Trigonometrik Denklemler
Bir değişkenin trigonometrik fonksiyon içinde yer aldığı denklemlere trigonometrik denklem denir. Trigonometrik denklemlerin çözümü trigonometrik değerler, özdeşlikler, bölgeler arası dönüşümler, fonksiyonların grafikleri ve periyotları, dönüşüm formülleri gibi trigonometrinin tüm alt başlıklarını kullanmamızı gerektiren bir konudur.
Bir trigonometrik ifadenin fonksiyon, açı ve değişken değerleri arasındaki ayrıma denklem çözümünde dikkat edilmelidir.
Trigonometrik fonksiyonlar periyodik oldukları için, bir denklem belirli bir açı ölçüsü için sağlanıyorsa denklemin sonsuz sayıda çözümü bulunur. Bir trigonometrik denklemi sağlayan açılar içinde \( [0, 2\pi) \) aralığındaki değerlere esas çözüm, tüm reel sayıları kapsayan değerlere genel çözüm denir.
Trigonometrik denklemleri üç başlık altında inceleyebiliriz.
Lineer Denklemler
Lineer trigonometrik denklemler tek bir trigonometrik fonksiyon ve bu fonksiyonun birinci kuvvetini içerir.
\( a\sin{x} + b = 0 \)
\( 2\sin{x} = -\sqrt{3} \)
\( \cos(2y) - 1 = 0 \)
\( \tan(3\alpha - \frac{\pi}{2}) = -1 \)
Birden fazla trigonometrik fonksiyon ve/veya yüksek dereceden ifadeler içeren denklemler çoğu zaman lineer ifadelerin çarpımı şeklinde yazılabildiği için lineer denklemlerin çözümünde kullanılan yöntemler daha karmaşık denklemlere de uygulanabilir.
Lineer trigonometrik denklemler dört adımda çözülebilir.
- Fonksiyon değerini bulma: İlk adımda trigonometrik fonksiyon yalnız bırakılır ve eşitliği sağlayan fonksiyon değeri bulunur.
- Açı ölçülerini bulma: Fonksiyonun bir tam periyodu içinde ilk adımda bulunan değeri aldığı açı ölçüleri bulunur.
- Genel çözümü bulma: İkinci adımda bulunan her açı ölçüsüne fonksiyonun periyodunun tam sayı katları eklenerek denklemin genel çözümü bulunur.
- Kısıtlamalar: Genel çözüm içinde soruda verilen tanım aralıkları içindeki çözüm değerleri seçilir.
\( 2\sin{x} + 1 = 0 \) denkleminin genel çözüm kümesini bulalım.
Adım 1: Fonksiyonu yalnız bırakarak eşitliği sağlayan fonksiyon değerini bulalım.
\( \sin{x} = -\dfrac{1}{2} \)
Adım 2: Fonksiyonun bir tam periyodu içinde bu değeri aldığı açı ölçülerini bulalım.
Sinüs fonksiyonunun periyodu \( 2\pi \)'dir.
Sinüs fonksiyonu \( [0, 2\pi) \) aralığında \( -\frac{1}{2} \) değerini aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( x_1 = \dfrac{7\pi}{6} \)
\( x_2 = \dfrac{11\pi}{6} \)
Adım 3: Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x_1 = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k \)
\( x_2 = \dfrac{11\pi}{6} + 2\pi k \)
Adım 4: Soruda genel çözüm istendiği için bulduğumuz değerler denklemin çözüm kümesidir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\ldots, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \frac{19\pi}{6}, \frac{23\pi}{6}, \ldots\} \)
Açı ölçüsünün \( x \)'ten farklı bir ifade olduğu duruma bir örnek verelim.
\( \pi \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( 3\tan(2x + \frac{\pi}{6}) + \sqrt{3} = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Adım 1: Fonksiyonu yalnız bırakarak eşitliği sağlayan fonksiyon değerini bulalım.
\( \tan(2x + \frac{\pi}{6}) = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
Adım 2: Fonksiyonun bir tam periyodu içinde bu değeri aldığı açı ölçülerini bulalım.
Tanjant fonksiyonunun periyodu \( \pi \)'dir.
Tanjant fonksiyonu \( [0, \pi) \) aralığında \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \) değerini aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( 2x + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} \)
Adım 3: Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} + \pi k \)
\( x \) değişkenini yalnız bırakalım.
\( 2x = \dfrac{2\pi}{3} + \pi k \)
\( x = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{2} k \)
Adım 4: Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [\pi, 2\pi) \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{4\pi}{3}, \frac{11\pi}{6}\} \)
Lineer denklem formunda olmayan bazı denklemler özdeşlikler yardımıyla lineer denkleme dönüştürülerek çözülebilir.
\( 2\pi \le x \lt 4\pi \) olmak üzere,
\( \sin{x} - \sqrt{3}\cos{x} = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Adım 1: Denklemi lineer forma getirelim ve fonksiyonu yalnız bırakarak eşitliği sağlayan fonksiyon değerini bulalım.
\( \sin{x} = \sqrt{3}\cos{x} \)
Eşitliğin iki tarafını kosinüse bölelim.
\( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = \sqrt{3} \)
\( \tan{x} = \sqrt{3} \)
Adım 2: Fonksiyonun bir tam periyodu içinde bu değeri aldığı açı ölçülerini bulalım.
Tanjant fonksiyonunun periyodu \( \pi \)'dir.
Tanjant fonksiyonu \( [0, \pi) \) aralığında \( \sqrt{3} \) değerini aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( x = \dfrac{\pi}{3} \)
Adım 3: Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x = \dfrac{\pi}{3} + \pi k \)
Adım 4: Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [2\pi, 4\pi) \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{7\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}\} \)
Aynı Fonksiyonların Eşitliği
İki sinüs, kosinüs, tanjant ya da kotanjant ifadesi arasındaki eşitlikler aşağıdaki yöntemlerle çözülebilir.
İki sinüs ifadesi arasındaki eşitlikte iki farklı çözüm vardır.
\( \sin{x} = \sin{y} \)
Çözüm 1: Açıların esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( x = y + 2\pi k \)
Çözüm 2: Birinci açı ile ikinci açıyı \( 180° \)'ye tamamlayan açının esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( x = (\pi - y) + 2\pi k \)
\( \sin(5x) = \sin{40°} \)
Çözüm 1:
\( 5x = 40° + 360° k \)
\( x = 8° + 72° k \)
Çözüm 2:
\( 5x = (180° - 40°) + 360° k \)
\( x = 28° + 72° k \)
Denklemin çözüm kümesi iki çözümün birleşim kümesidir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\ldots, 8°, 28°, 80°, 100°, \ldots\} \)
İSPATI GÖSTER
\( \sin{x} = \sin{y} \)
\( \sin{x} - \sin{y} = 0 \)
Sinüs fark dönüşüm formülünü kullanalım.
\( 2 \cos(\frac{x + y}{2}) \cdot \sin(\frac{x - y}{2}) = 0 \)
Bu denklemin çözümü her iki çarpanı sıfır yapan \( x \) ve \( y \) değerleridir.
Çözüm 1: \( \sin(\frac{x - y}{2}) = 0 \)
Sinüs esas ölçüsü \( 0 \) ve \( \pi \) olan açılarda sıfır olur.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \dfrac{x - y}{2} = \pi k \)
\( x - y = 2\pi k \)
\( x = y + 2\pi k \)
Bu çözüm iki açının esas ölçülerinin birbirine eşit olması anlamına gelir.
Çözüm 2: \( \cos(\frac{x + y}{2}) = 0 \)
Kosinüs esas ölçüsü \( \frac{\pi}{2} \) ve \( \frac{3\pi}{2} \) olan açılarda sıfır olur.
\( \dfrac{x + y}{2} = \dfrac{\pi}{2} + \pi k \)
\( x + y = \pi + 2\pi k \)
\( x = (\pi - y) + 2\pi k \)
Bu çözüm birinci açı ile ikinci açıyı \( 180° \)'ye tamamlayan açının esas ölçülerinin birbirine eşit olması anlamına gelir.
İki kosinüs ifadesi arasındaki eşitlikte iki farklı çözüm vardır.
\( \cos{x} = \cos{y} \)
Çözüm 1: Açıların esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( x = y + 2\pi k \)
Çözüm 2: Birinci açı ile ikinci açıyı \( 360° \)'ye tamamlayan açının esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( x = (2\pi - y) + 2\pi k \)
\( \cos(4x - 32°) = \cos{48°} \)
Çözüm 1:
\( 4x - 32° = 48° + 360° k \)
\( x = 20° + 90° k \)
Çözüm 2:
\( 4x - 32° = (360° - 48°) + 360° k \)
\( x = 86° + 90° k \)
Denklemin çözüm kümesi iki çözümün birleşim kümesidir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\ldots, 20°, 86°, 110°, 176°, \ldots\} \)
İSPATI GÖSTER
\( \cos{x} = \cos{y} \)
\( \cos{x} - \cos{y} = 0 \)
Kosinüs fark dönüşüm formülünü kullanalım.
\( -2 \sin(\frac{x + y}{2}) \cdot \sin(\frac{x - y}{2}) = 0 \)
Bu denklemin çözümü her iki çarpanı sıfır yapan \( x \) ve \( y \) değerleridir.
Çözüm 1: \( \sin(\frac{x - y}{2}) = 0 \)
Sinüs esas ölçüsü \( 0 \) ve \( \pi \) olan açılarda sıfır olur.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \dfrac{x - y}{2} = \pi k \)
\( x - y = 2\pi k \)
\( x = y + 2\pi k \)
Bu çözüm iki açının esas ölçülerinin birbirine eşit olması anlamına gelir.
Çözüm 2: \( \sin(\frac{x + y}{2}) = 0 \)
Sinüs esas ölçüsü \( 0 \) ve \( \pi \) olan açılarda sıfır olur.
\( \dfrac{x + y}{2} = \pi k \)
\( x + y = 2\pi k \)
\( x = -y + 2\pi k \)
Eşitliğin sağ tarafına bir tam çember yayına karşılık gelen \( 2\pi \) ekleyebiliriz.
\( x = (2\pi - y) + 2\pi k \)
Bu çözüm birinci açı ile ikinci açıyı \( 360° \)'ye tamamlayan açının (ya da ikinci açının negatifinin) esas ölçülerinin birbirine eşit olması anlamına gelir.
İki tanjant ya da iki kotanjant ifadesi arasındaki eşitlikte tek çözüm vardır.
\( \tan{x} = \tan{y} \)
\( \cot{x} = \cot{y} \)
Çözüm: Açıların farkı \( \pi \)'nin bir tam sayı katıdır.
\( x = y + \pi k \)
\( \tan(3x - 55°) = \tan(33° - x) \)
\( 3x - 55° = 33° - x + 180° k \)
\( x = 22° + 45° k \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{\ldots, 22°, 67°, 112°, 157°, \ldots\} \)
İSPATI GÖSTER
\( \tan{x} = \tan{y} \)
\( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = \dfrac{\sin{y}}{\cos{y}} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( \sin{x} \cdot \cos{y} = \cos{x} \cdot \sin{y} \)
\( \sin{x} \cdot \cos{y} - \cos{x} \cdot \sin{y} = 0 \)
Eşitliğin sol tarafı sinüs fark formülüne eşittir.
