Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometri üçgenlerin kenarları ve açıları arasındaki oranları inceler. Bu oranları hesaplamak için trigonometrik fonksiyonlar adını verdiğimiz fonksiyonlar kullanılır. Bir dik üçgenin üç kenarı arasında yazabileceğimiz altı farklı oran vardır ve bunların her biri için birer fonksiyon tanımlanmıştır.

Dik üçgen ve trigonometrik fonksiyonlar
Dik üçgen ve trigonometrik fonksiyonlar

Sinüs Fonksiyonu

Bir dik üçgende dik olmayan bir köşeye ait açısının karşı kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranına o açının sinüs değeri denir. Belirli bir açı ölçüsü için sinüs değerini hesaplayan fonksiyona sinüs fonksiyonu denir ve şeklinde gösterilir.

Kosinüs Fonksiyonu

Bir dik üçgende dik olmayan bir köşeye ait açısının komşu kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranına o açının kosinüs değeri denir. Belirli bir açı ölçüsü için kosinüs değerini hesaplayan fonksiyona kosinüs fonksiyonu denir ve şeklinde gösterilir.

Tanjant Fonksiyonu

Bir dik üçgende dik olmayan bir köşeye ait açısının karşı kenar uzunluğunun komşu kenar uzunluğuna oranına o açının tanjant değeri denir. Belirli bir açı ölçüsü için tanjant değerini hesaplayan fonksiyona tanjant fonksiyonu denir ve şeklinde gösterilir.

Tanjant fonksiyonu sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının oranına eşittir.

Kotanjant Fonksiyonu

Bir dik üçgende dik olmayan bir köşeye ait açısının komşu kenar uzunluğunun karşı kenar uzunluğuna oranına o açının kotanjant değeri denir. Belirli bir açı ölçüsü için kotanjant değerini hesaplayan fonksiyona kotanjant fonksiyonu denir ve şeklinde gösterilir.

Kotanjant fonksiyonu kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının oranına eşittir.

Tanjant ve kotanjant fonksiyonları birbirlerinin çarpmaya göre tersidir.

Sekant Fonksiyonu

Bir dik üçgende dik olmayan bir köşeye ait açısının hipotenüs uzunluğunun komşu kenar uzunluğuna oranına o açının sekant değeri denir. Belirli bir açı ölçüsü için sekant değerini hesaplayan fonksiyona sekant fonksiyonu denir ve şeklinde gösterilir.

Kosinüs ve sekant fonksiyonları birbirlerinin çarpmaya göre tersidir.

Kosekant Fonksiyonu

Bir dik üçgende dik olmayan köşeye ait bir açısının hipotenüs uzunluğunun karşı kenar uzunluğuna oranına o açının kosekant değeri denir. Belirli bir açı ölçüsü için kosekant değerini hesaplayan fonksiyona kosekant fonksiyonu denir ve şeklinde gösterilir.

Sinüs ve kosekant fonksiyonları birbirlerinin çarpmaya göre tersidir.

Trigonometrik Oranlar

Bir dik üçgende kenar uzunlukları arasındaki oranlar sadece açısına bağlı olarak değişir ve üçgenin büyüklüğünden bağımsızdır. Bir başka deyişle, üçgenin açıları aynı kalmak koşuluyla kenar uzunlukları artırıldığında/azaltıldığında uzunlukların birbirine oranı değişmez.

Benzer üçgenlerde kenarların uzunluklarının oranı
Benzer üçgenlerde kenarların uzunluklarının oranı

Fonksiyonlarda Açı Ölçü Birimi

Trigonometrik fonksiyonlarda açı ölçü birimi olarak derece ya da radyan kullanılabilir. Kullanılan birimin net bir şekilde belirtilmediği durumlarda aşağıdaki noktalara dikkat edilmelidir.

  • : Derece işareti kullanıldığı durumlarda birim derecedir.
  • : Derece işareti kullanılmadığı durumlarda birim radyan olarak kabul edilebilir.
  • : Bir değişkenin kullanıldığı ve birimle ilgili bir bilgi verilmediği durumlarda birimin radyan olduğu kabul edilmelidir.
SORU 1 :

Aşağıda farklı iki kenar uzunluğu verilen dik üçgenlerde ilgili açı için altı trigonometrik oranı hesaplayın.

(a) Karşı kenar: 3, komşu kenar: 9

(b) Karşı kenar: , hipotenüs:

(c) Komşu kenar: , hipotenüs:

(a) seçeneği:

Karşı kenar: 3, komşu kenar: 9

Pisagor teoremi ile hipotenüs uzunluğunu bulalım.

Soru

Altı trigonometrik oranı bulalım.

(b) seçeneği:

Karşı kenar: , hipotenüs:

Pisagor teoremi ile komşu kenar uzunluğunu bulalım.

Soru

Altı trigonometrik oranı bulalım.

(c) seçeneği:

Komşu kenar: , hipotenüs:

Pisagor teoremi ile karşı kenar uzunluğunu bulalım.

Soru

Altı trigonometrik oranı bulalım.

SORU 2 :

Aşağıda bir trigonometrik oranı verilen açı için diğer trigonometrik oranları hesaplayın.

(a)

(b)

(c)

(a) seçeneği:

açısının komşu kenar uzunluğuna 2 birim, hipotenüs uzunluğuna 3 birim diyelim.

Pisagor teoremi ile karşı kenar uzunluğunu bulalım.

Soru

Diğer trigonometrik oranları bulalım.

(b) seçeneği:

açısının komşu kenar uzunluğuna 3 birim, karşı kenar uzunluğuna 1 birim diyelim.

Pisagor teoremi ile hipotenüs uzunluğunu bulalım.

