İkizkenar üçgenin taban açıları eşittir. Bunun karşıtı da doğrudur, yani taban açıları eşit olan bir üçgenin yan kenar uzunlukları eşittir, dolayısıyla bu üçgen ikizkenardır.
Yukarıdaki ispata göre bir ikizkenar üçgende tabana ait yükseklik üçgeni ve olmak üzere iki eş üçgene böler. Bunun sonuçlarını aşağıdaki şekilde listeleyebiliriz.
Bir üçgende bir kenara ait yükseklik, açıortay, kenarortay ve orta dikmeden herhangi ikisinin eşit olduğunu biliyorsak diğerlerinin de eşit olduğunu ve diğer iki kenar uzunluğunun eşit olduğunu söyleyebiliriz. Örneğin bir üçgende aynı doğru parçası hem yükseklik hem kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.
İkizkenar üçgende tabana ait yüksekliği kenar uzunlukları cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
İkizkenar üçgende eşit kenarlara/açılara ait yükseklik, açıortay, kenarortay ve orta dikmelerin uzunlukları birbirine eşittir. Ayrıca bu yükseklik, açıortay ve kenarortayların kesişimleri birbirine eş parçalar oluşturur.
İkizkenar üçgende tabanın üzerindeki herhangi bir noktadan yan kenarlara çizilen paralel doğru parçalarının uzunluklarının toplamı, yan kenarlardan birinin uzunluğuna eşittir.
İkizkenar üçgende tabanın üzerindeki herhangi bir noktadan yan kenarlara çizilen dikmelerin uzunluklarının toplamı, yan kenarlardan birine ait yüksekliğe eşittir.
İkizkenar dik üçgende taban açıları 45° olur ve Pisagor teoreminden hipotenüs uzunluğu bir dik kenar uzunluğunun katıdır.
Bir ikizkenar üçgenin herhangi bir açısı 60° ise bu üçgen aynı zamanda eşkenar üçgendir.
SORU 1 :
Şekilde ve üçgenleri verilmiştir.
olduğuna göre, kaçtır?
Çözümü Göster
olduğuna göre üçgeni ikizkenardır.
üçgeninde tabana ait yüksekliği çizelim.
İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik tabanı ortalar.
üçgeni 30-60-90° üçgeni olur. 30-60-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla şeklinde olur.
dik üçgeninde Pisagor teoremini kullanalım.
bulunur.
SORU 2 :
Şekilde ikizkenar üçgeni verilmiştir.
olduğuna göre, kaçtır?
Çözümü Göster
ikizkenar üçgenini ve paralellikleri kullanarak aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz.
Buna göre ve üçgenleri de ikizkenardır.
bir paralelkenar olduğu için karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.
bulunur.
SORU 3 :
Şekilde ikizkenar üçgeni verilmiştir.
olduğuna göre kaçtır?
Çözümü Göster
üçgeninde köşesinden tabana ait yüksekliği çizelim.
üçgeni ikizkenar olduğundan tabana ait yükseklik tabanı ortalar.
noktası tabanın orta noktası olduğu için aynı zamanda tabana ait yüksekliğin tabanı kestiği noktadır.
üçgeninde Öklid bağıntısını kullanalım.
bulunur.
SORU 4 :
Şekilde ve üçgenleri verilmiştir.
olduğuna göre, kaçtır?
Çözümü Göster
üçgeninde köşesinden tabana ait yüksekliği çizelim.
üçgeni ikizkenar olduğundan tabana ait yükseklik tabanı ortalar.
üçgeni 45-45-90° üçgeni olur. 45-45-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla şeklinde olur.
Bu orantıyı kullanarak uzunluğunu bulalım.
bulunur.
SORU 5 :
Eşit kenarları , diğer kenarı ve eşit olmayan kenara ait yüksekliği olan ikizkenar üçgenin belirtilen uzunluk değerleri arasında üçer birim fark vardır.
olduğu bilindiğine göre üçgenin alanı kaç br'dir?
Çözümü Göster
diyelim.
Bu durumda ve olur.
Bir ikizkenar üçgende yükseklik tabanı iki eşit parçaya ayırır ve iki eş dik üçgen oluşturur.
Oluşan dik üçgenlerin dik kenarları , ve hipotenüsü olur.
'yi bulmak için Pisagor teoremini kullanalım.
Bu denklemin kökleri ve olarak bulunur.
Uzunluk sıfır olamayacağı için geçerli bir çözüm değildir.
Büyük üçgenin alanını bulalım.
olarak bulunur.
SORU 6 :
Bir ikizkenar üçgenin iç açılarından ikisi ve olduğuna göre, 'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Bir ikizkenar üçgenin bir tepe açısı ve ölçüleri eşit iki taban açısı vardır.
açısı için üç farklı durum vardır.
Durum 1: Taban açıları ve
Bu durumda üçgenin açıları olur.
Durum 2: Tepe açısı , taban açıları
Bu durumda üçgenin açıları olur.
Durum 3: Tepe açısı , taban açıları
Bu durumda üçgenin açıları olur.
'in alabileceği değerlerin toplamı olarak bulunur.
SORU 7 :
Şekilde ikizkenar üçgeni verilmiştir.
olduğuna göre, kaçtır?
Çözümü Göster
üçgeninde köşesinden tabana ait yüksekliği çizelim.
üçgeni ikizkenar olduğundan tabana ait yükseklik tabanı ortalar.
Buna göre tabanda oluşan doğru parçalarının uzunlukları aşağıdaki gibi olur.
dik üçgeninde Pisagor teoremini kullanalım.
dik üçgeninde Pisagor teoremini kullanalım.
bulunur.
SORU 8 :
Şekilde ve üçgenleri verilmiştir.
olduğuna göre, kaçtır?
Çözümü Göster
Bir ikizkenar üçgenin herhangi bir açısı 60° ise bu üçgen aynı zamanda eşkenar üçgendir.
eşkenar üçgeninde köşesinden kenarına ait yüksekliği çizelim.
doğrusu aynı zamanda kenarortay ve açıortay olur.
üçgeni 45-45-90° üçgeni olur. 45-45-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla şeklinde olur.
üçgeni 30-60-90° üçgeni olur. 30-60-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla şeklinde olur.
doğrusu kenarının kenarortayıdır.
bulunur.
SORU 9 :
Şekilde üçgeni verilmiştir.
olduğuna göre, kaçtır?
Çözümü Göster
köşesi ile noktasını birleştirelim (mavi kesikli çizgi).
eşitliği üçgeninde muhteşem üçlü oluşturduğu için doğru parçası kenarını dik keser, dolayısıyla bu kenarın yüksekliğidir.
ve olduğu için olur.
ve olduğu için doğru parçası üçgeninin bir orta tabanıdır.
Bir üçgende orta taban uzunluğu taban uzunluğunun yarısıdır.
üçgeni 3-4-5 özel üçgeni ile benzerlik oranına sahip 12-16-20 üçgenidir.
bulunur.
SORU 10 :
Şekilde üçgeni ve ikizkenar üçgeni verilmiştir.
olduğuna göre, kaçtır?
Çözümü Göster
üçgeninde köşesinden kenarına ait yüksekliği çizelim.
ikizkenar üçgen olduğu için aynı zamanda kenarortay ve açıortay olur.
üçgeninde açı değerleri aşağıdaki gibi olur.
üçgeni için, bir dış açı iki iç açının toplamına eşittir.
olduğuna göre üçgeni de ikizkenardır.
üçgeni 30-60-90° üçgeni olur. 30-60-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla şeklinde olur.
bulunur.
SORU 11 :
bir dik üçgendir.
olduğuna göre, kaçtır?
Çözümü Göster
ve noktalarını birleştirelim.
kenarının orta dikmesi üçgenin köşesinden geçtiği için üçgeni bir ikizkenar üçgendir.
dik üçgeninde Pisagor bağıntısını kullanabiliriz.
bulunur.
SORU 12 :
bir ikizkenar üçgendir.
olduğuna göre, kaçtır?
Çözümü Göster
üçgeninde köşesinden tabana ait yüksekliği çizelim.
ikizkenar üçgen olduğu için yüksekliği tabanı ortalar.
Buna göre tabandaki doğru parçası uzunlukları aşağıdaki gibi olur.
doğrusu üçgeninin kenarını ortaladığı ve olduğu için üçgeninin bir orta tabanıdır.
Bir üçgende orta taban her iki yan kenarı ortalar.
bulunur.
SORU 13 :
Şekilde ve üçgenleri verilmiştir.
olduğuna göre, kaçtır?
Çözümü Göster
ikizkenar üçgeninin taban açı ölçülerine diyelim.
Ters açıların ölçüleri eşittir.
açısının ölçüsüne diyelim.
üçgeninin iç açıları toplamını yazalım.
üçgeninde iç açılar toplamı 180° olması için olmalıdır.
Buna göre üçgeni ikizkenardır.
bulunur.
SORU 14 :
Şekilde dik üçgeni verilmiştir.
olduğuna göre, kaçtır?
Çözümü Göster
üçgeninin dik açılı köşesinden tabana inen doğru parçası tabanı eşit iki parçaya böldüğü için muhteşem üçlü oluşur.
diyelim.
ikizkenar üçgendir.
üçgeninde iç açıların toplamını bulalım.
Bu durumda olarak bulunur.
üçgeninde doğru parçası dik açılı köşeden inen dikme olduğu için Öklid bağıntısını kullanabiliriz.
olarak bulunur.
SORU 15 :
dörtgeni için uzunluk ve açı değerleri aşağıdaki gibidir.
olduğuna göre, kaçtır?
Çözümü Göster
ve kenarlarını bir üçgen oluşturacak şekilde uzatalım ve kesişim noktalarına diyelim.
üçgeni 45-45-90° üçgeni olur. 45-45-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla şeklinde olur.
üçgeni 3-4-5 özel üçgeni ile benzerlik oranına sahip 6-8-10 üçgenidir.
olarak bulunur.
SORU 16 :
Şekilde ikizkenar üçgeni ve dik üçgeni verilmiştir.
olduğuna göre, kaçtır?
Çözümü Göster
üçgeninde köşesinden tabana ait yüksekliği çizelim.
üçgeni ikizkenar olduğundan tabana ait yükseklik tabanı ortalar.
dik üçgeninde Öklid bağıntısını kullanarak tabana ait yüksekliği bulalım.
üçgeninde Pisagor teoremini kullanalım.
bulunur.
SORU 17 :
Şekilde üçgeni verilmiştir.
olduğuna göre, kaçtır?
Çözümü Göster
üçgeninde köşesinden kenarına ait yüksekliği çizelim.
İkizkenar üçgende eşit kenarlara ait yüksekliklerin uzunlukları birbirine eşittir.
üçgeni 30-60-90° üçgeni olur. 30-60-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla şeklinde olur.
bulunur.
SORU 18 :
Şekilde ikizkenar üçgeni verilmiştir.
olduğuna göre, kaçtır?
Çözümü Göster
İkizkenar üçgende taban üzerindeki herhangi bir noktadan yan kenarlara çizilen dikmelerin uzunluklarının toplamı, yan kenarlardan birine ait yüksekliğe eşittir.
köşesinden kenarına ait yüksekliği çizelim.
üçgeni 30-60-90° üçgeni olur. 30-60-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla şeklinde olur.
bulunur.