\( \sin(x - y) = 0 \)
Sinüs esas ölçüsü \( 0 \) ve \( \pi \) olan açılarda sıfır olur.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x - y = \pi k \)
\( x = y + \pi k \)
Bu çözüm iki açının farkının \( \pi \)'nin bir tam sayı katı olması anlamına gelir.
Benzer bir ispat \( \cot{x} = \cot{y} \) eşitliği için de yapılabilir.
\( \sin{x} = \cos{y} \) ya da \( \tan{x} = \cot{y} \) formundaki denklemler fonksiyonlardan biri tümler açı özdeşliği ile diğerine dönüştürüldükten sonra yukarıdaki yöntemlerle çözülebilir.
\( \frac{\pi}{2} \le x \lt \pi \) olmak üzere,
\( \tan(2x - 21°) = \cot(3x - 34°) \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Tümler açı özdeşliği ile kotanjant ifadesini tanjanta çevirelim.
\( \tan(2x - 21°) = \tan(90° - (3x - 34°)) \)
\( \tan(2x - 21°) = \tan(124° - 3x) \)
\( 2x - 21° = 124° - 3x + 180° k \)
\( x = 29° + 36° k \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{101°, 137°, 173°\} \)
Diğer Denklemler
Diğer bazı denklemler yukarıda bahsettiğimiz iki forma uymasa da her biri bu iki formdan birinde olan ifadelerin çarpımı şeklinde yazılabilir.
\( (2\sin{x} + 1)(\tan{x} - \sqrt{3}) = 0 \)
\( \sin{x} \cdot \cos(2x) = 0 \)
\( \sin{\frac{x}{2}} \cdot (\cos{x} - \cos{\frac{\pi}{3}}) = 0 \)
Bu tip denklemler aşağıdaki adımlar takip edilerek çözülebilir.
- Denklemin tüm terimleri eşitliğin sol tarafında toplanarak ifade sıfıra eşitlenir.
- Eşitliğin sol tarafı her bir çarpan \( a\sin{x} + b \) ya da \( \sin{x} - \sin{y} \) formunda olacak şekilde çarpanlarına ayrılmaya çalışılır.
- Her çarpan ifadeyi sıfır yapan değişken değerleri için çözülür.
- Denklemin çözümü tüm çarpanların çözümlerinin birleşim kümesidir.
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( 2\cos^2{x} + \sin{x} - 2 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Kosinüs ifadesini sinüs cinsinden yazalım.
\( 2(1 - \sin^2{x}) + \sin{x} - 2 = 0 \)
\( \sin{x}(2\sin{x} - 1) = 0 \)
Çarpanların her birini sıfır yapan değişken değerlerini bulalım.
Çarpan 1: \( \sin{x} = 0 \)
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x_1 = \pi k \)
Çarpan 2: \( 2\sin{x} - 1 = 0 \)
\( \sin{x} = \dfrac{1}{2} \)
\( x_2 = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \)
\( x_3 = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [0, 2\pi) \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{0, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \pi\} \)
Bir trigonometrik ifadeyi çarpanlarına ayırmak için trigonometrik özdeşlikler ve dönüşüm formülleri sıklıkla kullanılır.
\( 0 \le x \le \pi \) olmak üzere,
\( \sin(2x) = \tan{x} \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( 2\sin{x}\cos{x} = \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} \)
Çözüm kümesinde \( \cos{x} = 0 \) yapan \( x \) değerleri bulunamayacağını not ederek tarafları \( \cos{x} \) ile çarpalım.
\( 2\sin{x}\cos^2{x} = \sin{x} \)
\( 2\sin{x}\cos^2{x} - \sin{x} = 0 \)
\( \sin{x}(2\cos^2{x} - 1) = 0 \)
Parantez içindeki ifade kosinüs iki kat açı formülünün açılımıdır.
\( \sin{x}\cos(2x) = 0 \)
Çarpanların her birini sıfır yapan değişken değerlerini bulalım.
Çarpan 1: \( \sin{x} = 0 \)
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x_1 = \pi k \)
Çarpan 2: \( \cos(2x) = 0 \)
\( 2x_2 = \dfrac{\pi}{2} + \pi k \)
\( x_2 = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2} k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [0, \pi] \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{0, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \pi\} \)
Denklem Çözümlerinin Grafik Yorumu
Trigonometrik fonksiyonların grafikleri denklemlerin çözümünde ve bulunan bir çözümün sağlamasını yapmak için sıklıkla kullanılır.
Aşağıda örnek bir trigonometrik denklem ve çözüm kümesi verilmiştir.
\( \sin(x) = \frac{1}{2} \)
Genel çözüm: \( x = \{ \frac{\pi}{6} + 2\pi k \} \cup \{ \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \} \)
Aşağıdaki grafikte görebileceğimiz gibi, çözüm kümesi \( f(x) = \sin(x) \) fonksiyon grafiği ile \( y = \frac{1}{2} \) doğrusunun kesişim noktaları olmaktadır. Bu grafikte aynı zamanda \( [0, 2\pi) \) arasındaki her bir çözüm değerinin her periyotta tekrar eden sonsuz çözüme karşılık geldiğini görebiliriz.
Denklem Çözümlerinin Birim Çember Yorumu
Yukarıdaki örnekteki denklemin çözümü birim çember üzerinde de gösterilebilir.
Birim çember üzerindeki bir noktanın ordinat değeri o noktanın karşılık geldiği yönlü açının sinüs değerine eşit olduğu için, birim çember üzerinde \( y = \frac{1}{2} \) olan noktalara ait açılar bu denklemin çözüm kümesini verir.
\( -\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2} \) olmak üzere,
\( \cos(3x + \frac{\pi}{3}) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterKosinüs fonksiyonunun periyodu \( 2\pi \)'dir.
Kosinüs fonksiyonu \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( 3x_1 + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} \)
\( 3x_2 + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{11\pi}{6} \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( \dfrac{\pi}{6} \) için:
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 3x_1 + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \)
\( 3x_1 = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \)
\( x_1 = -\dfrac{\pi}{18} + \dfrac{2\pi}{3} k \)
\( \dfrac{11\pi}{6} \) için:
\( 3x_2 + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{11\pi}{6} + 2\pi k \)
\( 3x_2 = \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi k \)
\( x_2 = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{2\pi}{3} k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ -\frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{18}, \frac{\pi}{2} \} \)
\( 0 \le x \lt \pi \) olmak üzere,
\( \cos^2{\frac{4x}{3}} = \dfrac{1}{2} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterEşitlikteki kosinüs ifadesinin iki çözümü vardır.
\( \cos{\frac{4x}{3}} = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
Kosinüs fonksiyonu \( \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \) değerlerini aldığı açı değerleri aşağıdaki gibidir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \dfrac{4x}{3} = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2} k \)
\( x = \dfrac{3\pi}{16} + \dfrac{3\pi}{8} k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [0, \pi) \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{3\pi}{16}, \frac{9\pi}{16}, \frac{15\pi}{16}\} \)
\( 0 \le x \lt \pi \) olmak üzere,
\( \sqrt{3}\sin(2x) = \cos(2x)\)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster\( \sqrt{3}\sin(2x) = \cos(2x) \)
\( \dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \tan(2x) = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \)
Tanjant fonksiyonunun periyodu \( \pi \)'dir.
Tanjant fonksiyonu \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerinde alır.
\( 2x = \dfrac{\pi}{6} \)
Bu açı ölçüsüne fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x = \dfrac{\pi}{6} + \pi k \)
\( x = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi}{2} k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [0, \pi) \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}\} \)
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( \sin(2x + \frac{\pi}{3}) = -\dfrac{1}{2} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterSinüs fonksiyonunun periyodu \( 2\pi \)'dir.
Sinüs fonksiyonu \( -\frac{1}{2} \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( 2x_1 + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{7\pi}{6} \)
\( 2x_2 + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{11\pi}{6} \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( \frac{7\pi}{6} \) için:
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x_1 + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k \)
\( 2x_1 = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \)
\( x_1 = \dfrac{5\pi}{12} + \pi k \)
\( \frac{11\pi}{6} \) için:
\( 2x_2 + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{11\pi}{6} + 2\pi k \)
\( 2x_2 = \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi k \)
\( x_2 = \dfrac{3\pi}{4} + \pi k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [0, 2\pi) \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{5\pi}{12}, \frac{3\pi}{4}, \frac{17\pi}{12}, \frac{7\pi}{4}\} \)
\( 0 \le x \le \pi \) olmak üzere,
\( \tan{(3x + \frac{\pi}{2})} = \tan{x} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Gösterİki tanjant ifadesi arasındaki eşitlikte tek çözüm vardır.
Çözüm: Açıların farkı \( \pi \)'nin bir tam sayı katıdır.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 3x + \dfrac{\pi}{2} = x + \pi k \)
\( 2x = -\dfrac{\pi}{2} + \pi k \)
\( x = -\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2} k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [0, \pi] \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\} \)
\( 0 \le x \lt 2 \pi \) olmak üzere,
\( \tan(2x + \frac{\pi}{4}) = \cot{\frac{\pi}{8}} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterEşitliğin sağındaki tanjant ifadesini kotanjant cinsinden yazalım.
Tümler açıların tanjant - kotanjant değerleri birbirine eşittir.
\( \tan(2x + \frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}) \)
\( \tan(2x + \frac{\pi}{4}) = \tan{\frac{3\pi}{8}} \)
İki tanjant ifadesi arasındaki eşitlikte tek çözüm vardır.
Çözüm: Açıların farkı \( \pi \)'nin bir tam sayı katıdır.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{8} + \pi k \)
\( 2x = \dfrac{\pi}{8} + \pi k \)
\( x = \dfrac{\pi}{16} + \dfrac{\pi}{2} k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [0, 2\pi) \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{\pi}{16}, \frac{9\pi}{16}, \frac{17\pi}{16}, \frac{25\pi}{16}\} \)
\( 0 \le x \lt \pi \) olmak üzere,
\( \cos(5x - 10°) = \sin(x - 20°) \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterEşitliğin sağ tarafındaki sinüs ifadesini kosinüse çevirelim.
Tümler açıların sinüs ve kosinüs değerleri birbirine eşittir.
\( \cos(5x - 10°) = \cos(90° - (x - 20°)) \)
\( \cos(5x - 10°) = \cos(110° - x) \)
İki kosinüs ifadesi arasındaki eşitlikte iki farklı çözüm vardır.
Durum 1: Açıların esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 5x - 10° = 110° - x + 360° k \)
\( 6x = 120° + 360° k \)
\( x = 20° + 60° k \)
Durum 2: Birinci açı ile ikinci açıyı \( 360° \)'ye tamamlayan açının esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( 5x - 10° = (360° - (110° - x)) + 360 k \)
\( 4x = 260° + 360° k \)
\( x = 65° + 90° k \)
Buna göre denklemin \( [0, \pi) \) aralığında 5 çözümü vardır.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ 20°, 65°, 80°, 140°, 155° \} \)
\( 180° \le x \lt 360° \) olmak üzere,
\( \sin(5x - 30°) = \sin(3x + 10°) \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Gösterİki sinüs ifadesi arasındaki eşitlikte iki farklı çözüm vardır.
