İkizkenar Üçgen

İki kenar uzunluğu birbirine eşit, üçüncü kenar uzunluğu farklı olan üçgene ikizkenar üçgen denir.

İkizkenar üçgen
İkizkenar üçgen

Bir ikizkenar üçgende uzunlukları eşit olan kenarlara yan kenar, uzunluğu farklı olan üçüncü kenara taban, yan kenarlarla taban arasında kalan eşit açılara taban açısı, yan kenarlar arasındaki üçüncü açıya tepe açısı denir.

İkizkenar üçgenin taban açıları eşittir. Bunun karşıtı da doğrudur, yani taban açıları eşit olan bir üçgenin yan kenar uzunlukları eşittir, dolayısıyla bu üçgen ikizkenardır.

Yukarıdaki ispata göre bir ikizkenar üçgende tabana ait yükseklik üçgeni ve olmak üzere iki eş üçgene böler. Bunun sonuçlarını aşağıdaki şekilde listeleyebiliriz.

  • Tabana ait yükseklik tabanı ortalar, dolayısıyla aynı zamanda tabana ait kenarortaydır.
  • Tabana ait yükseklik tepe açısını iki eşit açıya böler, dolayısıyla aynı zamanda tabana ait açıortaydır.
  • Tabana ait yükseklik tabanı ortaladığı için aynı zamanda tabana ait orta dikmedir.
  • Üçgen tabana ait yüksekliğe göre simetriktir.
İkizkenar üçgenin yüksekliği
İkizkenar üçgenin yüksekliği

Bir üçgende bir kenara ait yükseklik, açıortay, kenarortay ve orta dikmeden herhangi ikisinin eşit olduğunu biliyorsak diğerlerinin de eşit olduğunu ve diğer iki kenar uzunluğunun eşit olduğunu söyleyebiliriz. Örneğin bir üçgende aynı doğru parçası hem yükseklik hem kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.

İkizkenar üçgende tabana ait yüksekliği kenar uzunlukları cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

İkizkenar üçgende eşit kenarlara/açılara ait yükseklik, açıortay, kenarortay ve orta dikmelerin uzunlukları birbirine eşittir. Ayrıca bu yükseklik, açıortay ve kenarortayların kesişimleri birbirine eş parçalar oluşturur.

İkizkenar üçgende yükseklik ve açıortay
İkizkenar üçgende yükseklik ve açıortay
İkizkenar üçgende kenarortay ve orta dikme
İkizkenar üçgende kenarortay ve orta dikme

İkizkenar üçgende tabanın üzerindeki herhangi bir noktadan yan kenarlara çizilen paralel doğru parçalarının uzunluklarının toplamı, yan kenarlardan birinin uzunluğuna eşittir.

İkizkenar üçgende tabandan çizilen paraleller
İkizkenar üçgende tabandan çizilen paraleller

İkizkenar üçgende tabanın üzerindeki herhangi bir noktadan yan kenarlara çizilen dikmelerin uzunluklarının toplamı, yan kenarlardan birine ait yüksekliğe eşittir.

İkizkenar üçgende tabandan çizilen dikmeler
İkizkenar üçgende tabandan çizilen dikmeler

İkizkenar dik üçgende taban açıları 45° olur ve Pisagor teoreminden hipotenüs uzunluğu bir dik kenar uzunluğunun katıdır.

İkizkenar dik üçgen
İkizkenar dik üçgen

Bir ikizkenar üçgenin herhangi bir açısı 60° ise bu üçgen aynı zamanda eşkenar üçgendir.

SORU 1 :
Soru

Şekilde ve üçgenleri verilmiştir.

olduğuna göre, kaçtır?

olduğuna göre üçgeni ikizkenardır.

üçgeninde tabana ait yüksekliği çizelim.

Soru

İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik tabanı ortalar.

üçgeni 30-60-90° üçgeni olur. 30-60-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla şeklinde olur.

dik üçgeninde Pisagor teoremini kullanalım.

bulunur.


SORU 2 :
Soru

Şekilde ikizkenar üçgeni verilmiştir.

olduğuna göre, kaçtır?

ikizkenar üçgenini ve paralellikleri kullanarak aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz.

Soru

Buna göre ve üçgenleri de ikizkenardır.

bir paralelkenar olduğu için karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.

bulunur.


SORU 3 :
Soru

Şekilde ikizkenar üçgeni verilmiştir.

olduğuna göre kaçtır?

üçgeninde köşesinden tabana ait yüksekliği çizelim.

Soru

üçgeni ikizkenar olduğundan tabana ait yükseklik tabanı ortalar.

noktası tabanın orta noktası olduğu için aynı zamanda tabana ait yüksekliğin tabanı kestiği noktadır.

üçgeninde Öklid bağıntısını kullanalım.

bulunur.


SORU 4 :
Soru

Şekilde ve üçgenleri verilmiştir.

olduğuna göre, kaçtır?

üçgeninde köşesinden tabana ait yüksekliği çizelim.

Soru

üçgeni ikizkenar olduğundan tabana ait yükseklik tabanı ortalar.

üçgeni 45-45-90° üçgeni olur. 45-45-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla şeklinde olur.

Bu orantıyı kullanarak uzunluğunu bulalım.

bulunur.


SORU 5 :

Eşit kenarları , diğer kenarı ve eşit olmayan kenara ait yüksekliği olan ikizkenar üçgenin belirtilen uzunluk değerleri arasında üçer birim fark vardır.

olduğu bilindiğine göre üçgenin alanı kaç br'dir?

diyelim.

Bu durumda ve olur.

Soru

Bir ikizkenar üçgende yükseklik tabanı iki eşit parçaya ayırır ve iki eş dik üçgen oluşturur.

Oluşan dik üçgenlerin dik kenarları , ve hipotenüsü olur.

'yi bulmak için Pisagor teoremini kullanalım.

Bu denklemin kökleri ve olarak bulunur.

Uzunluk sıfır olamayacağı için geçerli bir çözüm değildir.

Büyük üçgenin alanını bulalım.

olarak bulunur.


SORU 6 :

Bir ikizkenar üçgenin iç açılarından ikisi ve olduğuna göre, 'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Bir ikizkenar üçgenin bir tepe açısı ve ölçüleri eşit iki taban açısı vardır.

açısı için üç farklı durum vardır.

Durum 1: Taban açıları ve

Bu durumda üçgenin açıları olur.

Durum 2: Tepe açısı , taban açıları

Bu durumda üçgenin açıları olur.

Durum 3: Tepe açısı , taban açıları

Bu durumda üçgenin açıları olur.

'in alabileceği değerlerin toplamı olarak bulunur.


SORU 7 :
Soru

Şekilde ikizkenar üçgeni verilmiştir.

olduğuna göre, kaçtır?

üçgeninde köşesinden tabana ait yüksekliği çizelim.

Soru

üçgeni ikizkenar olduğundan tabana ait yükseklik tabanı ortalar.

Buna göre tabanda oluşan doğru parçalarının uzunlukları aşağıdaki gibi olur.

dik üçgeninde Pisagor teoremini kullanalım.

dik üçgeninde Pisagor teoremini kullanalım.

bulunur.


SORU 8 :
Soru

Şekilde ve üçgenleri verilmiştir.

olduğuna göre, kaçtır?

Bir ikizkenar üçgenin herhangi bir açısı 60° ise bu üçgen aynı zamanda eşkenar üçgendir.

eşkenar üçgeninde köşesinden kenarına ait yüksekliği çizelim.

Soru

doğrusu aynı zamanda kenarortay ve açıortay olur.

üçgeni 45-45-90° üçgeni olur. 45-45-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla şeklinde olur.

üçgeni 30-60-90° üçgeni olur. 30-60-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla şeklinde olur.

doğrusu kenarının kenarortayıdır.

bulunur.


SORU 9 :
Soru

Şekilde üçgeni verilmiştir.

olduğuna göre, kaçtır?

köşesi ile noktasını birleştirelim (mavi kesikli çizgi).

Soru

eşitliği üçgeninde muhteşem üçlü oluşturduğu için doğru parçası kenarını dik keser, dolayısıyla bu kenarın yüksekliğidir.

ve olduğu için olur.

ve olduğu için doğru parçası üçgeninin bir orta tabanıdır.

Bir üçgende orta taban uzunluğu taban uzunluğunun yarısıdır.

üçgeni 3-4-5 özel üçgeni ile benzerlik oranına sahip 12-16-20 üçgenidir.

bulunur.


