Trigonometrik Fonksiyonlar
Trigonometri üçgenlerin kenarları ve açıları arasındaki oranları inceler. Bu oranları hesaplamak için trigonometrik fonksiyonlar adını verdiğimiz fonksiyonlar kullanılır. Bir dik üçgenin üç kenarı arasında yazabileceğimiz altı farklı oran vardır ve bunların her biri için birer fonksiyon tanımlanmıştır.
Sinüs Fonksiyonu
Bir dik üçgende dik olmayan bir köşeye ait \( x \) açısının karşı kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranına o açının sinüs değeri denir. Belirli bir açı ölçüsü için sinüs değerini hesaplayan fonksiyona sinüs fonksiyonu denir ve \( \sin{x} \) şeklinde gösterilir.
\( \sin: \mathbb{R} \to [-1, 1] \)
\( \sin{x} = \dfrac{\text{karşı kenar}}{\text{hipotenüs}} = \dfrac{b}{a} \)
\( \sin{x} = \dfrac{3}{5} \)
Kosinüs Fonksiyonu
Bir dik üçgende dik olmayan bir köşeye ait \( x \) açısının komşu kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranına o açının kosinüs değeri denir. Belirli bir açı ölçüsü için kosinüs değerini hesaplayan fonksiyona kosinüs fonksiyonu denir ve \( \cos{x} \) şeklinde gösterilir.
\( \cos: \mathbb{R} \to [-1, 1] \)
\( \cos{x} = \dfrac{\text{komşu kenar}}{\text{hipotenüs}} = \dfrac{c}{a} \)
\( \cos{x} = \dfrac{4}{5} \)
Tanjant Fonksiyonu
Bir dik üçgende dik olmayan bir köşeye ait \( x \) açısının karşı kenar uzunluğunun komşu kenar uzunluğuna oranına o açının tanjant değeri denir. Belirli bir açı ölçüsü için tanjant değerini hesaplayan fonksiyona tanjant fonksiyonu denir ve \( \tan{x} \) şeklinde gösterilir.
\( \tan: \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \to \mathbb{R} \)
\( \tan{x} = \dfrac{\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}} = \dfrac{b}{c} \)
\( \tan{y} = \dfrac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \)
Tanjant fonksiyonu sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının oranına eşittir.
\( \tan{x} = \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = \dfrac{\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = \dfrac{b}{c} \)
Kotanjant Fonksiyonu
Bir dik üçgende dik olmayan bir köşeye ait \( x \) açısının komşu kenar uzunluğunun karşı kenar uzunluğuna oranına o açının kotanjant değeri denir. Belirli bir açı ölçüsü için kotanjant değerini hesaplayan fonksiyona kotanjant fonksiyonu denir ve \( \cot{x} \) şeklinde gösterilir.
\( \cot: \mathbb{R} - \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \to \mathbb{R} \)
\( \cot{x} = \dfrac{\text{komşu kenar}}{\text{karşı kenar}} = \dfrac{c}{b} \)
\( \cot{y} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
Kotanjant fonksiyonu kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının oranına eşittir.
\( \cot{x} = \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} = \dfrac{\frac{c}{a}}{\frac{b}{a}} = \dfrac{c}{b} \)
Tanjant ve kotanjant fonksiyonları birbirlerinin çarpmaya göre tersidir.
\( \tan{x} \cdot \cot{x} = \dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{b} = 1 \)
\( \cot{x} = \dfrac{1}{\tan{x}} \)
Sekant Fonksiyonu
Bir dik üçgende dik olmayan bir köşeye ait \( x \) açısının hipotenüs uzunluğunun komşu kenar uzunluğuna oranına o açının sekant değeri denir. Belirli bir açı ölçüsü için sekant değerini hesaplayan fonksiyona sekant fonksiyonu denir ve \( \sec{x} \) şeklinde gösterilir.
\( \sec: \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \to \mathbb{R} - (-1, 1) \)
\( \sec{x} = \dfrac{\text{hipotenüs}}{\text{komşu kenar}} = \dfrac{a}{c} \)
\( \sec{x} = \dfrac{5}{4} \)
Kosinüs ve sekant fonksiyonları birbirlerinin çarpmaya göre tersidir.
