Tümevarım Yöntemiyle İspat

Verilen eşitliği bir \( p(n) \) açık önermesi şeklinde tanımlayalım ve doğruluğunu ispatlamak için tümevarım yöntemini kullanalım.

\( p(n): 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (\dfrac{n(n + 1)}{2})^2 \)

Başlangıç adımı: Önermenin \( n = 1 \) için doğru olduğunu gösterelim.

\( n = 1 \) için sayı dizisi tek bir terimden oluşur.

\( 1^3 \stackrel{?}{=} (\dfrac{1(1 + 1)}{2})^2 \)

\( 1 = 1 \)

Buna göre \( p(1) \) doğrudur.

Tümevarım adımı: \( k \ge 1 \) olmak üzere, önermenin \( n = k \) için doğru olduğunu kabul edelim ve \( n = k + 1 \) için de doğru olduğunu gösterelim.

\( p(k) \Rightarrow p(k + 1) \)

Tümevarım hipotezi: \( p(k) \) önermesinin doğru olduğunu kabul edelim.

\( 1^3 + 2^3 + \ldots + k^3 = (\dfrac{k(k + 1)}{2})^2 \)

\( p(k + 1) \) önermesinin doğru olduğunu gösterelim.

\( 1^3 + 2^3 + \ldots + (k + 1)^3 = \textcolor{red}{(\dfrac{(k + 1)(k + 2)}{2})^2} \)

Eşitliğin sol tarafında son terim dışındaki terimlerin toplamı \( p(k) \) toplam formülüne eşittir.

\( = (\dfrac{k(k + 1)}{2})^2 + (k + 1)^3 \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( = \dfrac{k^2(k + 1)^2}{4} + (k + 1)^2(k + 1) \)

Terimleri \( (k + 1)^2 \) parantezine alalım.

\( = (k + 1)^2[\dfrac{k^2}{4} + (k + 1)] \)

\( = (k + 1)^2\dfrac{k^2 + 4k + 4}{4} \)

\( = \dfrac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4} \)

\( = \textcolor{red}{(\dfrac{(k + 1)(k + 2)}{2})^2} \)

\( p(k + 1) \) önermesindeki eşitliğin sağ tarafını elde etmiş olduk.

O halde \( p(k) \) doğru ise \( p(k + 1) \) de doğru olur.

Dolayısıyla, tümevarım yöntemine göre \( p(n) \) önermesi her \( n \ge 1 \) tam sayısı için doğrudur.

Verilen eşitliği bir \( p(n) \) açık önermesi şeklinde tanımlayalım ve doğruluğunu ispatlamak için tümevarım yöntemini kullanalım.

\( p(n): 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \ldots + n \cdot n! = (n + 1)! - 1 \)

Başlangıç adımı: Önermenin \( n = 1 \) için doğru olduğunu gösterelim.

\( n = 1 \) için sayı dizisi tek bir terimden oluşur.

\( 1 \cdot 1! \stackrel{?}{=} (1 + 1)! - 1 \)

\( 1 = 1 \)

Buna göre \( p(1) \) doğrudur.

Tümevarım adımı: \( k \ge 1 \) olmak üzere, önermenin \( n = k \) için doğru olduğunu kabul edelim ve \( n = k + 1 \) için de doğru olduğunu gösterelim.

\( p(k) \Rightarrow p(k + 1) \)

Tümevarım hipotezi: \( p(k) \) önermesinin doğru olduğunu kabul edelim.

\( 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \ldots + k \cdot k! = (k + 1)! - 1 \)

\( p(k + 1) \) önermesinin doğru olduğunu gösterelim.

\( 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \ldots + (k + 1) \cdot (k + 1)! = \textcolor{red}{(k + 2)! - 1} \)

Eşitliğin sol tarafında son terim dışındaki terimlerin toplamı \( p(k) \) toplam formülüne eşittir.

\( = (k + 1)! - 1 + (k + 1) \cdot (k + 1)! \)

1. ve 3. terimleri \( (k + 1)! \) parantezine alalım.

\( = (k + 1)![1 + (k + 1)] - 1 \)

\( = (k + 1)!(k + 2) - 1 \)

\( = \textcolor{red}{(k + 2)! - 1} \)

\( p(k + 1) \) önermesindeki eşitliğin sağ tarafını elde etmiş olduk.

O halde \( p(k) \) doğru ise \( p(k + 1) \) de doğru olur.

Dolayısıyla, tümevarım yöntemine göre \( p(n) \) önermesi her \( n \ge 1 \) tam sayısı için doğrudur.

Verilen eşitliği bir \( p(n) \) açık önermesi şeklinde tanımlayalım ve doğruluğunu ispatlamak için tümevarım yöntemini kullanalım.

\( p(n): 1(2) + 2(3) + \ldots + n(n + 1) \) \( = \dfrac{n(n + 1)(n + 2)}{3} \)

Başlangıç adımı: Önermenin \( n = 1 \) için doğru olduğunu gösterelim.

\( n = 1 \) için sayı dizisi tek bir terimden oluşur.

\( 1(2) \stackrel{?}{=} \dfrac{1(1 + 1)(1 + 2)}{3} \)

\( 2 = 2 \)

Buna göre \( p(1) \) doğrudur.

Tümevarım adımı: \( k \ge 1 \) olmak üzere, önermenin \( n = k \) için doğru olduğunu kabul edelim ve \( n = k + 1 \) için de doğru olduğunu gösterelim.

\( p(k) \Rightarrow p(k + 1) \)

Tümevarım hipotezi: \( p(k) \) önermesinin doğru olduğunu kabul edelim.

\( 1(2) + 2(3) + \ldots + k(k + 1) = \dfrac{k(k + 1)(k + 2)}{3} \)

\( p(k + 1) \) önermesinin doğru olduğunu gösterelim.

\( 1(2) + 2(3) + \ldots + (k + 1)(k + 2) = \textcolor{red}{\dfrac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3}} \)

Eşitliğin sol tarafında son terim dışındaki terimlerin toplamı \( p(k) \) toplam formülüne eşittir.

\( = \dfrac{k(k + 1)(k + 2)}{3} + (k + 1)(k + 2) \)

Terimleri \( (k + 1)(k + 2) \) parantezine alalım.

\( = (k + 1)(k + 2)(\dfrac{k}{3} + 1) \)

\( = \textcolor{red}{\dfrac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3}} \)

\( p(k + 1) \) önermesindeki eşitliğin sağ tarafını elde etmiş olduk.

O halde \( p(k) \) doğru ise \( p(k + 1) \) de doğru olur.

Dolayısıyla, tümevarım yöntemine göre \( p(n) \) önermesi her \( n \ge 1 \) tam sayısı için doğrudur.

Verilen eşitliği bir \( p(n) \) açık önermesi şeklinde tanımlayalım ve doğruluğunu ispatlamak için tümevarım yöntemini kullanalım.

\( p(n): 1(2)(3) + 2(3)(4) + \ldots + n(n + 1)(n + 2) \) \( = \dfrac{n(n + 1)(n + 2)(n + 3)}{4} \)

Başlangıç adımı: Önermenin \( n = 1 \) için doğru olduğunu gösterelim.

\( n = 1 \) için sayı dizisi tek bir terimden oluşur.

\( 1(2)(3) \stackrel{?}{=} \dfrac{1(1 + 1)(1 + 2)(1 + 3)}{4} \)

\( 6 = 6 \)

Buna göre \( p(1) \) doğrudur.

Tümevarım adımı: \( k \ge 1 \) olmak üzere, önermenin \( n = k \) için doğru olduğunu kabul edelim ve \( n = k + 1 \) için de doğru olduğunu gösterelim.

\( p(k) \Rightarrow p(k + 1) \)

Tümevarım hipotezi: \( p(k) \) önermesinin doğru olduğunu kabul edelim.

\( 1(2)(3) + 2(3)(4) + \ldots + k(k + 1)(k + 2) = \dfrac{k(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{4} \)

\( p(k + 1) \) önermesinin doğru olduğunu gösterelim.

\( 1(2)(3) + 2(3)(4) + \ldots + (k + 1)(k + 2)(k + 3) = \textcolor{red}{\dfrac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4)}{4}} \)

Eşitliğin sol tarafında son terim dışındaki terimlerin toplamı \( p(k) \) toplam formülüne eşittir.

\( = \dfrac{k(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{4} + (k + 1)(k + 2)(k + 3) \)

Terimleri \( (k + 1)(k + 2)(k + 3) \) parantezine alalım.

\( = (k + 1)(k + 2)(k + 3)(\dfrac{k}{4} + 1) \)

\( = \textcolor{red}{\dfrac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4)}{4}} \)

\( p(k + 1) \) önermesindeki eşitliğin sağ tarafını elde etmiş olduk.

O halde \( p(k) \) doğru ise \( p(k + 1) \) de doğru olur.

Dolayısıyla, tümevarım yöntemine göre \( p(n) \) önermesi her \( n \ge 1 \) tam sayısı için doğrudur.

Verilen eşitliği bir \( p(n) \) açık önermesi şeklinde tanımlayalım ve doğruluğunu ispatlamak için tümevarım yöntemini kullanalım.

\( p(n): 3 + 11 + \ldots + (8n - 5) = n(4n - 1) \)

Başlangıç adımı: Önermenin \( n = 1 \) için doğru olduğunu gösterelim.

\( n = 1 \) için sayı dizisi tek bir terimden oluşur.

