Üçgenin Çevresi ve Alanı

Üçgenin Çevresi

Üçgenin çevresi üçgenin üç kenar uzunluğunun toplamına eşittir.

$Ç (A B C) = a + b + c$

Benzer Üçgenlerin Çevresi

Benzer iki üçgenin çevrelerinin oranı üçgenlerin benzerlik oranına eşittir.

ve üçgenlerinin benzerlik oranı ise,

Üçgenin Alanı

Tabanı ve Yüksekliği Bilinen Üçgenin Alanı

Üçgenin alanı bir kenar uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.

İSPATI GÖSTER

DİK ÜÇGENİN ALANI:

Tabanı ve yüksekliği bilinen dik üçgenin alanı (ispat)

üçgeninin dik kenarlarına paralel doğrular çizdiğimizde yukarıdaki gibi bir dikdörtgen elde ederiz.

Dikdörtgenin alan formülünü yazalım.

Üçgenin kenarı dikdörtgenin köşegenidir ve dikdörtgenin alanını iki eşit parçaya böler.

Buna göre üçgeninin alanı aşağıdaki gibi olur.

DAR AÇILI ÜÇGENİN ALANI:

Tabanı ve yüksekliği bilinen dar açılı üçgenin alanı (ispat)

üçgeninin yüksekliği üçgeni ve üçgenleri olmak üzere iki dik üçgene ayırır.

üçgeninin alanı ve üçgenlerinin alanları toplamına eşittir.

Dik üçgenlerin alanlarını yukarıda bulduğumuz dik üçgen alan formülünü kullanarak yazalım.

GENİŞ AÇILI ÜÇGENİN ALANI:

Tabanı ve yüksekliği bilinen geniş açılı üçgenin alanı (ispat)

Geniş açılı köşenin iki kenarını uzatarak üçgeni bir dik üçgene tamamlayalım.

üçgeninin alanı ve dik üçgenlerinin alanları farkına eşittir.

Dik üçgenlerin alanlarını yukarıda bulduğumuz dik üçgen alan formülünü kullanarak yazalım.

İspatta hata bildirin

İki Kenar ve Arasındaki Açı Bilinen Üçgenin Alanı

İki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı bilinen üçgenin alanı sinüs alan formülü ile hesaplanabilir.

İki kenarı ve aralarındaki açı bilinen üçgenin alanı

İSPATI GÖSTER

İki kenarı ve aralarındaki açı bilinen üçgenin alanı (ispat)

üçgeninin alanını yazalım.

yüksekliğini açısının sinüsü cinsinden yazalım.

yüksekliğini alan formülünde yerine koyalım.

Benzer formülleri diğer köşeler için de yazabiliriz.

İspatta hata bildirin

Üç Kenarı Bilinen Üçgenin Alanı

Üç kenarının uzunluğu bilinen üçgenin alanı, Heron formülü olarak da bilinen aşağıdaki formülle hesaplanabilir.

üçgenin yarı çevresi olmak üzere,

ÖRNEK:

Kenar uzunlukları 5, 6 ve 7 br olan üçgenin alanı:

Üç Kenarı ve İç Teğet Çemberinin Yarıçapı Bilinen Üçgenin Alanı

Üç kenar uzunluğu ve iç teğet çemberinin yarıçapı () bilinen üçgenin alanı aşağıdaki formülle hesaplanır. Hatırlatma olarak, bir üçgende iç teğet çemberin merkezi iç açıortayların kesişim noktasıdır.

üçgenin yarı çevresi olmak üzere,

İSPATI GÖSTER

İç teğet çember ve üçgenin alanı (ispat)

İç teğet çemberin merkezi olan noktasından üçgenin köşelerine birer doğru çizelim.

üçgeninin alanı oluşan , ve üçgenlerinin alanları toplamına eşittir.

İç teğet çember üçgeninin kenarlarına teğet olduğu için yarıçap üç kenarı da dik keser, dolayısıyla aynı zamanda üç üçgenin de yüksekliğidir.

Buna göre üçgenlerin alanlarını aşağıdaki gibi yazabiliriz.

üçgeninin çevresinin yarısına dersek yukarıdaki alan formülünü cinsinden aşağıdaki gibi yazabiliriz.

