İkizkenar Üçgen

$$ olduğuna göre $$ üçgeni ikizkenardır.

$$ üçgeninde tabana ait yüksekliği çizelim.

İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik tabanı ortalar.

$$ üçgeni 30-60-90° üçgeni olur. 30-60-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla $$ şeklinde olur.

$$ dik üçgeninde Pisagor teoremini kullanalım.

$$ bulunur.

$$ ikizkenar üçgenini ve paralellikleri kullanarak aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz.

Buna göre $$ ve $$ üçgenleri de ikizkenardır.

$$ bir paralelkenar olduğu için karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.

$$ bulunur.

$$ üçgeninde $$ köşesinden tabana ait yüksekliği çizelim.

$$ üçgeni ikizkenar olduğundan tabana ait yükseklik tabanı ortalar.

$$ noktası tabanın orta noktası olduğu için aynı zamanda tabana ait yüksekliğin tabanı kestiği noktadır.

$$ üçgeninde Öklid bağıntısını kullanalım.

$$ bulunur.

$$ üçgeninde $$ köşesinden tabana ait yüksekliği çizelim.

$$ üçgeni ikizkenar olduğundan tabana ait yükseklik tabanı ortalar.

$$ üçgeni 45-45-90° üçgeni olur. 45-45-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla $$ şeklinde olur.

Bu orantıyı kullanarak $$ uzunluğunu bulalım.

$$ bulunur.

$$ diyelim.

Bu durumda $$ ve $$ olur.

Bir ikizkenar üçgende yükseklik tabanı iki eşit parçaya ayırır ve iki eş dik üçgen oluşturur.

Oluşan dik üçgenlerin dik kenarları $$, $$ ve hipotenüsü $$ olur.

$$'yi bulmak için Pisagor teoremini kullanalım.

Bu denklemin kökleri $$ ve $$ olarak bulunur.

Uzunluk sıfır olamayacağı için $$ geçerli bir çözüm değildir.

Büyük üçgenin alanını bulalım.

$$ olarak bulunur.

Bir ikizkenar üçgenin bir tepe açısı ve ölçüleri eşit iki taban açısı vardır.

$$ açısı için üç farklı durum vardır.

Durum 1: Taban açıları $$ ve $$

Bu durumda üçgenin açıları $$ olur.

Durum 2: Tepe açısı $$, taban açıları $$

Bu durumda üçgenin açıları $$ olur.

Durum 3: Tepe açısı $$, taban açıları $$

Bu durumda üçgenin açıları $$ olur.

$$'in alabileceği değerlerin toplamı $$ olarak bulunur.

$$ üçgeninde $$ köşesinden tabana ait yüksekliği çizelim.

$$ üçgeni ikizkenar olduğundan tabana ait yükseklik tabanı ortalar.

Buna göre tabanda oluşan doğru parçalarının uzunlukları aşağıdaki gibi olur.

$$ dik üçgeninde Pisagor teoremini kullanalım.

$$ dik üçgeninde Pisagor teoremini kullanalım.

$$ bulunur.

Bir ikizkenar üçgenin herhangi bir açısı 60° ise bu üçgen aynı zamanda eşkenar üçgendir.

$$ eşkenar üçgeninde $$ köşesinden $$ kenarına ait yüksekliği çizelim.

$$ doğrusu aynı zamanda kenarortay ve açıortay olur.

$$ üçgeni 45-45-90° üçgeni olur. 45-45-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla $$ şeklinde olur.

$$ üçgeni 30-60-90° üçgeni olur. 30-60-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla $$ şeklinde olur.

$$ doğrusu $$ kenarının kenarortayıdır.

$$ bulunur.

$$ köşesi ile $$ noktasını birleştirelim (mavi kesikli çizgi).

$$ eşitliği $$ üçgeninde muhteşem üçlü oluşturduğu için $$ doğru parçası $$ kenarını dik keser, dolayısıyla bu kenarın yüksekliğidir.

$$ ve $$ olduğu için $$ olur.

$$ ve $$ olduğu için $$ doğru parçası $$ üçgeninin bir orta tabanıdır.

