Bölgeler Arası Dönüşümler
II., III. ya da IV. bölgedeki bir açının trigonometrik değerlerini I. bölgedeki, yani dar bir açı cinsinden bulmamızı sağlayan formüllere indirgeme formülleri denir.
Bölgeler ve İşaretler
Önceki bölümde birim çember üzerindeki bir \( A \) noktasının apsisinin o noktanın karşılık geldiği \( \alpha \) açısının kosinüs değerine, ordinatının da aynı açının sinüs değerine eşit olduğunu gördük.
Buna göre analitik düzlemin farklı bölgelerindeki noktaların apsis ve ordinat değerlerinin işareti, o bölgelerdeki açıların sinüs ve kosinüs değerlerinin işaretini de belirler. Apsis değerlerinin I. ve IV. bölgelerde pozitif, II. ve III. bölgelerde negatif, ordinat değerlerinin de I. ve II. bölgelerde pozitif, III. ve IV. bölgelerde negatif olduğunu düşünürsek sinüs ve kosinüs değerlerinin farklı bölgelerdeki işareti aşağıdaki gibi olur.
Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının işaretlerini kullanarak diğer 4 trigonometrik fonksiyonun farklı bölgelerdeki işaretlerini aşağıdaki şekilde belirleyebiliriz.
- Tanjant ve kotanjant fonksiyonları sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının oranı şeklinde yazılabildiği için işaretleri bu fonksiyonların her bölgedeki oranının işareti ile aynıdır.
- Sekant ve kosekant fonksiyonları sırasıyla kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının çarpmaya göre tersi olduğu için işaretleri bu fonksiyonların her bölgedeki işareti ile aynıdır.
Buna göre 6 trigonometrik fonksiyonun analitik düzlemin 4 bölgesindeki işaretleri aşağıdaki şekilde özetlenebilir.
Fonksiyonların farklı bölgelerdeki işaretlerini inceledikten sonra şimdi II., III. ve IV. bölgedeki açıların trigonometrik değerlerini I. bölgedeki bir açı cinsinden nasıl ifade edebileceğimizi görelim.
\( \pi \pm \alpha \) ve \( 2\pi - \alpha \) Formülleri
\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, dar olmayan bir açıyı \( \pi \pm \alpha \) ya da \( 2\pi - \alpha \) şeklinde yazarak bu açının trigonometrik değerlerini \( \alpha \) açısı cinsinden ifade edebiliriz. Bu yöntemde;
- Trigonometrik fonksiyon aynı kalır.
- Fonksiyonun açının bulunduğu bölgedeki işareti ifadenin önüne eklenir.
\( \sin{150°} = \sin(180° - 30°) \)
Sinüs II. bölgede pozitiftir.
\( = \sin{30°} \)
\( \cos{220°} = \cos(180° + 40°) \)
Kosinüs III. bölgede negatiftir.
\( = -\cos{40°} \)
\( \tan{310°} = \tan(360° - 50°) \)
Tanjant IV. bölgede negatiftir.
\( = -\tan{50°} \)
\( \csc{100°} = \csc(180° - 80°) \)
Kosekant II. bölgede pozitiftir.
\( = \csc{80°} \)
Şimdi bu formüllerin farklı bölgelerdeki noktaların eksenlere ve orijine göre simetri özelliklerini kullanarak nasıl türetildiğini inceleyelim.
II. Bölgeki Açılar
\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, II. bölgedeki \( \pi - \alpha \) açısı için sinüs ve kosinüs değerlerini bu açının I. bölgede \( y \) eksenine göre simetriği olan noktanın sinüs ve kosinüs değerleri cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \sin(\pi - \alpha) = \sin{\alpha} \)
\( \cos(\pi - \alpha) = -\cos{\alpha} \)
\( \sin{160°} = \sin(180° - 20°) = \sin{20°} \)
\( \cos{\frac{5\pi}{6}} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos{\frac{\pi}{6}} \)
Bu iki oranı kullanarak diğer 4 fonksiyon için de benzer formülleri yazabiliriz.
\( \tan(\pi - \alpha) = \dfrac{\sin(\pi - \alpha)}{\cos(\pi - \alpha)} \) \( = -\tan{\alpha} \)
\( \cot(\pi - \alpha) = \dfrac{\cos(\pi - \alpha)}{\sin(\pi - \alpha)} \) \( = -\cot{\alpha} \)
\( \sec(\pi - \alpha) = \dfrac{1}{\cos(\pi - \alpha)} \) \( = -\sec{\alpha} \)
\( \csc(\pi - \alpha) = \dfrac{1}{\sin(\pi - \alpha)} \) \( = \csc{\alpha} \)
III. Bölgeki Açılar
\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, III. bölgedeki \( \pi + \alpha \) açısı için sinüs ve kosinüs değerlerini bu açının I. bölgede orijine göre simetriği olan noktanın sinüs ve kosinüs değerleri cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \sin(\pi + \alpha) = -\sin{\alpha} \)
\( \cos(\pi + \alpha) = -\cos{\alpha} \)
\( \sin{250°} = \sin(180° + 70°) = -\sin{70°} \)
\( \cos{\frac{4\pi}{3}} = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos{\frac{\pi}{3}} \)
Bu iki oranı kullanarak diğer 4 fonksiyon için de benzer formülleri yazabiliriz.