Durum 1: Açıların esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 5x - 30° = 3x + 10° + 360° k \)
\( 2x = 40° + 360° k \)
\( x = 20° + 180° k \)
Durum 2: Birinci açı ile ikinci açıyı \( 180° \)'ye tamamlayan açının esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( 5x - 30° = (180° - (3x + 10°)) + 360° k \)
\( 8x = 200° + 360° k \)
\( x = 25° + 45° k \)
Her iki çözümden gelen \( [\pi, 2\pi) \) aralığındaki değerlerin birleşim kümesi denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ \ldots, 200°, 205°, 250°, 295°, 340°, \ldots \} \)
\( 0° \le x \lt 180° \) olmak üzere,
\( \sin(6x) = \sin(3x) \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Gösterİki sinüs ifadesi arasındaki eşitlikte iki farklı çözüm vardır.
Durum 1: Açıların esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( 6x = 3x + 360° k \)
\( 3x = 360° k \)
\( x = 120° k \)
Durum 2: Birinci açı ile ikinci açıyı \( 180° \)'ye tamamlayan açının esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( 6x = (180° - 3x) + 360° k \)
\( 9x = 180° + 360° k \)
\( x = 20° + 40° k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [0°, 180°) \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{0°, 20°, 60°, 100°, 120°, 140°\} \)
\( 0° \lt x \lt 360° \) olmak üzere,
\( \cos(23x) = \cos(22x) \)
denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır?
Çözümü Gösterİki kosinüs ifadesi arasındaki eşitlikte iki farklı çözüm vardır.
Çözüm 1: Açıların esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 23x = 22x + 360° k \)
\( x = 360°k \)
Çözüm 2: Birinci açı ile ikinci açıyı \( 360° \)'ye tamamlayan açının esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( 23x = (360° - 22x) + 360° k \)
\( 45x = 360° + 360° k \)
\( x = 8° + 8° k \)
Her iki çözümden gelen \( (0°, 360°) \) aralığındaki değerlerin birleşim kümesi denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{8°, 16°, 24°, 32°, \ldots, 352°\} \)
Terim sayısı formülü ile çözüm kümesinin eleman sayısı \( \frac{352 - 8}{8} + 1 = 44 \) olarak bulunur.
\( \pi \le x \le 2\pi \) olmak üzere,
\( \tan(8x) - \tan(4x) = 0 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster\( \tan(8x) = \tan(4x) \)
İki tanjant ifadesi arasındaki eşitlikte tek çözüm vardır.
Çözüm: Açıların farkı \( \pi \)'nin bir tam sayı katıdır.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 8x = 4x + \pi k \)
\( 4x = \pi k \)
\( x = \dfrac{\pi}{4} k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [\pi, 2\pi] \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}, 2\pi\} \)
\( 0° \le x \lt 180° \) olmak üzere,
\( \sin(7x) + \sin(5x) = 0 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster\( \sin(7x) = -\sin(5x) \)
\( \sin(-x) = -\sin{x} \) olduğu için eşitliğin sağındaki negatif işaretini sinüs fonksiyonunun içine alabiliriz.
\( \sin(7x) = \sin(-5x) \)
İki sinüs ifadesi arasındaki eşitlikte iki farklı çözüm vardır.
Çözüm 1: Açıların esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 7x = -5x + 360° k \)
\( 12x = 360° k \)
\( x = 30° k \)
Çözüm 2: Birinci açı ile ikinci açıyı \( 180° \)'ye tamamlayan açının esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( 7x = (180° - (-5x)) + 360° k \)
\( 2x = 180° + 360° k \)
\( x = 90° + 180° k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [0°, 180°) \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 150°\} \)
\( 0° \le x \lt 360° \) olmak üzere,
\( 2\csc^2{x} + \cot^2{x} = 11 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterKosekant ifadesini kotanjant cinsinden yazalım.
\( 2(1 + \cot^2{x}) + \cot^2{x} = 11 \)
\( 2 + 3\cot^2{x} = 11 \)
\( \cot^2{x} = 3 \)
\( \cot{x} = \pm \sqrt{3} \)
Kotanjant fonksiyonunun \( [0°, 360°) \) aralığında bu iki değeri aldığı açı ölçüleri denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{30°, 150°, 210°, 330°\} \)
\( 0° \le x \lt 360° \) olmak üzere,
\( 4\cot^2{x} - 9\csc{x} + 6 = 0 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterKotanjant ifadesini kosekant cinsinden yazalım.
\( 4(\csc^2{x} - 1) - 9\csc{x} + 6 = 0 \)
\( 4\csc^2{x} - 4 - 9\csc{x} + 6 = 0 \)
\( 4\csc^2{x} - 9\csc{x} + 2 = 0 \)
\( (\csc{x} - 2)(4\csc{x} - 1) = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
\( \csc{x} = 2 \) ya da \( \csc{x} = \dfrac{1}{4} \)
Kosekant ifadelerini sinüs cinsinden yazalım.
\( \sin{x} = \dfrac{1}{2} \) ya da \( \sin{x} = 4 \)
Sinüs fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-1, 1] \) olduğu için \( \sin{x} = 4 \) geçerli bir çözüm değildir.
\( \sin{x} = \dfrac{1}{2} \)
Sinüs fonksiyonunun \( [0°, 360°) \) aralığında bu değeri aldığı açı ölçüleri denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{30°, 150°\} \)
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( 4\csc^2{x} + \cot^2{x} = 1 - 9\csc{x} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterKotanjant ifadesini kosekant cinsinden yazalım.
\( 4\csc^2{x} + (\csc^2{x} - 1) = 1 - 9\csc{x} \)
\( 5\csc^2{x} + 9\csc{x} - 2 = 0 \)
\( (5\csc{x} - 1)(\csc{x} + 2) = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
\( \csc{x} = \dfrac{1}{5} \) ya da \( \csc{x} = -2 \)
Kosekant ifadelerini sinüs cinsinden yazalım.
\( \sin{x} = 5 \) ya da \( \sin{x} = -\dfrac{1}{2} \)
Sinüs fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-1, 1] \) olduğu için \( \sin{x} = 5 \) geçerli bir çözüm değildir.
\( \sin{x} = -\dfrac{1}{2} \)
Sinüs fonksiyonunun \( [0, 2\pi) \) aralığında bu değeri aldığı açı ölçüleri denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\} \)
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( 3\sin{x}^2 - 5\sin{x}\cos{x} - 2\cos{x}^2 = 0 \)
denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır?
Çözümü GösterEşitliğin sol tarafını çarpanlarına ayıralım.
\( (3\sin{x} + \cos{x})(\sin{x} - 2\cos{x}) = 0 \)
Denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinden oluşur.
\( 3\sin{x} + \cos{x} = 0 \) ya da \( \sin{x} - 2\cos{x} = 0 \)
\( 3\sin{x} + \cos{x} = 0 \) için:
\( 3\sin{x} = -\cos{x} \)
\( \tan{x} = -\dfrac{1}{3} \)
Tanjant fonksiyonu \( [0, 2\pi) \) aralığında \( -\frac{1}{3} \) değerini II. ve IV. bölgelerde birer kez alır.
\( \sin{x} - 2\cos{x} = 0 \) için:
\( \sin{x} = 2\cos{x} \)
\( \tan{x} = 2 \)
Tanjant fonksiyonu \( [0, 2\pi) \) aralığında \( 2 \) değerini I. ve III. bölgelerde birer kez alır.
Buna göre denklemin \( [0, 2\pi) \) aralığında çözüm kümesi 4 elemanlıdır.
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( \sec{x} + \cos{x} = \dfrac{5}{2} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterSekant ifadesini kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{1}{\cos{x}} + \cos{x} = \dfrac{5}{2} \)
\( \dfrac{1 + \cos^2{x}}{\cos{x}} = \dfrac{5}{2} \)
Çözüm kümesinde \( \cos{x} = 0 \) yapan \( x \) değerleri bulunamayacağını not ederek içler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 2 + 2\cos^2{x} = 5\cos{x} \)
\( 2\cos^2{x} - 5\cos{x} + 2 = 0 \)
\( (2\cos{x} - 1)(\cos{x} - 2) = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
\( \cos{x} = \dfrac{1}{2} \) ya da \( \cos{x} = 2 \)
Kosinüs fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-1, 1] \) olduğu için \( \cos{x} = 2 \) geçerli bir çözüm değildir.
\( \cos{x} = \dfrac{1}{2} \)
Kosinüs fonksiyonunun \( [0, 2\pi) \) aralığında bu değeri aldığı açı ölçüleri denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\} \)
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( 2\cos{x} + 3\csc{x} = 6 + \cot{x} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Gösterİfadedeki terimleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( 2\cos{x} + \dfrac{3}{\sin{x}} = 6 + \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} \)
Terimlerin paydalarını eşitleyelim.
\( \dfrac{2\sin{x}\cos{x} + 3}{\sin{x}} = \dfrac{6\sin{x} + \cos{x}}{\sin{x}} \)
Çözüm kümesinde \( \sin{x} = 0 \) yapan \( x \) değerleri bulunamayacağını not ederek \( \sin{x} \) ifadelerini sadeleştirelim.
\( 2\sin{x}\cos{x} + 3 = 6\sin{x} + \cos{x} \)
\( 2\sin{x}\cos{x} - \cos{x} - 6\sin{x} + 3 = 0 \)
\( \cos{x}(2\sin{x} - 1) - 3(2\sin{x} - 1) = 0 \)
\( (\cos{x} - 3)(2\sin{x} - 1) = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
\( \cos{x} = 3 \) ya da \( \sin{x} = \dfrac{1}{2} \)
Kosinüs fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-1, 1] \) olduğu için \( \cos{x} = 3 \) geçerli bir çözüm değildir.
\( \sin{x} = \dfrac{1}{2} \)
Sinüs fonksiyonunun \( [0, 2\pi) \) aralığında bu değeri aldığı açı ölçüleri denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\} \)
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( \cot^2{x} \cdot \cos{x} = \cot^2{x} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterTüm terimleri eşitliğin sol tarafında toplayalım.
\( \cot^2{x} \cdot \cos{x} - \cot^2{x} = 0 \)
\( \cot^2{x}(\cos{x} - 1) = 0 \)
Bu çarpanların her birini sıfır yapan değerleri bulalım.
Çarpan 1: \( \cot^2{x} = 0 \)
Bir ifadenin karesinin değeri sıfırsa kendisi de sıfırdır.
\( \cot{x} = 0 \)
Kotanjant fonksiyonu bu değeri \( [0, 2\pi) \) aralığında aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( x \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\} \)
Çarpan 2: \( \cos{x} - 1 = 0 \)
\( \cos{x} = 1 \)
Kosinüs fonksiyonu bu değeri \( [0, 2\pi) \) aralığında aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( x = 0 \)
Her ne kadar \( x = 0 \) değeri ikinci çarpanı sıfır yapıyor olsa da, birinci çarpandaki \( \cot{0} \) ifadesini tanımsız yaptığı için denklemin geçerli bir çözümü değildir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\} \)
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( \dfrac{\tan{x}}{\sec{x} - 1} + \dfrac{\sec{x} - 1}{\tan{x}} = 4 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Gösterİfadedeki terimleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{1}{\cos{x}} - 1} + \dfrac{\frac{1}{\cos{x}} - 1}{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}} = 4 \)
\( \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{1 - \cos{x}}{\cos{x}}} + \dfrac{\frac{1 - \cos{x}}{\cos{x}}}{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}} = 4 \)
Çözüm kümesinde \( \cos{x} = 0 \) yapan \( x \) değerleri bulunamayacağını not ederek \( \cos{x} \) ifadelerini sadeleştirelim.