\( \cos{x} \cdot \sec{x} = \dfrac{c}{a} \cdot \dfrac{a}{c} = 1 \)
\( \sec{x} = \dfrac{1}{\cos{x}} \)
Kosekant Fonksiyonu
Bir dik üçgende dik olmayan köşeye ait bir \( x \) açısının hipotenüs uzunluğunun karşı kenar uzunluğuna oranına o açının kosekant değeri denir. Belirli bir açı ölçüsü için kosekant değerini hesaplayan fonksiyona kosekant fonksiyonu denir ve \( \csc{x} \) şeklinde gösterilir.
\( \csc: \mathbb{R} - \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \to \mathbb{R} - (-1, 1) \)
\( \csc{x} = \dfrac{\text{hipotenüs}}{\text{karşı kenar}} = \dfrac{a}{b} \)
\( \csc{x} = \dfrac{5}{3} \)
Sinüs ve kosekant fonksiyonları birbirlerinin çarpmaya göre tersidir.
\( \sin{x} \cdot \csc{x} = \dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{a}{b} = 1 \)
\( \csc{x} = \dfrac{1}{\sin{x}} \)
Trigonometrik Oranlar
Bir dik üçgende kenar uzunlukları arasındaki oranlar sadece \( x \) açısına bağlı olarak değişir ve üçgenin büyüklüğünden bağımsızdır. Bir başka deyişle, üçgenin açıları aynı kalmak koşuluyla kenar uzunlukları artırıldığında/azaltıldığında uzunlukların birbirine oranı değişmez.
\( \sin{x} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{12}{20} \)
\( \cos{x} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{16}{20} \)
\( \tan{x} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{12}{16} \)
\( \widehat{A} \) açısı dik açı olan \( ABC \) üçgeninde \( \widehat{B} \) açısının sinüs değeri \( \frac{1}{3} \) olduğuna göre, \( \widehat{C} \) açısı için altı trigonometrik fonksiyon değerini bulalım.
\( \sin{\widehat{B}} = \dfrac{1}{3} \)
Buna göre \( \widehat{B} \) açısının karşı kenar uzunluğuna \( b = k \) birim, hipotenüs uzunluğuna \( a = 3k \) birim diyebiliriz.
Komşu kenar uzunluğunu Pisagor teoremi ile bulalım.
\( a^2 = b^2 + c^2 \)
\( c = \sqrt{a^2 - b^2} \)
\( = \sqrt{(3k)^2 - k^2} = 2\sqrt{2}k \)
Buna göre \( ABC \) üçgeni aşağıdaki gibi olur.
\( \widehat{C} \) açısı için fonksiyon değerlerini hesaplayalım.
\( \sin{\widehat{C}} = \dfrac{2\sqrt{2}k}{3k} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \)
\( \cos{\widehat{C}} = \dfrac{k}{3k} = \dfrac{1}{3} \)
\( \tan{\widehat{C}} = \dfrac{2\sqrt{2}k}{k} = 2\sqrt{2} \)
\( \cot{\widehat{C}} = \dfrac{k}{2\sqrt{2}k} = \dfrac{\sqrt{2}}{4} \)
\( \sec{\widehat{C}} = \dfrac{3k}{k} = 3 \)
\( \csc{\widehat{C}} = \dfrac{3k}{2\sqrt{2}k} = \dfrac{3\sqrt{2}}{4} \)
Fonksiyonlarda Açı Ölçü Birimi
Trigonometrik fonksiyonlarda açı ölçü birimi olarak derece ya da radyan kullanılabilir. Kullanılan birimin net bir şekilde belirtilmediği durumlarda aşağıdaki noktalara dikkat edilmelidir.
- \( \sin{30°} \): Derece işareti kullanıldığı durumlarda birim derecedir.
- \( \cos{\pi} \): Derece işareti kullanılmadığı durumlarda birim radyan olarak kabul edilebilir.