SORU 19 :
Şekilde dik üçgeni ve ikizkenar üçgeni verilmiştir.
olduğuna göre, üçgeninin alanı kaçtır?
Çözümü Göster
üçgeninde kenarına ve üçgeninde kenarına ait yükseklikleri çizelim.
İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik tabanı ortalar.
Oluşan dörtgeni bir dikdörtgendir. Dikdörtgende karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.
uzunluğunu bulmak için dik üçgeninde Pisagor teoremini kullanalım.
uzunluğunu bulmak için üçgeninde Öklid bağıntısını kullanalım.
Dikdörtgende karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.
üçgeninin alanını bulalım.
bulunur.
SORU 20 :
Şekilde dik üçgeni ve üçgeni verilmiştir.
olduğuna göre, kaçtır?
Çözümü Göster
olduğu için üçgeni ikizkenardır.
üçgeninde köşesinden tabana ait yüksekliği çizelim.
üçgeni ikizkenar olduğundan tabana ait yükseklik tabanı ortalar.
üçgeninin iç açıları aşağıdaki gibi olsun.
üçgeninin iç açıları toplamı 180°'dir.
Ters açılar birbirine eşittir.
İkizkenar üçgende taban açıları eşittir.
ve dik üçgendir.
üçgeninin iç açıları toplamını yazalım.
olduğunu biliyoruz.
Buna göre olarak bulunur.
üçgeninde Öklid bağıntısını kullanarak uzunluğunu bulalım.
bulunur.
SORU 21 :
Şekilde ve ikizkenar üçgenleri ile dik üçgeni verilmiştir.
olduğuna göre, kaçtır?
Çözümü Göster
üçgeni ikizkenardır.
diyelim.
üçgeni ikizkenardır.
üçgeninde bir dış açı iki iç açının toplamına eşittir.
üçgeninde iç açıların toplamını alalım.
üçgeni 30-60-90° üçgeni olur. 30-60-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla şeklinde olur.
ise
bulunur.
SORU 22 :
Şekilde ve dik üçgenleri ile ikizkenar üçgeni verilmiştir.
olduğuna göre, kaçtır?
Çözümü Göster
diyelim.
üçgeninde iç açıların toplamını bulalım.
üçgeni ikizkenardır.
olduğuna göre olur.
üçgeninde iç açılar toplamı 180° olduğundan olur.
üçgeni ikizkenar olduğundan yüksekliği aynı anda açıortaydır.
olacak şekilde noktasından kenarına bir dikme çizelim.
olacak şekilde noktasından kenarına bir dikme çizelim.
Oluşan yeni kenar uzunlukları aşağıdaki gibidir.
üçgeninde bir dış açı iki iç açının toplamına eşittir.
Ters açılar birbirine eşittir.
Tümler açıların toplamı 90° olur.
Tümler açıların toplamı 90° olur.
Buna göre üçgeni ikizkenardır.
ikizkenar üçgeninde tabana inen dikme aynı zamanda kenarortay, açıortay ve yükseklik olur.
bulunur.
SORU 23 :
Şekildeki üçgen bir ikizkenar üçgen olduğuna göre, sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Kenar uzunluklarını sırasıyla ikili olarak birbirine eşitleyerek denklemleri çözelim.
Durum 1:
ya da
için kenar uzunlukları aşağıdaki gibi olur.
bir üçgenin kenar uzunluğu olamayacağı için geçerli bir çözüm değildir.
için kenar uzunlukları aşağıdaki gibi olur.
Durum 2:
ya da
için kenar uzunlukları aşağıdaki gibi olur.
bir üçgenin kenar uzunluğu olamayacağı için geçerli bir çözüm değildir.
için kenar uzunlukları aşağıdaki gibi olur.
Durum 3:
Bu durumda geçerli bir çözüm yoktur.
İstenen koşulu sağlayan farklı değerleri aşağıdaki gibi bulunur.
'nin alabileceği değerlerin toplamı bulunur.