\( 3 \stackrel{?}{=} 1(4(1) - 1) \)

\( 3 = 3 \)

Buna göre \( p(1) \) doğrudur.

Tümevarım adımı: \( k \ge 1 \) olmak üzere, önermenin \( n = k \) için doğru olduğunu kabul edelim ve \( n = k + 1 \) için de doğru olduğunu gösterelim.

\( p(k) \Rightarrow p(k + 1) \)

Tümevarım hipotezi: \( p(k) \) önermesinin doğru olduğunu kabul edelim.

\( 3 + 11 + \ldots + (8k - 5) = k(4k - 1) \)

\( p(k + 1) \) önermesinin doğru olduğunu gösterelim.

\( 3 + 11 + \ldots + (8(k + 1) - 5) = \textcolor{red}{(k + 1)(4(k + 1) - 1)} \)

Eşitliğin sol tarafında son terim dışındaki terimlerin toplamı \( p(k) \) toplam formülüne eşittir.

\( = k(4k - 1) + (8(k + 1) - 5) \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( = 4k^2 - k + 8k + 3 \)

\( = 4k^2 + 7k + 3 \)

\( = (k + 1)(4k + 3) \)

\( = \textcolor{red}{(k + 1)(4(k + 1) - 1)} \)

\( p(k + 1) \) önermesindeki eşitliğin sağ tarafını elde etmiş olduk.

O halde \( p(k) \) doğru ise \( p(k + 1) \) de doğru olur.

Dolayısıyla, tümevarım yöntemine göre \( p(n) \) önermesi her \( n \ge 1 \) tam sayısı için doğrudur.

Verilen ifadeyi bir \( p(n) \) açık önermesi şeklinde tanımlayalım ve doğruluğunu ispatlamak için tümevarım yöntemini kullanalım.

\( p(n): 6 \mid n^3 - n \)

Başlangıç adımı: Önermenin \( n = 2 \) için doğru olduğunu gösterelim.

\( 2^3 - 2 = 6 \)

\( 6 \mid 6 \)

Buna göre \( p(2) \) doğrudur.

Tümevarım adımı: \( k \ge 2 \) olmak üzere, önermenin \( n = k \) için doğru olduğunu kabul edelim ve \( n = k + 1 \) için de doğru olduğunu gösterelim.

\( p(k) \Rightarrow p(k + 1) \)

Tümevarım hipotezi: \( p(k) \) önermesinin doğru olduğunu kabul edelim.

\( 6 \mid k^3 - k \)

\( p(k + 1) \) önermesinin doğru olduğunu gösterelim.

\( 6 \mid (k + 1)^3 - (k + 1) \)

\( (k + 1)^3 - (k + 1) \) ifadesini düzenleyelim.

\( (k + 1)^3 - (k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1 \)

\( = k^3 + 3k^2 + 2k \)

\( = (k^3 - k) + (3k^2 + 3k) \)

\( = (k^3 - k) + 3k(k + 1) \)

Tümevarım hipotezine göre \( k^3 - k \) ifadesi 6'ya tam bölünür.

\( a \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( k^3 - k = 6a \)

\( k(k + 1) \) ifadesi bir tek ve bir çift sayının çarpımı olduğu için çift sayıdır, dolayısıyla \( 3k(k + 1) \) ifadesi 2 ve 3 çarpanı içerdiği için 6'ya tam bölünür.

\( b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( 3k(k + 1) = 6b \)

\( (k^3 - k) + 3k(k + 1) = 6a + 6b \)

\( = 6(a + b) \)

Buna göre \( (k^3 - k) + 3k(k + 1) \) ifadesi 6'ya tam bölünür.

O halde \( p(k) \) doğru ise \( p(k + 1) \) de doğru olur.

Dolayısıyla, tümevarım yöntemine göre \( p(n) \) önermesi her \( n \ge 2 \) tam sayısı için doğrudur.

Verilen önermeyi bir \( p(n) \) açık önermesi şeklinde tanımlayalım ve doğruluğunu ispatlamak için tümevarım yöntemini kullanalım.

\( p(n): 5 \mid 9^n - 4^n \)

Başlangıç adımı: Önermenin \( n = 1 \) için doğru olduğunu gösterelim.

\( 9^1 - 4^1 = 5 \)

\( 5 \mid 5 \)

Buna göre \( p(1) \) doğrudur.

Tümevarım adımı: \( k \ge 1 \) olmak üzere, önermenin \( n = k \) için doğru olduğunu kabul edelim ve \( n = k + 1 \) için de doğru olduğunu gösterelim.

\( p(k) \Rightarrow p(k + 1) \)

Tümevarım hipotezi: \( p(k) \) önermesinin doğru olduğunu kabul edelim.