İspatta hata bildirin

Üç Kenarı ve Çevrel Çemberinin Yarıçapı Bilinen Üçgenin Alanı

Üç kenarı ve çevrel çemberinin yarıçapı () bilinen üçgenin alanı aşağıdaki formülle hesaplanır. Hatırlatma olarak, bir üçgende çevrel çemberin merkezi orta dikmelerin kesişim noktasıdır.

İSPATI GÖSTER

Bu formülün ispatı için trigonometri teoremlerinde ispatını verdiğimiz aşağıdaki formülü kullanalım.

İki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı bilinen üçgenin alan formülünde bu değeri yerine koyalım.

İspatta hata bildirin

Analitik Düzlemde Üçgenin Alanı

Analitik düzlemde doğrusal olmayan üç noktanın oluşturduğu üçgenin alanı aşağıdaki formülle hesaplanır.

, ve noktalarının oluşturduğu üçgenin alanı:

İSPATI GÖSTER

Pozitif alan değeri elde etmek için , ve noktalarını üçgenin köşelerine saatin tersi yönünde yerleştirelim.

Üçgeni içine alan aşağıdaki gibi bir dikdörtgeni çizelim.

Üçgenin ve dikdörtgenin köşelerinin koordinatları ve köşe noktaları arası uzaklıklar şekilde belirtildiği gibi olur.

Dikdörtgenin içinde oluşan dört üçgenin alanlarına , , ve diyelim.

Alanını bulmak istediğimiz üçgenin alanını dikdörtgenin alanından diğer üç üçgenin alanını çıkarak bulabiliriz.

Dikdörtgenin alanını hesaplayalım.

Üçgenlerin alanlarını hesaplayalım.

Bu ifadeleri yukarıdaki üçgen alan formülünde yerlerine yazalım.

Bu işlemdeki sadeleştirmeleri yaptığımızda aşağıdaki formülü elde ederiz.

İspatta hata bildirin

Benzer Üçgenlerin Alanı

Benzer iki üçgenin alanlarının oranı üçgenlerin benzerlik oranının karesine eşittir.

ve üçgenlerinin benzerlik oranı ise,

Üçgenlerin Alanları Arasındaki İlişkiler

Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları bu yüksekliklerin ait olduğu kenarların uzunluklarıyla doğru orantılıdır.

Birer kenarı eşit olan üçgenlerin alanları bu kenara ait yüksekliklerle doğru orantılıdır.

Sinüs alan formülünün bir uygulaması olarak; bir üçgenin iki kenarı eşit parçalara bölündüğünde, tepe noktaları aynı olacak şekilde oluşan üçgenlerin alanları yan kenar uzunluk oranlarının çarpımı ile doğru orantılıdır.

üçgeninin alanı:

ise,

üçgeninin alanı:

Bu doğrultuda oluşan dörtgenlerin alanları aşağıdaki gibi bulunur.

dörtgeninin alanı:

Yukarıdaki kuralın özel bir durumu olarak; bir üçgenin iki kenarı da eşit sayıda parçalara bölündüğünde, tepe noktaları aynı olacak şekilde oluşan üçgen ve dörtgenlerin alanlarının oranı ardışık tek sayılarla orantılı olur.

Birbirine paralel iki doğrudan birinde tabanı, diğerinde tepe noktası bulunan üçgenlerin alanı, taban sabit kaldığı sürece birbirine eşittir. Bunun sebebi oluşan tüm üçgenlerin taban ve yükseklik uzunluklarının eşit olmasıdır.

olmak üzere,

SORU 1 :

Şekilde verilenlere göre dik yamuğunun alanı kaç olur?

Çözümü Göster

Dik yamuğun ve köşelerini birleştirelim ve köşesinden kenarına bir dik indirelim (mavi kesikli çizgiler).

Pisagor teoremini kullanarak uzunluğunu bulalım.

bir dikdörtgen olduğu için karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.

Pisagor teoremini kullanarak uzunluğunu bulalım.

Bu noktada dik yamuğun alanını doğru parçasının oluşturduğu iki üçgenin alanlarını toplayarak bulabiliriz.

bulunur.

Alternatif olarak alanı yamuk alan formülü ile de bulabiliriz.

bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin