Trigonometrik Fonksiyonların Tanım ve Görüntü Kümesi
Trigonometrik fonksiyonların tanım ve görüntü kümeleri aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.
| Fonksiyon | Tanım Kümesi | Görüntü Kümesi |
|---|---|---|
|
\( \sin{x} \) Grafik |
\( \mathbb{R} \) | \( [-1, 1] \) |
|
\( \cos{x} \) Grafik |
\( \mathbb{R} \) | \( [-1, 1] \) |
|
\( \tan{x} \) Grafik |
\( \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) | \( \mathbb{R} \) |
|
\( \cot{x} \) Grafik |
\( \mathbb{R} - \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) | \( \mathbb{R} \) |
|
\( \sec{x} \) Grafik |
\( \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) | \( \mathbb{R} - (-1, 1) \) |
|
\( \csc{x} \) Grafik |
\( \mathbb{R} - \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) | \( \mathbb{R} - (-1, 1) \) |
Bu tablo hakkında vurgulanabilecek iki nokta aşağıdaki gibidir.
- Trigonometrik fonksiyonlar periyodik oldukları için, en geniş tanım kümeleri sadece \( [0 - 2\pi) \) aralığını değil tanımsız oldukları değerler hariç tüm reel sayıları kapsar.
- Tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant fonksiyonlarının tanımsız olduğu değerler fonksiyonların her periyodunda tekrar eder.
\( f(x) = \dfrac{\tan{x}}{\frac{1}{2} - \sin{x}} \) olduğuna göre,
\( f(x) \) fonksiyonunun \( [0, 2\pi] \) aralığında tanımsız olduğu değerleri bulunuz.
Çözümü GösterRasyonel ifadenin paydasını sıfır yapan değerler fonksiyonu tanımsız yapar.
\( \dfrac{1}{2} - \sin{x} = 0 \)
\( \sin{x} = \dfrac{1}{2} \)
Bu eşitliği \( [0, 2\pi] \) aralığında sağlayan \( x \) değerleri \( \frac{\pi}{6} \) ve \( \frac{5\pi}{6} \)'dır.
Ayrıca tanjant fonksiyonunu tanımsız yapan değerler fonksiyonu tanımsız yapar.
\( \tan{x} \) ifadesinin \( [0, 2\pi] \) aralığında tanımsız olduğu \( x \) değerleri \( \frac{\pi}{2} \) ve \( \frac{3\pi}{2} \)'dir.
Buna göre \( [0, 2\pi] \) aralığındaki aşağıdaki \( x \) değerlerinde fonksiyon tanımsız olur.
\( x \in \{ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2} \} \)
\( f(x) = \sin^2{x} - 5\sin{x} + 6 \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü GösterFonksiyon tanımını tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazabilirsek o fonksiyonun görüntü kümesini kullanarak \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulabiliriz.
\( f(x) = \sin^2{x} - 5\sin{x} + \dfrac{25}{4} - \dfrac{1}{4} \)
\( = (\sin{x} - \dfrac{5}{2})^2 - \dfrac{1}{4} \)
Sinüs fonksiyonunun görüntü kümesini kullanarak \( f \)'in görüntü kümesini bulalım.
\( -1 \le \sin{x} \le 1 \)
Eşitsizliğin taraflarından \( \frac{5}{2} \) çıkaralım.
\( -\dfrac{7}{2} \le \sin{x} - \dfrac{5}{2} \le -\dfrac{3}{2} \)
Eşitsizliğin taraflarının karesini alalım.
\( \dfrac{9}{4} \le (\sin{x} - \dfrac{5}{2})^2 \le \dfrac{49}{4} \)
Eşitsizliğin taraflarından \( \frac{1}{4} \) çıkardığımızda \( f(x) \)'i elde ederiz.
\( 2 \le (\sin{x} - \dfrac{5}{2})^2 - \dfrac{1}{4} \le 12 \)
\( 2 \le f(x) \le 12 \)
Görüntü kümesi: \( f(x) = [2, 12] \)
\( f(x) = \dfrac{2}{3\sin{x} + 4} \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü GösterSinüs fonksiyonunun görüntü kümesini kullanarak \( f \)'in görüntü kümesini bulalım.
\( -1 \le \sin{x} \le 1 \)
Eşitsizliğin taraflarını 3 ile çarpalım.
\( -3 \le 3\sin{x} \le 3 \)
Eşitsizliğin taraflarına 4 ekleyelim.
\( 1 \le 3\sin{x} + 4 \le 7 \)
Eşitsizliğin tarafları aynı işaretli ise eşitsizliğin her iki tarafının çarpmaya göre tersi alındığında eşitsizlik yön değiştirir.
\( \dfrac{1}{7} \le \dfrac{1}{3\sin{x} + 4} \le 1 \)
Eşitsizliğin taraflarını 2 ile çarptığımızda \( f(x) \)'i elde ederiz.
\( \dfrac{2}{7} \le \dfrac{2}{3\sin{x} + 4} \le 2 \)
\( \dfrac{2}{7} \le f(x) \le 2 \)
Görüntü kümesi: \( f(x) = [\frac{2}{7}, 2] \)
\( f(x) = \abs{2\sin{x}} + \abs{2\cos{x}} \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( f(x) = 2\abs{\sin{x}} + 2\abs{\cos{x}} \)
İki mutlak değer ifadesinin toplamı negatif olamayacağı için \( f(x) \) de negatif değer alamaz.
Fonksiyon tanımını tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazabilirsek o fonksiyonun görüntü kümesini kullanarak \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulabiliriz.
Fonksiyon tanımının karesini alalım.
\( f^2(x) = (2\abs{\sin{x}} + 2\abs{\cos{x}})^2 \)
\( = 4\sin^2{x} + 4\cos^2{x} + 8\abs{\sin{x}}\abs{\cos{x}} \)
\( = 4(\sin^2{x} + \cos^2{x}) + 4\abs{2\sin{x}\cos{x}} \)
Pisagor özdeşliğini ve sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( = 4 + 4\abs{\sin(2x)} \)
Sinüs görüntü kümesini kullanarak \( f(x) \)'in görüntü kümesini bulalım.
\( -1 \le \sin(2x) \le 1 \)
\( 0 \le \abs{\sin(2x)} \le 1 \)
\( 0 \le 4\abs{\sin{2x}} \le 4 \)
\( 4 \le 4\abs{\sin{2x}} + 4 \le 8 \)
\( 4 \le f^2(x) \le 8 \)
Eşitsizliğin taraflarının karekökünü aldığımızda \( f(x) \)'i elde ederiz.
Birinci satırda \( f(x) \)'in negatif değer alamayacağını göstermiştik.
\( 2 \le f(x) \le 2\sqrt{2} \)
Görüntü kümesi: \( f(x) = [2, 2\sqrt{2}] \)
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = 2\cos^4{x} + 2\sin^2{x} \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü GösterFonksiyon tanımını tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazabilirsek o fonksiyonun görüntü kümesini kullanarak \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulabiliriz.
\( \cos^4{x} = \cos^2{x}(1 - \sin^2{x}) \) yazalım.
\( f(x) = 2\cos^2{x}(1 - \sin^2{x}) + 2\sin^2{x} \)
\( = 2\cos^2{x} - 2\sin^2{x}\cos^2{x} + 2\sin^2{x} \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = 2 - 2\sin^2{x}\cos^2{x} \)
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( = 2 - \dfrac{1}{2}(2\sin{x}\cos{x})^2 \)
\( = 2 - \dfrac{1}{2}\sin^2(2x) \)
Sinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alır.
\( -1 \le \sin(2x) \le 1 \)
\( 0 \le \sin^2(2x) \le 1 \)
\( 0 \le \dfrac{1}{2}\sin^2(2x) \le \dfrac{1}{2} \)
\( -\dfrac{1}{2} \le -\dfrac{1}{2}\sin^2(2x) \le 0 \)
Eşitsizliğin taraflarına 2 eklediğimizde \( f(x) \)'i elde ederiz.
\( \dfrac{3}{2} \le 2 - \dfrac{1}{2}\sin^2(2x) \le 2 \)
\( \dfrac{3}{2} \le f(x) \le 2 \)
Görüntü kümesi: \( f(x) = [\frac{3}{2}, 2] \)