Açıortay

Üçgenin bir iç açısını iki eş parçaya bölen ve karşı kenarı kesen doğru parçasına açıortay ya da iç açıortay denir. \( A \), \( B \) ve \( C \) köşelerine ait açıortaylar sırasıyla \( n_a \), \( n_b \) ve \( n_c \) ile gösterilir.

Üçgenin iç açıortayları
Üçgenin iç açıortayları

Bir üçgenin iç açıortayları her zaman tek bir noktada ve üçgenin içinde kesişir. İki açıortayın kesiştiği nokta biliniyorsa üçüncü açıortay da bu noktadan geçmek zorundadır. Bu nokta aynı zamanda üçgenin \( r \) yarıçaplı iç teğet çemberinin merkezidir.

Üçgenin iç açıortayları ve iç teğet çember
Üçgenin iç açıortayları ve iç teğet çember

Bir açıortayın herhangi bir noktasından açıortayın kollarına indirilen dikmelerin uzunlukları birbirine eşittir. Aynı zamanda bu dikmelerin açıortayın kollarını kestiği noktalardan açıortayın köşesine olan uzunluklar da eşittir.

Açıortayın özellikleri
Açıortayın özellikleri

Bir üçgenin en uzun açıortayı üçgenin en kısa kenarına aittir.

Açıortay - kenar ilişkisi
Açıortay - kenar ilişkisi

Bir üçgenin iç teğet çemberinin merkezi ile üçgenin köşelerini birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu alanlar, her alanın komşu olduğu kenar uzunluğu ile doğru orantılıdır.

Açıortayların oluşturduğu alanlar
Açıortayların oluşturduğu alanlar

İç Açıortay Teoremi

Üçgenin bir köşesinden karşı kenara çizilen iç açıortayın iki yanındaki kenarların uzunluk oranı, açıortayın karşı kenarda böldüğü parçaların uzunluk oranına eşittir. Yükseklikleri aynı iki üçgenin alanlarının oranı taban uzunlukları ile orantılı olduğu için, bu orantıya açıortayın ayırdığı iki üçgenin alanlarının oranını da ekleyebiliriz.

İç açıortay teoremi
İç açıortay teoremi

Bir iç açıortayın uzunluğu aşağıdaki formülle bulunabilir.

Dış Açıortay Teoremi

Üçgenin bir köşesinden çizilen dış açıortay için aşağıdaki orantı geçerlidir.

Dış açıortay teoremi
Dış açıortay teoremi

Bir dış açıortayın uzunluğu aşağıdaki formülle bulunabilir.

Bir köşeden çizilen iç ve dış açıortaylar bütünler iki açıyı iki eşit açıya böldükleri için iç ve dış açıortayların arasında oluşan açı \( 90° \) olur.

İç ve dış açıortaylar arasında oluşan açı
İç ve dış açıortaylar arasında oluşan açı

Dış Teğet Çember

Bir üçgenin iki dış açıortayı ile bir iç açıortayı üçgenin dışında bir noktada kesişir. Bu nokta üçgenin dış teğet çemberlerinden birinin merkezidir. Dış teğet çember üçgenin bir kenarına ve diğer iki kenarın üçgenin dışındaki uzantılarına teğettir.

Üçgenin dış teğet çemberi
Üçgenin dış teğet çemberi

Bir üçgenin her biri bir kenara dıştan teğet olmak üzere toplam üç farklı dış teğet çemberi vardır.

SORU 1 :
Soru

\( [AD] \) doğru parçası \( A \) köşesinin açıortayıdır.

\( \abs{AB} = 8 , \abs{AC} = 12, \abs{BC} = 10 \)

olduğuna göre, \( \abs{BD} = x \) kaçtır?

\( \abs{BC} = 10 \) olduğu için \( \abs{DC} = 10 - x \) diyelim.

İç açıortay teoremini kullanalım.

\( \dfrac{\abs{AB}}{\abs{AC}} = \dfrac{\abs{BD}}{\abs{DC}} \)

\( \dfrac{8}{12} = \dfrac{x}{10 - x} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 80 - 8x = 12x \)

\( 20x = 80 \)

\( x = 4 \) bulunur.


SORU 2 :
Soru

\( [AB] \perp [BC] \) ve \( [AD] \) doğru parçası \( A \) köşesinin açıortayıdır.

\( \abs{AB} = 6, \abs{AC} = 10 \)

olduğuna göre, \( \abs{AD} = x \) kaçtır?

Soru

Pisagor teoremini kullanarak \( \abs{BC} \) uzunluğunu bulalım.

\( \abs{AC}^2 = \abs{AB}^2 + \abs{BC}^2 \)

\( \abs{BC} = \sqrt{10^2 - 6^2} \)

\( \abs{BC} = 8 \)

İç açıortay teoremini kullanalım.