\( \tan(\pi + \alpha) = \dfrac{\sin(\pi + \alpha)}{\cos(\pi + \alpha)} \) \( = \tan{\alpha} \)
\( \cot(\pi + \alpha) = \dfrac{\cos(\pi + \alpha)}{\sin(\pi + \alpha)} \) \( = \cot{\alpha} \)
\( \sec(\pi + \alpha) = \dfrac{1}{\cos(\pi + \alpha)} \) \( = -\sec{\alpha} \)
\( \csc(\pi + \alpha) = \dfrac{1}{\sin(\pi + \alpha)} \) \( = -\csc{\alpha} \)
IV. Bölgeki Açılar
\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, IV. bölgedeki \( 2\pi - \alpha \) açısı için sinüs ve kosinüs değerlerini bu açının I. bölgede \( x \) eksenine göre simetriği olan noktanın sinüs ve kosinüs değerleri cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \sin(2\pi - \alpha) = -\sin{\alpha} \)
\( \cos(2\pi - \alpha) = \cos{\alpha} \)
\( \sin{350°} = \sin(360° - 10°) = -\sin{10°} \)
\( \cos{\frac{11\pi}{6}} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{6}) = \cos{\frac{\pi}{6}} \)
Bu iki oranı kullanarak diğer 4 fonksiyon için de benzer formülleri yazabiliriz.
\( \tan(2\pi - \alpha) = \dfrac{\sin(2\pi - \alpha)}{\cos(2\pi - \alpha)} \) \( = -\tan{\alpha} \)
\( \cot(2\pi - \alpha) = \dfrac{\cos(2\pi - \alpha)}{\sin(2\pi - \alpha)} \) \( = -\cot{\alpha} \)
\( \sec(2\pi - \alpha) = \dfrac{1}{\cos(2\pi - \alpha)} \) \( = \sec{\alpha} \)
\( \csc(2\pi - \alpha) = \dfrac{1}{\sin(2\pi - \alpha)} \) \( = -\csc{\alpha} \)
\( \frac{\pi}{2} \pm \alpha \) ve \( \frac{3\pi}{2} \pm \alpha \) Formülleri
\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, dar olmayan bir açıyı \( \frac{\pi}{2} + \alpha \) ya da \( \frac{3\pi}{2} \pm \alpha \) şeklinde yazarak bu açının trigonometrik değerlerini \( \alpha \) açısı cinsinden ifade edebiliriz. Bu yöntemde;
- Trigonometrik fonksiyon sin - cos, tan - cot ve sec - csc olacak şekilde kendi aralarında yer değiştirir.
- Orijinal fonksiyonun (ilk maddede değiştirildiği fonksiyon değil) açının bulunduğu bölgedeki işareti ifadenin önüne eklenir.
\( \sin{150°} = \sin(90° + 60°) \)
Sinüs II. bölgede pozitiftir.
\( = \cos{60°} \)
\( \cos{220°} = \cos(270° - 50°) \)
Kosinüs III. bölgede negatiftir.
\( = -\sin{50°} \)
\( \tan{310°} = \tan(270° + 40°) \)
Tanjant IV. bölgede negatiftir.
\( = -\cot{40°} \)
\( \csc{100°} = \csc(90° + 10°) \)
Kosekant II. bölgede pozitiftir.
\( = \sec{10°} \)
Şimdi bu formüllerin farklı bölgelerdeki noktaların eksenlere ve orijine göre simetri özelliklerini kullanarak nasıl türetildiğini inceleyelim.
I. Bölge Dönüşümleri
\( A \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre simetriği olan \( A_1 \) noktasının \( x \) ekseni ile yaptığı yönlü açı \( \frac{\pi}{2} - \alpha \) olur. Noktanın \( y = x \) doğrusuna göre simetrisinden bu noktanın koordinatları \( A_1(\sin{\alpha}, \cos{\alpha}) \) olur.
\( \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos{\alpha} \)
\( \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin{\alpha} \)
\( \sin{75°} = \sin(90° - 15°) = \cos{15°} \)
\( \cos{\frac{\pi}{6}} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) = \sin{\frac{\pi}{3}} \)
Bu iki oranı kullanarak diğer 4 fonksiyon için de benzer formülleri yazabiliriz.
\( \tan(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \dfrac{\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)} \) \( = \cot{\alpha} \)
\( \cot(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \dfrac{\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)} \) \( = \tan{\alpha} \)
\( \sec(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \dfrac{1}{\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)} \) \( = \csc{\alpha} \)
\( \csc(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \dfrac{1}{\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)} \) \( = \sec{\alpha} \)
II. Bölge Dönüşümleri
\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, II. bölgedeki \( \frac{\pi}{2} + \alpha \) açısı için sinüs ve kosinüs değerlerini bu açının I. bölgede \( y \) eksenine göre simetriği olan noktanın sinüs ve kosinüs değerleri cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos{\alpha} \)
\( \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin{\alpha} \)
\( \sin{125°} = \sin(90° + 35°) = \cos{35°} \)
\( \cos{\frac{3\pi}{4}} = \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) = -\sin{\frac{\pi}{4}} \)
Bu iki oranı kullanarak diğer 4 fonksiyon için de benzer formülleri yazabiliriz.
\( \tan(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \dfrac{\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)} \) \( = -\cot{\alpha} \)
\( \cot(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \dfrac{\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)} \) \( = -\tan{\alpha} \)
\( \sec(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \dfrac{1}{\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)} \) \( = -\csc{\alpha} \)
\( \csc(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \dfrac{1}{\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)} \) \( = \sec{\alpha} \)
III. Bölge Dönüşümleri
\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, III. bölgedeki \( \frac{3\pi}{2} - \alpha \) açısı için sinüs ve kosinüs değerlerini bu açının I. bölgede orijine göre simetriği olan noktanın sinüs ve kosinüs değerleri cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos{\alpha} \)
\( \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin{\alpha} \)
\( \sin{220°} = \sin(270° - 50°) = -\cos{50°} \)
\( \cos{\frac{17\pi}{12}} = \cos(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{12}) = -\sin{\frac{\pi}{12}} \)
Bu iki oranı kullanarak diğer 4 fonksiyon için de benzer formülleri yazabiliriz.
\( \tan(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \dfrac{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)} \) \( = \cot{\alpha} \)
\( \cot(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \dfrac{\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)} \) \( = \tan{\alpha} \)
\( \sec(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \dfrac{1}{\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)} \) \( = -\csc{\alpha} \)
\( \csc(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \dfrac{1}{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)} \) \( = -\sec{\alpha} \)
IV. Bölge Dönüşümleri
\( \alpha \) bir dar açı olmak üzere, III. bölgedeki \( \frac{3\pi}{2} + \alpha \) açısı için sinüs ve kosinüs değerlerini bu açının I. bölgede \( x \) eksenine göre simetriği olan noktanın sinüs ve kosinüs değerleri cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos{\alpha} \)
\( \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin{\alpha} \)
\( \sin{305°} = \sin(270° + 35°) = -\cos{35°} \)
\( \cos{\frac{5\pi}{3}} = \cos(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) = \sin{\frac{\pi}{6}} \)
Bu iki oranı kullanarak diğer 4 fonksiyon için de benzer formülleri yazabiliriz.
\( \tan(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \dfrac{\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} \) \( = -\cot{\alpha} \)
\( \cot(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \dfrac{\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} \) \( = -\tan{\alpha} \)
\( \sec(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \dfrac{1}{\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} \) \( = \csc{\alpha} \)
\( \csc(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \dfrac{1}{\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)} \) \( = -\sec{\alpha} \)
Birbirini Tamamlayan Açılar
Birbirini belirli bir açıya tamamlayan açılar arasında aşağıdaki özdeşlikleri yazabiliriz.
Birbirini 90°'ye Tamamlayan Açılar
Birbirini 90°'ye tamamlayan (tümler) açılar arasında aşağıdaki dönüşümler geçerlidir.
\( \alpha + \beta =\dfrac{\pi}{2} \) olmak üzere,
\( \sin{\alpha} = \cos{\beta} \)
\( \tan{\alpha} = \cot{\beta} \)
\( \tan{55°} = \cot{35°} \)
Birbirini 180°'ye Tamamlayan Açılar
Birbirini 180°'ye tamamlayan (bütünler) açılar arasında aşağıdaki dönüşümler geçerlidir.
\( \alpha + \beta = \pi \) olmak üzere,
\( \sin{\alpha} = \sin{\beta} \)
\( \cos{\alpha} = -\cos{\beta} \)
\( \tan{\alpha} = -\tan{\beta} \)
\( \cot{\alpha} = -\cot{\beta} \)
\( \cos{130°} = -\cos{50°} \)
Birbirini 360°'ye Tamamlayan Açılar
Birbirini 360°'ye tamamlayan açılar arasında aşağıdaki dönüşümler geçerlidir.
\( \alpha + \beta = 2\pi \) olmak üzere,
\( \sin{\alpha} = -\sin{\beta} \)
\( \cos{\alpha} = \cos{\beta} \)
\( \tan{\alpha} = -\tan{\beta} \)
\( \cot{\alpha} = -\cot{\beta} \)
\( \sin{220°} = -\sin{140°} \)
Aşağıda verilen trigonometrik fonksiyonların değerini bulunuz.
(a) \( \sin{225°} \)
(b) \( \cos{210°} \)
(c) \( \cot{300°} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
225° III. bölgededir ve sinüs bu bölgede negatiftir.
\( \sin{225°} = \sin(180° + 45°) \)
\( = -\sin{45°} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
(b) seçeneği:
210° III. bölgededir ve kosinüs bu bölgede negatiftir.
\( \cos{210°} = -\cos(180° + 30°) \)
\( = -\cos{30°} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
(c) seçeneği:
300° IV. bölgededir ve kotanjant bu bölgede negatiftir.
\( \cot{300°} = \cot(360° - 60°) \)
\( = -\cot{60°} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
Aşağıda verilen trigonometrik fonksiyonların değerini bulunuz.
(a) \( \tan{\dfrac{11\pi}{6}} \)
(b) \( \cos{\dfrac{5\pi}{4}} \)
(c) \( \sin{\dfrac{5\pi}{6}} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \frac{11\pi}{6} \) IV. bölgededir ve tanjant bu bölgede negatiftir.