Bir üçgende orta taban uzunluğu taban uzunluğunun yarısıdır.

$$ üçgeni 3-4-5 özel üçgeni ile $$ benzerlik oranına sahip 12-16-20 üçgenidir.

$$ bulunur.

$$ üçgeninde $$ köşesinden $$ kenarına ait yüksekliği çizelim.

$$ ikizkenar üçgen olduğu için $$ aynı zamanda kenarortay ve açıortay olur.

$$ üçgeninde açı değerleri aşağıdaki gibi olur.

$$ üçgeni için, bir dış açı iki iç açının toplamına eşittir.

$$ olduğuna göre $$ üçgeni de ikizkenardır.

$$ üçgeni 30-60-90° üçgeni olur. 30-60-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla $$ şeklinde olur.

$$ bulunur.

$$ ve $$ noktalarını birleştirelim.

$$ kenarının orta dikmesi üçgenin $$ köşesinden geçtiği için $$ üçgeni bir ikizkenar üçgendir.

$$ dik üçgeninde Pisagor bağıntısını kullanabiliriz.

$$ bulunur.

$$ üçgeninde $$ köşesinden tabana ait yüksekliği çizelim.

$$ ikizkenar üçgen olduğu için $$ yüksekliği tabanı ortalar.

Buna göre tabandaki doğru parçası uzunlukları aşağıdaki gibi olur.

$$ doğrusu $$ üçgeninin $$ kenarını ortaladığı ve $$ olduğu için $$ üçgeninin bir orta tabanıdır.

Bir üçgende orta taban her iki yan kenarı ortalar.

$$ bulunur.

$$ ikizkenar üçgeninin taban açı ölçülerine $$ diyelim.

Ters açıların ölçüleri eşittir.

$$ açısının ölçüsüne $$ diyelim.

$$ üçgeninin iç açıları toplamını yazalım.

$$ üçgeninde iç açılar toplamı 180° olması için $$ olmalıdır.

Buna göre $$ üçgeni ikizkenardır.

$$ bulunur.

$$ üçgeninin dik açılı köşesinden tabana inen doğru parçası tabanı eşit iki parçaya böldüğü için muhteşem üçlü oluşur.

$$ diyelim.

$$ ikizkenar üçgendir.

$$ üçgeninde iç açıların toplamını bulalım.

Bu durumda $$ olarak bulunur.

$$ üçgeninde $$ doğru parçası dik açılı köşeden inen dikme olduğu için Öklid bağıntısını kullanabiliriz.

$$ olarak bulunur.

$$ ve $$ kenarlarını bir üçgen oluşturacak şekilde uzatalım ve kesişim noktalarına $$ diyelim.

$$ üçgeni 45-45-90° üçgeni olur. 45-45-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla $$ şeklinde olur.

$$ üçgeni 3-4-5 özel üçgeni ile $$ benzerlik oranına sahip 6-8-10 üçgenidir.

$$ olarak bulunur.

$$ üçgeninde $$ köşesinden tabana ait yüksekliği çizelim.

$$ üçgeni ikizkenar olduğundan tabana ait yükseklik tabanı ortalar.

$$ dik üçgeninde Öklid bağıntısını kullanarak tabana ait yüksekliği bulalım.

$$ üçgeninde Pisagor teoremini kullanalım.

$$ bulunur.

$$ üçgeninde $$ köşesinden $$ kenarına ait yüksekliği çizelim.

İkizkenar üçgende eşit kenarlara ait yüksekliklerin uzunlukları birbirine eşittir.

$$ üçgeni 30-60-90° üçgeni olur. 30-60-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla $$ şeklinde olur.

$$ bulunur.

