İspat Yöntemleri
Teoremlerin ispatında kullanılan farklı ispat yöntemleri vardır. Bu bölümde bu yöntemlerden en sık kullanılanlara değineceğiz.
İspatlamak istenen ifadeler farklı sembolik formlara karşılık gelebilirler.
| Önerme Formu | Örnek |
|---|---|
|
Koşullu Önerme \( p \Rightarrow q \) |
\( a \) 6'ya tam bölünüyorsa 3'e tam bölünür. \( n \) rasyonel ise \( n^2 \) rasyoneldir. |
|
Çift Yönlü Koşullu Önerme \( p \Leftrightarrow q \) |
Ancak ve ancak \( n \) tek sayı ise \( n^2 \) tek sayıdır. |
|
Basit Önerme \( p \) |
\( \sqrt{2} \) irrasyoneldir. Sonsuz sayıda asal sayı vardır. |
|
Veya Önermesi \( p \lor q \) |
Bir tam sayı ya tektir ya çifttir. |
Bu bölümde ağırlıklı olarak koşullu önerme formundaki (\( p \Rightarrow q \)) teoremlerin ispatını inceleyeceğiz. Çift yönlü koşullu önerme formundaki (\( p \Leftrightarrow q \)) teoremler aşağıdaki gibi iki koşullu önermenin birleşimi şeklinde yazılabildikleri için, bu bölümde bahsedeceğimiz ispat yöntemleri bu iki koşullu önermeye ayrı ayrı uygulanarak ispatlanabilirler.
\( (p \Leftrightarrow q) \equiv (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p) \)
İspat 1: \( p \Rightarrow q \)
İspat 2: \( q \Rightarrow p \)
Doğrudan İspat Yöntemi
\( p \Rightarrow q \) koşullu önermesinin doğrudan ispat yöntemi ile ispatında aşağıdaki adımlar takip edilir.
- \( p \) önermesinin doğru olduğu kabul edilir.
- \( p \) önermesinin doğruluğundan \( q \) önermesinin doğruluğuna ulaşmak için çıkarımlar yaparak bir gerektirmeler zinciri takip edilir.
- Bu şekilde \( p \) önermesinin doğru olduğu her durumda \( q \) önermesinin doğru olduğu gösterilir.
Bir doğrudan ispat, hipotez ve hüküm adımları arasında pek çok adım içerebilir.
\( p \Rightarrow r_1 \Rightarrow r_2 \Rightarrow \ldots \Rightarrow r_n \Rightarrow q \)
Doğrudan ispat yöntemini bir örnek üzerinde gösterelim.
Bir çift sayının karesinin çift sayı olduğunu gösterelim.
Verilen ifadeyi koşullu önerme şeklinde yazalım.
\( p \): \( x \) çift sayıdır.
\( q \): \( x^2 \) çift sayıdır.
\( p \Rightarrow q \): \( x \) çift sayı ise \( x^2 \) çift sayıdır.
\( p \Rightarrow q \) önermesinin doğrudan ispatını yapalım.
\( x \)'in çift sayı olduğunu kabul edelim.
Bir çift sayı 2 çarpanı içerdiği için aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x = 2k \)
Eşitliğin iki tarafının karesini alalım.
\( x^2 = (2k)^2 = 4k^2 \)
\( = 2 \cdot (2k^2) \)
\( 2k^2 = n \) diyelim.
\( = 2n \)
Tam sayılar arasındaki toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin sonucu yine tam sayı olur.
\( 2k^2 = n \in \mathbb{Z} \)
\( n \) tam sayı olduğu için \( 2n \) çift sayıdır, dolayısıyla \( x^2 = 2n \) eşitliği gereği \( x^2 \) de çift sayıdır.
Bir çift sayının karesinin çift sayı olduğunu göstermiş olduk.
Doğrudan ispat yönteminde sadece \( p \) önermesinin doğru olduğu durumlar dikkate alınır. Bunun sebebi \( p \Rightarrow q \) koşullu önermesinin sadece \( p \)'nin doğru ve \( q \)'nun yanlış olduğu durumda yanlış olması, diğer üç durumda doğru olmasıdır. dolayısıyla koşullu önermenin doğruluğunu göstermek için \( p \)'nin yanlış olduğu durumları dikkate almamıza gerek yoktur, sadece \( p \)'nin doğru olduğu her durumda \( q \)'nun doğru olduğunu göstermemiz yeterlidir.
Aşağıda \( p \Rightarrow q \) koşullu önermesinin doğruluk tablosu hatırlatma amaçlı verilmiştir.
| \( p \) | \( q \) | \( p \Rightarrow q \) |
|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
Bir tek sayının karesinin tek sayı olduğunu gösterin.
Çözümü GösterVerilen ifadeyi koşullu önerme şeklinde yazalım.
\( p \): \( x \) tek sayıdır.
\( q \): \( x^2 \) tek sayıdır.
\( p \Rightarrow q \): \( x \) tek sayı ise \( x^2 \) tek sayıdır.
\( p \Rightarrow q \) önermesinin doğrudan ispatını yapalım.
\( x \)'in tek sayı olduğunu kabul edelim.
Bir tek sayı aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x = 2k + 1 \)
Eşitliğin iki tarafının karesini alalım.
\( x^2 = (2k + 1)^2 \)
\( = (2k)^2 + 2 \cdot 2k + 1^2 \)
\( = 4k^2 + 4k + 1 \)
\( = 2(2k^2 + 2k) + 1 \)
\( 2k^2 + 2k = n \) diyelim.
\( = 2n + 1 \)
Tam sayılar arasındaki toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin sonucu yine tam sayı olur.
\( 2k^2 + 2k = n \in \mathbb{Z} \)
\( n \) tam sayı olduğu için \( 2n \) çift sayıdır, dolayısıyla \( x^2 = 2n + 1 \) eşitliği gereği \( x^2 \) tek sayıdır.
Bir tek sayının karesinin tek sayı olduğunu göstermiş olduk.
\( x \) ve \( y \) tam kare sayılar ise \( xy \) çarpımının da tam kare olduğunu gösterin.
Çözümü GösterVerilen ifadeyi koşullu önerme şeklinde yazalım.
\( p \): \( x \) ve \( y \) tam kare sayılardır.
\( q \): \( xy \) çarpımı tam kare sayıdır.
\( p \Rightarrow q \): \( x \) ve \( y \) tam kare sayılar ise \( xy \) çarpımı da tam kare sayıdır.
\( p \Rightarrow q \) önermesinin doğrudan ispatını yapalım.
\( x \) ve \( y \)'nin tam kare sayılar olduğunu kabul edelim.
\( x \) ve \( y \) sayılarını karesi oldukları tam sayılar cinsinden yazalım.
\( m, n \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( x = m^2 \)
\( y = n^2 \)
İki eşitliği taraf tarafa çarpalım.
\( xy = m^2 \cdot n^2 \)
Üslü sayılar işlem kuralı gereği üsleri aynı olan sayıların çarpımında tabanlar birleştirilebilir.
\( xy = (mn)^2 \)
Tam sayılar arasındaki toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin sonucu yine tam sayı olur.
Buna göre \( mn \) çarpımı bir tam sayıdır, dolayısıyla \( xy = (mn)^2 \) eşitliği gereği \( xy \) bir tam kare sayıdır.
İki tam kare sayının çarpımının da tam kare olduğunu göstermiş olduk.
\( x \) ve \( y \) çift sayılar ise \( x + y \) sayısının çift sayı olduğunu gösterin.
Çözümü GösterVerilen ifadeyi koşullu önerme şeklinde yazalım.
\( p \): \( x \) ve \( y \) çift sayılardır.
\( q \): \( x + y \) çift sayıdır.
\( p \Rightarrow q \): \( x \) ve \( y \) çift sayılar ise \( x + y \) çift sayıdır.
\( p \Rightarrow q \) önermesinin doğrudan ispatını yapalım.
\( x \) ve \( y \)'nin çift sayılar olduğunu kabul edelim.
Çift sayılar 2 çarpanı içerdiği için aşağıdaki şeklinde yazılabilir.
\( m, n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x = 2m \)
\( y = 2n \)
İki eşitliği taraf tarafa toplayalım.
\( x + y = 2m + 2n \)
\( = 2(m + n) \)
\( m + n = k \) diyelim.
\( = 2k \)
Tam sayılar arasındaki toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin sonucu yine tam sayı olur.
\( m + n = k \in \mathbb{Z} \)
\( k \) tam sayı olduğu için \( 2k \) çift sayıdır, dolayısıyla \( x + y = 2k \) eşitliği gereği \( x + y \) de çift sayıdır.
İki çift sayının toplamının çift sayı olduğunu göstermiş olduk.
\( a, b, c \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( a \) sayısı \( b \) sayısını, \( b \) sayısı da \( c \) sayısını tam bölüyorsa \( a \) sayısının \( c \) sayısını tam böldüğünü ispatlayın.
Çözümü GösterVerilen ifadeyi koşullu önerme şeklinde yazalım.
\( p \): \( a \mid b \land b \mid c \)
\( q \): \( a \mid c \)
\( p \Rightarrow q \): \( (a \mid b \land b \mid c) \Rightarrow a \mid c \)
\( p \Rightarrow q \) önermesinin doğrudan ispatını yapalım.
\( a \) sayısının \( b \) sayısını, \( b \) sayısının da \( c \) sayısını tam böldüğünü kabul edelim.
\( a \) tam sayısı \( b \) tam sayısını tam bölüyorsa \( k_1 \) bir tam sayı olacak şekilde aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
\( b = k_1 \cdot a \)
\( b \) tam sayısı \( c \) tam sayısını tam bölüyorsa \( k_2 \) bir tam sayı olacak şekilde aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
\( c = k_2 \cdot b \)
İkinci eşitlikte \( b \) yerine birinci eşitlikteki karşılığını yazalım.
\( c = k_2 \cdot k_1 \cdot a \)
\( k_2 \cdot k_1 = n \) diyelim.
\( = n \cdot a \)
Tam sayılar arasındaki toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin sonucu yine tam sayı olur.
\( k_2 \cdot k_1 = n \in \mathbb{Z} \)
Buna göre \( a \) ile çarpımının sonucu \( c \) olan bir \( n \) tam sayısı vardır, dolayısıyla \( a \) sayısı \( c \)'nin bir çarpanıdır ve \( c \)'yi tam böler.
\( a \mid c \)
Her \( x \in \mathbb{R} \) için \( 4x^2 - 8x + 9 \ne 0 \) olduğunu gösterin.
Çözümü GösterVerilen ifadeyi koşullu önerme şeklinde yazalım.
\( p \): \( x \in \mathbb{R} \)
\( q \): \( 4x^2 - 8x + 9 \ne 0 \)
\( p \Rightarrow q \): \( x \in \mathbb{R} \Rightarrow 4x^2 - 8x + 9 \ne 0 \)
\( p \Rightarrow q \) önermesinin doğrudan ispatını yapalım.
\( x \)'in reel sayı olduğunu kabul edelim.
Verilen ifadeyi düzenleyelim.
\( 4x^2 - 8x + 9 = 4x^2 - 8x + 4 + 5 \)
\( = (2x - 2)^2 + 5 \)
\( x \) bir reel sayı olduğu için \( (2x - 2)^2 \) tam kare ifadesi her zaman sıfıra eşit ya da sıfırdan büyük olur.
\( (2x - 2)^2 \ge 0 \)
Bu ifadeye 5 eklediğimizde sonuç her zaman pozitif olur.
\( (2x - 2)^2 + 5 \gt 0 \)
Buna göre \( 4x^2 - 8x + 9 \) ifadesi hiçbir \( x \) reel sayısı için sıfır ya da negatif olamaz.
Birbirinden farklı her iki rasyonel sayı arasında bir irrasyonel sayı bulunduğunu ispatlayın.
Çözümü GösterHer \( a \) ve \( b \) rasyonel sayısı için \( a \lt x \lt b \) koşulunu sağlayan bir \( x \) irrasyonel sayısı bulunduğunu gösterelim.
\( \forall a, b \in \mathbb{Q}, \exists x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}, a \lt b \Rightarrow a \lt x \lt b \)
\( (0, 1) \) aralığında bir irrasyonel sayı tanımlayalım.
\( \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 0,707... \)
\( 0 \lt \dfrac{\sqrt{2}}{2} \lt 1 \)
Eşitsizliğin taraflarını \( b - a \) ile çarpalım.
\( 0 \lt \dfrac{\sqrt{2}(b - a)}{2} \lt b - a \)
Eşitsizliğin taraflarına \( a \) ekleyelim.
\( a \lt \dfrac{\sqrt{2}(b - a)}{2} + a \lt b \)
İrrasyonel sayılar sayfasında ispatlarını verdiğimiz üzere, (1) bir irrasyonel sayı ile sıfırdan farklı bir rasyonel sayının çarpımı irrasyoneldir ve (2) bir irrasyonel sayı ile bir rasyonel sayının toplamı/farkı yine irrasyoneldir.
Buna göre, \( a \) ve \( b \) sayıları (ve farkları) rasyonel olduğu için aşağıdaki şekilde tanımlı \( x \) sayısı her \( a \) ve \( b \) sayısı için irrasyonel olur.
\( x = \dfrac{\sqrt{2}(b - a)}{2} + a \)
\( a \lt x \lt b \)
Birbirinden farklı her iki rasyonel sayı arasında bir irrasyonel sayı bulunduğunu göstermiş olduk.
Karşıt Tersle İspat Yöntemi
Karşıt tersle ispat yönteminde, \( p \Rightarrow q \) koşullu önermesi yerine ona denk olan karşıt tersinin \( q' \Rightarrow p' \) doğrudan ispatı yapılır. Bu yöntem bir koşullu önermenin karşıt tersinin ispatının daha kolay olduğu durumlarda kullanılır.
\( p \Rightarrow q \equiv q' \Rightarrow p' \)
İSPATI GÖSTER
"İse" önermesini "veya" önermesi şeklinde yazalım.
\( (p \Rightarrow q) \equiv p' \lor q \)
"Veya" önermesinin değişme özelliği vardır.
\( \equiv q \lor p' \)
Bir önermenin değilinin değili kendisine eşittir.
\( \equiv (q')' \lor p' \)
"Veya" önermesini "ise" önermesi şeklinde yazalım.
\( \equiv q' \Rightarrow p' \)
Karşıt tersle ispat yönteminde aşağıdaki adımlar takip edilir.
- \( q' \) önermesinin doğru olduğu kabul edilir.
- \( q' \) önermesinin doğruluğundan yola çıkarak \( p' \) önermesinin doğrudan ispatı yapılır.
- Bu şekilde \( q' \) önermesinin doğru olduğu her durumda \( p' \) önermesinin doğru olduğu gösterilir.
Karşıt tersle ispat yöntemini bir örnek üzerinde gösterelim.
\( x \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 5x + 3 \) tek sayı ise \( x \)'in çift sayı olduğunu gösterelim.
Verilen önermenin doğruluğunu karşıt tersle ispat yöntemi ile ispatlayalım.
Verilen ifadeyi koşullu önerme şeklinde yazalım.
\( p \): \( 5x + 3 \) tek sayıdır.
\( q \): \( x \) çift sayıdır.
\( p \Rightarrow q \): \( 5x + 3 \) tek sayı ise \( x \) çift sayıdır.
Bu koşullu önermenin karşıt tersini yazalım.
\( q' \Rightarrow p' \): \( x \) tek sayı ise \( 5x + 3 \) çift sayıdır.
\( q' \Rightarrow p' \) önermesinin doğrudan ispatını yapalım.
\( x \)'in tek sayı olduğunu kabul edelim.
Bir tek sayı aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x = 2k + 1 \)
\( 5x + 3 \) ifadesinde \( x = 2k + 1 \) yazalım.
\( 5x + 3 = 5(2k + 1) + 3 \)
\( = 10k + 5 + 3 = 10k + 8 \)
\( = 2(5k + 4) \)
\( 5k + 4 = n \) diyelim.
\( = 2n \)
Tam sayılar arasındaki toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin sonucu yine tam sayı olur.
\( 5k + 4 = n \in \mathbb{Z} \)
\( n \) tam sayı olduğu için \( 2n \) sayısı çift sayıdır, dolayısıyla \( 5x + 3 = 2n \) eşitliği gereği \( 5x + 3 \) sayısı da çift sayıdır.
\( x \) tek sayı ise \( 5x + 3 \) ifadesinin çift sayı olduğunu göstermiş olduk.
Verilen koşullu önermenin karşıt tersi doğru olduğu için kendisi de doğrudur.
\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( -3x^4 + 4x^3 - x^2 + 2x - 1 \ge 0 \) ise \( x \ge 0 \) olduğunu gösterin.
Çözümü GösterVerilen ifadeyi koşullu önerme şeklinde yazalım.
\( p \): \( -3x^4 + 4x^3 - x^2 + 2x - 1 \ge 0 \)
\( q \): \( x \ge 0 \)
\( p \Rightarrow q \): \( -3x^4 + 4x^3 - x^2 + 2x - 1 \ge 0 \) ise \( x \ge 0 \)
Verilen önermenin doğruluğunu karşıt tersle ispat yöntemi ile ispatlayalım.
\( p \Rightarrow q \equiv q' \Rightarrow p' \)
\( q' \Rightarrow p' \): \( x \lt 0 \) ise \( -3x^4 + 4x^3 - x^2 + 2x - 1 \lt 0 \)
\( x \lt 0 \) olduğunu kabul edelim.
\( x \lt 0 \) ise aşağıdaki terimlerin tümü sıfırdan küçük olur.
Negatif bir sayının çift sayı kuvveti pozitif, sonrasında \( -3 \) ile çarpımı negatif olur.
\( -3x^4 \lt 0 \)
Negatif bir sayının tek sayı kuvveti negatif, sonrasında \( 4 \) ile çarpımı negatif olur.
\( 4x^3 \lt 0 \)
Negatif bir sayının çift sayı kuvveti pozitif, sonrasında \( -1 \) ile çarpımı negatif olur.
\( -x^2 \lt 0 \)
Negatif bir sayının \( 2 \) ile çarpımı negatif olur.
\( 2x \lt 0 \)
\( -1 \lt 0 \)
Elde ettiğimiz eşitsizlikleri taraf tarafa toplayalım.
\( -3x^4 + 4x^3 - x^2 + 2x - 1 \lt 0 \)
Verilen koşullu önermenin karşıt tersinin doğru olduğunu gösterdiğimiz için koşullu önermenin kendisi de doğru olur.
\( a \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( a^2 \) sayısı 4'e tam bölünmüyorsa \( a \)'nın tek sayı olduğunu gösterin.
Çözümü GösterVerilen ifadeyi koşullu önerme şeklinde yazalım.
\( p \): \( a^2 \) sayısı 4'e tam bölünmez.
\( q \): \( a \) tek sayıdır.
\( p \Rightarrow q \): \( a^2 \) sayısı 4'e tam bölünmüyorsa \( a \) tek sayıdır.
Verilen önermenin doğruluğunu karşıt tersle ispat yöntemi ile ispatlayalım.
\( p \Rightarrow q \equiv q' \Rightarrow p' \)
\( q' \Rightarrow p' \): \( a \) çift sayı ise \( a^2 \) sayısı 4'e tam bölünür.
\( a \)'nın çift sayı olduğunu kabul edelim.
Bir çift sayı aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( a = 2k \)
Eşitliğin iki tarafının karesini alalım.
\( a^2 = (2k)^2 = 4k^2 \)
\( k^2 = n \) diyelim.
\( = 4n \)
Tam sayılar arasındaki toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin sonucu yine tam sayı olur.
\( k^2 = n \in \mathbb{Z} \)
\( n \) tam sayı olduğu için \( a^2 = 4n \) eşitliği gereği \( a^2 \) sayısı 4 çarpanı içerir ve 4'e tam bölünür.
Verilen koşullu önermenin karşıt tersinin doğru olduğunu gösterdiğimiz için koşullu önermenin kendisi de doğrudur.
Çelişkiyle İspat Yöntemi
Çelişkiyle ispat yönteminde aşağıdaki adımlar takip edilir.
- Önermenin değilinin doğru olduğu kabul edilir.
- Önermenin değilinin ispatı yapılırken ispatta kullanılan varsayımlarla çelişen bir durum elde edilir.
- Önermenin değilinin doğru olamayacağı (yanlış olduğu), dolayısıyla önermenin kendisinin doğru olduğu sonucuna varılır.
Bu yönteme göre, ispatlanmak istenen önerme \( p \) şeklinde bir basit önerme ise \( p' \) önermesinin doğru olduğu kabul edilir ve bir çelişki elde edilmeye çalışılır.
İspatlanmak istenen önerme \( p \Rightarrow q \) şeklinde bir koşullu önerme ise \( (p \Rightarrow q)' \equiv p \land q' \) önermesinin (bir diğer ifadeyle \( p \) ve \( q' \) önermelerinin birlikte) doğru olduğu kabul edilir. Bir çelişki elde edildiğinde \( q' \) önermesinin doğru olamayacağı, dolayısıyla \( p \) doğru iken \( q \) önermesinin de doğru olması gerektiği sonucuna varılır.
"En büyük doğal sayı yoktur." önermesinin doğru olduğunu gösterelim.
Verilen önermenin doğruluğunu çelişkiyle ispat yöntemi ile ispatlayalım.
\( p \): En büyük doğal sayı yoktur.
\( p \) önermesinin yanlış olduğunu, yani değilinin doğru olduğunu kabul edelim.
\( p' \): En büyük doğal sayı vardır.
Buna göre en büyük doğal sayı vardır ve bu en büyük doğal sayıya \( n \) diyelim.
\( n \) bir doğal sayı olduğu için \( n + 1 \) de bir doğal sayıdır.
\( n + 1 \gt n \)
En büyük doğal sayı olduğunu varsaydığımız \( n \) sayısından daha büyük bir doğal sayı bulmuş, yani bir çelişki elde etmiş olduk.
O halde \( p' \) yanlıştır, dolayısıyla \( p \) doğrudur.
Sonuç olarak en büyük doğal sayı yoktur.
Bir irrasyonel ve bir rasyonel sayının toplamının/farkının irrasyonel olduğunu gösterin.
Çözümü GösterBir irrasyonel ve bir rasyonel sayının toplamının/farkının irrasyonel olduğunu ispatlamak için çelişkiyle ispat yöntemini kullanalım.
\( m \) irrasyonel ve \( n \) rasyonel olmak üzere iki sayı tanımlayalım ve bu iki sayının toplamının rasyonel olduğunu varsayalım.
Rasyonel sayılar tanım gereği aralarında asal iki sayının oranı şeklinde yazılabilir.
Bu durumda \( n \) rasyonel sayısını ve \( m + n \) toplamının sonucu olan rasyonel sayıyı aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( a, b, c, d \in \mathbb{Z}, \quad b, d \ne 0 \)
\( n = \dfrac{a}{b} \)
\( m + n = m + \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \)
\( m \)'yi yalnız bırakalım.
\( m = \dfrac{c}{d} - \dfrac{a}{b} \)
\( m = \dfrac{bc - ad}{bd} \)
Elde ettiğimiz kesirli ifadenin payı ve paydası birer tam sayıdır ve paydası sıfırdan farklıdır, dolayısıyla ifade bir rasyonel sayıdır.
Takip ettiğimiz adımlar sonucunda \( m \)'yi rasyonel bir sayı olarak bulmuş, dolayısıyla ispatın başında yaptığımız irrasyonel sayı varsayımıyla çelişen bir sonuç elde etmiş olduk.
Buna göre ispatın başında yaptığımız bir irrasyonel ve bir rasyonel sayının toplamının/farkının rasyonel olma varsayımı doğru olamaz, dolayısıyla bu toplam/fark irrasyonel olmak zorundadır.
\( \sqrt{2} \) sayısının bir irrasyonel sayı olduğunu gösterin.
Çözümü Göster\( \sqrt{2} \)'nin irrasyonel olduğunu çelişkiyle ispat yöntemi ile ispatlayalım.
\( \sqrt{2} \)'nin rasyonel bir sayı olduğunu varsayalım.
Rasyonel sayılar tanım gereği aralarında asal iki sayının oranı şeklinde yazılabilir.
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( \sqrt{2} = \dfrac{a}{b} \)
İki tarafın karesini alalım ve \( a^2 \)'yi yalnız bırakalım.
\( 2 = \dfrac{a^2}{b^2} \)
\( a^2 = 2b^2 \)
Eşitliğin sağ tarafında 2 çarpanı olduğu için eşitliğin sol tarafı, dolayısıyla her iki tarafı çift sayı olur.
Bir sayının karesi çift sayı ise kendisi de çifttir. Buna göre \( a^2 \) çift olduğu için \( a \) da çifttir.
\( a \) çift sayı olduğu için aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( a = 2k \)
Bu değeri yukarıdaki eşitlikte yerine koyalım.
\( a^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2b^2 \)
\( b^2 = 2k^2 \)
Yukarıdaki duruma benzer şekilde; eşitliğin sağ tarafında 2 çarpanı olduğu için eşitliğin sol tarafı, dolayısıyla her iki tarafı çift sayı olur.
Bir sayının karesi çift sayı ise kendisi de çifttir. Buna göre \( b^2 \) çift olduğu için \( b \) de çifttir.
Takip ettiğimiz adımlar sonucunda hem \( a \)'nın hem de \( b \)'nin çift sayılar olduğu sonucuna ulaşmış olduk, ancak iki çift sayı ortak 2 çarpanı içerdiği için aralarında asal olamaz, dolayısıyla rasyonel sayıların tanımı ile çelişen bir sonuç elde etmiş olduk.
Buna göre ispatın başında yaptığımız \( \sqrt{2} \)'nin rasyonel olma varsayımı doğru olamaz, dolayısıyla \( \sqrt{2} \) irrasyonel olmak zorundadır.
Niceleyici içeren bir önermeyi çelişkiyle ispat yöntemi ile ispatlamak için tüm ifadenin değilinin doğru olduğu kabul edilir ve bir çelişki elde edilmeye çalışılır.
\( (\forall x, P(x))' \equiv \exists x, P'(x) \)
\( (\exists x, P(x))' \equiv \forall x, P'(x) \)
Aksine Örnek Verme İle İspat Yöntemi
Aksine örnek verme ile ispat yönteminde, verilen önermenin yanlış olduğuna dair bir örnek verilmeye çalışılır.
"Tüm asal sayılar tek sayıdır." önermesinin doğruluğunu ya da yanlışlığını gösterelim.
Önermenin yanlış olduğunu aksine örnek verme yöntemi ile ispatlayalım.
Aksine örnek olarak 2 sayısını seçelim.
2 sayısı asal sayıdır ve tek sayı değildir.
Verilen önermenin aksine bir örnek verebildiğimiz için bu önermenin yanlış olduğunu göstermiş olduk.
"\( m \cdot n \) çift sayı ise \( m \) ve \( n \) birer çift sayıdır." önermesinin doğruluğunu ya da yanlışlığını gösterelim.
Önermenin yanlış olduğunu aksine örnek verme yöntemi ile ispatlayalım.
Aksine örnek olarak \( m = 2 \) ve \( n = 3 \) sayılarını seçelim.
\( m = 2 \) çift, \( n = 3 \) tek sayılardır.
\( m \cdot n = 2 \cdot 3 = 6 \) çarpımı çift sayıdır.
Dolayısıyla çarpımları çift sayı olan sayıların ikisi de çift sayı olmayabilir.
Verilen önermenin aksine bir örnek verebildiğimiz için bu önermenin yanlış olduğunu göstermiş olduk.
"Negatif iki sayının farkı negatiftir." önermesinin doğruluğunu ya da yanlışlığını gösterin.
Çözümü GösterBir önermenin sağlanmadığı en az bir durum gösterebilirsek önermenin yanlış olduğunu göstermiş oluruz.
İki negatif sayı olarak \( -5 \) ve \( -9 \) seçelim.
\( (-5) - (-9) = -5 + 9 = 4 \)
O halde önerme her zaman doğru değildir, dolayısıyla yanlıştır.
\( a \mid b \) ifadesi, \( a \) tam sayısının \( b \) sayısını tam böldüğünü gösterir.
Ahmet, "\( x \mid z \) ve \( y \mid z \) ise \( (x + y) \mid z \) olur." önermesinin yanlış olduğunu göstermek için aksine örnek verme yöntemini kullanmak istiyor.
Buna göre Ahmet aşağıdaki değerlerden hangilerini bu amaçla kullanabilir?
(a) \( x = 2 \), \( y = 4 \) ve \( z = 24 \)
(b) \( x = 4 \), \( y = 5 \) ve \( z = 60 \)
(c) \( x = 6 \), \( y = 9 \) ve \( z = 48 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( 2 \mid 24 \) ve \( 4 \mid 24 \) önermeleri doğrudur.
\( (2 + 4) \mid 24 \) önermesi de doğrudur.
\( (1 \land 1) \Rightarrow 1 \equiv 1 \)
Verilen sayılar önermenin yanlış olduğuna dair örnek teşkil etmez.
(b) seçeneği:
\( 4 \mid 60 \) ve \( 5 \mid 60 \) önermeleri doğrudur.
\( (4 + 5) \mid 60 \) önermesi yanlıştır.
\( (1 \land 1) \Rightarrow 0 \equiv 0 \)
Verilen sayılar önermenin yanlış olduğuna dair örnek teşkil eder.
(c) seçeneği:
\( 6 \mid 48 \) önermesi doğru, ancak \( 9 \mid 48 \) önermesi yanlıştır.
\( (6 + 9) \mid 48 \) önermesi yanlıştır.
\( (1 \land 0) \Rightarrow 0 \equiv 1 \)
Verilen sayılar önermenin yanlış olduğuna dair örnek teşkil etmez.
Buna göre sadece (b) seçeneğindeki değerler verilen önermenin yanlış olduğunu göstermek için kullanılabilir.