\( \tan{\dfrac{11\pi}{6}} = \tan(2\pi - \dfrac{\pi}{6}) \)
\( = -\tan{\dfrac{\pi}{6}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
(b) seçeneği:
\( \frac{5\pi}{4} \) III. bölgededir ve kosinüs bu bölgede negatiftir.
\( \cos{\dfrac{5\pi}{4}} = \cos(\pi + \dfrac{\pi}{4}) \)
\( = -\cos{\dfrac{\pi}{4}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
(c) seçeneği:
\( \frac{5\pi}{6} \) II. bölgededir ve sinüs bu bölgede pozitiftir.
\( \sin{\dfrac{5\pi}{6}} = \sin(\pi - \dfrac{\pi}{6}) \)
\( = \sin{\dfrac{\pi}{6}} = \dfrac{1}{2} \)
Aşağıda verilen trigonometrik fonksiyonları I. bölgedeki açılar cinsinden ifade ediniz.
(a) \( \sin{318°} \)
(b) \( \cot{265°} \)
(c) \( \cos{143°} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
318° IV. bölgededir ve sinüs bu bölgede negatiftir.
\( \sin{318°} = \sin(360° - 42°) \)
\( = -\sin{42°} \)
(b) seçeneği:
265° III. bölgededir ve kotanjant bu bölgede pozitiftir.
\( \cot{265°} = \cot(180° + 85°) \)
\( = \cot{85°} \)
(c) seçeneği:
143° II. bölgededir ve kosinüs bu bölgede negatiftir.
\( \cos{143°} = \cos(180° - 37°) \)
\( = -\cos{37°} \)
Aşağıda verilen trigonometrik fonksiyonları I. bölgedeki açılar cinsinden ifade ediniz.
(a) \( \tan{\dfrac{4\pi}{5}} \)
(b) \( \cos{\dfrac{17\pi}{10}} \)
(c) \( \sin{\dfrac{14\pi}{9}} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \frac{4\pi}{5} \) II. bölgededir ve tanjant bu bölgede negatiftir.
\( \tan{\dfrac{4\pi}{5}} = \tan(\pi - \dfrac{\pi}{5}) \)
\( = -\tan{\dfrac{\pi}{5}} \)
(b) seçeneği:
\( \frac{17\pi}{10} \) IV. bölgededir ve kosinüs bu bölgede pozitiftir.
\( \cos{\dfrac{17\pi}{10}} = \cos(2\pi - \dfrac{3\pi}{10}) \)
\( = \cos{\dfrac{3\pi}{10}} \)
(c) seçeneği:
\( \frac{14\pi}{9} \) IV. bölgededir ve sinüs bu bölgede negatiftir.
\( \sin{\dfrac{14\pi}{9}} = \sin(\dfrac{3\pi}{2} + \dfrac{\pi}{18}) \)
\( = -\cos{\dfrac{\pi}{18}} \)
Aşağıda verilen trigonometrik fonksiyonları I. bölgedeki açılar cinsinden ifade ediniz.
(a) \( \cos{944°} \)
(b) \( \cot{2789°} \)
(c) \( \tan{3557°} \)
Çözümü GösterÖncelikle verilen trigonometrik ifadelerdeki açıların esas ölçülerini bulalım.
Ölçüsü pozitif olan açıların esas ölçüsünü bulmak için açı ölçüsü 360°'ye bölünür. Bölme işleminin kalanı açının esas ölçüsüdür.
(a) seçeneği:
\( 944° = 2 \cdot 360° + 224° \)
Buna göre 944°'nin esas ölçüsü 224° olur.
\( \cos{944°} = \cos{224°} \)
224° III. bölgededir ve kosinüs bu bölgede negatiftir.
\( \cos{224°} = \cos(180° + 44°) \)
\( = -\cos{44°} \)
(b) seçeneği:
\( 2789° = 7 \cdot 360° + 269° \)
Buna göre 2789°'nin esas ölçüsü 269° olur.
\( \cot{2789°} = \cot{269°} \)
269° III. bölgededir ve kotanjant bu bölgede pozitiftir.
\( \cot{269°} = \cot(270° - 1°) \)
\( = \tan{1°} \)
(c) seçeneği:
\( 3557° = 9 \cdot 360° + 317° \)
Buna göre 3557°'nin esas ölçüsü 317° olur.
\( \tan{3557°} = \tan{317°} \)
317° IV. bölgededir ve tanjant bu bölgede negatiftir.
\( \tan{317°} = \tan(360° - 43°) \)
\( = -\tan{43°} \)
Aşağıda verilen trigonometrik fonksiyonları I. bölgedeki açılar cinsinden ifade ediniz.
(a) \( \tan{\dfrac{21\pi}{5}} \)
(b) \( \cos{\dfrac{39\pi}{7}} \)
(c) \( \sin{\dfrac{107\pi}{8}} \)
Çözümü GösterÖncelikle verilen trigonometrik ifadelerdeki açıların esas ölçülerini bulalım.
