m \cdot C + k_1 + n \cdot C + k_2 \)
\( = (m + n) \cdot C + k_1 + k_2 \)
İfadenin \( (m + n) \cdot C \) kısmı çarpan olarak \( C \)'yi içerdiği için bu kısım \( C \) ile tam bölünecektir ve tüm ifadenin \( C \)'ye bölümünden kalan \( k_1 + k_2 \)'nin \( C \) ile bölümünden kalan olur.
\( A \cdot B \) çarpımının \( C \) ile bölümünden kalan, \( k_1 \cdot k_2 \)'nin C ile bölümünden kalan olur.
\( 177 \)'in \( 5 \) ile bölümünden kalan \( 2 \)'dir.
\( 83 \)'in \( 5 \) ile bölümünden kalan \( 3 \)'tür.
Buna göre, \( 177 \cdot 83 = 14691 \)'in \( 5 \) ile bölümünden kalan, \( 2 \cdot 3 = 6 \)'nın \( 5 \) ile bölümünden kalan, yani \( 1 \) olur.
İSPATI GÖSTER
\( A \) ve \( B \) sayılarının \( C \) sayısına bölme işlemlerini aşağıdaki şekilde yazabiliriz (\( m \) ve \( n \) sırasıyla bölüm, \( k_1 \) ve \( k_2 \) sırasıyla kalan değerleri olmak üzere).
\( A = m \cdot C + k_1 \)
\( B = n \cdot C + k_2 \)
\( A \cdot B \) ifadesini aşağıdaki gibi yazabiliriz.
\( A \cdot B = (m \cdot C + k_1) \cdot (n \cdot C + k_2) \)
\( = m \cdot n \cdot C^2 + m \cdot C \cdot k_2 + n \cdot C \cdot k_1 + k_1 \cdot k_2 \)
İfadenin \( m \cdot n \cdot C^2 + m \cdot C \cdot k_2 + n \cdot C \cdot k_1 \) kısmının tümü çarpan olarak \( C \)'yi içerdiği için bu kısım \( C \) ile tam bölünecektir ve tüm ifadenin \( C \)'ye bölümünden kalan \( k_1 \cdot k_2 \)'nin \( C \) ile bölümünden kalan olur.
Bir \( A \) pozitif tam sayısının \( B \) pozitif tam sayısına bölümünden kalan \( k \) ise \( A \) sayısının \( B \)'nin bir tam böleni olan \( C \) pozitif tam sayısına bölümünden kalan, \( k \)'nın \( C \)'ye bölümünden kalana eşittir.
\( A \) pozitif tam sayısının 45'e bölümünden kalan 20 ise,
- \( A \)'nın 9'a bölümünden kalan 20'nin 9'a bölümünden kalan sayı olan 2 olur.
- \( A \)'nın 5'e bölümünden kalan 20'nin 5'e bölümünden kalan sayı olan 0 olur.
İSPATI GÖSTER
\( A \) sayısının \( B \) sayısına bölme işlemini aşağıdaki şekilde yazabiliriz (\( m \) bölüm, \( k \) kalan değerleri olmak üzere).
\( A = m \cdot B + k \)
\( B \) sayısının \( C \) sayısına tam bölündüğü bölme işlemini aşağıdaki şekilde yazabiliriz (\( n \) bölüm olmak üzere).
\( B = n \cdot C \)
\( B \) sayısını birinci eşitlikte yerine koyalım.
\( A = m \cdot n \cdot C + k \)
İfadenin \( m \cdot n \cdot C \) kısmı çarpan olarak \( C \)'yi içerdiği için bu kısım \( C \) ile tam bölünecektir ve tüm ifadenin \( C \)'ye bölümünden kalan \( k \)'nın \( C \) ile bölümünden kalan olur.
\( (21542 + 14425) \cdot 38123 \) sayısının 9'a bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Gösterİşlemdeki sayıların her birinin 9'a bölümünden kalanı bularak ve işlemi bu kalan sayılar üzerinden yaparak sonucun 9'a bölümünden kalanı bulabiliriz.