\( 5 \mid 9^k - 4^k \)

\( p(k + 1) \) önermesinin doğru olduğunu gösterelim.

\( 5 \mid 9^{k + 1} - 4^{k + 1} \)

\( 9^{k + 1} - 4^{k + 1} \) ifadesini düzenleyelim.

\( 9^{k + 1} - 4^{k + 1} = 9 \cdot 9^k - 4 \cdot 4^k \)

\( = 5 \cdot 9^k + 4 \cdot 9^k - 4 \cdot 4^k \)

\( = 5 \cdot 9^k + 4(9^k - 4^k) \)

Tümevarım hipotezine göre \( 9^k - 4^k \) ifadesi 5'e tam bölünür.

\( a \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( 9^k - 4^k = 5a \)

\( = 5 \cdot 9^k + 4(5a) \)

\( = 5(9^k + 4a) \)

Buna göre \( 9^{k + 1} - 4^{k + 1} \) ifadesi 5'e tam bölünür.

O halde \( p(k) \) doğru ise \( p(k + 1) \) de doğru olur.

Dolayısıyla, tümevarım yöntemine göre \( p(n) \) önermesi her \( n \ge 1 \) tam sayısı için doğrudur.

Verilen eşitsizliği bir \( p(n) \) açık önermesi şeklinde tanımlayalım ve doğruluğunu ispatlamak için tümevarım yöntemini kullanalım.

\( p(n): 4n \lt 2^n \)

Başlangıç adımı: Önermenin \( n = 5 \) için doğru olduğunu gösterelim.

\( 4(5) \stackrel{?}{\lt} 2^5 \)

\( 20 \lt 32 \)

Buna göre \( p(5) \) doğrudur.

Tümevarım adımı: \( k \ge 5 \) olmak üzere, önermenin \( n = k \) için doğru olduğunu kabul edelim ve \( n = k + 1 \) için de doğru olduğunu gösterelim.

\( p(k) \Rightarrow p(k + 1) \)

Tümevarım hipotezi: \( p(k) \) önermesinin doğru olduğunu kabul edelim.

\( 4k \lt 2^k \)

\( p(k + 1) \) önermesinin doğru olduğunu gösterelim.

\( 4(k + 1) \lt 2^{k + 1} \)

\( 4(k + 1) = 4k + 4 \)

Tümevarım hipotezine göre \( 4k \lt 2^k \) olur.

\( \lt 2^k + 4 \)

Her \( k \ge 5 \) için \( 2^k \gt 4 \) olur.

\( \lt 2^k + 2^k \)

\( = 2 \cdot 2^k \)

\( = 2^{k + 1} \)

\( 4(k + 1) \lt 2^{k + 1} \)

O halde \( p(k) \) doğru ise \( p(k + 1) \) de doğru olur.

Dolayısıyla, tümevarım yöntemine göre \( p(n) \) önermesi her \( n \ge 5 \) tam sayısı için doğrudur.

Verilen ifadeyi bir \( p(n) \) açık önermesi şeklinde tanımlayalım ve doğruluğunu ispatlamak için tümevarım yöntemini kullanalım.

\( p(n): x - y \mid x^n - y^n \)

Başlangıç adımı: Önermenin \( n = 1 \) için doğru olduğunu gösterelim.

\( x - y \mid x^1 - y^1 \)

Buna göre \( p(1) \) doğrudur.

Tümevarım adımı: \( k \ge 1 \) olmak üzere, önermenin \( n = k \) için doğru olduğunu kabul edelim ve \( n = k + 1 \) için de doğru olduğunu gösterelim.

\( p(k) \Rightarrow p(k + 1) \)

Tümevarım hipotezi: \( p(k) \) önermesinin doğru olduğunu kabul edelim.

\( x - y \mid x^k - y^k \)

\( p(k + 1) \) önermesinin doğru olduğunu gösterelim.

\( x - y \mid x^{k + 1} - y^{k + 1} \)

\( x^{k + 1} - y^{k + 1} \) ifadesini düzenleyelim.

\( x^{k + 1} - y^{k + 1} = x \cdot x^k - y \cdot y^k \)

\( = [(x - y) \cdot x^k + y \cdot x^k] - y \cdot y^k \)

\( = (x - y)x^k + y(x^k - y^k) \)

Tümevarım hipotezine göre \( x^k - y^k \) ifadesi \( x - y \) ifadesine tam bölünür.

\( a \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( x^k - y^k = a(x - y) \)

\( = (x - y)x^k + ya(x - y) \)

\( = (x - y)(x^k + ya) \)

Buna göre \( x^{k + 1} - y^{k + 1} \) ifadesi \( x - y \) ifadesine tam bölünür.

O halde \( p(k) \) doğru ise \( p(k + 1) \) de doğru olur.