\( \abs{BD} = y, \abs{DC} = 8 - y \) diyelim.

\( \dfrac{\abs{AB}}{\abs{AC}} = \dfrac{\abs{BD}}{\abs{DC}} \)

\( \dfrac{6}{10} = \dfrac{y}{8 - y} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 10y = 48 - 6y \)

\( 16y = 48 \)

\( y = 3 \)

\( ABD \) dik üçgeninin iki kenar uzunluğunu bildiğimiz için Pisagor teoremi ile dik kenar uzunluğunu bulabiliriz.

\( \abs{AD}^2 = \abs{AB}^2 + \abs{BD}^2 \)

\( x = \abs{AD} = \sqrt{6^2 + 3^2} \)

\( = \sqrt{45}= 3\sqrt{5} \) bulunur.


SORU 3 :
Soru

\( [CD] \) doğru parçası \( C \) köşesinin açıortayıdır.

\( \abs{BC} = 6, \abs{BD} = 4, \abs{AD} + \abs{AC} = 15 \)

olduğuna göre, \( \abs{AD} = x \) kaçtır?

Soru

\( \abs{AD} + \abs{AC} = 15 \) olduğu için \( \abs{AC} = 15 - x \) diyelim.

İç açıortay teoremini kullanalım.

\( \dfrac{\abs{CB}}{\abs{DB}} = \dfrac{\abs{CA}}{\abs{DA}} \)

\( \dfrac{6}{4} = \dfrac{15 - x}{x} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 6x = 60 - 4x \)

\( 10x = 60 \)

\( x = 6 \) bulunur.


SORU 4 :
Soru

\( [AC] \) doğrusu \( A \) köşesinin açıortayıdır.

\( \abs{CD} = x + 4, \abs{CB} = 2x - 4, \abs{AB} = 6 \)

olduğuna göre, \( \abs{AC} \) kaçtır?

Bir açıortayın herhangi bir noktasından açıortayın kollarına indirilen dikmelerin uzunlukları birbirine eşittir.

\( 2x - 4 = x + 4 \)

\( x = 8 \)

\( \abs{CB} \) uzunluğunu bulalım.

\( \abs{CB} = 2x - 4 = 12 \)

\( CBA \) dik üçgeninde Pisagor teoremini kullanalım.

\( \abs{AC}^2 = \abs{CB}^2 + \abs{BA}^2 \)

\( \abs{AC} = \sqrt{12^2 + 6^2} \)

\( = 6\sqrt{5} \) bulunur.


SORU 5 :
Soru

\( ADC \) üçgeninde \( [AB] \) doğru parçası \( A \) köşesinin dış açıortayıdır.

\( \abs{AC} = 12, \abs{AD} = 4, \abs{DC} = 6 \)

olduğuna göre, \( \abs{BD} = x \) kaçtır?

\( ADC \) üçgeni için dış açıortay teoremini kullanalım.

\( \dfrac{\abs{AD}}{\abs{AC}} = \dfrac{\abs{BD}}{\abs{BC}} \)

\( \dfrac{4}{12} = \dfrac{x}{6 + x} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 12x = 24 + 4x \)

\( 8x = 24 \)

\( x = 3 \) bulunur.


SORU 6 :
Soru

\( [AD] \) doğru parçası \( A \) köşesinin açıortayıdır.

\( [AB] \perp [BC], m(\widehat{ACB}) = 45° \)

\( \abs{DC} = 3\sqrt{2} \)

olduğuna göre, \( \abs{BD} = x \) kaçtır?

Soru

\( D \) noktasından \( [AC] \) kenarına bir dik indirelim.

\( [AD] \) açıortayından açıortayın kollarına indirilen diklerin uzunlukları eşit olur.

\( \abs{BD} = \abs{DE} = x \)

\( DEC \) dik üçgeni 45-45-90° üçgeni olduğu için ikizkenar üçgendir.

45-45-90° üçgeninde dik açının gördüğü kenar 45°'lik açının gördüğü kenarın \( \sqrt{2} \) katıdır.

\( \abs{ED} = x = 3 \) bulunur.


SORU 7 :
Soru

\( ABC \) üçgeninin çevresi 30 birim olup \( [AD] \) doğru parçası \( A \) köşesinin açıortayıdır.

\( \abs{AB} = 14, \abs{AC} = 6 \)

olduğuna göre, \( \abs{BD} = x \) kaçtır?

Soru

İç açıortay teoremini kullanarak \( [BD] \) ve \( [DC] \) kenar uzunluklarının oranını bulalım.

\( \dfrac{\abs{AB}}{\abs{AC}} = \dfrac{\abs{BD}}{\abs{DC}} \)

\( \dfrac{14}{6} = \dfrac{\abs{BD}}{\abs{DC}} \)

\(\abs{BD} = 7k, \abs{DC} = 3k \) diyelim.