Ölçüsü pozitif olan açıların esas ölçüsünü bulmak için açı ölçüsü içindeki \( 2\pi \)'nin katı olan en büyük sayı çıkarılır. Eğer açı ölçüsü kesirli ise paydaki \( \pi \)'nin katsayısı paydanın 2 katına bölünerek kalan bulunur ve bu kalan paydaki katsayının yerine yazılır.
(a) seçeneği:
Paydaki katsayı olan 21'in paydanın iki katı olan 10'a bölümünden kalan 1 olduğu için esas ölçü \( \frac{\pi}{5} \) olur.
\( \dfrac{21\pi}{5} = 2 \cdot 2\pi + \dfrac{\pi}{5} \)
\( \tan{\dfrac{21\pi}{5}} = \tan{\dfrac{\pi}{5}} \)
\( \frac{\pi}{5} \) I. bölgededir.
\( = \tan{\dfrac{\pi}{5}} \)
(b) seçeneği:
Paydaki katsayı olan 39'un paydanın iki katı olan 14'e bölümünden kalan 11 olduğu için esas ölçü \( \frac{11\pi}{7} \) olur.
\( \dfrac{39\pi}{7} = 2 \cdot 2\pi + \dfrac{11\pi}{7} \)
\( \cos{\dfrac{39\pi}{7}} = \cos{\dfrac{11\pi}{7}} \)
\( \frac{11\pi}{7} \) IV. bölgededir ve kosinüs bu bölgede pozitiftir.
\( \cos{\dfrac{11\pi}{7}} = \cos(2\pi - \dfrac{3\pi}{7}) \)
\( = \cos{\dfrac{3\pi}{7}} \)
(c) seçeneği:
Paydaki katsayı olan 107'nin paydanın iki katı olan 16'ya bölümünden kalan 11 olduğu için esas ölçü \( \frac{11\pi}{8} \) olur.
\( \dfrac{107\pi}{8} = 6 \cdot 2\pi + \dfrac{11\pi}{8} \)
\( \sin{\dfrac{107\pi}{8}} = \sin{\dfrac{11\pi}{8}} \)
\( \frac{11\pi}{8} \) III. bölgededir ve sinüs bu bölgede negatiftir.
\( \sin{\dfrac{11\pi}{8}} = \sin(\pi + \dfrac{3\pi}{8}) \)
\( = -\sin{\dfrac{3\pi}{8}} \)
\( \cos{20°} = x \) ise,
\( \sin{110°} \)'nin \( x \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster\( 110° \) II. bölgededir ve sinüs bu bölgede pozitiftir.
\( \sin{110°} = \sin(180° - 70°) \)
\( = \sin{70°} \)
Tümler açıların sinüs ve kosinüs değerleri birbirine eşittir.
\( = \cos{20°} \)
\( = x \) bulunur.
\( \cos{70°} = x \) ise,
\( \sin(-160°) \)'nin \( x \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster\( -160° \)'nin esas ölçüsü \( -160 + 360 = 200° \) olur.
\( \sin(-160°) = \sin{200°} \)
\( 200° \) III. bölgededir ve sinüs bu bölgede negatiftir.
\( = \sin(180 + 20°) = -\sin{20°} \)
Tümler açıların sinüs ve kosinüs değerleri birbirine eşittir.
\( = -\cos{70°} \)
\( = -x \) bulunur.
\( 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \) olmak üzere,
Aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( \cos{(\frac{3\pi}{2} - x) = \sin(\pi - x)} \)
II. \( -\sin{(\frac{\pi}{2} + x)} = \sin{(\frac{3\pi}{2} - x)} \)
III. \( \tan{(2\pi - x)} = \cot{(\frac{\pi}{2} - x)} \)
IV. \( \sec{(\frac{3\pi}{2} + x)} = -\csc{(\pi - x)} \)
Çözümü Göster\( x \)'in dar açı olduğu bilgisini kullanarak trigonometrik dönüşümleri yapalım.
\( \cos{(\frac{3\pi}{2} - x)} = -\sin{x} \)
\( \sin{(\pi - x)} = \sin{x} \)
Bu durumda I. öncül yanlıştır.
\( -\sin{(\frac{\pi}{2} + x)} = -\cos{x} \)
\( \sin{(\frac{3\pi}{2} - x)} = -\cos{x} \)
Bu durumda II. öncül doğrudur.
\( \tan{(2\pi - x)} = -\tan{x} \)
\( \cot{(\frac{\pi}{2} - x)} = \tan{x} \)
Bu durumda III. öncül yanlıştır.
\( \sec{(\frac{3\pi}{2} + x)} = \dfrac{1}{\cos{(\frac{3\pi}{2} + x)}} = \dfrac{1}{\sin{x}} \)
\( -\csc{(\pi - x)} = \dfrac{1}{-\sin{(\pi - x)}} = -\dfrac{1}{\sin{x}} \)
Bu durumda IV. öncül yanlıştır.
Buna göre sadece II. öncül doğrudur.
\( x + y = \dfrac{\pi}{2} \) olduğuna göre,
\( \tan(3x + 4y) \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster\( \tan(3x + 4y) = \tan(3(x + y) + y) \)
\( = \tan(\frac{3\pi}{2} + y) \)
Tanjant IV. bölgede negatiftir.