- \( \tan{x} \): Bir değişkenin kullanıldığı ve birimle ilgili bir bilgi verilmediği durumlarda birimin radyan olduğu kabul edilmelidir.
Aşağıda farklı iki kenar uzunluğu verilen dik üçgenlerde ilgili açı için altı trigonometrik oranı hesaplayın.
(a) Karşı kenar: 3, komşu kenar: 9
(b) Karşı kenar: \( 6\sqrt{3} \), hipotenüs: \( 8\sqrt{2} \)
(c) Komşu kenar: \( \frac{1}{10} \), hipotenüs: \( \frac{1}{9} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
Karşı kenar: 3, komşu kenar: 9
Pisagor teoremi ile hipotenüs uzunluğunu bulalım.
\( a^2 = b^2 + c^2 \)
\( a^2 = 3^2 + 9^2 \)
\( a = 3\sqrt{10} \)
Altı trigonometrik oranı bulalım.
\( \sin{x} = \dfrac{3}{3\sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{10}}{10} \)
\( \cos{x} = \dfrac{9}{3\sqrt{10}} = \dfrac{3\sqrt{10}}{10} \)
\( \tan{x} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} \)
\( \cot{x} = \dfrac{9}{3} = 3 \)
\( \sec{x} = \dfrac{3\sqrt{10}}{9} = \dfrac{\sqrt{10}}{3} \)
\( \csc{x} = \dfrac{3\sqrt{10}}{3} = \sqrt{10} \)
(b) seçeneği:
Karşı kenar: \( 6\sqrt{3} \), hipotenüs: \( 8\sqrt{2} \)
Pisagor teoremi ile komşu kenar uzunluğunu bulalım.
\( a^2 = b^2 + c^2 \)
\( (8\sqrt{2})^2 = (6\sqrt{3})^2 + c^2 \)
\( c = 2\sqrt{5} \)
Altı trigonometrik oranı bulalım.
\( \sin{x} = \dfrac{6\sqrt{3}}{8\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{6}}{8} \)
\( \cos{x} = \dfrac{2\sqrt{5}}{8\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{10}}{8} \)
\( \tan{x} = \dfrac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{5}} = \dfrac{3\sqrt{15}}{5} \)
\( \cot{x} = \dfrac{2\sqrt{5}}{6\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{15}}{9} \)
\( \sec{x} = \dfrac{8\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} = \dfrac{4\sqrt{10}}{5} \)
\( \csc{x} = \dfrac{8\sqrt{2}}{6\sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{6}}{9} \)
(c) seçeneği:
Komşu kenar: \( \dfrac{1}{10} \), hipotenüs: \( \dfrac{1}{9} \)
Pisagor teoremi ile karşı kenar uzunluğunu bulalım.
\( a^2 = b^2 + c^2 \)
\( (\dfrac{1}{9})^2 = b^2 + (\dfrac{1}{10})^2 \)
\( b = \dfrac{\sqrt{19}}{90} \)
Altı trigonometrik oranı bulalım.
\( \sin{x} = \dfrac{\frac{\sqrt{19}}{90}}{\frac{1}{9}} = \dfrac{\sqrt{19}}{10} \)
\( \cos{x} = \dfrac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{9}} = \dfrac{9}{10} \)
\( \tan{x} = \dfrac{\frac{\sqrt{19}}{90}}{\frac{1}{10}} = \dfrac{\sqrt{19}}{9} \)
\( \cot{x} = \dfrac{\frac{1}{10}}{\frac{\sqrt{19}}{90}} = \dfrac{9\sqrt{19}}{19} \)
\( \sec{x} = \dfrac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{10}} = \dfrac{10}{9} \)
\( \csc{x} = \dfrac{\frac{1}{9}}{\frac{\sqrt{19}}{90}} = \dfrac{10\sqrt{19}}{19} \)
Aşağıda bir trigonometrik oranı verilen açı için diğer trigonometrik oranları hesaplayın.
(a) \( \cos{x} = \dfrac{2}{3} \)
(b) \( \cot{y} = 3 \)
(c) \( \sec{z} = \dfrac{\sqrt{7}}{2} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \cos{x} = \dfrac{2}{3} \)
\( x \) açısının komşu kenar uzunluğuna 2 birim, hipotenüs uzunluğuna 3 birim diyelim.
Pisagor teoremi ile karşı kenar uzunluğunu bulalım.
\( a^2 = b^2 + c^2 \)
\( 3^2 = 2^2 + c^2 \)
\( c = \sqrt{5} \)
Diğer trigonometrik oranları bulalım.
\( \sin{x} = \dfrac{\sqrt{5}}{3} \)
\( \tan{x} = \dfrac{\sqrt{5}}{2} \)
\( \cot{x} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5} \)
\( \sec{x} = \dfrac{3}{2} \)
\( \csc{x} = \dfrac{3}{\sqrt{5}} = \dfrac{3\sqrt{5}}{5} \)
(b) seçeneği:
\( \cot{y} = 3 \)
\( y \) açısının komşu kenar uzunluğuna 3 birim, karşı kenar uzunluğuna 1 birim diyelim.
Pisagor teoremi ile hipotenüs uzunluğunu bulalım.
\( a^2 = b^2 + c^2 \)
\( a^2 = 3^2 + 1^2 \)
\( a = \sqrt{10} \)
Diğer trigonometrik oranları bulalım.
\( \sin{y} = \dfrac{1}{\sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{10}}{10} \)
\( \cos{y} = \dfrac{3}{\sqrt{10}} = \dfrac{3\sqrt{10}}{10} \)
\( \tan{y} = \dfrac{1}{3} \)
\( \sec{y} = \dfrac{\sqrt{10}}{3} \)
\( \csc{y} = \dfrac{\sqrt{10}}{1} = \sqrt{10} \)
(c) seçeneği:
\( \sec{z} = \dfrac{\sqrt{7}}{2} \)
\( z \) açısının hipotenüs uzunluğuna \( \sqrt{7} \) birim, komşu kenar uzunluğuna 2 birim diyelim.
Pisagor teoremi ile karşı kenar uzunluğunu bulalım.
\( (\sqrt{7})^2 = b^2 + 2^2 \)
\( b = \sqrt{3} \)
Diğer trigonometrik oranları bulalım.
\( \sin{z} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \dfrac{\sqrt{21}}{7} \)
\( \cos{z} = \dfrac{2}{\sqrt{7}} = \dfrac{2\sqrt{7}}{7} \)
\( \tan{z} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \cot{z} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \)
\( \csc{z} = \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{21}}{3} \)
\( \dfrac{3 \sin{x} - 2 \cos{x}}{2 \cos{x} + 2 \sin{x}} = \dfrac{1}{3} \)
olduğuna göre, \( \tan{x} \) kaçtır?
Çözümü Gösterİçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 9\sin{x} - 6\cos{x} = 2\cos{x} + 2\sin{x} \)
\( 7\sin{x} = 8\cos{x} \)
\( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = \dfrac{8}{7} \)
Sinüs/kosinüs oranı tanjanta eşittir.
\( \tan{x} = \dfrac{8}{7} \) bulunur.
\( \sin{x} = 4\cos{x} \) olduğuna göre,
\( \sec{x}\csc{x} \) ifadesi kaça eşittir?
Çözümü Göster\( \cos{x} \) ifadesini eşitliğin sol tarafına alalım.
\( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = 4 \)
\( \tan{x} = 4 \)
Bir açısının tanjant değeri 4 olan bir dik üçgen çizelim.
Yukarıdaki üçgeni kullanarak değeri istenen trigonometrik oranları bulalım.
\( \sec{x} = \dfrac{\sqrt{17}}{1} = \sqrt{17} \)
\( \csc{x} = \dfrac{\sqrt{17}}{4} \)
Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \sec{x}\csc{x} = \sqrt{17} \cdot \dfrac{\sqrt{17}}{4} \)
\( = \dfrac{17}{4} \) bulunur.
\( \tan{x} = \dfrac{k}{t} \) olduğuna göre,
\( \sin{x} - \cos{x} \) ifadesinin \( k \) ve \( t \) cinsinden eşiti nedir?
Çözümü GösterVerilen tanjant değerini bir üçgen üzerinde karşı kenar uzunluğunun komşu kenar uzunluğuna oranı şeklinde gösterelim.
Hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremi ile \( k \) ve \( t \) cinsinden bulalım.
\( \abs{BC} = \sqrt{k^2 + t^2} \)
Sinüs değeri karşı kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranına eşittir.
\( \sin{x} = \dfrac{k}{\sqrt{k^2 + t^2}} \)
Kosinüs değeri komşu kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranına eşittir.
\( \cos{x} = \dfrac{t}{\sqrt{k^2 + t^2}} \)
Bu iki değeri istenen ifadede yerine koyalım.
\( \sin{x} - \cos{x} = \dfrac{k}{\sqrt{k^2 + t^2}} - \dfrac{t}{\sqrt{k^2 + t^2}} \)
\( = \dfrac{k - t}{\sqrt{k^2 + t^2}} \) bulunur.
\( x \in (0, \frac{\pi}{2}) \) olmak üzere,
\( \dfrac{1 + \cot{x}}{1 + \tan{x}} = 3 \) olduğuna göre, \( \cos{x} \) kaçtır?
Çözümü GösterTanjant ve kotanjant ifadelerini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{1 + \frac{\cos{x}}{\sin{x}}}{1 + \frac{\sin{x}}{\cos{x}}} = 3 \)
\( \dfrac{\frac{\sin{x} + \cos{x}}{\sin{x}}}{\frac{\cos{x + \sin{x}}}{\cos{x}}} = 3 \)
\( \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} = 3 \)
\( \cot{x} = 3 \)
Bir açının kotanjantı 3 ise komşu kenara \( 3k \), karşı kenara \( k \) diyebiliriz.
Pisagor teoremi ile dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulalım.
\( \abs{BC}^2 = k^2 + (3k)^2 \)
\( \abs{BC} = \sqrt{10}k \)
\( \cos{x} = \dfrac{3k}{\sqrt{10k}} \)
\( = \dfrac{3\sqrt{10}}{10} \) bulunur.
\( m \in \mathbb{R} - \{ -1, 1 \} \) olmak üzere,
\( \dfrac{\sin{x} + \cos{x}}{\sin{x} - \cos{x}} = m \) veriliyor.
Buna göre, \( \cot{x} \)'in \( m \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Gösterİçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( \sin{x} + \cos{x} = m(\sin{x} - \cos{x}) \)
\( \sin{x} + \cos{x} = m\sin{x} - m\cos{x} \)
\( m\sin{x} - \sin{x} = m\cos{x} + \cos{x} \)
\( \sin{x}(m - 1) = \cos{x}(m + 1) \)
\( \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} = \dfrac{m - 1}{m + 1} \)
\( \cot{x} = \dfrac{m - 1}{m + 1} \) bulunur.
\( \csc{x}(\sin{x} - \tan{x}) = -2 \) olduğuna göre,
\( \sec{x} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Gösterİfadeleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{1}{\sin{x}}(\sin{x} - \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}) = -2 \)
Parantezi genişletelim.
\( 1 - \dfrac{1}{\cos{x}} = -2 \)
\( \dfrac{1}{\cos{x}} = 3 \)
Kosinüs fonksiyonunun çarpmaya göre tersi sekant fonksiyonudur.
\( \dfrac{1}{\cos{x}} = \sec{x} = 3 \) bulunur.
\( 0 \lt x \lt \frac{\pi}{2} \) olmak üzere,
\( \sqrt{5}^{\sin{x}} = 125^{\cos{x}} \)
olduğuna göre, \( \tan{x} \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( (5^{\frac{1}{2}})^{\sin{x}} = (5^3)^{\cos{x}} \)
\( 5^{\frac{\sin{x}}{2}} = 5^{3\cos{x}} \)
Bir üslü eşitlikte tabanlar aynı ve 0, 1 ve -1'den farklıysa üsler birbirine eşittir.
\( \dfrac{\sin{x}}{2} = 3\cos{x} \)
\( \sin{x} = 6\cos{x} \)
\( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = 6 \)
\( \tan{x} = 6 \) bulunur.
\( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninde verilenlere göre \( \cot{x} \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( A \) köşesinden tabana bir dik indirelim (mavi kesikli çizgi). Çizdiğimiz bu doğru parçası tabana ait yüksekliktir.
\( [AH] \perp [BC] \)
\( \overset{\triangle}{ABC} \) ikizkenar üçgen olduğu için bu yükseklik aynı zamanda kenarortaydır.
\( \abs{BH} = \abs{HC} = \dfrac{18 + 6}{2} = 12 \)
\( \abs{HD} = 6 \)
Kotanjant değeri komşu kenar uzunluğunun karşı kenar uzunluğuna oranına eşittir.
\( \cot{x} = \dfrac{\abs{HD}}{\abs{AH}} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3} \) bulunur.
Yukarıdaki gibi dar açılı bir \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninde her zaman \( b \cdot \cos{\hat{A}} + a \cdot \cos{\hat{B}} = c \) olduğunu gösterin.
Çözümü Göster
\( C \) köşesinden \( [AB] \) kenarına bir dik çizelim (mavi kesikli çizgi).
\( [CH] \perp [AB] \)
\( [AH] = x \) ve \( [HB] = y \) diyelim.
\( \hat{A} \) ve \( \hat{B} \) açılarına ait kosinüs oranlarını yazalım.
\( \cos{\hat{A}} = \dfrac{x}{b} \Longrightarrow x = b \cdot \cos{\hat{A}} \)
\( \cos{\hat{B}} = \dfrac{y}{a} \Longrightarrow y = a \cdot \cos{\hat{B}} \)
\( x + y = c \)
\( x \) ve \( y \) değerlerini yerine koyalım.
\( b \cdot \cos{\hat{A}} + a \cdot \cos{\hat{B}} = c \) bulunur.
Kenar uzunlukları \( 16 \) birim ve \( 20 \) birim olan \( ABCD \) dikdörtgeni \( [DE] \) doğru parçası boyunca şekildeki gibi katlandığında \( A \) noktası \( F \) noktasına gelmektedir.
Buna göre, \( \sec{x} \) kaçtır?
Çözümü Göster\( \abs{DA} = \abs{DF} = 20 \)
Pisagor Teoremi ile \( \abs{CF} \) uzunluğunu bulalım.
\( \abs{DC}^2 + \abs{CF}^2 = \abs{DF}^2 \)
\( \abs{CF} = \sqrt{20^2 - 16^2} = 12 \)
\( \widehat{FEB} \) ve \( \widehat{EFB} \) açıları kendi aralarında, \( \widehat{EFB} \) ve \( \widehat{DFC} \) açıları da kendi aralarında tümler açılar oldukları için, \( \widehat{FEB} \) ve \( \widehat{DFC} \) açılarının ölçüleri eşittir.
\( m(\widehat{DFC}) = m(\widehat{FEB}) = x \)
\( \overset{\triangle}{DFC} \) üçgeni için:
Sekant değeri hipotenüs uzunluğunun komşu kenar uzunluğuna oranına eşittir.
\( \sec{x} = \dfrac{\abs{DF}}{\abs{CF}} \)
\( = \dfrac{20}{12} = \dfrac{5}{3} \) bulunur.
Aşağıda bir merdivenin bir duvar ve zemindeki iki farklı konumu verilmiştir.
Merdivenin zemin ile yaptığı açı 1. konumda \( x \), 2. konumda \( y \) olmaktadır.
Buna göre, \( \sin{x} \cdot \tan{y} \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterMerdivenin uzunluğuna \( a \) diyelim.
\( a \) uzunluğunu 1. konumu kullanarak Pisagor Teoremi ile bulalım.
\( 150^2 + 200^2 = a^2 \)
\( a = 250 \) cm
Merdivenin uzunluğu 2. konumda da aynı olur. Yine Pisagor Teoremi'ni kullanarak 2. konumda merdivenin yerden yüksekliğini bulalım.