Soru

Diğer trigonometrik oranları bulalım.

(c) seçeneği:

açısının hipotenüs uzunluğuna birim, komşu kenar uzunluğuna 2 birim diyelim.

Pisagor teoremi ile karşı kenar uzunluğunu bulalım.

Soru

Diğer trigonometrik oranları bulalım.

SORU 3 :

olduğuna göre, kaçtır?

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

Sinüs/kosinüs oranı tanjanta eşittir.

bulunur.

SORU 4 :

olduğuna göre,

ifadesi kaça eşittir?

ifadesini eşitliğin sol tarafına alalım.

Bir açısının tanjant değeri 4 olan bir dik üçgen çizelim.

Soru

Yukarıdaki üçgeni kullanarak değeri istenen trigonometrik oranları bulalım.

Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.

bulunur.

SORU 5 :

olduğuna göre,

ifadesinin ve cinsinden eşiti nedir?

Verilen tanjant değerini bir üçgen üzerinde karşı kenar uzunluğunun komşu kenar uzunluğuna oranı şeklinde gösterelim.

Soru

Hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremi ile ve cinsinden bulalım.

Sinüs değeri karşı kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranına eşittir.

Kosinüs değeri komşu kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranına eşittir.

Bu iki değeri istenen ifadede yerine koyalım.

bulunur.

SORU 6 :

olmak üzere,

olduğuna göre, kaçtır?

Tanjant ve kotanjant ifadelerini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.

Bir açının kotanjantı 3 ise komşu kenara , karşı kenara diyebiliriz.

Soru

Pisagor teoremi ile dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulalım.

bulunur.

SORU 7 :

olmak üzere,

veriliyor.

Buna göre, 'in cinsinden değeri nedir?

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

bulunur.

SORU 8 :

olduğuna göre,

ifadesinin değeri kaçtır?

İfadeleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.

Parantezi genişletelim.

Kosinüs fonksiyonunun çarpmaya göre tersi sekant fonksiyonudur.

bulunur.

SORU 9 :

olmak üzere,

olduğuna göre, değeri kaçtır?

Bir üslü eşitlikte tabanlar aynı ve 0, 1 ve -1'den farklıysa üsler birbirine eşittir.

bulunur.

SORU 10 :
Soru

üçgeninde verilenlere göre değeri kaçtır?

Soru

köşesinden tabana bir dik indirelim (mavi kesikli çizgi). Çizdiğimiz bu doğru parçası tabana ait yüksekliktir.

ikizkenar üçgen olduğu için bu yükseklik aynı zamanda kenarortaydır.

Kotanjant değeri komşu kenar uzunluğunun karşı kenar uzunluğuna oranına eşittir.

bulunur.

SORU 11 :
Soru

Yukarıdaki gibi dar açılı bir üçgeninde her zaman olduğunu gösterin.

Soru

köşesinden kenarına bir dik çizelim (mavi kesikli çizgi).

ve diyelim.

ve açılarına ait kosinüs oranlarını yazalım.

ve değerlerini yerine koyalım.

bulunur.

SORU 12 :
Soru

Kenar uzunlukları birim ve birim olan dikdörtgeni doğru parçası boyunca şekildeki gibi katlandığında noktası noktasına gelmektedir.

Buna göre, kaçtır?

Pisagor Teoremi ile uzunluğunu bulalım.

Soru

ve açıları kendi aralarında, ve açıları da kendi aralarında tümler açılar oldukları için, ve açılarının ölçüleri eşittir.

üçgeni için:

Sekant değeri hipotenüs uzunluğunun komşu kenar uzunluğuna oranına eşittir.

bulunur.

SORU 13 :

Aşağıda bir merdivenin bir duvar ve zemindeki iki farklı konumu verilmiştir.

Soru

Merdivenin zemin ile yaptığı açı 1. konumda , 2. konumda olmaktadır.

Buna göre, çarpımı kaçtır?

Merdivenin uzunluğuna diyelim.

uzunluğunu 1. konumu kullanarak Pisagor Teoremi ile bulalım.

cm

Merdivenin uzunluğu 2. konumda da aynı olur. Yine Pisagor Teoremi'ni kullanarak 2. konumda merdivenin yerden yüksekliğini bulalım.

cm

Oluşan üçgenlerin kenar uzunluklarını kullanarak istenen trigonometrik oranları bulalım.

bulunur.

SORU 14 :

dik üçgeninin kenarları arasında aşağıdaki bağıntı bulunuyor.

Buna göre kaçtır?

Tüm terimleri eşitliğin sol tarafına alalım.

Terimlerin katsayılarını inceleyelim.

İfadeyi düzenleyelim.

Reel sayı bir ifadenin karesi negatif olamayacağı için yukarıdaki toplamın sıfır olabilmesi için terimlerin tümü sıfır olmalıdır.

dersek ve olarak bulunur.

Bu dik üçgen çizerek bulduğumuz kenar uzunluklarını yazalım. en uzun kenar olduğu için hipotenüse karşılık gelir.

Soru

İstenen trigonometrik oranları bulalım.

Bu değerleri istenen ifadede yerlerine koyalım.

bulunur.

SORU 15 :
Soru

bir yamuktur.

Şekilde verilen bilgilere göre ifadesinin sonucu kaçtır?

kenarına paralel bir doğrusu çizelim.

Soru

dörtgeni bir paralelkenar olur.

Buna göre olur.

Oluşan üçgeni 6-8-10 özel üçgeni olduğu için olur.

dik üçgeninde açısını kullanarak istenen sinüs ve kosinüs değerlerini bulalım.

bulunur.

« Önceki
Yönlü Açılar
Sonraki »
Temel Trigonometrik Özdeşlikler

Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır