Birim Çember
Analitik düzlemde merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember denir. Merkezi \( O(0, 0) \) noktası olan birim çember eksenleri \( A(1, 0) \), \( B(0, 1) \), \( C(-1, 0) \) ve \( D(0, -1) \) noktalarında keser.
Birim çemberin denklemi merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çember denklemidir.
\( x^2 + y^2 = 1 \)
Birim çemberin trigonometride önemli bir yerinin olmasının bazı sebepleri şunlardır.
- Açıların başlangıç kenarını sabitleyerek (aşağıdaki şekilde \( [OA \) ışını), tüm açıları ve trigonometrik değerlerini standart bir şekilde inceleyebilmemizi ve karşılaştırabilmemizi sağlar.
- Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları üzerinden trigonometrik fonksiyonların değerlerini belirleyebiliriz.
- Birim çemberi kullanarak dar olmayan açıların trigonometrik değerlerini dar açılar cinsinden ifade edebiliriz.
- Kullandığımız pek çok trigonometrik özdeşliği birim çember üzerinde geometrik olarak türetebiliriz.
Sinüs ve Kosinüs Değerleri
Belirli bir \(\alpha \) açısının bitim kolu olan \( [OE \) ışınının birim çemberi kestiği \( E \) noktasının koordinatlarını \( \alpha \) açısı cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( E \) noktasının apsis ve ordinat değerleri \( \abs{OF} \) ve \( \abs{OG} \) olmak üzere,
\( \cos{\alpha} = \dfrac{\abs{OF}}{\abs{OE}} = \dfrac{\abs{OF}}{1} = \abs{OF} \)
Buna göre \( E \) noktasının apsis değeri \( \cos{\alpha} \)'ya eşit olur.
\( \sin{\alpha} = \dfrac{\abs{EF}}{\abs{OE}} = \dfrac{\abs{OG}}{1} = \abs{OG} \)
Buna göre \( E \) noktasının ordinat değeri \( \sin{\alpha} \)'ya eşit olur.
Dolayısıyla \( E \) noktasının koordinatlarını \( E(\cos{\alpha}, \sin{\alpha}) \) şeklinde yazabiliriz.
Birim çemberin eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını, bu noktaların karşılık geldikleri açıların sinüs ve kosinüs değerleri cinsinden yazarak bu formülü doğrulayabiliriz.
\( A(\cos{0°}, \sin{0°}) = A(1, 0) \)
\( B(\cos{90°}, \sin{90°}) = B(0, 1) \)
\( C(\cos{180°}, \sin{180°}) = C(-1, 0) \)
\( D(\cos{270°}, \sin{270°}) = D(0, -1) \)
\( E \) noktasının orijin ve \( x \) ekseni ile birlikte oluşturduğu \( OFE \) dik üçgeninde Pisagor bağıntısı yazdığımızda trigonometrinin Pisagor özdeşliğini elde ederiz.
\( \abs{EF} = \sin{\alpha} \)
\( \abs{OF} = \cos{\alpha} \)
\( \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1^2 = 1 \)
Ayrıca birim çember üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarını yukarıda paylaştığımız birim çember denkleminde yerine koyduğumuzda denklemin her zaman sağlandığını görebiliriz.
\( E(\cos{\alpha}, \sin{\alpha}) \) birim çember üzerinde bir nokta olmak üzere,
Birim çemberin denklemi: \( x^2 + y^2 = 1 \)
\( (\cos{\alpha})^2 + (\sin{\alpha})^2 = 1 \)
Yarıçap uzunluğu tüm birim çember üzerinde 1 birim olduğu ve \( E \) noktasının koordinatları diğer bölgelerde negatif olsa da koordinat değerlerinin kareleri alındığı için, Pisagor özdeşliği analitik düzlemin dört bölgesindeki açılar için de geçerlidir.
Sinüs ve Kosinüs Eksenleri
Bir açının birim çember üzerinde karşılık geldiği noktanın ordinat değeri, yani \( y \) ekseni üzerindeki izdüşümünün orijinden yönlü uzaklığı o açının sinüs değerini verdiği için, \( y \) eksenine sinüs ekseni de denir. \( \alpha \) açısı \( [0, 2\pi] \) aralığında farklı değerler aldıkça bu uzunluk \( [-1, 1] \) aralığında değer alabileceği için sinüs fonksiyonunun değer aralığı da \( [-1, 1] \) olur.
Aşağıdaki şekilde 4 bölgedeki birer açı için sinüs değerleri sinüs ekseni üzerinde gösterilmiştir.
Bir açının birim çember üzerinde karşılık geldiği noktanın apsis değeri, yani \( x \) ekseni üzerindeki izdüşümünün orijinden yönlü uzaklığı o açının kosinüs değerini verdiği için, \( x \) eksenine kosinüs ekseni de denir. \( \alpha \) açısı \( [0, 2\pi] \) aralığında farklı değerler aldıkça bu uzunluk \( [-1, 1] \) aralığında değer alabileceği için kosinüs fonksiyonunun değer aralığı da \( [-1, 1] \) olur.
Aşağıdaki şekilde 4 bölgedeki birer açı için kosinüs değerleri kosinüs ekseni üzerinde gösterilmiştir.
Tanjant Değeri
Belirli bir \(\alpha \) açısının bitim kolu olan \( [OE \) ışınının \( x = 1 \) doğrusunu kestiği \( F \) noktasının koordinatlarını \( \alpha \) açısı cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( F \) noktasının ordinat değeri \( \abs{FA} \) olmak üzere,
\( \tan{\alpha} = \dfrac{\abs{FA}}{\abs{OA}} = \dfrac{\abs{FA}}{1} = \abs{FA} \)
Buna göre \( F \) noktasının koordinatları \( F(1, \tan{\alpha}) \) olur.
Tanjant Ekseni
Bir açının bitim kolunun \( x = 1 \) doğrusunu kestiği noktanın \( x \) ekseninden yönlü uzaklığı o açının tanjant değerini verdiği için, \( x = 1 \) doğrusuna tanjant ekseni de denir. \( \alpha \) açısı \( [0, 2\pi] \) aralığında farklı değerler aldıkça bu uzunluk \( (-\infty, \infty) \) aralığında değer alabileceği için tanjant fonksiyonunun değer aralığı da \( (-\infty, \infty) \) olur.
Aşağıdaki şekilde 4 bölgedeki birer açı için tanjant değerleri tanjant ekseni üzerinde gösterilmiştir.
Kotanjant Değeri
Belirli bir \(\alpha \) açısının bitim kolu olan \( [OE \) ışınının \( y = 1 \) doğrusunu kestiği \( G \) noktasının koordinatlarını \( \alpha \) açısı cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( G \) noktasının apsis değeri \( \abs{BG} \) olmak üzere,
\( \cot{\alpha} = \dfrac{\abs{BG}}{\abs{BO}} = \dfrac{\abs{BG}}{1} = \abs{BG} \)
Buna göre \( G \) noktasının koordinatları \(G(\cot{\alpha}, 1)\) olur.
Kotanjant Ekseni
Bir açının bitim kolunun \( y = 1 \) doğrusunu kestiği noktanın \( y \) ekseninden yönlü uzaklığı o açının kotanjant değerini verdiği için, \( y = 1 \) doğrusuna kotanjant ekseni de denir. \( \alpha \) açısı \( [0, 2\pi] \) aralığında farklı değerler aldıkça bu uzunluk \( (-\infty, \infty) \) aralığında değer alabileceği için kotanjant fonksiyonunun değer aralığı da \( (-\infty, \infty) \) olur.
Aşağıdaki şekilde 4 bölgedeki birer açı için kotanjant değerleri kotanjant ekseni üzerinde gösterilmiştir.
Sekant ve Kosekant Değerleri
Belirli bir \(\alpha \) açısının bitim kolu olan \( [OE \) ışınının birim çemberi kestiği \( E \) noktasında çembere çizilen teğet doğrunun \( x \) eksenini kestiği \( H \) noktasının koordinatlarını \( \alpha \) açısı cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( H \) noktasının apsis değeri \( \abs{OH} \) olmak üzere,
\( \sec{\alpha} = \dfrac{\abs{OH}}{\abs{OE}} = \dfrac{\abs{OH}}{1} = \abs{OH} \)
Buna göre \( H \) noktasının koordinatları \( H(\sec{\alpha}, 0) \) olur.
Aynı teğet doğrunun \( y \) eksenini kestiği \( K \) noktasının koordinatlarını \( \alpha \) açısı cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( K \) noktasının ordinat değeri \( \abs{KO} \) olmak üzere,
\( \csc{\alpha} = \dfrac{\abs{KO}}{\abs{OE}} = \dfrac{\abs{KO}}{1} = \abs{KO} \)
Buna göre \( K \) noktasının koordinatları \( K(0, \csc{\alpha}) \) olur.
Birim Çember ve Sık Kullanılan Açılar
En sık kullanılan açıların derece ve radyan karşılıkları aşağıdaki şekilde birim çember üzerinde gösterilmiştir. Bu açıların derece ve radyan karşılıklarının ve her birinin trigonometrik fonksiyon değerlerinin bilinmesi ya da hızlı bir şekilde hesaplanabilmesi oldukça önemlidir.
\( (a + 4)x^2 + (3b + 3)xy + (c - 5)y^2 = 1 \)
denklemi bir birim çember belirttiğine göre, \( \dfrac{a - b}{c} \) kaçtır?
Çözümü GösterBirim çemberin denklemi aşağıdaki gibidir.
\( x^2 + y^2 = 1 \)
Verilen denklem bu denkleme eşit olacak şekilde katsayıları eşitleyelim.
\( a + 4 = 1 \Longrightarrow a = -3 \)
\( c - 5 = 1 \Longrightarrow c = 6 \)
Çember denkleminde \( xy \)'li bir terim olamaz.
\( 3b + 3 = 0 \Longrightarrow b = -1 \)
Bu değerleri soruda verilen ifadede yerine yazalım.
\( \dfrac{a - b}{c} = \dfrac{-3 - (-1)}{6} \)
\( = -\dfrac{1}{3} \) bulunur.
Birim çember üzerindeki \( A(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \) noktasının oluşturduğu merkez açısının ölçüsü kaç derecedir?
Çözümü Göster
Apsis negatif, ordinat pozitif olduğu için nokta II. bölgededir.
Birim çember üzerindeki bir noktanın apsis ve ordinat değerleri sırasıyla o noktanın karşılık geldiği açının kosinüs ve sinüs değerlerine eşittir.
Noktanın \( x \) ekseni ile yaptığı pozitif yönlü açı \( \alpha \) olmak üzere,
\( A(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}) = A(\cos{\alpha}, \sin{\alpha}) \)
Kosinüs değeri \( -\frac{1}{2} \) ve sinüs değeri \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) olan açı 120°'dir.
Birim çember üzerinde apsisi ordinatının 3 katına eşit olan noktalar nelerdir?
Çözümü Gösterİstenilen noktaların koordinatlarına \( A(3a, a) \) diyelim.
Birim çember üzerindeki bir noktanın apsis ve ordinat değerleri sırasıyla o noktanın karşılık geldiği açının kosinüs ve sinüs değerlerine eşittir.
Noktanın \( x \) ekseni ile yaptığı pozitif yönlü açı \( \alpha \) olmak üzere,
\( A(3a, a) = A(\cos{\alpha}, \sin{\alpha}) \)
Birim çember üzerindeki tüm noktalar sinüs - kosinüs kare toplamı özdeşliğini sağlar.
\( \cos^2{\alpha} + \sin^2{\alpha} = 1 \)
\( (3a)^2 + a^2 = 1 \)
\( 10a^2 = 1 \)
\( a = +\dfrac{\sqrt{10}}{10} \) veya \( a = -\dfrac{\sqrt{10}}{10} \)
O halde istenen koşulu sağlayan noktalar aşağıdaki gibi bulunur.
\( A_1(\frac{3 \sqrt{10}}{10}, \frac{\sqrt{10}}{10}) \)
\( A_2(-\frac{3 \sqrt{10}}{10}, -\frac{\sqrt{10}}{10}) \)
Dik koordinat düzleminde birim çember üzerinde \( A(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) \) noktası veriliyor.
Bu nokta saat yönünde 3500° hareket ettirilirse hangi bölgeye ulaşılır?
Çözümü Göster\( A \) noktası 2. bölgededir ve \( x \) ekseni ile yaptığı pozitif yönlü açı 150°'dir.
\( \cos{150°} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \sin{150°} = \dfrac{1}{2} \)
Saat yönünde hareket negatif yönlü açıya karşılık gelir.
\( 150° - 3500° = -3350° \)
\( -3350° \)'nin esas ölçüsü \( 250° \)'dir.
\( -3350° = 250° + 360° \cdot (-10) \)
250° III. bölgede bir açıdır.
Yukarıda \( O \) merkezli çeyrek birim çember verilmiştir.
\( \sin{25°} = a \) olduğuna göre, \( \abs{AC} \) uzunluğunu \( a \) cinsinden bulunuz.
Çözümü Göster
Orijin ile \( C \) noktasını birleştirelim. \( [OC] \) birim çemberin yarıçapıdır.
\( \abs{OC} = \abs{OB} = \abs{OA} = 1 \)
\( BOC \) ve \( COA \) ikizkenar üçgenlerdir.
\( m(\widehat{OCB}) = m(\widehat{OBC}) = 70° \)
\( m(\widehat{BOC}) = 180° - 140° = 40° \)
\( \widehat{BOC} \) ve \( \widehat{COA} \) tümler açılardır.
\( m(\widehat{COA}) = 50° \)
\( m(\widehat{OAC}) = m(\widehat{OCA}) = 65° \)
\( m(\widehat{HCA}) = 25° \)
\( \abs{CH} = x \) diyelim.
\( COH \) üçgeninde \( \sin{50°} = \frac{x}{1} \) yazabiliriz.
\( x = \sin{50°} \)
\( CHA \) üçgeninde \( \cos{25°} = \frac{x}{\abs{AC}} \) yazabiliriz.
\( \abs{AC} = \dfrac{x}{\cos{25°}} \)
\( = \dfrac{\sin{50°}}{\cos{25°}} \)
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( = \dfrac{2\sin{25°}\cos{25°}}{\cos{25°}} \)
\( = 2\sin{25°} = 2a \) bulunur.
\( a = \tan{34°}, b = \cot{323°}, c = \sin{146°}, d = \cos{217°} \)
ifadelerini değerlerine göre büyükten küçüğe doğru sıralayın.
Çözümü GösterVerilen ifadeleri kosinüs ve kotanjant fonksiyonları ve I. ve II. bölgede açılar cinsinden yazalım.
Tümler açıların tanjant ve kotanjant değerleri eşittir.
\( a = \tan{34°} = \cot{56°} \)
Kotanjant fonksiyonunun periyodu 180°'dir.
\( b = \cot{323°} = \cot(323° - 180°) = \cot{143°} \)
\( c = \sin{146°} = \cos{56°} \)
\( d = \cos{217°} = \cos{143°} \)
Bu trigonometrik ifadelerin değerlerini birim çember üzerinde işaretleyelim.
Şekilde kotanjant ifadeleri \( y = 1 \) kotanjant ekseni üzerinde işaretlenmiştir. Kosinüs ifadelerinin \( x \) ekseni üzerindeki değerlerinin kotanjant ekseni üzerindeki izdüşümleri de işaretlenmiştir.
Kotanjant ekseni üzerindeki büyüklükleri karşılaştırarak verilen ifadelerin büyükten küçüğe sıralaması aşağıdaki gibi olur.
\( b \lt d \lt c \lt a \)