\( (21542 + 14425) \cdot 38123 \)
\( (5 + 7) \cdot 8 = 12 \cdot 8 \)
Aynı işlemi tekrar yapabiliriz.
\( 3 \cdot 8 = 24 \)
24'ün 9'a bölümünden kalan 6'dır, dolayısıyla verilen işlemin sonucunun da 9'a bölümünden kalan 6 olur.
\( 3594 \cdot 498 + 1832 \cdot 523 \) işleminin sonucunun 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü GösterBu işlemdeki birbiriyle toplanan/çarpılan sayıların ayrı ayrı 5 ile bölümünden kalanları işlemde yerine koyarak ve işlemi bu kalan sayılar ile yaparak istenen kalanı bulabiliriz.
\( 3594 \cdot 498 + 1832 \cdot 523 \)
\( (3590 + 4) \cdot (495 + 3) + (1830 + 2) \cdot (520 + 3) \)
\( 4 \cdot 3 + 2 \cdot 3 = 12 + 6 = 18 \)
18'in 5'e bölümünden kalan 3 olduğu için, verilen işlemin sonucunun da 5 ile bölümünden kalan 3 olur.
Bir pozitif tam sayı 693'e bölündüğünde 347 kalanını verdiğine göre, bu sayı 77'ye bölündüğünde elde edilen kalan kaçtır?
Çözümü GösterBölünen sayıya \( A \), bölüme \( B \) diyelim ve verilen bölme işlemini yazalım.
\( A = 693B + 347 \)
77 sayısı 693'ün bir tam bölenidir.
\( = 77 \cdot 9B + 347 \)
347'nin 77'ye bölme işlemini yazalım.
\( 347 = 77 \cdot 4 + 39 \)
\( = 77 \cdot 9B + 77 \cdot 4 + 39 \)
\( = 77 \cdot (9B + 4) + 39 \)
Buna göre \( A \) sayısının 77'ye bölümünde bölüm \( 9B + 4 \), kalan 39 olur.
\( 3^{72} \) ifadesinin 364'e bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster\( 3^{72} = (3^6)^{12} \)
\( = 729^{12} \)
\( = (2 \cdot 364 + 1)^{12} \)
\( 729 \)'un 364'e bölümünden kalan 1'dir.
Buna göre istenen kalan \( 1^{12} = 1 \) olarak bulunur.
\( 22^2 - 33^2 + 44^2 - 55^2 \) ifadesinin 77'ye bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Gösterİfadenin terimlerini düzenleyelim.
\( (11 \cdot 2)^2 - (11 \cdot 3)^2 + (11 \cdot 4)^2 - (11 \cdot 5)^2 \)
\( = 11^2 \cdot 2^2 - 11^2 \cdot 3^2 + 11^2 \cdot 4^2 - 11^2 \cdot 5^2 \)
İfadeyi \( 11^2 \) parantezine alalım.
\( = 11^2 \cdot (2^2 - 3^2 + 4^2 - 5^2) \)
\( = 11^2 \cdot (4 - 9 + 16 - 25) \)
\( = -14 \cdot 11^2 \)
\( = -2 \cdot 7 \cdot 11^2 \)
Verilen ifade \( 7 \cdot 11 = 77 \) çarpanını içerdiği için 77'ye tam bölünür, yani kalan 0 olur.
Üç doğal sayı 47 ile bölündüğünde sırasıyla 36, 38, 23 kalanını veriyor. Bu üç sayının toplamının 47 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü GösterÜç sayıya sırasıyla \( a, b, c \) diyelim.
Bu üç sayıyı 47 sayısı ve kalanları cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( p, q, r \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( a = 47p + 36 \)
\( b = 47q + 38 \)
\( c = 47r + 23 \)
Eşitlikleri taraf tarafa toplayalım.