\( ABC \) üçgenin çevresi 30 birimdir.

\( 14 + 6 + 7k + 3k = 30 \)

\( 20 + 10k = 30 \)

\( k = 1 \)

\( \abs{BD} = x = 7k = 7 \) bulunur.


SORU 8 :
Soru

\( ABC \) üçgeninde \( [BK] \) ve \( [CK] \) doğru parçaları sırasıyla \( B \) ve \( C \) köşelerinin açıortaylarıdır.

\( \abs{BC} = 19, \abs{CE} = 7, \abs{KE} = 5 \)

olduğuna göre, \( \abs{BK} = x \) kaçtır?

\( K \) noktasından \( [BC] \) kenarına bir dik indirelim.

Soru

\( [KD] \perp [BC] \)

Bir açıortay üzerindeki bir noktadan açıortayın kollarına indirilen dikmelerin uzunlukları birbirine eşittir.

\( \abs{KD} = \abs{KE} = 5 \)

Bu dikmelerin açıortayın kollarını kestiği noktalardan açıortayın köşesine olan uzunluklar da eşittir.

\( \abs{CD} = \abs{CE} = 7 \)

Bu durumda \( \abs{BD} = 12 \) olur.

Oluşan \( BDK \) üçgeni 5-12-13 özel üçgenidir.

\( \abs{BK} = x = 13 \) bulunur.


SORU 9 :
Soru

\( [AC] \) doğru parçası \( A \) köşesinin dış açıortayıdır.

\( \abs{AB} = 12, \abs{AD} = 8, \abs{DC} = 10 \)

olduğuna göre, \( \abs{AC} = x \) kaçtır?

Önce dış açıortay teoremini kullanarak \( y \) uzunluğunu bulalım.

\( \dfrac{\abs{AD}}{\abs{AB}} = \dfrac{\abs{CD}}{\abs{CB}} \)

\( \dfrac{8}{12} = \dfrac{10}{10 + y} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 120 = 80 + 8y \)

\( 8y = 40 \)

\( y = 5 \)

\( x \) uzunluğunu bulmak için dış açıortay uzunluk formülünü kullanalım.

\( x = \sqrt{\abs{CB} \cdot \abs{CD} - \abs{AB} \cdot \abs{AD}} \)

\( = \sqrt{15 \cdot 10 - 12 \cdot 8} \)

\( = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \) bulunur.


SORU 10 :
Soru

\( [BD] \) doğrusu \( B \) köşesinin açıortayıdır.

\( [BA] \perp [AD], \abs{DA} = 4 \)

\( \abs{BC} = 7, \abs{CD} = 5 \)

olduğuna göre, \( \abs{BD} = x \) kaçtır?

Açıortaydan açıortayın bir koluna indirilen dikin benzerini açıortayın diğer koluna da indirelim.

\( [DE] \perp [BE] \)

Soru

Bir açıortayın herhangi bir noktasından açıortayın kollarına indirilen dikmelerin uzunlukları birbirine eşittir.

\( \abs{AD} = \abs{DE} = 4 \)

Oluşan \( DEC \) üçgeni 3-4-5 özel üçgenidir.

\( \abs{CE} = 3 \)

\( [BE] = 7 + 3 = 10 \)

\( BED \) üçgeninde Pisagor teoremini kullanarak \( \abs{BD} \) uzunluğunu bulalım.

\( x^2 = \abs{BE}^2 + \abs{DE}^2 \)

\( x = \sqrt{10^2 + 4^2} \)

\( = 2\sqrt{29} \) bulunur.


SORU 11 :
Soru

\( [AD] \) doğru parçası \( A \) köşesinin açıortayıdır.

\( m(\widehat{ABC}) = 30°, m(\widehat{ACB}) = 45° \)

\( \abs{BD} = 6 \)

olduğuna göre, \( \abs{DC} = x \) kaçtır?

\( D \) noktasından açıortayın kollarına dikler indirelim.

Soru

\([DE] \perp [AB], [DF] \perp [AC] \)

\( BED \) üçgeni 30-60-90° üçgenidir ve 30°'lik açının gördüğü kenarın uzunluğu dik açının gördüğü kenarın uzunluğunun yarısına eşittir.

\(\abs{BD} = 6 \Longrightarrow \abs{ED} = 3 \)

Bir açıortay üzerindeki bir noktadan açıortayın kollarına indirilen dikmelerin uzunlukları birbirine eşittir.

\( \abs{DF} = \abs{ED} = 3 \)

\( DFC \) üçgeni 45-45-90° üçgenidir ve dik açının gördüğü kenarın uzunluğu 45°'lik açının açının gördüğü kenarın uzunluğunun \( \sqrt{2} \) katıdır.

\( \abs{DC} = x = 3\sqrt{2} \) bulunur.


« Önceki
Yükseklik
Sonraki »
Kenarortay