\( = -\cot{y} \)
\( 0 \lt x \lt \frac{\pi}{2} \) olmak üzere,
Aşağıdakilerden hangilerinin değeri \( \sin(\pi + x) \) ile aynıdır?
I. \( \sin(-\pi - x) \)
II. \( -\sin(-x) \)
III. \( -\sin(\pi - x) \)
IV. \( \cos(\dfrac{\pi}{2} + x) \)
Çözümü GösterSinüs fonksiyonu üçüncü bölgede negatiftir.
\( \sin(\pi + x) = -\sin{x} \)
I. öncül
\( \sin(-\pi - x) = \sin[-(\pi + x)] \)
Sinüs fonksiyonu tek fonksiyondur.
\( = -\sin(\pi + x) = \sin{x} \)
II. öncül
\( -\sin(-x) = -(-\sin{x}) \)
\( = \sin{x} \)
III. öncül
Sinüs fonksiyonu ikinci bölgede pozitiftir.
\( -\sin(\pi - x) = -\sin{x} \)
IV. öncül
Kosinüs fonksiyonu ikinci bölgede negatiftir.
\( \cos(\dfrac{\pi}{2} + x) = -\sin{x} \)
Buna göre III. ve IV. öncüllerin değeri verilen ifadeye eşittir.
\( \cos{155°} = x \) ise,
\( \cos{205°} + \sin{655°} \) ifadesinin \( x \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster\( 155° \) II. bölgededir ve kosinüs bu bölgede negatiftir.
\( x = \cos{155°} = \cos(180° - 25°) \)
\( = -\cos{25°} \)
Buna göre \( \cos{25°} = -x \) olur.
\( 205° \) III. bölgededir ve kosinüs bu bölgede negatiftir.
\( \cos{205°} = \cos(180° + 25°) \)
\( = -\cos{25°} = -(-x) = x \)
\( 655° \)'nin esas ölçüsü \( 655 - 360 = 295° \) olur.
\( \sin{655°} = \sin{295°} \)
\( 295° \) IV. bölgededir ve sinüs bu bölgede negatiftir.
\( \sin{295°} = \sin(270° + 25°) \)
\( = -\cos{25°} = -(-x) = x \)
Soruda istenen ifadeyi \( x \) cinsinden yazalım.
\( \cos{205°} + \sin{655°} = x + x \)
\( = 2x \) bulunur.
Bir \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninin köşelerine ait açıların ölçüleri \( a \), \( b \) ve \( c \)'dir.
\( \cos(a + c) + \cos{b} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü GösterÜçgenin iç açıları toplamı 180°'dir.
\( a + b + c = 180° \)
\( a + c = 180° - b \)
Ölçüleri eşit açıların kosinüsleri de eşittir.
\( \cos(a + c) = \cos(180° - b) \)
Kosinüs II. bölgede negatiftir.
\( \cos(a + c) = -\cos{b} \)
Sorudaki ifadenin değerini bulalım.
\( \cos(a + c) + \cos{b} = -\cos{b} + \cos{b} = 0 \) bulunur.
\( 0 \lt x \lt 2 \pi \) olmak üzere,
\( \dfrac{\cos(\frac{3\pi}{2} + x)}{\cot(x - \frac{\pi}{2})} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \) olduğuna göre,
\( x \)'in alabileceği değerler nelerdir?
Çözümü Göster\( \cot(x - \frac{\pi}{2}) = \cot(x - \frac{\pi}{2} + 2\pi) \)
\( = \cot(\frac{3\pi}{2} + x) \)
\( \dfrac{\cos(\frac{3\pi}{2} + x)}{\cot(\frac{3\pi}{2} + x)} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
Kosinüs IV. bölgede pozitif, kotanjant IV. bölgede negatiftir.
\( \dfrac{\sin{x}}{-\tan{x}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \dfrac{\sin{x}}{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \cos{x} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
Kosinüs I. ve IV. bölgelerde pozitiftir.
\( x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\} \)
\( 2x - 3y = \pi \) olmak üzere,
\( \dfrac{\sin(2x - 4y)}{\cos(4x - 5y)} \)
ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü GösterSinüs ve kosinüs ifadelerinin içine \( y \) ekleyip çıkararak parantez içinde \( 2x - 3y \) elde etmeye çalışalım.
\( \dfrac{\sin(2x - 4y + y - y)}{\cos(4x - 5y + y - y)} \)
\( = \dfrac{\sin(2x - 3y - y)}{\cos(4x - 6y + y)} \)
\( = \dfrac{\sin(2x - 3y - y)}{\cos[2(2x - 3y) + y]} \)
\( 2x - 3y = \pi \) yazalım.
\( = \dfrac{\sin(\pi - y)}{\cos(2\pi + y)} \)
Sinüs II. bölgede pozitiftir.
\( = \dfrac{\sin{y}}{\cos{y}} = \tan{y} \) bulunur.
\( \dfrac{\sin(9\pi + x)}{\cos(\frac{43\pi}{2} + x)} + \dfrac{\tan(20\pi - x)}{\cot(x - \frac{39\pi}{2})} \)
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterTrigonometrik ifadelerin içindeki değerlerin esas ölçülerini yazalım.