\( \dfrac{\sin{x}}{1 - \cos{x}} + \dfrac{1 - \cos{x}}{\sin{x}} = 4 \)
Terimlerin paydalarını eşitleyelim.
\( \dfrac{\sin^2{x}}{(1 - \cos{x})\sin{x}} + \dfrac{(1 - \cos{x})^2}{(1 - \cos{x})\sin{x}} = 4 \)
\( \dfrac{\sin^2{x} + 1 - 2\cos{x} + \cos^2{x}}{(1 - \cos{x})\sin{x}} = 4 \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( \dfrac{2 - 2\cos{x}}{(1 - \cos{x})\sin{x}} = 4 \)
\( \dfrac{2(1 - \cos{x})}{(1 - \cos{x})\sin{x}} = 4 \)
Çözüm kümesinde \( \cos{x} = 1 \) yapan \( x \) değerleri bulunamayacağını not ederek \( 1 - \cos{x} \) ifadelerini sadeleştirelim.
\( \dfrac{2}{\sin{x}} = 4 \)
\( \sin{x} = \dfrac{1}{2} \)
Sinüs fonksiyonunun \( [0, 2\pi) \) aralığında bu değeri aldığı açı ölçüleri denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\} \)
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( 2\cos{x} + \csc{x} = 0 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterKosekant ifadesini sinüs cinsinden yazalım.
\( 2\cos{x} + \dfrac{1}{\sin{x}} = 0 \)
\( \dfrac{2\sin{x}\cos{x} + 1}{\sin{x}} = 0 \)
Çözüm kümesinde \( \sin{x} = 0 \) yapan \( x \) değerleri bulunamayacağını not ederek tarafları \( \sin{x} \) ile çarpalım.
\( 2\sin{x}\cos{x} + 1 = 0 \)
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin(2x) = -1 \)
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x = \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi k \)
\( x = \dfrac{3\pi}{4} + \pi k \)
Bulduğumuz genel çözümde \( [0, 2\pi) \) aralığındaki \( x \) değerleri denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\} \)
\( 0° \le \alpha \le 90° \) olmak üzere,
\( 2\sin^2{\alpha} = 2\sqrt{2}\sin{\alpha} - 1 \)
olduğuna göre, \( \tan{\alpha} \) kaçtır?
Çözümü GösterTüm terimleri eşitliğin sol tarafında toplayalım.
\( 2\sin^2{\alpha} - 2\sqrt{2}\sin{\alpha} + 1 = 0 \)
Eşitliğin solundaki ifadeyi parantez karesi şeklinde yazabiliriz.
\( (\sqrt{2}\sin{\alpha} - 1)^2 = 0 \)
Karesi sıfır olan ifadenin kendisi de sıfırdır.
\( \sqrt{2}\sin{\alpha} - 1 = 0 \)
\( \sin{\alpha} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
Sinüs fonksiyonunun \( [0°, 90°] \) aralığında bu değeri aldığı açı ölçüleri denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( \alpha = 45° \)
\( \tan{\alpha} = \tan{45°} = 1 \) bulunur.
\( \cos(2x) - \cos{x} = 0 \)
denkleminin genel çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterDenklemi her biri lineer formda (\( a\sin{x} - b \)) olan ifadelerin çarpımı şeklinde yazmaya çalışalım.
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( (2\cos^2{x} - 1) - \cos{x} = 0 \)
\( (2\cos{x} + 1)(\cos{x} - 1) = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
Çarpan 1: \( 2\cos{x} + 1 = 0 \)
\( \cos{x} = -\frac{1}{2} \)
Kosinüs fonksiyonunun periyodu \( 2\pi \)'dir.
Kosinüs fonksiyonu bu değeri bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( x_1 = \dfrac{2\pi}{3} \)
\( x_2 = \dfrac{4\pi}{3} \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x_1 = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k \)
\( x_2 = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k \)
Çarpan 2: \( \cos{x} - 1 = 0 \)
\( \cos{x} = 1 \)
Kosinüs fonksiyonu bu değeri bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( x_3 = 0 \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( x_3 = 2\pi k \)
Her çarpan için bulduğumuz genel çözüm kümelerinin birleşim kümesi denklemin genel çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x_1 \cup x_2 \cup x_3 \)
\( 0° \lt x \lt 360° \) olmak üzere,
\( 1 + 2\cos{x} - 4\cos^2{x} - 8\cos^3{x} = 0 \) denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır?
Çözümü GösterDenklemi çarpanlarına ayıralım.
\( 1 + 2\cos{x} - 4\cos^2{x}(1 + 2\cos{x}) = 0 \)
\( (1 + 2\cos{x})(1 - 4\cos^2{x}) = 0 \)
\( ( 1 + 2\cos{x})(1 - 2\cos{x})(1 + 2\cos{x}) = 0 \)
\( ( 1 + 2\cos{x})^2(1 - 2\cos{x}) = 0 \)
Bu denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinden oluşur.
Çarpan 1:
\( 1 + 2\cos{x} = 0 \)
\( \cos{x} = -\dfrac{1}{2} \)
\( x \in \{ 120°, 240° \} \)
Çarpan 2:
\( 1 - 2\cos{x} = 0 \)
\( \cos{x} = \dfrac{1}{2} \)
\( x \in \{ 60°, 300° \} \)
Denklemin çözüm kümesi her iki çarpan için bulduğumuz değerlerin birleşiminden oluşur.
\( x \in \{ 60°, 120°, 240°, 300° \} \)
Buna göre denklemin çözüm kümesi 4 elemanlıdır.
\( 45° \le x \le 90° \) olmak üzere,
\( \tan(11x) + \tan(7x) = 0 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster\( \tan(11x) = -\tan(7x) \)
\( \tan(-x) = -\tan{x} \) olduğu için eşitliğin sağındaki negatif işaretini tanjant fonksiyonunun içine alabiliriz.
\( \tan(11x) = \tan(-7x) \)
İki tanjant ifadesi arasındaki eşitlikte tek çözüm vardır.
Çözüm: Açıların farkı \( 180° \)'nin bir tam sayı katıdır.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 11x = -7x + 180° k \)
\( 18x = 180° k \)
\( x = 10° k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [45°, 90°] \)aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{50°, 60°, 70°, 80°\} \)
\( x = 90° \) sorudaki her iki tanjant ifadesini de tanımsız yaptığı için çözüm kümesine dahil değildir.
\( \tan(11 \cdot 90°) = \tan(990°) = \tan(270°) \)
\( \tan(7 \cdot 90°) = \tan(630°) = \tan(270°) \)
\( \tan(3x - 60°) \cdot \cot(x + 10°) = 1 \)
eşitliğini sağlayan en büyük negatif \( x \) açısı kaç derecedir?
Çözümü Göster\( \tan{\alpha} \cdot \cot{\alpha} = 1 \) özdeşliğini düşünürsek eşitliği aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \tan(3x - 60°) = \tan(x + 10°) \)
İki tanjant ifadesi arasındaki eşitlikte tek çözüm vardır.
Çözüm: Açıların farkı \( 180° \)'nin bir tam sayı katıdır.
\( 3x - 60° = (x + 10°) + 180° k \)
\( 2x = 70° + 180° k \)
\( x = 35° + 90° k \)
Buna göre denklemi sağlayan en büyük negatif \( x \) açısı \( -55° \) olarak bulunur.
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( \sin^2{x} - \sin(2x) - 3 \cos^2{x} = 0 \)
denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır?
Çözümü GösterSinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin^2{x} - 2\sin{x}\cos{x} - 3 \cos^2{x} = 0 \)
İfadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( (\sin{x} - 3\cos{x})(\sin{x} + \cos{x}) = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
Çarpan 1: \( \sin{x} - 3\cos{x} = 0 \)
\( \sin{x} = 3\cos{x} \)
\( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = 3 \)
\( \tan{x} = 3 \)
Tanjant fonksiyonu herhangi bir değeri bir tam periyodu içinde bir kez alır, dolayısıyla bu değeri \( [0, 2\pi) \) aralığında iki kez alır.
Çarpan 2: \( \sin{x} + \cos{x} = 0 \)
\( \sin{x} = -\cos{x} \)
\( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = -1 \)
\( \tan{x} = -1 \)
Tanjant fonksiyonu bu değeri \( [0, 2\pi) \) aralığında aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( x = \{\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\} \)
Buna göre denklemin \( [0, 2\pi) \) aralığında 4 kökü vardır.
\( -\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2} \) olmak üzere,
\( 4\cos^2{x} - 2\sin^2{x} - 5\cos{x} = 2 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterPisagor özdeşliğini kullanalım.
\( 4\cos^2{x} - 2(1 - \cos^2{x}) - 5\cos{x} = 2 \)
\( 6\cos^2{x} - 5\cos{x} - 4 = 0 \)
\( (2\cos{x} + 1)(3\cos{x} - 4) = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
\( \cos{x} = -\dfrac{1}{2} \) ya da \( \cos{x} = \dfrac{4}{3} \)
Kosinüs fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-1, 1] \) olduğu için \( \cos{x} = \frac{4}{3} \) geçerli bir çözüm değildir.
\( \cos{x} = -\dfrac{1}{2} \)
Kosinüs fonksiyonu I. ve IV. bölgelerde pozitif olduğu için \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) aralığında bu değeri almaz, dolayısıyla denklemin çözüm kümesi boş kümedir.
Çözüm kümesi: \( x \in \emptyset \)
\( 0 \le \alpha \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( \sqrt{a - 10} \cdot \cos{\alpha} + \sin{\alpha} = 3 \)
\( \sqrt{a - 10} \cdot \cos{\alpha} - \sin{\alpha} = 3 \)
olduğuna göre, \( a \) değeri kaçtır?
Çözümü Gösterİki eşitliği taraf tarafa çıkaralım.
\( 2\sin{\alpha} = 0 \)
\( \sin{\alpha} = 0 \)
Sinüs fonksiyonu bu değeri \( [0, 2\pi) \) aralığında aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( \alpha \in \{0, \pi\} \)
Denklemde \( \alpha = 0 \) koyalım.
\( \sqrt{a - 10} \cdot \cos{0} - \sin{0} = 3 \)
\( \sqrt{a - 10} \cdot 1 - 0 = 3 \)
\( \sqrt{a - 10} = 3 \)
\( a - 10 = 9 \)
\( a = 19 \)
Denklemde \( \alpha = \pi \) koyalım.
\( \sqrt{a - 10} \cdot \cos{\pi} - \sin{\pi} = 3 \)
\( \sqrt{a - 10} \cdot (-1) - 0 = 3 \)
\( \sqrt{a - 10} \) negatif değer alamayacağı için \( \alpha = \pi \) geçerli bir çözüm değildir.
Buna göre \( a = 19 \) olarak bulunur.
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( \cos(x + \frac{\pi}{6}) = \sin{x} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterKosinüs toplam formülünü kullanalım.