\( a + b + c = 47(p + q + r) + 97 \)
97 içindeki 47'nin katlarını parantez içine alalım.
\( a + b + c = 47(p + q + r) + 94 + 3 \)
\( a + b + c = 47(p + q + r + 2) + 3 \)
Buna göre sayılarının toplamının 47 ile bölümünden kalan 3'tür.
\( a \) sayısının 12'ye bölümünden kalan 2, \( b \) sayısının 12'ye bölümünden kalan 5'tir.
Buna göre \( b^2 - 3a \) sayısının 12'ye bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster\( m, n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( a \) sayısının 12'ye bölümünden kalan 2'dir.
\( a = 12m + 2 \)
\( b \) sayısının 12'ye bölümünden kalan 5'tir.
\( b = 12n + 5 \)
Bu değerleri verilen ifadede yerine koyalım.
\( b^2 - 3a = (12n + 5)^2 - 3(12m + 2) \)
\( = 144n^2 + 120n + 25 - 36m - 6 \)
\( = 144n^2 + 120n - 36m + 19 \)
\( = 144n^2 + 120n - 36m + 12 + 7 \)
\( = 12(12n^2 + 10n - 3m + 1) + 7 \)
Bu ifadenin birinci terimi 12'ye tam bölünür, dolayısıyla ifadenin 12'ye bölümünden kalan 7 olur.
\( d \gt 1 \) olmak üzere,
1256, 1709 ve 2313 sayılarını böldüğünde aynı kalanı veren \( d \) sayısı kaçtır?
Çözümü Göster1256, 1709 ve 2313 sayıları \( d \) sayısına bölündüğünde kalan aynı oluyorsa \( d \) sayısı üç sayı arasındaki farkların bir ortak böleni olmalıdır.
Sayılar arasındaki farkları bulalım.
\( 1709 - 1256 = 453 = 3 \cdot 151 \)
\( 2313 - 1709 = 604 = 2^2 \cdot 151 \)
\( EBOB(453, 604) = 151 \)
151 asal sayı olduğu için üç sayıyı böldüğünde aynı kalanı veren tek pozitif sayı (1 dışında) 151 olabilir.
\( d = 151 \)
Bulduğumuz sonucu kontrol edelim.
\( 1256 = 8 \cdot 151 + 48 \)
\( 1709 = 11 \cdot 151 + 48 \)
\( 2313 = 15 \cdot 151 + 48 \)
Pozitif \( a \) tam sayısı 5'e bölündüğünde 4, 11'e bölündüğüne 7 kalanını vermektedir.
\( a \) sayısı 55'e bölündüğünde kaç kalanını verir?
Çözümü Göster55 sayısı 5 ve 11'in ortak katıdır.
\( 55 = 5 \cdot 11 \)
Her 55 sayıda bir kalanlar tekrar edeceği için, 55'e kadarki sayılar içinde 11'e bölündüğünde 7 kalanını veren sayıları yazalım.
7, 18, 29, 40, 51
Bu sayılar içinden 5'e bölündüğünde 4 kalanını veren tek sayı 29'dur.
Buna göre \( a \) sayısı 55'e bölündüğünde kalan 29 olur.
\( a \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
99137 ve 109152 sayıları 4 basamaklı \( a \) sayısına bölündüğünde aynı kalanı verdiğine göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( a \) sayısı iki farklı sayıyı böldüğünde aynı kalanı veriyorsa bu iki sayının farkı \( a \) sayısının bir tam sayı katı olmalıdır.
İki sayının farkını bulalım.
\( 109152 - 99137 = 10015 \)
10015 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
\( 10015 = 5 \cdot 2003 \)
\( 10015 \) sayısının pozitif bölenleri aşağıdaki gibidir.
\( \{ 1, 5, 2003, 10015 \} \)
Bu bölenlerden sadece 2003 sayısı 4 basamaklı olduğundan \( a = 2003 \) olmalıdır.