İkizkenar üçgende taban üzerindeki herhangi bir noktadan yan kenarlara çizilen dikmelerin uzunluklarının toplamı, yan kenarlardan birine ait yüksekliğe eşittir.

$$ köşesinden $$ kenarına ait yüksekliği çizelim.

$$ üçgeni 30-60-90° üçgeni olur. 30-60-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla $$ şeklinde olur.

$$ bulunur.

$$ üçgeninde $$ kenarına ve $$ üçgeninde $$ kenarına ait yükseklikleri çizelim.

İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik tabanı ortalar.

Oluşan $$ dörtgeni bir dikdörtgendir. Dikdörtgende karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.

$$ uzunluğunu bulmak için $$ dik üçgeninde Pisagor teoremini kullanalım.

$$ uzunluğunu bulmak için $$ üçgeninde Öklid bağıntısını kullanalım.

Dikdörtgende karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.

$$ üçgeninin alanını bulalım.

$$ bulunur.

$$ olduğu için $$ üçgeni ikizkenardır.

$$ üçgeninde $$ köşesinden tabana ait yüksekliği çizelim.

$$ üçgeni ikizkenar olduğundan tabana ait yükseklik tabanı ortalar.

$$ üçgeninin iç açıları aşağıdaki gibi olsun.

$$ üçgeninin iç açıları toplamı 180°'dir.

Ters açılar birbirine eşittir.

İkizkenar üçgende taban açıları eşittir.

$$ ve $$ dik üçgendir.

$$ üçgeninin iç açıları toplamını yazalım.

$$ olduğunu biliyoruz.

Buna göre $$ olarak bulunur.

$$ üçgeninde Öklid bağıntısını kullanarak $$ uzunluğunu bulalım.

$$ bulunur.

$$ üçgeni ikizkenardır.

$$ diyelim.

$$ üçgeni ikizkenardır.

$$ üçgeninde bir dış açı iki iç açının toplamına eşittir.

$$ üçgeninde iç açıların toplamını alalım.

$$ üçgeni 30-60-90° üçgeni olur. 30-60-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla $$ şeklinde olur.

$$ ise $$

$$ bulunur.

$$ diyelim.

$$ üçgeninde iç açıların toplamını bulalım.

$$ üçgeni ikizkenardır.

$$ olduğuna göre $$ olur.

$$ üçgeninde iç açılar toplamı 180° olduğundan $$ olur.

$$ üçgeni ikizkenar olduğundan $$ yüksekliği aynı anda açıortaydır.

$$ olacak şekilde $$ noktasından $$ kenarına bir dikme çizelim.

$$ olacak şekilde $$ noktasından $$ kenarına bir dikme çizelim.

Oluşan yeni kenar uzunlukları aşağıdaki gibidir.

$$ üçgeninde bir dış açı iki iç açının toplamına eşittir.

Ters açılar birbirine eşittir.

Tümler açıların toplamı 90° olur.

Tümler açıların toplamı 90° olur.

Buna göre $$ üçgeni ikizkenardır.

$$ ikizkenar üçgeninde tabana inen dikme aynı zamanda kenarortay, açıortay ve yükseklik olur.

$$ bulunur.

Kenar uzunluklarını sırasıyla ikili olarak birbirine eşitleyerek denklemleri çözelim.

Durum 1:

$$ ya da $$

$$ için kenar uzunlukları aşağıdaki gibi olur.

$$ bir üçgenin kenar uzunluğu olamayacağı için $$ geçerli bir çözüm değildir.

$$ için kenar uzunlukları aşağıdaki gibi olur.

Durum 2:

$$ ya da $$

$$ için kenar uzunlukları aşağıdaki gibi olur.

$$ bir üçgenin kenar uzunluğu olamayacağı için $$ geçerli bir çözüm değildir.

$$ için kenar uzunlukları aşağıdaki gibi olur.

Durum 3:

Bu durumda geçerli bir çözüm yoktur.

İstenen koşulu sağlayan farklı $$ değerleri aşağıdaki gibi bulunur.

$$'nin alabileceği değerlerin toplamı $$ bulunur.