\( h^2 + 240^2 = 250^2 \)
\( h = \sqrt{250^2 - 240^2} = 70 \) cm
Oluşan üçgenlerin kenar uzunluklarını kullanarak istenen trigonometrik oranları bulalım.
\( \sin{x} = \dfrac{200}{250} = \dfrac{4}{5} \)
\( \tan{y} = \dfrac{70}{240} = \dfrac{7}{24} \)
\( \sin{x} \cdot \tan{y} = \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{7}{24} \)
\( = \dfrac{7}{30} \) bulunur.
\( ABC \) dik üçgeninin kenarları arasında aşağıdaki bağıntı bulunuyor.
\( 34a^2 + 25b^2 + 41c^2 = 40ab + 24ac + 30bc \)
Buna göre \( \tan{\hat{A}} - \sin{\hat{C}} \) kaçtır?
Çözümü GösterTüm terimleri eşitliğin sol tarafına alalım.
\( 34a^2 + 25b^2 + 41c^2 - 40ab - 24ac - 30bc = 0 \)
Terimlerin katsayılarını inceleyelim.
\( (9 + 25)a^2 + (9 + 16)b^2 + (16 + 25)c^2 - 40ab - 24ac - 30bc = 0 \)
\( (9 + 25)a^2 + (9 + 16)b^2 + (16 + 25)c^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5ab - 2 \cdot 3 \cdot 4ac - 2 \cdot 3 \cdot 5bc = 0 \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( (9a^2 - 24ac + 16c^2) + (25a^2 - 40ab + 16b^2) + (9b^2 - 30bc + 25c^2) = 0 \)
\( (3a - 4c)^2 + (5a - 4b)^2 + (3b - 5c)^2 = 0 \)
Reel sayı bir ifadenin karesi negatif olamayacağı için yukarıdaki toplamın sıfır olabilmesi için terimlerin tümü sıfır olmalıdır.
\( 3a - 4c = 0 \Longrightarrow 3a = 4c \)
\( 5a - 4b = 0 \Longrightarrow 5a = 4b \)
\( 3b - 5c = 0 \Longrightarrow 3b = 5c \)
\( c = 3k \) dersek \( a = 4k \) ve \( b = 5k \) olarak bulunur.
Bu dik üçgen çizerek bulduğumuz kenar uzunluklarını yazalım. \( 5k \) en uzun kenar olduğu için hipotenüse karşılık gelir.
İstenen trigonometrik oranları bulalım.
\( \tan{\hat{A}} = \dfrac{4k}{3k} = \dfrac{4}{3} \)
\( \sin{\hat{C}} = \dfrac{3k}{5k} = \dfrac{3}{5} \)
Bu değerleri istenen ifadede yerlerine koyalım.
\( \tan{\hat{A}} - \sin{\hat{C}} = \dfrac{4}{3} - \dfrac{3}{5} \)
\( = \dfrac{11}{15} \) bulunur.
\( ABCD \) bir yamuktur.
Şekilde verilen bilgilere göre \( \sin{x} + \cos{x} \) ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( [AD] \) kenarına paralel bir \( [EC] \) doğrusu çizelim.
\( AECD \) dörtgeni bir paralelkenar olur.
\( \abs{EC} = \abs{AD} = 8 \)
\( \abs{AE} = \abs{DC} = 2 \)
\( m(\widehat{DAE}) = m(\widehat{CEB}) = x \)
Buna göre \( \abs{EB} = 10 \) olur.
Oluşan \( ECB \) üçgeni 6-8-10 özel üçgeni olduğu için \( m(\widehat{ECB}) = 90° \) olur.
\( ECB \) dik üçgeninde \( \widehat{CEB} \) açısını kullanarak istenen sinüs ve kosinüs değerlerini bulalım.
\( \sin{x} + \cos{x} = \dfrac{6}{10} + \dfrac{8}{10} \)
\( = \dfrac{7}{5} \) bulunur.