\( \dfrac{\sin(\pi + x)}{\cos(\frac{3\pi}{2} + x)} + \dfrac{\tan(2\pi - x)}{\cot(x + \frac{\pi}{2})} \)
Bölgeler arası dönüşüm formüllerini kullanalım.
\( = \dfrac{-\sin{x}}{\sin{x}} + \dfrac{-\tan{x}}{-\tan{x}} \)
\( = -1 + 1 = 0 \) bulunur.
\( 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \) olmak üzere,
\( \tan(\frac{3\pi}{2} - x) = \dfrac{3}{4} \) eşitliği verildiğine göre,
\( \csc(\frac{\pi}{2} + x) \cdot \cot(\pi - x) \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü GösterTanjant III. bölgede pozitiftir.
\( \tan(\frac{3 \pi}{2} - x) = \cot{x} = \dfrac{3}{4} \)
\( x \) açısının kotanjantı \( \frac{3}{4} \) ise komşu kenara \( 3k \), karşı kenara \( 4k \) diyebiliriz, bu durumda hipotenüs Pisagor teoreminden \( 5k \) olur.
\( \sin{x} = \dfrac{4}{5} \)
\( \cos{x} = \dfrac{3}{5} \)
Sorulan ifadenin değerini bulalım.
\( \csc(\frac{\pi}{2} + x) \cdot \cot(\pi - x) \)
Kotanjant II. bölgede negatiftir.
\( = \dfrac{1}{\sin(\frac{\pi}{2} + x)} \cdot (-\cot{x}) \)
Sinüs II. bölgede pozitiftir.
\( = \dfrac{1}{\cos{x}} \cdot (-\cot{x}) \)
\( = \dfrac{1}{\frac{3}{5}} \cdot (-\dfrac{3}{4}) = -\dfrac{5}{4} \) bulunur.
\( \cos{\alpha} - \sin{\alpha} = 2\sqrt{3}\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) \)
olduğuna göre, \( \tan{\alpha} \) kaçtır?
Çözümü GösterSinüs III. bölgede negatiftir.
\( \cos{\alpha} - \sin{\alpha} = -2\sqrt{3}\cos{\alpha} \)
Tüm terimleri \( \cos{\alpha} \)'ya bölelim.
\( 1 - \dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = -2\sqrt{3} \)
\( 1 - \tan{\alpha} = -2\sqrt{3} \)
\( \tan{\alpha} = 1 + 2\sqrt{3} \) olarak bulunur.
\( a \), \( b \), \( c \) bir üçgenin iç açılarının ölçüleri olmak üzere,
\( \sin^2(90° + \frac{a}{2}) + \cos^2(\frac{b + c}{2}) \)
ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü GösterÜçgenin iç açıları toplamı 180°'dir.
\( a + b + c = 180° \)
\( \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{2} + \dfrac{c}{2} = 90° \)
\( \dfrac{b + c}{2} = 90° - \dfrac{a}{2} \)
Sorudaki ifadedeki terimleri sadeleştirelim.
Sinüs II. bölgede pozitiftir.
\( \sin(90° + \frac{a}{2}) = \cos{\frac{a}{2}} \)
Tümler açıların sinüs ve kosinüs değerleri birbirine eşittir.
\( \cos(\frac{b + c}{2}) = \cos(90° - \frac{a}{2}) = \sin{\frac{a}{2}} \)
Bulduğumuz değerleri soruda verilen ifadede yerine koyalım.
\( \sin^2(90° + \frac{a}{2}) + \cos^2(\frac{b + c}{2}) \)
\( = \cos^2{\frac{a}{2}} + \sin^2{\frac{a}{2}} \)
Sinüs ve kosinüs kare toplamı özdeşliğinden sonuç 1 olur.
\( = 1 \)
\( \dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \pi \) olmak üzere,
\( \sqrt{5} + 2\sec{x} = 0 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{\sin{x} - \cos{x}}{\cot{x}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( \sqrt{5} + 2\sec{x} = 0 \)
\( \sec{x} = -\dfrac{\sqrt{5}}{2} \)
\( \cos{x} = \dfrac{1}{\sec{x}} = -\dfrac{2}{\sqrt{5}} \)
\( x \) açısının sinüs değerini bulalım.
\( \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \)
\( \sin^2{x} + (-\dfrac{2}{\sqrt{5}})^2 = 1 \)
\( \sin^2{x} = \dfrac{1}{5} \)
\( x \) açısı II. bölgede bulunduğu için sinüs değeri pozitiftir.
\( \sin{x} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \)
\( x \) açısının kotanjant değerini bulalım.
\( \cot{x} = \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} \)
\( = \dfrac{-\frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = -2 \)
Sorudaki ifadenin değerini bulalım.
\( \dfrac{\sin{x} - \cos{x}}{\cot{x}} \) \( = \dfrac{\frac{1}{\sqrt{5}} - (-\frac{2}{\sqrt{5}})}{-2} \)
\( = \dfrac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{-2} = -\dfrac{3}{2\sqrt{5}} \)
Paydayı rasyonel hale getirelim.
\( = -\dfrac{3\sqrt{5}}{10} \) bulunur.
\( \pi \lt \alpha \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( 1 - \sqrt{5}\cos{\alpha} = 0 \) olduğuna göre,
\( (\sqrt{5}\csc{\alpha})^{-\tan{\alpha}} - \cot{\alpha} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 1 - \sqrt{5}\cos{\alpha} = 0 \)
\( \cos{\alpha} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \)
Kosinüs I. ve IV. bölgelerde pozitiftir. \( \pi \lt \alpha \lt 2\pi \) olduğuna göre \( \alpha \) açısı IV. bölgededir.
İstenen trigonometrik değerleri bulmak için bir dik üçgen çizelim.
\( \alpha \) açısının komşu kenarına \( k \), hipotenüse \( \sqrt{5}k \) dersek Pisagor teoremi ile karşı kenar \( 2k \) olarak bulunur.
Sinüs, kosekant, tanjant ve kotanjant IV. bölgede negatiftir.
\( \csc{\alpha} = -\dfrac{\sqrt{5}}{2} \)
\( \tan{\alpha} = -2 \)
\( \cot{\alpha} = -\dfrac{1}{2} \)
Bu değerleri ifadede yerine koyalım.
\( (\sqrt{5}\csc{\alpha})^{-\tan{\alpha}} - \cot{\alpha} \)
\( = (\sqrt{5} \cdot (-\dfrac{\sqrt{5}}{2}))^{-(-2)} - (-\dfrac{1}{2}) \)
\( = \dfrac{25}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{27}{4} \) olarak bulunur.
\( x \) bir dar açıdır.
\( 5\sin^2{x} + 2\cos^2{x} = \dfrac{11}{3} \) olduğuna göre,
\( \cot{x} + \tan{x} \) toplamı kaçtır?
Çözümü Gösterİfadede tek bir trigonometrik fonksiyon bırakmak için \( 5\sin^2{x} \) yerine \( 3\sin^2{x} + 2\sin^2{x} \) yazalım.
\( 3\sin^2{x} + 2\sin^2{x} + 2\cos^2{x} = \dfrac{11}{3} \)
\( 3\sin^2{x} + 2(\sin^2{x} + \cos^2{x}) = \dfrac{11}{3} \)
\( 3\sin^2{x} + 2 = \dfrac{11}{3} \)
\( 3\sin^2{x} = \dfrac{5}{3} \)
\( \sin^2{x} = \dfrac{5}{9} \)
\( \sin{x} \in \{-\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}\} \)
\( x \) dar açı olduğu için sinüs değeri pozitiftir.
\( \sin{x} = \dfrac{\sqrt{5}}{3} \)
\( x \) açısının tanjant ve kotanjant değerlerini bulmak için bir dik üçgen çizelim.
\( x \) açısının komşu kenarı Pisagor teoremi ile \( 2k \) olarak bulunur.
\( (\sqrt{5}k)^2 + (2k)^2 = (3k)^2 \)
\( \tan{x} = \dfrac{\sqrt{5}}{2} \)
\( \cot{x} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \)
Bulduğumuz değerleri istenen ifadede yerlerine koyalım.
\( \cot{x} + \tan{x} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} + \dfrac{\sqrt{5}}{2} \)
\( = \dfrac{4 + 5}{2\sqrt{5}} = \dfrac{9}{2\sqrt{5}} \)
\( = \dfrac{9\sqrt{5}}{10} \) bulunur.
\( ABCD \) bir karedir.
\( \abs{AE} = 3\abs{EB} \)
\( m(\widehat{BED}) = x \)
olduğuna göre, \( \sin{x} \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( \abs{EB} = a \) diyelim
\( \abs{AE} = 3\abs{EB} = 3a \) olur.
\( \abs{AD} = \abs{AB} = a + 3a = 4a \)
Pisagor teoremi ile \( \abs{DE} \) uzunluğunu bulalım.
\( \abs{DE} = \sqrt{(4a)^2 + (3a)^2} \)
\( = 5a \)
\( m(\widehat{AED}) = y \)
II. bölgede sinüs pozitif olduğu için bütünler açılar olan \( x \) ve \( y \)'nin sinüs değerleri eşittir.
\( \sin{x} = \sin(180° - y) = \sin{y} \)
\( = \dfrac{4a}{5a} = \dfrac{4}{5} \)
\( ABCD \) bir kare ve \( [BD] \) karenin bir köşegenidir.
\( \abs{DE} = 20, \abs{EB} = 4 \)
\( m(\widehat{BEC}) = x \) olduğuna göre, \( \cot{x} \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( C \) noktasından \( [BD] \) köşegenine bir dik indirelim. Bir karede köşegenler birbirini dik kestiği için bu dik doğrunun uzantısı aynı zamanda karenin \( [AC] \) köşegenidir.
Bir karede köşegenler birbirini ortalar.
\( \abs{DF} = \dfrac{20 + 4}{2} = 12 \)
\( \abs{FE} = 20 - 12 = 8 \)
\( m(\widehat{BDC}) = 45° \) olduğu için oluşan dik üçgen ikizkenar üçgendir.
\( \abs{FC} = 12 \)
\( m(\widehat{FEC}) = a \) diyelim.
\( a = 180° - x \)
Kotanjant dönüşüm formülünü kullanalım.
\( \cot{x} = \cot(180° - a) = -\cot{a} \)
\( = -\dfrac{8}{12} = -\dfrac{2}{3} \) bulunur.