\( \cos{x} \cdot \cos{\frac{\pi}{6}} - \sin{x} \cdot \sin{\frac{\pi}{6}} = \sin{x} \)
\( \cos{x} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \sin{x} \cdot \dfrac{1}{2} = \sin{x} \)
\( \sqrt{3}\cos{x} - \sin{x} = 2\sin{x} \)
\( \sqrt{3}\cos{x} = 3\sin{x} \)
\( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
\( \tan{x} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
Tanjant fonksiyonunun \( [0, 2\pi) \) aralığında bu değeri aldığı açı ölçüleri denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\} \)
\( \pi \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( \sin(x + \frac{\pi}{3}) = \cos(x + \frac{\pi}{2}) \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterSinüs ve kosinüs toplam formüllerini kullanalım.
\( \sin{x} \cdot \cos{\frac{\pi}{3}} + \sin{\frac{\pi}{3}} \cdot \cos{x} = \cos{x} \cdot \cos{\frac{\pi}{2}} - \sin{\frac{\pi}{2}} \cdot \sin{x} \)
\( \sin{x} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos{x} = \cos{x} \cdot 0 - 1 \cdot \sin{x} \)
\( \dfrac{\sin{x}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}\cos{x}}{2} = -\sin{x} \)
\( \dfrac{\sqrt{3}\cos{x}}{2} = -\dfrac{3\sin{x}}{2} \)
\( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
\( \tan{x} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
Tanjant fonksiyonunun \( [\pi, 2\pi) \) aralığında bu değeri aldığı açı ölçüleri denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x = \frac{11\pi}{6} \)
\( \cos(2x) = \cos(x^2) \) ifadesini derece cinsinden sağlayan en küçük iki pozitif \( x \) değerinin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen denklemin iki çözümü vardır.
Durum 1: Açıların esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x = x^2 + 360° k \)
En küçük pozitif \( x \) değerlerini bulmak için \( k \in \{-1, 0\} \) değerlerini deneyelim.
\( 2x = x^2 + 360° (0) \)
\( 2x = x^2 \)
\( x = 2° \)
\( 2x = x^2 + 360° (-1) \)
\( 2x = x^2 - 360° \)
\( x = 20° \)
Durum 2: Birinci açı ile ikinci açıyı \( 360° \)'ye tamamlayan açının esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( 2x = (360° - x^2) + 360° k \)
En küçük pozitif \( x \) değerlerini bulmak için \( k \in \{-1, 0\} \) değerlerini deneyelim.
\( 2x = (360° - x^2) + 360° (0) \)
\( x^2 + 2x = 360° \)
\( x = 18° \)
\( 2x = (360° - x^2) + 360° (-1) \)
\( x^2 + 2x = 0 \)
\( x \in \{-2°, 0°\} \)
Buna göre verilen eşitliği sağlayan en küçük iki pozitif \( x \) değerinin toplamı \( 2 + 18 = 20° \) olarak bulunur.
\( 0 \le x \le 2\pi \) olmak üzere,
\( \tan(\frac{\pi}{2}\cos{x}) = 1 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterDenklemi önce tanjant fonksiyonu için çözelim.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \dfrac{\pi}{2}\cos{x} = \dfrac{\pi}{4} + \pi k \)
\( \dfrac{1}{2}\cos{x} = \dfrac{1}{4} + k \)
\( \cos{x} = \dfrac{1}{2} + 2k \)
Kosinüs fonksiyonunun değer aralığı \( [-1, 1] \) olduğu için sadece \( k = 0 \) için geçerli bir kosinüs değeri vardır.
\( \cos{x} = \dfrac{1}{2} \)
Kosinüs fonksiyonu \( \frac{1}{2} \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\} \)
\( x \in [0, 2\pi] \) olmak üzere,
\( \sin{x} + \cos{x} = 2\cos^3{x} + 2\sin^3{x} \) eşitliğini sağlayan \( x \) değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterEşitliği düzenleyelim.
\( \cos{x} - 2\cos^3{x} = 2\sin^3{x} - \sin{x} \)
\( \cos{x}(1 - 2\cos^2{x}) = \sin{x}(2\sin^2{x} - 1) \)
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \cos{x}\cos{2x} = \sin{x}\cos{2x} \)
\( \cos{x}\cos{2x} - \sin{x}\cos{2x} = 0 \)
\( \cos{2x}(\cos{x} - \sin{x}) = 0 \)
Bu denklemin çözüm kümesi her iki çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinden oluşur.
Çarpan 1: \( \cos{2x} = 0 \)
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k \)
\( x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2} k \)
\( [0, 2\pi] \) aralığında bu eşitliği sağlayan \( x \) değerlerini bulalım.
\( x \in \{ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \} \)
Çarpan 2: \( \sin{x} = \cos{x} \)
\( x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k \)
\( [0, 2\pi] \) aralığında bu eşitliği sağlayan \( x \) değerlerini bulalım.
\( x \in \{ \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \} \)
İki çarpan için bulduğumuz \( x \) değerlerinin birleşimi denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \} \)
Çözüm kümesindeki değerlerin toplamını alalım.
\( \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{3\pi}{4} + \dfrac{5\pi}{4} + \dfrac{7\pi}{4} \)
\( = 4\pi \) bulunur.
\( 0° \le x \lt 180° \) olmak üzere,
\( \cos(5x) = \cos{110°} + \cos{10°} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster\( \cos(5x) = \cos(60° + 50°) + \cos(60° - 50°) \)
Kosinüs toplam ve fark formüllerini kullanalım.
\( \cos(60° + 50°) = \cos{60°}\cos{50°} - \sin{60°}\sin{50°} \)
\( \cos(60° - 50°) = \cos{60°}\cos{50°} + \sin{60°}\sin{50°} \)
İfadeleri taraf tarafa toplayalım.
\( \cos(60° + 50°) + \cos(60° - 50°) = 2\cos{60°}\cos{50°} \)
\( \cos{110°} + \cos{10°} = 2\dfrac{1}{2}\cos{50°} \)
\( \cos{110°} + \cos{10°} = \cos{50°} \)
Buna göre soruda verilen ifade \( \cos{50°} \)'ye eşittir.
\( \cos(5x) = \cos{50°} \)
İki kosinüs ifadesi arasındaki eşitlikte iki farklı çözüm vardır.
Çözüm 1: Açıların esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 5x = 50° + 360° k \)
\( x = 10° + 72° k \)
Çözüm 2: Birinci açı ile ikinci açıyı \( 360° \)'ye tamamlayan açının esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( 5x = (360° - 50°) + 360° k \)
\( 5x = 310° + 360° k \)
\( x = 62° + 72° k \)
Her iki çözümden gelen \( [0°, 180°) \) aralığındaki değerlerin birleşim kümesi denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{10°, 62°, 82°, 134°, 154°\} \)
\( 0° \le x \lt 360° \) olmak üzere,
\( 2\cos^2{x}\cot{x} + 2\sin^2{x}\tan{x} + 4\sin{x}\cos{x} = 4 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterTanjant ve kotanjant ifadelerini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( 2\cos^2{x} \cdot \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} + 2\sin^2{x} \cdot \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} + 4\sin{x}\cos{x} = 4 \)
\( \dfrac{2\cos^3{x}}{\sin{x}} + \dfrac{2\sin^3{x}}{\cos{x}} + 4\sin{x}\cos{x} = 4 \)
\( 2\cos^4{x} + 2\sin^4{x} + 4\sin^2{x}\cos^2{x} = 4\sin{x}\cos{x} \)
Eşitliğin her iki tarafını 2'ye bölelim.
\( \cos^4{x} + \sin^4{x} + 2\sin^2{x}\cos^2{x} = 2\sin{x}\cos{x} \)
Eşitliğin sol tarafı parantez karesinin açılımıdır.
\( (\cos^2{x} + \sin^2{x})^2 = 2\sin{x}\cos{x} \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( 1^2 = 2\sin{x}\cos{x} \)
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin(2x) = 1 \)
Sinüs fonksiyonunun periyodu \( 360° \)'dir.
Sinüs fonksiyonu \( 1 \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerinde alır.
\( 2x = 90° \)
Bu açı ölçüsüne fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x = 90° + 360° k \)
\( x = 45° + 180° k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [0°, 360°) \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{45°, 225°\} \)
\( 0 \le x \le \frac{\pi}{2} \) olmak üzere,
\( 16^{\sin^2{x}} + 16^{\cos^2{x}} = 10 \)
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterPisagor özdeşliğini kullanalım.
\( 16^{\sin^2{x}} + 16^{1 - \sin^2{x}} = 10 \)
\( 16^{\sin^2{x}} + \dfrac{16}{16^{\sin^2{x}}} = 10 \)
\( 16^{\sin^2{x}} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t + \dfrac{16}{t} = 10 \)
\( t^2 + 16 = 10t \)
\( t^2 - 10t + 16 = 0 \)
\( (t - 2)(t - 8) = 0 \)
\( t = 2 \) ya da \( t = 8 \)
\( t = 2 \) için:
\( 16^{\sin^2{x}} = t = 2 \)
\( 2^{4\sin^2{x}} = 2^1 \)
\( \sin^2{x} = \dfrac{1}{4} \)
Sinüs \( [0, \frac{\pi}{2}] \) aralığının bulunduğu I. bölgede pozitif olur.
\( \sin{x} = \dfrac{1}{2} \)
\( x = \dfrac{\pi}{6} \)
\( t = 8 \) için:
\( 16^{\sin^2{x}} = t = 8 \)
\( 2^{4\sin^2{x}} = 2^3 \)
\( \sin^2{x} = \dfrac{3}{4} \)
Sinüs \( [0, \frac{\pi}{2}] \) aralığının bulunduğu I. bölgede pozitif olur.
\( \sin{x} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
\( x = \dfrac{\pi}{3} \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\} \)
\( 0 \le x \le \pi \) olmak üzere,
\( \cos(2x) = \sin{x}\sin(3x) \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterKosinüs fark formülünü kullanalım.
\( \cos(2x) = \sin{x}\sin(3x) \)
\( \cos(3x - x) = \sin{x}\sin(3x) \)
\( \cos(3x)\cos{x} + \sin(3x)\sin{x} = \sin{x}\sin(3x) \)
Eşitliğin iki tarafındaki terimler birbirini götürür.
\( \cos(3x)\cos{x} = 0 \)
\( \cos{x} = 0 \) veya \( \cos(3x) = 0 \)
Çarpan 1: \( \cos{x} = 0 \)
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k \)
\( [0, \pi] \) aralığındaki geçerli çözümler aşağıdaki gibidir.
\( x \in \{\frac{\pi}{2}\} \)
Çarpan 2: \( \cos(3x) = 0 \)
\( 3x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k \)
\( x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3} k \)
\( [0, \pi] \) aralığındaki geçerli çözümler aşağıdaki gibidir.
\( x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6} \} \)
Her çarpan için bulduğumuz çözüm kümelerinin birleşim kümesi denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( \{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}\} \)
\( 0 \le x \le 2\pi \) olmak üzere,
\( \sin^2{x} = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4} \) denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterKosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x} \)
\( \sin^2{x} = \dfrac{1 - \cos{2x}}{2} \)
Bu değeri verilen eşitlikte yerine koyalım.
\( \dfrac{1 - \cos{2x}}{2} = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4} \)
\( 1 - \cos{2x} = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{2} \)
\( \cos{2x} = 1 - \dfrac{2 + \sqrt{3}}{2} \)
\( \cos{2x} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
Kosinüs fonksiyonu \( [0, 2\pi] \) aralığında \( \frac{5\pi}{6} \) ve \( \frac{7\pi}{6} \) değerlerinde \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) değerini alır.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x = \frac{5\pi}{6} \) için:
\( 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \)
\( x = \frac{5\pi}{12} + \pi k \)
\( x = \frac{7\pi}{6} \) için:
\( 2x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \)
\( x = \frac{7\pi}{12} + \pi k \)
Her iki çözümden gelen \( [0, 2\pi] \) aralığındaki değerlerin birleşim kümesi denklemin çözüm kümesini verir..
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{5\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{19\pi}{12}\} \)
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( \cos^4{x} - \sin^4{x} = \cos{x} + \sin{x} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterEşitliğin sol tarafındaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( (\cos^2{x} - \sin^2{x})(\cos^2{x} + \sin^2{x}) = \cos{x} + \sin{x} \)
\( \cos^2{x} + \sin^2{x} = 1 \) özdeşliğini kullanalım.
\( \cos^2{x} - \sin^2{x} = \cos{x} + \sin{x} \)
Eşitliğin sol tarafındaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım ve tüm terimleri eşitliğin solunda toplayalım.
\( (\cos{x} - \sin{x})(\cos{x} + \sin{x}) - (\cos{x} + \sin{x}) = 0 \)
\( (\cos{x} + \sin{x})(\cos{x} - \sin{x} - 1) = 0 \)
Bu çarpanların her birini sıfır yapan değerleri bulalım.
Çarpan 1: \( \cos{x} + \sin{x} = 0 \)
\( \cos{x} = -\sin{x} \)
\( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = \tan{x} = -1 \)
Tanjant fonksiyonunun \( [0, 2\pi) \) aralığında \( -1 \) değerini aldığı açı ölçüleri aşağıdaki gibidir.
\( x \in \{\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\} \)
Çarpan 2: \( \cos{x} - \sin{x} - 1 = 0 \)
\( \cos{x} - \sin{x} = 1 \)
İki tarafın karesini alalım.
\( \cos^2{x} - 2\sin{x}\cos{x} + \sin^2{x} = 1^2 \)
\( 1 - 2\sin{x}\cos{x} = 1 \)
\( 2\sin{x}\cos{x} = 0 \)
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin(2x) = 0 \)
\( 2x = \pi k \)
\( x = \dfrac{\pi}{2} k \)
\( [0, 2\pi) \) aralığındaki \( x \) değerleri aşağıdaki gibi olur.
\( x \in \{0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}\} \)
2. çarpanın çözümünde eşitliğin iki tarafının karesini aldığımız için bulduğumuz \( x \) değerlerinden bazıları geçersiz olabilir, bu yüzden bu 4 değeri sorudaki eşitlikte yerine koyarak sağlamasını yapmalıyız.
\( x = 0 \) için:
\( \cos^4{0} - \sin^4{0} = \cos{0} + \sin{0} \)
\( 1^4 - 0^4 = 1 + 0 \Longrightarrow \) Eşitlik sağlanır.
\( x = \frac{\pi}{2} \) için:
\( \cos^4{\frac{\pi}{2}} - \sin^4{\frac{\pi}{2}} = \cos{\frac{\pi}{2}} + \sin{\frac{\pi}{2}} \)
\( 0^4 - 1^4 = 0 + 1 \Longrightarrow \) Eşitlik sağlanmaz.
\( x = \pi \) için:
\( \cos^4{\pi} - \sin^4{\pi} = \cos{\pi} + \sin{\pi} \)
\( (-1)^4 - 0^4 = -1 + 0 \Longrightarrow \) Eşitlik sağlanmaz.
\( x = \frac{3\pi}{2} \) için:
\( \cos^4{\frac{3\pi}{2}} - \sin^4{\frac{3\pi}{2}} = \cos{\frac{3\pi}{2}} + \sin{\frac{3\pi}{2}} \)
\( 0^4 - (-1)^4 = 0 + (-1) \Longrightarrow \) Eşitlik sağlanır.
Buna göre 2. çözümün geçerli çözümleri aşağıdaki gibi olur.
\( x \in \{0, \frac{3\pi}{2}\} \)
Her iki çözümde bulduğumuz değerlerin birleşim kümesi verilen denklemin çözüm kümesidir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{0, \frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\} \)
\( \sin(2x) + \sqrt{2}\cos{x} = \cos(2x) \)
denkleminin en küçük pozitif kökü kaç radyandır?
Çözümü Göster\( \sqrt{2}\cos{x} = \cos(2x) - \sin(2x) \)
\( \sin(2x) \)'in katsayısı olan 1 yerine \( \tan{\frac{\pi}{4}} \) yazalım.
\( \sqrt{2}\cos{x} = \cos(2x) - \tan{\frac{\pi}{4}} \cdot \sin(2x) \)
\( \sqrt{2}\cos{x} = \cos(2x) - \dfrac{\sin{\frac{\pi}{4}}}{\cos{\frac{\pi}{4}}} \cdot \sin(2x) \)
Eşitliğin sağ tarafında paydaları eşitleyelim.
\( \sqrt{2}\cos{x} = \dfrac{\cos(2x) \cdot \cos{\frac{\pi}{4}} - \sin{\frac{\pi}{4}} \cdot \sin(2x)}{\cos{\frac{\pi}{4}}} \)
\( \cos{\frac{\pi}{4}} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos{x} = \cos(2x) \cdot \cos{\frac{\pi}{4}} - \sin{\frac{\pi}{4}} \cdot \sin(2x) \)
Eşitliğin sağ tarafı kosinüs toplam açı formülününün açılımıdır.
\( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos{x} = \cos(2x + \frac{\pi}{4}) \)
\( \cos{x} = \cos(2x + \frac{\pi}{4}) \)
İki kosinüs ifadesi arasındaki eşitlikte iki farklı çözüm vardır.
Durum 1: Açıların esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x + \frac{\pi}{4} = x + 2\pi k \)
\( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \)
Durum 2: Birinci açı ile ikinci açıyı \( 360° \)'ye tamamlayan açının esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( 2x + \frac{\pi}{4} = (2\pi - x) + 2\pi k \)
\( 3x = \dfrac{7\pi}{4} + 2\pi k \)
\( x = \dfrac{7\pi}{12} + \dfrac{2\pi}{3} k \)
Her çözüm için bulduğumuz çözüm kümelerinin birleşim kümesi denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\ldots, \frac{7\pi}{12}, \frac{15\pi}{12}, \frac{7\pi}{4}, \frac{23\pi}{12}, \ldots\} \)
Buna göre denklemin en küçük pozitif kökü \( \frac{7\pi}{12} \) radyandır.
\( 0 \le x \le \pi \) olmak üzere,
\( \dfrac{\sin(3x)}{\sin{x}} = 4\cos^2{x} + \dfrac{\cos(3x)}{\cos{x}} \)
denklemini sağlayan \( x \) değerlerini bulunuz.
Çözümü GösterVerilen eşitliği düzenleyelim.
\( 4\cos^2{x} = \dfrac{\sin(3x)}{\sin{x}} - \dfrac{\cos(3x)}{\cos{x}} \)
Eşitliğin sağ tarafında paydaları eşitleyelim.
\( 4\cos^2{x} = \dfrac{\sin(3x)\cos{x} - \cos(3x)\sin{x}}{\sin{x}\cos{x}} \)
Paydaki ifadeye sinüs fark formülünü, paydadaki ifadeye sinüs iki kat açı formülünü uygulayalım.
\( 4\cos^2{x} = \dfrac{\sin(3x - x)}{\dfrac{\sin(2x)}{2}} \)
\( 4\cos^2{x} = \dfrac{2\sin(2x)}{\sin(2x)} \)
Eşitlik aşağıdaki şekilde sadeleşir.
\( 4\cos^2{x} = 2 \)
\( \cos^2{x} = \dfrac{1}{2} \)
\( \cos{x} = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
Kosinüs fonksiyonu \( [0, \pi] \) aralığında bu değeri aşağıdaki açı değerlerinde alır.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\} \)
\( 180° \le x \le 270° \) olmak üzere,
\( \sin^2(2x) = -\cot{x}(\cos(2x) - 1) \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterKosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin^2(2x) = -\cot{x}(1 - 2\sin^2{x} - 1) \)
\( \sin^2(2x) = 2\cot{x}\sin^2{x} \)
Kotanjant ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \sin^2(2x) = 2\dfrac{\cos{x}}{\sin{x}}\sin^2{x} \)
\( \sin^2(2x) = 2\cos{x}\sin{x} \)
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin^2(2x) = \sin(2x) \)
\( \sin^2(2x) - \sin(2x) = 0 \)
\( \sin(2x)(\sin(2x) - 1) = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
Çarpan 1: \( \sin(2x) = 0 \)
Sinüs fonksiyonunun periyodu \( 360° \)'dir.
Sinüs fonksiyonu \( 0 \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( 2x_1 = 0° \)
\( 2x_2 = 180° \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 0° \) için:
\( 2x_1 = 360° k \)
\( x_1 = 180° k \)
\( 180° \) için:
\( 2x_2 = 180° + 360° k \)
\( x_2 = 90° + 180° k \)
Çarpan 2: \( \sin(2x) - 1 = 0 \)
\( \sin(2x) = 1 \)
Sinüs fonksiyonu \( 1 \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( 2x = 90° \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( 2x = 90° + 360° k \)
\( x = 45° + 180° k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [180°, 270°] \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{180°, 225°, 270°\} \)
\( 0° \lt x \lt 90° \) olmak üzere,
\( 4\sin^2(2x) + \cos(4x) = 3\sin(2x) \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterKosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( 4\sin^2(2x) + (1 - 2\sin^2(2x)) = 3\sin(2x) \)
\( 2\sin^2(2x) + 1 = 3\sin(2x) \)
\( 2\sin^2(2x) - 3\sin(2x) + 1 = 0 \)
\( (2\sin(2x) - 1)(\sin(2x) - 1) = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
\( \sin(2x) = \dfrac{1}{2} \) ya da \( \sin(2x) = 1 \)
Çarpan 1: \( 2\sin(2x) - 1 = 0 \)
\( \sin(2x) = \dfrac{1}{2} \)
Sinüs fonksiyonunun periyodu \( 360° \)'dir.
Sinüs fonksiyonu \( \frac{1}{2} \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( 2x_1 = 30° \)
\( 2x_2 = 150° \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
30° için:
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x_1 = 30° + 360° k \)
\( x_1 = 15° + 180° k \)
150° için:
\( 2x_2 = 150° + 360° k \)
\( x_2 = 75° + 180° k \)
Çarpan 2: \( \sin(2x) - 1 = 0 \)
\( \sin(2x) = 1 \)
Sinüs fonksiyonu \( 1 \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( 2x = 90° \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( 2x = 90° + 360° k \)
\( x = 45° + 180° k \)
Sinüs fonksiyonunun \( (0°, 90°) \) aralığında bu değeri aldığı açı ölçüleri denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{15°, 45°, 75°\} \)
\( 0° \le x \lt 360° \) olmak üzere,
\( \tan^2{x} \cdot \sin{x} + \cos{x} = 0 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterEşitliği düzenleyelim.
\( \tan^2{x} \cdot \sin{x} = -\cos{x} \)
Eşitliğin iki tarafını \( \cos{x} \)'e bölelim.
\( \tan^2{x} \cdot \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = -1 \)
\( \tan^2{x} \cdot \tan{x} = -1 \)
\( \tan^3{x} = -1 \)
İki tarafın küp kökünü alalım.
\( \tan{x} = -1 \)
Tanjant fonksiyonunun \( [0°, 360°) \) aralığında \( -1 \) değerini aldığı açı ölçüleri denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ 135°, 315° \} \)
\( 0° \le x \lt 180° \) olmak üzere,
\( \sin(5x) + \sin{x} = \cos(2x) \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterSinüs toplam ve fark formüllerini kullanalım.
\( 2\sin(\frac{5x + x}{2})\cos(\frac{5x - x}{2}) = \cos(2x) \)
\( 2\sin(3x)\cos(2x) = \cos(2x) \)
\( 2\sin(3x)\cos(2x) - \cos(2x) = 0 \)
\( \cos(2x)(2\sin(3x) - 1) = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
\( \cos(2x) = 0 \) ya da \( 2\sin(3x) - 1 = 0 \)
Çarpan 1: \( \cos(2x) = 0 \)
Kosinüs fonksiyonunun periyodu \( 360° \)'dir.
Kosinüs fonksiyonu 0 değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( 2x_1 = 90° \)
\( 2x_2 = 270° \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
90° için:
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x_1 = 90° + 360° k \)
\( x_1 = 45° + 180° k \)
270° için:
\( 2x_2 = 270° + 360° k \)
\( x_2 = 135° + 180° k \)
Çarpan 2: \( 2\sin(3x) - 1 = 0 \)
\( \sin(3x) = \dfrac{1}{2} \)
Sinüs fonksiyonunun periyodu \( 360° \)'dir.
Sinüs fonksiyonu \( \frac{1}{2} \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( 3x_1 = 30° \)
\( 3x_2 = 150° \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
30° için:
\( 3x_1 = 30° + 360° k \)
\( x_1 = 10° + 120° k \)
150° için:
\( 3x_2 = 150° + 360° k \)
\( x_2 = 50° + 120° k \)
Yukarıda bulduğumuz çözüm değerlerinden \( [0°, 180°) \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{10°, 45°, 50°, 130°, 135°, 170°\} \)
\( 0° \le x \lt 360° \) olmak üzere,
\( \tan(2x) + 3\cot{x} = 0 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster\( \tan(2x) = -3\cot{x} \)
Tanjant iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \dfrac{2\tan{x}}{1 - \tan^2{x}} = -3\cot{x} \)
Tanjant ve kotanjant fonksiyonları birbirinin çarpmaya göre tersidir.
\( \dfrac{2\tan{x}}{1 - \tan^2{x}} = -\dfrac{3}{\tan{x}} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 2\tan^2{x} = -3 + 3\tan^2{x} \)
\( \tan^2{x} = 3 \)
\( \tan{x} = \pm \sqrt{3} \)
Tanjant fonksiyonunun periyodu \( \pi \)'dir.
Tanjant fonksiyonu \( \pm \sqrt{3} \) değerini \( [0°, 360°) \) aralığında aşağıdaki açı değerlerinde alır.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ 60°, 120°, 240°, 300°\} \)
\( 90° \lt x \lt 180° \) olmak üzere,
\( \tan{x}[1 + \cos(2x)] = 2\sin^2(2x) \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterKosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \tan{x}[1 + (2\cos^2{x} - 1)] = 2\sin^2(2x) \)
\( 2\tan{x}\cos^2{x} = 2\sin^2(2x) \)
Tanjant ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( 2\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\cos^2{x} = 2\sin^2(2x) \)
\( 2\sin{x}\cos{x} = 2\sin^2(2x) \)
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin(2x) = 2\sin^2(2x) \)
\( 2\sin^2(2x) - \sin(2x) = 0 \)
\( \sin(2x)(2\sin(2x) - 1) = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
\( \sin(2x) = 0 \) ya da \( \sin(2x) = \dfrac{1}{2} \)
Çarpan 1: \( \sin(2x) = 0 \)
Sinüs fonksiyonunun periyodu \( 360° \)'dir.
Sinüs fonksiyonu \( 0 \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( 2x_1 = 0° \)
\( 2x_2 = 180° \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( 0° \) için:
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x_1 = 0° + 360° k \)
\( x_1 = 0° + 180° k \)
\( 180° \) için:
\( 2x_2 = 180° + 360° k \)
\( x_2 = 90° + 180° k \)
Çarpan 2: \( 2\sin(2x) - 1 = 0 \)
\( \sin(2x) = \dfrac{1}{2} \)
Sinüs fonksiyonu \( \frac{1}{2} \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( 2x_1 = 30° \)
\( 2x_2 = 150° \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( 30° \) için:
\( 2x_1 = 30° + 360° k \)
\( x_1 = 15° + 180° k \)
\( 150° \) için:
\( 2x_2 = 150° + 360° k \)
\( x_2 = 75° + 180° k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( (90°, 180°) \) aralığında bulunan değer olmadığı için çözüm kümesi boş küme olur.
Çözüm kümesi: \( x \in \emptyset \)
\( 0 \le x \lt 2\pi \) ve
\( 0 \le y \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( 4x - 2y = \pi \) veriliyor.
\( \sin{y} - 3 = 4\cos{x} \)
eşitliğinde \( x \) ve \( y \) için çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster\( 4x - 2y = \pi \)
\( y = 2x - \dfrac{\pi}{2} \)
Bulduğumuz ifadeyi eşitlikte yerine yazalım.
\( \sin(2x - \frac{\pi}{2}) - 3 = 4\cos{x} \)
\( -\sin(\frac{\pi}{2} - 2x) - 3 = 4\cos{x} \)
Tümler açıların sinüs - kosinüs değerleri birbirine eşittir.
\( -\cos(2x) - 3 = 4\cos{x} \)
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( -(2\cos^2{x} - 1) - 3 = 4\cos{x} \)
\( 2\cos^2{x} + 4\cos{x} + 2 = 0 \)
\( \cos^2{x} + 2\cos{x} + 1 = 0 \)
\( (\cos{x} + 1)^2 = 0 \)
\( \cos{x} = -1 \)
Kosinüs fonksiyonunun periyodu \( 2\pi \)'dir.
Kosinüs fonksiyonu \( -1 \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerinde alır.
\( x = \pi \)
\( x \) değerini kullanarak \( y \)'nin çözüm kümesini bulalım.
\( y = 2x - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{2} \)
Çözüm kümesi: \( (x, y) = (\pi, \frac{3\pi}{2}) \)
\( 0° \le x \lt 360° \) olmak üzere,
\( \sin(2x + 48°) + 2\sin^2{42°} = 1 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster\( \sin(2x + 48°) = 1 - 2\sin^2(42°) \)
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin(2x + 48°) = \cos{84°} \)
Tümler açıların sinüs - kosinüs değerleri birbirine eşittir.
\( \sin(2x + 48°) = \sin(90° - 84°) \)
\( \sin(2x + 48°) = \sin{6°} \)
İki sinüs ifadesi arasındaki eşitlikte iki farklı çözüm vardır.
Çözüm 1: Açıların esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x + 48° = 6° + 360° k \)
\( 2x = -42° + 360° k \)
\( x = -21° + 180° k \)
Çözüm 2: Birinci açı ile ikinci açıyı \( 180° \)'ye tamamlayan açının esas ölçüleri birbirine eşittir.
\( 2x + 48° = (180° - 6°) + 360° k \)
\( 2x = 126° + 360° k \)
\( x = 63° + 180° k \)
Her iki çözümden gelen \( [0°, 360°) \) aralığındaki değerlerin birleşim kümesi denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{63°, 159°, 243°, 339°\} \)
\( f \) reel sayılarda tanımlı bir fonksiyondur.
\( f(\sin{x}) = \sin(3x) \)
olduğuna göre, \( f(x) = 0 \) denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster\( f(\sin{x}) = \sin(3x) \)
Fonksiyon tanımını \( \sin{x} \) cinsinden yazalım.
Sinüs toplam formülünü kullanalım.
\( = \sin(2x)\cos{x} + \cos(2x)\sin{x} \)
Sinüs ve kosinüs iki kat açı formüllerini kullanalım.
\( = 2\sin{x}\cos{x}\cos{x} + (1 - 2\sin^2{x})\sin{x} \)
\( = 2\sin{x}\cos^2{x} + \sin{x} - 2\sin^3{x} \)
\( = 2\sin{x}(1 - \sin^2{x}) + \sin{x} - 2\sin^3{x} \)
\( = 3\sin{x} - 4\sin^3{x} \)
Tüm \( \sin{x} \) ifadeleri yerine \( x \) yazalım.
\( f(x) = 3x - 4x^3 \)
\( f(x) = 0 \) denkleminin köklerini bulalım.
\( 3x - 4x^3 = 0 \)
\( x(\sqrt{3} - 2x)(\sqrt{3} + 2x) = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{ -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2} \} \)
Belirli bir günde bir plajdaki suyun derinliği aşağıdaki fonksiyona göre değişmektedir.
\( D = 8 - 4\sin(\frac{\pi t}{6}) \)
\( D \): Saat 00:00'dan başlayarak \( t \). saatte suyun metre cinsinden derinliği
Buna göre öğleden sonra plajdaki su derinliğinin 6 metre olduğu saatleri bulunuz.
Çözümü GösterSu derinliğinin 6 metre olduğu saatleri bulmak için \( D = 6 \) yazalım.
\( 6 = 8 - 4\sin(\frac{\pi t}{6}) \)
\( \sin(\frac{\pi t}{6}) = \dfrac{1}{2} \)
Sinüs fonksiyonunun periyodu \( 2\pi \)'dir.
Sinüs fonksiyonu \( \frac{1}{2} \) değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( \dfrac{\pi t_1}{6} = \dfrac{\pi}{6} \)
\( \dfrac{\pi t_2}{6} = \dfrac{5\pi}{6} \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( \dfrac{\pi}{6} \) için:
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \dfrac{\pi t_1}{6} = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \)
\( t_1 = 1 + 12k \)
\( \dfrac{5\pi}{6} \) için:
\( \dfrac{\pi t_2}{6} = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \)
\( t_2 = 5 + 12k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( (12, 24) \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( t \in \{13, 17\} \)
Buna göre plajdaki su derinliği öğleden sonra saat 13:00 ve 17:00'de 6 metre olur.
\( (\sqrt{31 + 8\sqrt{15}})^{\sin{x}} + (\sqrt{31 - 8\sqrt{15}})^{\sin{x}} = 8 \)
denkleminin çözüm kümesini radyan cinsinden yazınız.
Çözümü GösterBirinci köklü ifadenin kök içini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( \sqrt{31 + 8\sqrt{15}} = \sqrt{31 + 2\sqrt{240}} \)
\( = \sqrt{16 + 15 + 2\sqrt{16}\sqrt{15}} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{16} + \sqrt{15})^2} \)
\( = \sqrt{16} + \sqrt{15} = 4 + \sqrt{15} \)
Aynı işlemi ikinci köklü ifadeye uygulayalım.