SORU 10 :
Soru

Şekilde üçgeni ve ikizkenar üçgeni verilmiştir.

olduğuna göre, kaçtır?

üçgeninde köşesinden kenarına ait yüksekliği çizelim.

Soru

ikizkenar üçgen olduğu için aynı zamanda kenarortay ve açıortay olur.

üçgeninde açı değerleri aşağıdaki gibi olur.

üçgeni için, bir dış açı iki iç açının toplamına eşittir.

olduğuna göre üçgeni de ikizkenardır.

üçgeni 30-60-90° üçgeni olur. 30-60-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla şeklinde olur.

bulunur.


SORU 11 :
Soru

bir dik üçgendir.

olduğuna göre, kaçtır?

ve noktalarını birleştirelim.

Soru

kenarının orta dikmesi üçgenin köşesinden geçtiği için üçgeni bir ikizkenar üçgendir.

dik üçgeninde Pisagor bağıntısını kullanabiliriz.

bulunur.


SORU 12 :
Soru

bir ikizkenar üçgendir.

olduğuna göre, kaçtır?

üçgeninde köşesinden tabana ait yüksekliği çizelim.

Soru

ikizkenar üçgen olduğu için yüksekliği tabanı ortalar.

Buna göre tabandaki doğru parçası uzunlukları aşağıdaki gibi olur.

doğrusu üçgeninin kenarını ortaladığı ve olduğu için üçgeninin bir orta tabanıdır.

Bir üçgende orta taban her iki yan kenarı ortalar.

bulunur.


SORU 13 :
Soru

Şekilde ve üçgenleri verilmiştir.

olduğuna göre, kaçtır?

ikizkenar üçgeninin taban açı ölçülerine diyelim.

Soru

Ters açıların ölçüleri eşittir.

açısının ölçüsüne diyelim.

üçgeninin iç açıları toplamını yazalım.

üçgeninde iç açılar toplamı 180° olması için olmalıdır.

Buna göre üçgeni ikizkenardır.

bulunur.


SORU 14 :
Soru

Şekilde dik üçgeni verilmiştir.

olduğuna göre, kaçtır?

Soru

üçgeninin dik açılı köşesinden tabana inen doğru parçası tabanı eşit iki parçaya böldüğü için muhteşem üçlü oluşur.

diyelim.

ikizkenar üçgendir.

üçgeninde iç açıların toplamını bulalım.

Bu durumda olarak bulunur.

üçgeninde doğru parçası dik açılı köşeden inen dikme olduğu için Öklid bağıntısını kullanabiliriz.

olarak bulunur.


SORU 15 :
Soru

dörtgeni için uzunluk ve açı değerleri aşağıdaki gibidir.

olduğuna göre, kaçtır?

ve kenarlarını bir üçgen oluşturacak şekilde uzatalım ve kesişim noktalarına diyelim.

Soru

üçgeni 45-45-90° üçgeni olur. 45-45-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla şeklinde olur.

üçgeni 3-4-5 özel üçgeni ile benzerlik oranına sahip 6-8-10 üçgenidir.

olarak bulunur.


SORU 16 :
Soru

Şekilde ikizkenar üçgeni ve dik üçgeni verilmiştir.

olduğuna göre, kaçtır?

üçgeninde köşesinden tabana ait yüksekliği çizelim.

Soru

üçgeni ikizkenar olduğundan tabana ait yükseklik tabanı ortalar.

dik üçgeninde Öklid bağıntısını kullanarak tabana ait yüksekliği bulalım.

üçgeninde Pisagor teoremini kullanalım.

bulunur.


SORU 17 :
Soru

Şekilde üçgeni verilmiştir.

olduğuna göre, kaçtır?

üçgeninde köşesinden kenarına ait yüksekliği çizelim.

Soru

İkizkenar üçgende eşit kenarlara ait yüksekliklerin uzunlukları birbirine eşittir.

üçgeni 30-60-90° üçgeni olur. 30-60-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla şeklinde olur.

bulunur.


SORU 18 :
Soru

Şekilde ikizkenar üçgeni verilmiştir.

olduğuna göre, kaçtır?

İkizkenar üçgende taban üzerindeki herhangi bir noktadan yan kenarlara çizilen dikmelerin uzunluklarının toplamı, yan kenarlardan birine ait yüksekliğe eşittir.

köşesinden kenarına ait yüksekliği çizelim.