Dolayısıyla, tümevarım yöntemine göre \( p(n) \) önermesi her \( n \ge 1 \) tam sayısı için doğrudur.

Verilen ifadeyi bir \( p(n) \) açık önermesi şeklinde tanımlayalım ve doğruluğunu ispatlamak için tümevarım yöntemini kullanalım.

\( p(n): 9 \mid 4^n + 6n + 8 \)

Başlangıç adımı: Önermenin \( n = 1 \) için doğru olduğunu gösterelim.

\( 4^1 + 6(1) + 8 = 18 \)

\( 9 \mid 18 \)

Buna göre \( p(1) \) doğrudur.

Tümevarım adımı: \( k \ge 1 \) olmak üzere, önermenin \( n = k \) için doğru olduğunu kabul edelim ve \( n = k + 1 \) için de doğru olduğunu gösterelim.

\( p(k) \Rightarrow p(k + 1) \)

Tümevarım hipotezi: \( p(k) \) önermesinin doğru olduğunu kabul edelim.

\( 9 \mid 4^k + 6k + 8 \)

\( p(k + 1) \) önermesinin doğru olduğunu gösterelim.

\( 9 \mid 4^{k + 1} + 6(k + 1) + 8 \)

\( 4^{k + 1} + 6(k + 1) + 8 \) ifadesini düzenleyelim.

\( 4^{k + 1} + 6(k + 1) + 8 = 4 \cdot 4^k + 6k + 14 \)

\( = (4^k + 6k + 8) + 3(4^k + 2) \)

Tümevarım hipotezine göre \( 4^k + 6k + 8 \) ifadesi 9'a tam bölünür.

\( a \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( 4^k + 6k + 8 = 9a \)

\( = 9a + 3(4^k + 2) \)

Yukarıdaki soruda \( x^n - y^n \) ifadesinin \( x - y \) ifadesine bölünebildiğini göstermiştik, buna göre \( 4^n - 1^n = 4^n - 1 \) ifadesi \( 4 - 1 = 3 \)'e tam bölünür.

\( 4^n - 1 \) ifadesi 3'e tam bölünüyorsa \( 4^n + 2 \) ifadesi de tam bölünür. \( 4^k + 2 \) ifadesinin 3'e bölünebilirliği ayrı bir tümevarım ispatı ile de gösterilebilir.

\( 3 \mid 4^n + 2 \)

\( b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( 4^n + 2 = 3b \)

Bu değeri \( p(k + 1) \) önermesindeki bölünende yerine koyalım.

\( = 9a + 3(3b) \)

\( = 9(a + b) \)

Buna göre \( 9 \mid 4^{k + 1} + 6(k + 1) + 8 \) ifadesi 9'a tam bölünür.

O halde \( p(k) \) doğru ise \( p(k + 1) \) de doğru olur.

Dolayısıyla, tümevarım yöntemine göre önerme her \( n \ge 1 \) için doğrudur.

Verilen eşitliği bir \( p(n) \) açık önermesi şeklinde tanımlayalım ve doğruluğunu ispatlamak için tümevarım yöntemini kullanalım.

\( p(n): 1 + x + x^2 + \ldots + x^n = \dfrac{x^{n + 1} - 1}{x - 1} \)

Başlangıç adımı: Önermenin \( n = 1 \) için doğru olduğunu gösterelim.

\( 1 + x^1 = \dfrac{x^{1 + 1} - 1}{x - 1} \)

\( 1 + x = \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} \)

\( 1 + x = x + 1 \)

Buna göre \( p(1) \) doğrudur.

Tümevarım adımı: \( k \ge 1 \) olmak üzere, önermenin \( n = k \) için doğru olduğunu kabul edelim ve \( n = k + 1 \) için de doğru olduğunu gösterelim.

\( p(k) \Rightarrow p(k + 1) \)

Tümevarım hipotezi: \( p(k) \) önermesinin doğru olduğunu kabul edelim.

\( 1 + x + x^2 + \ldots + x^k = \dfrac{x^{k + 1} - 1}{x - 1} \)

\( p(k + 1) \) önermesinin doğru olduğunu gösterelim.

\( 1 + x + x^2 + \ldots + x^{k + 1} = \textcolor{red}{\dfrac{x^{k + 2} - 1}{x - 1}} \)

Eşitliğin sol tarafında son terim dışındaki terimlerin toplamı \( p(k) \) toplam formülüne eşittir.

\( = \dfrac{x^{k + 1} - 1}{x - 1} + x^{k + 1} \)

İfadeyi düzenleyelim.

\( = \dfrac{x^{k + 1} - 1}{x - 1} + \dfrac{x^{k + 1}(x - 1)}{x - 1} \)

\( = \dfrac{x^{k + 1} - 1 + x^{k + 2} - x^{k + 1}}{x - 1} \)

\( = \textcolor{red}{\dfrac{x^{k + 2} - 1}{x - 1}} \)

\( p(k + 1) \) önermesindeki eşitliğin sağ tarafını elde etmiş olduk.

O halde \( p(k) \) doğru ise \( p(k + 1) \) de doğru olur.

Dolayısıyla, tümevarım yöntemine göre \( p(n) \) önermesi her \( n \ge 1 \) tam sayısı için doğrudur.

Verilen eşitliği bir \( p(n) \) açık önermesi şeklinde tanımlayalım ve doğruluğunu ispatlamak için tümevarım yöntemini kullanalım.

\( p(n): a_n = 5n + 3 \)

Başlangıç adımı: Önermenin \( n = 0 \) ve \( n = 1 \) için doğru olduğunu gösterelim.

\( a_0 = 5(0) + 3 = 3 \)

\( a_1 = 5(1) + 3 = 8 \)

Buna göre \( p(0) \) ve \( p(1) \) doğrudur.

Tümevarım adımı: \( k \ge 1 \) olmak üzere, önermenin \( n = k \) için doğru olduğunu kabul edelim ve \( n = k + 1 \) için de doğru olduğunu gösterelim.

\( p(k) \Rightarrow p(k + 1) \)

Tümevarım hipotezi: \( p(k) \) önermesinin doğru olduğunu kabul edelim.

\( a_k = 5k + 3 \)

\( p(k + 1) \) önermesinin doğru olduğunu gösterelim.

\( a_{k+1} = \textcolor{red}{5(k + 1) + 3} \)

Soruda verilen özyinelemeli formülü kullanalım.

\( a_{k+1} = 3a_k - 2a_{k-1} - 5 \)

Tümevarım hipotezine göre \( a_k = 5k + 3 \) olur.

\( = 3(5k + 3) - 2(5(k - 1) + 3) - 5 \)

\( = 15k + 9 - 2(5k - 2) - 5 \)

\( = 15k + 9 - 10k + 4 - 5 \)

\( = 5k + 8 \)

\( = \textcolor{red}{5(k + 1) + 3} \)

\( p(k + 1) \) önermesindeki eşitliğin sağ tarafını elde etmiş olduk.

O halde \( p(k) \) doğru ise \( p(k + 1) \) de doğru olur.

Dolayısıyla, tümevarım yöntemine göre \( p(n) \) önermesi her \( n \ge 0 \) tam sayısı için doğrudur.

Verilen eşitliği bir \( p(n) \) açık önermesi şeklinde tanımlayalım ve doğruluğunu ispatlamak için tümevarım yöntemini kullanalım.

\( p(n): F_0 + F_1 + \ldots + F_n = F_{n+2} - 1 \)

Başlangıç adımı: Önermenin \( n = 0 \) için doğru olduğunu gösterelim.

\( F_2 = F_1 + F_0 = 1 + 0 = 1 \)

\( F_0 \stackrel{?}{=} F_2 - 1 \)

\( 0 = 1 - 1 = 0 \)

Buna göre \( p(0) \) doğrudur.

Tümevarım adımı: \( k \ge 0 \) olmak üzere, önermenin \( n = k \) için doğru olduğunu kabul edelim ve \( n = k + 1 \) için de doğru olduğunu gösterelim.

\( p(k) \Rightarrow p(k + 1) \)

Tümevarım hipotezi: \( p(k) \) önermesinin doğru olduğunu kabul edelim.

\( F_0 + F_1 + \ldots + F_k = F_{k+2} - 1 \)

\( p(k + 1) \) önermesinin doğru olduğunu gösterelim.

\( F_0 + F_1 + \ldots + F_{k+1} = \textcolor{red}{F_{k+3} - 1} \)

Eşitliğin sol tarafında son terim dışındaki terimlerin toplamı \( p(k) \) toplam formülüne eşittir.

\( = (F_{k+2} - 1) + F_{k+1} \)

\( = (F_{k+1} + F_{k+2}) - 1 \)

\( = \textcolor{red}{F_{k+3} - 1} \)

\( p(k + 1) \) önermesindeki eşitliğin sağ tarafını elde etmiş olduk.

O halde \( p(k) \) doğru ise \( p(k + 1) \) de doğru olur.

Dolayısıyla, tümevarım yöntemine göre önerme her \( n \ge 0 \) için doğrudur.

Verilen eşitliği bir \( p(n) \) açık önermesi şeklinde tanımlayalım ve doğruluğunu ispatlamak için tümevarım yöntemini kullanalım.

\( p(n): \dfrac{1}{1 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 5} + \ldots + \dfrac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} \) \( = \dfrac{n}{2n + 1} \)

Başlangıç adımı: Önermenin \( n = 1 \) için doğru olduğunu gösterelim.

\( n = 1 \) için sayı dizisi tek bir terimden oluşur.

\( \dfrac{1}{1 \cdot 3} \stackrel{?}{=} \dfrac{1}{2(1) + 1} \)

\( \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} \)

Buna göre \( p(1) \) doğrudur.

Tümevarım adımı: \( k \ge 1 \) olmak üzere, önermenin \( n = k \) için doğru olduğunu kabul edelim ve \( n = k + 1 \) için de doğru olduğunu gösterelim.

\( p(k) \Rightarrow p(k + 1) \)

Tümevarım hipotezi: \( p(k) \) önermesinin doğru olduğunu kabul edelim.

\( \dfrac{1}{1 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 5} + \ldots + \dfrac{1}{(2k - 1)(2k + 1)} = \dfrac{k}{2k + 1} \)

\( p(k + 1) \) önermesinin doğru olduğunu gösterelim.

\( \dfrac{1}{1 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 5} + \ldots + \dfrac{1}{(2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1)} = \textcolor{red}{\dfrac{k + 1}{2(k + 1) + 1}} \)

Eşitliğin sol tarafında son terim dışındaki terimlerin toplamı \( p(k) \) toplam formülüne eşittir.

\( = \dfrac{k}{2k + 1} + \dfrac{1}{(2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1)} \)

\( = \dfrac{k}{2k + 1} + \dfrac{1}{(2k + 1)(2k + 3)} \)

\( = \dfrac{k(2k + 3)}{(2k + 1)(2k + 3)} + \dfrac{1}{(2k + 1)(2k + 3)} \)

\( = \dfrac{2k^2 + 3k + 1}{(2k + 1)(2k + 3)} \)

\( = \dfrac{(2k + 1)(k + 1)}{(2k + 1)(2k + 3)} \)

\( = \dfrac{k + 1}{2k + 3} \)

\( = \textcolor{red}{\dfrac{k + 1}{2(k + 1) + 3}} \)

\( p(k + 1) \) önermesindeki eşitliğin sağ tarafını elde etmiş olduk.

O halde \( p(k) \) doğru ise \( p(k + 1) \) de doğru olur.

Dolayısıyla, tümevarım yöntemine göre \( p(n) \) önermesi her \( n \ge 1 \) tam sayısı için doğrudur.

Verilen eşitsizliği bir \( p(n) \) açık önermesi şeklinde tanımlayalım ve doğruluğunu ispatlamak için tümevarım yöntemini kullanalım.

\( p(n): \abs{x_1 + x_2 + \ldots + x_n} \le \abs{x_1} + \abs{x_2} + \ldots + \abs{x_n} \)

Başlangıç adımı: Önermenin \( n = 2 \) için doğru olduğunu gösterelim.

\( \abs{x_1 + x_2} \le \abs{x_1} + \abs{x_2} \)

Üçgen eşitsizliğinden bu eşitsizliğin doğru olduğunu biliyoruz.

Buna göre \( p(2) \) doğrudur.

Tümevarım adımı: \( k \ge 2 \) olmak üzere, önermenin \( n = k \) için doğru olduğunu kabul edelim ve \( n = k + 1 \) için de doğru olduğunu gösterelim.

\( p(k) \Rightarrow p(k + 1) \)

Tümevarım hipotezi: \( p(k) \) önermesinin doğru olduğunu kabul edelim.

\( \abs{x_1 + x_2 + \ldots + x_k} \le \abs{x_1} + \abs{x_2} + \ldots + \abs{x_k} \)

\( p(k + 1) \) önermesinin doğru olduğunu gösterelim.

\( \abs{x_1 + x_2 + \ldots + x_{k+1}} \le \abs{x_1} + \abs{x_2} + \ldots + \abs{x_{k+1}} \)

Birinci terimi ilk \( k \) terimin toplamı, ikinci terimi \( (k + 1) \). terim olan aşağıdaki gibi bir ifade yazalım.

\( (x_1 + x_2 + \ldots + x_k) + x_{k+1} \)

Bu iki terimli ifade için üçgen eşitsizliğini yazalım.

\( \abs{(x_1 + x_2 + \ldots + x_k) + x_{k+1}} \le \abs{x_1 + x_2 + \ldots + x_k} + \abs{x_{k+1}} \)

Tümevarım hipotezine göre, bu eşitsizliğin sağ tarafının ilk terimi ilk \( k \) terimin mutlak değerlerinin toplamından küçüktür ya da ona eşittir, dolayısıyla bu terimi kendisinden daha büyük olan bu ifadeyle değiştirebiliriz.

\( \abs{(x_1 + x_2 + \ldots + x_k) + x_{k + 1}} \le \abs{x_1} + \abs{x_2} + \ldots + \abs{x_k} + \abs{x_{k + 1}} \)

Eşitsizliğin iki tarafını düzenleyelim.

\( \abs{x_1 + x_2 + \ldots + x_{k + 1}} \le \abs{x_1} + \abs{x_2} + \ldots + \abs{x_{k + 1}} \)

\( p(k + 1) \) önermesini elde etmiş olduk.

O halde \( p(k) \) doğru ise \( p(k + 1) \) de doğru olur.

Dolayısıyla, tümevarım yöntemine göre \( p(n) \) önermesi her \( n \ge 2 \) tam sayısı için doğrudur.

Verilen eşitsizliği bir \( p(n) \) açık önermesi şeklinde tanımlayalım ve doğruluğunu ispatlamak için tümevarım yöntemini kullanalım.

\( p(n): (1 + x)^n \ge 1 + nx \)

Başlangıç adımı: Önermenin \( n = 1 \) için doğru olduğunu gösterelim.

\( (1 + x)^1 \stackrel{?}{\ge} 1 + 1x \)

\( 1 + x \ge 1 + x \)

Buna göre \( p(1) \) doğrudur.

Tümevarım adımı: \( k \ge 1 \) olmak üzere, önermenin \( n = k \) için doğru olduğunu kabul edelim ve \( n = k + 1 \) için de doğru olduğunu gösterelim.

\( p(k) \Rightarrow p(k + 1) \)

Tümevarım hipotezi: \( p(k) \) önermesinin doğru olduğunu kabul edelim.

\( (1 + x)^k \ge 1 + kx \)

\( p(k + 1) \) önermesinin doğru olduğunu gösterelim.

\( (1 + x)^{k + 1} \ge 1 + (k + 1)x \)

\( (1 + x)^{k + 1} = (1 + x)(1 + x)^k \)

Tümevarım hipotezine göre \( (1 + x)^k \ge 1 + kx \) olur.

\( \ge (1 + x)(1 + kx) \)

\( = 1 + kx + x + kx^2 \)

Her \( k \ge 1 \) için \( kx^2 \ge 0 \) olduğu için eşitsizliğin sağ tarafından \( kx^2 \) çıkarmamız \( \ge \) eşitsizliğini bozmaz.

\( \ge 1 + kx + x \)

\( = 1 + (k + 1)x \)

\( (1 + x)^{k + 1} \ge 1 + (k + 1)x \)

O halde \( p(k) \) doğru ise \( p(k + 1) \) de doğru olur.

Dolayısıyla, tümevarım yöntemine göre \( p(n) \) önermesi her \( n \ge 1 \) tam sayısı için doğrudur.

Verilen ifadeyi bir \( p(n) \) açık önermesi şeklinde tanımlayalım ve doğruluğunu ispatlamak için tümevarım yöntemini kullanalım.

\( p(n) \): \( n \). takım \( (n - 1) \). takımı yendi.

Başlangıç adımı: Önermenin \( n = 2 \) için doğru olduğunu gösterelim.

2 takımlı turnuvada iki takım arasındaki maçı kazanan takım 1, kaybeden takım 2 olarak numaralandırdığında istenen koşul sağlanır.

Buna göre \( p(2) \) doğrudur.

Tümevarım adımı: \( k \ge 2 \) olmak üzere, önermenin \( n = k \) için doğru olduğunu kabul edelim ve \( n = k + 1 \) için de doğru olduğunu gösterelim.

\( p(k) \Rightarrow p(k + 1) \)

Tümevarım hipotezi: \( p(k) \) önermesinin doğru olduğunu kabul edelim.

\( p(k) \) önermesinin doğru olduğunu kabul ettiğimiz için \( k \) takımın istenen şekilde numaralandırılabildiğini varsayabiliriz.

\( p(k + 1) \) önermesinin doğru olduğunu gösterelim.

\( (k + 1) \). takım hiçbir maçı kazanmadıysa \( (k + 1) \) olarak numaralandırılır. Bu durumda takım listenin sonundaki takıma da kaybettiği için liste istenen koşulu sağlamaya devam eder.

\( (k + 1) \). takım en az bir maçı kazandıysa yendiği takımlar içinde listedeki en düşük numaralı takımın numarasına \( m \) diyelim. Bu durumda \( (k + 1) \). takım \( m \). takımın yerine geçer ve listede \( m \). sırada ve sonraki takımların numaraları birer artırılır. \( (k + 1) \). takım \( (m - 1) \). takıma kaybettiği ve \( m \). takımı yendiği için liste istenen koşulu sağlamaya devam eder.

O halde \( p(k) \) doğru ise \( p(k + 1) \) de doğru olur.

Dolayısıyla, tümevarım yöntemine göre \( p(n) \) önermesi her \( n \ge 2 \) tam sayısı için doğrudur.