\( \sqrt{31 - 8\sqrt{15}} = 4 - \sqrt{15} \)
Buna göre denklem aşağıdaki şekilde sadeleşir.
\( (4 + \sqrt{15})^{\sin{x}} + (4 - \sqrt{15})^{\sin{x}} = 8 \)
\( (4 - \sqrt{15})(4 + \sqrt{15}) = 1 \) özdeşliğinde birinci çarpanı yalnız bırakalım.
\( 4 - \sqrt{15} = \dfrac{1}{4 + \sqrt{15}} \)
Bu ifadeyi denklemde yerine koyalım.
\( (4 + \sqrt{15})^{\sin{x}} + (\dfrac{1}{4 + \sqrt{15}})^{\sin{x}} = 8 \)
\( (4 + \sqrt{15})^{\sin{x}} + \dfrac{1}{(4 + \sqrt{15})^{\sin{x}}} = 8 \)
\( (4 + \sqrt{15})^{\sin{x}} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t + \dfrac{1}{t} = 8 \)
\( t^2 + 1 = 8t \)
\( t^2 - 8t + 1 = 0 \)
İkinci dereceden denklemlerde kök bulma formülü ile kökleri bulalım.
\( t_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( = \dfrac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(1)}}{2} \)
\( = \dfrac{8 \pm \sqrt{60}}{2} \)
\( = 4 \pm \sqrt{15} \)
Bulduğumuz değeri \( t \) değişkeninin değerine eşitleyelim.
\( (4 + \sqrt{15})^{\sin{x}} = 4 \pm \sqrt{15} \)
\( (4 + \sqrt{15})^{\sin{x}} = t_1 = 4 + \sqrt{15} \) ise:
\( \sin{x} = 1 \)
\( (4 + \sqrt{15})^{\sin{x}} = t_2 = 4 - \sqrt{15} \) ise:
\( (4 + \sqrt{15})^{\sin{x}} = \dfrac{1}{4 + \sqrt{15}} \)
\( (4 + \sqrt{15})^{\sin{x}} = (4 + \sqrt{15})^{-1} \)
\( \sin{x} = -1 \)
Buna göre \( \sin{x} \) için çözüm kümesi aşağıdaki gibidir.
\( \sin{x} = \pm 1 \)
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
Çözüm kümesi: \( x \in \{\dfrac{\pi}{2} + k\pi\} \)
\( 4 - 2\cos^2{x} = 6\sin{x}\cos{x} \) olduğuna göre,
\( \tan{x} \) ifadesinin alabileceği kaç farklı değer vardır?
Çözümü Göster\( 4 = 4\sin^2{x} + 4\cos^2{x} \) yazalım.
\( 4\sin^2{x} + 4\cos^2{x} - 2\cos^2{x} = 6\sin{x}\cos{x} \)
\( 4\sin^2{x} + 2\cos^2{x} = 6\sin{x}\cos{x} \)
Eşitlikler arasında kullanabileceğimiz benzerlikler yaratmaya çalışalım.
\( 6\sin{x}\cos{x} = 4\sin{x}\cos{x} + 2\sin{x}\cos{x} \) yazalım.
\( 4\sin^2{x} + 2\cos^2{x} = 4\sin{x}\cos{x} + 2\sin{x}\cos{x} \)
\( 4\sin{x}\cos{x} \)'i karşıya attığımızda iki terimin toplamı formülüne benzeyen bir ifadeye yaklaşırız.
\( 4\sin^2{x} - 4\sin{x}\cos{x} + 2\cos^2{x} = 2\sin{x}\cos{x} \)
\( \cos^2{x} \)'lerden birini karşıya atalım.
\( 4\sin^2{x} - 4\sin{x}\cos{x} + \cos^2{x} = 2\sin{x}\cos{x} - \cos^2{x} \)
\( (2\sin{x} - \cos{x})^2 = \cos{x}(2\sin{x} - \cos{x}) \)
Tüm terimleri eşitliğin sol tarafında toplayarak \( 2\sin{x} - \cos{x} \) parantezine alalım.
\( (2\sin{x} - \cos{x})^2 - \cos{x}(2\sin{x} - \cos{x}) = 0 \)
\( (2\sin{x} - \cos{x})(2\sin{x} - \cos{x} - \cos{x}) = 0 \)
\( 2(2\sin{x} - \cos{x})(\sin{x} - \cos{x}) = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
Çarpan 1: \( 2\sin{x} - \cos{x} = 0 \)
\( 2\sin{x} = \cos{x} \)
\( \tan{x} = \dfrac{1}{2} \)
Çarpan 2: \( \sin{x} - \cos{x} = 0 \)
\( \sin{x} = \cos{x} \)
\( \tan{x} = 1 \)
Buna göre \( \tan{x} \) ifadesinin alabileceği 2 farklı değer vardır.
\( 90° \le x \lt 180° \) olmak üzere,
\( \cos{x} + \cos(3x) + \cos(5x) + \cos(7x) = 0 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterKosinüs dönüşüm formülünü kullanalım.
\( \cos{x} + \cos{y} = 2\cos(\frac{x + y}{2})\cos(\frac{x - y}{2}) \)
Verilen eşitlikteki terimlerin sırasını düzenleyelim.
\( \cos(7x) + \cos{x} + \cos(5x) + \cos(3x) = 0 \)
\( 2\cos(\frac{7x + x}{2})\cos(\frac{7x - x}{2}) + 2\cos(\frac{5x + 3x}{2})\cos(\frac{5x - 3x}{2}) = 0 \)
\( 2\cos(4x)\cos(3x) + 2\cos(4x)\cos(x) = 0 \)
\( 2\cos(4x)(\cos(3x) + \cos(x)) = 0 \)
Tekrar kosinüs dönüşüm formülünü kullanalım.
\( 2\cos(4x)(2\cos(\frac{3x + x}{2})\cos(\frac{3x - x}{2})) = 0 \)
\( 2\cos(4x)2\cos(2x)\cos{x} = 0 \)
\( \cos(4x)\cos(2x)\cos{x} = 0 \)
Bu çarpanları sıfır yapan değerleri bulalım.
\( \cos(4x) = 0 \) ya da \( \cos(2x) = 0 \) ya da \( \cos{x} = 0 \)
Çarpan 1: \( \cos(4x) = 0 \)
Kosinüs fonksiyonunun periyodu \( 360° \)'dir.
Kosinüs fonksiyonu 0 değerini bir tam periyodu içinde aşağıdaki açı değerlerinde alır.
\( 4x_1 = 90° \)
\( 4x_2 = 270° \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( 90° \) için:
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 4x_1 = 90° + 360° k \)
\( x_1 = 22,5° + 90° k \)
\( 270° \) için:
\( 4x_2 = 270° + 360° k \)
\( x_2 = 67,5° + 90° k \)
Çarpan 2: \( \cos(2x) = 0 \)
\( 2x_1 = 90° \)
\( 2x_2 = 270° \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( 90° \) için:
\( 2x_1 = 90° + 360° k \)
\( x_1 = 45° + 180° k \)
\( 270° \) için:
\( 2x_2 = 270° + 360° k \)
\( x_2 = 135° + 180° k \)
Çarpan 3: \( \cos{x} = 0 \)
\( x_1 = 90° \)
\( x_2 = 270° \)
Bu açı ölçülerine fonksiyonun periyodunun tam sayı katlarını ekleyerek denklemin genel çözümünü bulalım.
\( 90° \) için:
\( x_1 = 90° + 360° k \)
\( 270° \) için:
\( x_2 = 270° + 360° k \)
Bulunan genel çözüm değerlerinden soruda verilen \( [90°, 180°) \) aralığında bulunan değerler denklemin çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{90°, 112,5°, 135°, 157,5°\} \)
\( 0 \le x \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( \cos(4\sin(3x) - 1) = 0 \) eşitliğinin kaç kökü vardır?
Çözümü Göster\( 4\sin(3x) - 1 \) ifadesinin değer aralığını bulalım.
\( -1 \le \sin(3x) \le 1 \)
\( -4 \le 4\sin(3x) \le 4 \)
\( -5 \le 4\sin(3x) - 1 \le 3 \)
\( \cos(4\sin(3x) - 1) = 0 \) ifadesi iki şekilde sağlanır.
\( 4\sin(3x) - 1 = \dfrac{\pi}{2} \) ya da \( 4\sin(3x) - 1 = \dfrac{3\pi}{2} \)
\( 4\sin(3x) - 1 = \dfrac{\pi}{2} \) için:
\( \sin(3x) = \dfrac{\frac{\pi}{2} + 1}{4} = \dfrac{\pi + 2}{8} \)
\( \pi = 3,14... \) yazarsak bu değerin sinüs değer aralığı (\( [-1, 1] \)) içinde olduğunu görürüz.
\( 4\sin(3x) - 1 = \dfrac{3\pi}{2} \) için:
\( \sin(3x) = \dfrac{\frac{3\pi}{2} + 1}{4} = \dfrac{3\pi + 2}{8} \)
\( \pi = 3,14... \) yazarsak bu değerin sinüs değer aralığı (\( [-1, 1] \)) dışında olduğunu görürüz.
Buna göre sadece \( \sin(3x) = \dfrac{\pi + 2}{8} \) geçerli bir çözümdür.
\( \sin(3x) \) fonksiyonunun periyodu \( \frac{2\pi}{3} \) olur, dolayısıyla grafik \( [0, 2\pi) \) aralığında bir tam periyodunu 3 kez tamamlar.
Sinüs fonksiyonu \( (-1, 1) \) açık aralığındaki bir değeri bir periyodunda 2 kez aldığı için \( \frac{\pi + 2}{8} \) değerini 3 periyot içinde 6 kez alır.
\( f(x) = \sin(3x) \) ve \( y = \frac{\pi + 2}{8} \) grafiklerini incelediğimizde iki denklemin bu aralıkta 6 kez kesiştiğini görebiliriz.
\( \cos{x} + x^2 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterDenklemi düzenleyelim.
\( \cos{x} = -x^2 \)
Bu denklemin çözümü cebirsel olarak kolay olmadığı için eşitliğin iki tarafındaki fonksiyonların grafiklerini çizerek kesişim noktalarını bulmaya çalışalım.
Kosinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alır.
\( -x^2 \) fonksiyonu tepe noktası orijinde olan ve kolları aşağı yönlü bir paraboldür.
Grafik çiziminden iki fonksiyonun hiçbir noktada kesişmedikleri gözükse de bundan aşağıdaki şekilde emin olabiliriz.
Kosinüs grafiğinin negatif tarafa geçtiği \( x = -\frac{\pi}{2} \) ve \( x = \frac{\pi}{2} \) noktalarında parabol \( y = -\frac{\pi^2}{4} \approx -2,46 \) ordinat değerli noktalardan geçer. Bu iki nokta da kosinüs fonksiyonunun değer aralığının alt sınırı olan \( -1 \)'den küçüktür, dolayısıyla iki fonksiyon hiçbir noktada kesişmezler.
Çözüm kümesi: \( x \in \emptyset \)