Soru

üçgeni 30-60-90° üçgeni olur. 30-60-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla şeklinde olur.

bulunur.


SORU 19 :
Soru

Şekilde dik üçgeni ve ikizkenar üçgeni verilmiştir.

olduğuna göre, üçgeninin alanı kaçtır?

üçgeninde kenarına ve üçgeninde kenarına ait yükseklikleri çizelim.

Soru

İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik tabanı ortalar.

Oluşan dörtgeni bir dikdörtgendir. Dikdörtgende karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.

uzunluğunu bulmak için dik üçgeninde Pisagor teoremini kullanalım.

uzunluğunu bulmak için üçgeninde Öklid bağıntısını kullanalım.

Dikdörtgende karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.

üçgeninin alanını bulalım.

bulunur.


SORU 20 :
Soru

Şekilde dik üçgeni ve üçgeni verilmiştir.

olduğuna göre, kaçtır?

olduğu için üçgeni ikizkenardır.

üçgeninde köşesinden tabana ait yüksekliği çizelim.

Soru

üçgeni ikizkenar olduğundan tabana ait yükseklik tabanı ortalar.

üçgeninin iç açıları aşağıdaki gibi olsun.

üçgeninin iç açıları toplamı 180°'dir.

Ters açılar birbirine eşittir.

İkizkenar üçgende taban açıları eşittir.

ve dik üçgendir.

üçgeninin iç açıları toplamını yazalım.

olduğunu biliyoruz.

Buna göre olarak bulunur.

üçgeninde Öklid bağıntısını kullanarak uzunluğunu bulalım.

bulunur.


SORU 21 :
Soru

Şekilde ve ikizkenar üçgenleri ile dik üçgeni verilmiştir.

olduğuna göre, kaçtır?

Soru

üçgeni ikizkenardır.

diyelim.

üçgeni ikizkenardır.

üçgeninde bir dış açı iki iç açının toplamına eşittir.

üçgeninde iç açıların toplamını alalım.

üçgeni 30-60-90° üçgeni olur. 30-60-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla şeklinde olur.

ise

bulunur.


SORU 22 :
Soru

Şekilde ve dik üçgenleri ile ikizkenar üçgeni verilmiştir.

olduğuna göre, kaçtır?

diyelim.

Soru

üçgeninde iç açıların toplamını bulalım.

üçgeni ikizkenardır.

olduğuna göre olur.

üçgeninde iç açılar toplamı 180° olduğundan olur.

üçgeni ikizkenar olduğundan yüksekliği aynı anda açıortaydır.

olacak şekilde noktasından kenarına bir dikme çizelim.

olacak şekilde noktasından kenarına bir dikme çizelim.

Oluşan yeni kenar uzunlukları aşağıdaki gibidir.

üçgeninde bir dış açı iki iç açının toplamına eşittir.

Ters açılar birbirine eşittir.

Tümler açıların toplamı 90° olur.

Tümler açıların toplamı 90° olur.

Buna göre üçgeni ikizkenardır.

ikizkenar üçgeninde tabana inen dikme aynı zamanda kenarortay, açıortay ve yükseklik olur.

bulunur.


SORU 23 :
Soru

Şekildeki üçgen bir ikizkenar üçgen olduğuna göre, sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Kenar uzunluklarını sırasıyla ikili olarak birbirine eşitleyerek denklemleri çözelim.

Durum 1:

ya da

için kenar uzunlukları aşağıdaki gibi olur.

bir üçgenin kenar uzunluğu olamayacağı için geçerli bir çözüm değildir.

için kenar uzunlukları aşağıdaki gibi olur.

Durum 2:

ya da

için kenar uzunlukları aşağıdaki gibi olur.

bir üçgenin kenar uzunluğu olamayacağı için geçerli bir çözüm değildir.

için kenar uzunlukları aşağıdaki gibi olur.

Durum 3:

Bu durumda geçerli bir çözüm yoktur.

İstenen koşulu sağlayan farklı değerleri aşağıdaki gibi bulunur.

'nin alabileceği değerlerin toplamı bulunur.


« Önceki
Dik Üçgen
Sonraki »
Eşkenar Üçgen


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır