İse Bağlacı
\( p \) ile \( q \) önermelerinin "ise" bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye koşullu önerme ya da "\( p \) ise \( q \)" önermesi denir ve "\( p \Rightarrow q \)" şeklinde gösterilir.
"\( p \) ise \( q \)" bileşik önermesi, \( p \) önermesini doğru kabul ediyorsak \( q \) önermesini de doğru kabul etmemiz gerektiği anlamına gelir.
\( p \Rightarrow q \) önermesi; \( p \) doğru ve \( q \) yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur.
\( p \Rightarrow q \) bileşik önermesi için doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.
| \( p \) | \( q \) | \( p \Rightarrow q \) |
|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
Bir Örnekle "İse" Bağlacı
"İse" bağlacının farklı doğruluk durumlarını bir örnek üzerinden inceleyelim.
\( p \): Günlerden pazar.
\( q \): Kahvaltıda omlet yeriz.
Bu durumda \( p \Rightarrow q \) önermesi aşağıdaki gibi olmaktadır.
\( p \Rightarrow q \): Günlerden pazar ise kahvaltıda omlet yeriz.
| Bileşik Önerme | Açıklama |
|---|---|
| \( 1 \Rightarrow 1 \equiv 1 \) | Buna göre günlerden pazardır ve kahvaltıda omlet yemişizdir, dolayısıyla bileşik önerme doğru olur. |
| \( 1 \Rightarrow 0 \equiv 0 \) | Buna göre günlerden pazardır ama kahvaltıda omlet yememişizdir, dolayısıyla bileşik önerme yanlış olur. |
| \( 0 \Rightarrow 1 \equiv 1 \) | Buna göre günlerden pazar değildir ve kahvaltıda omlet yemişizdir. Verilen önerme pazar günleri dışında ne yediğimizle ilgili birşey söylemediği için bu önermeyle çelişen bir durum söz konusu değildir, dolayısıyla önerme doğru olur (diğer bir deyişle yanlış olmaz). |
| \( 0 \Rightarrow 0 \equiv 1 \) | Buna göre günlerden pazar değildir ve kahvaltıda omlet yememişizdir. Verilen önerme pazar günleri dışında ne yediğimizle ilgili birşey söylemediği için bu önermeyle çelişen bir durum söz konusu değildir, dolayısıyla önerme doğru olur (diğer bir deyişle yanlış olmaz). |
Bir "ise" bileşik önermesi aşağıdaki şekilde "veya" bileşik önermesine dönüştürülebilir. Buna göre bu iki bileşik önerme birbirine denktir.
\( p \Rightarrow q \equiv p' \lor q \)
\( p \Rightarrow q \): Günlerden pazar ise kahvaltıda omlet yeriz.
\( p' \lor q \): Günlerden pazar değildir veya kahvaltıda omlet yeriz.
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
| \( p \) | \( q \) | \( p \Rightarrow q \) | \( p' \) | \( p' \lor q \) |
|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
İse Bağlacının Değili
"İse" bileşik önermesinin değili, denk olduğu "veya" bileşik önermesi ve De Morgan kuralı kullanılarak bulunabilir.
\( (p \Rightarrow q)' \equiv (p' \lor q)' \equiv p \land q' \)
\( p \Rightarrow q \): Büyük ikramiyeyi kazanırsam araba alırım.
\( (p \Rightarrow q)' \equiv p \land q' \): Büyük ikramiyeyi kazanırım ve araba almam.
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
| \( p \) | \( q \) | \( p \Rightarrow q \) | \( (p \Rightarrow q)' \) | \( q' \) | \( p \land q' \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
"Ali evde ve okulda değilse maça gitmiştir." koşullu önermesinin değilini bulun.
Çözümü Göster"İse" bileşik önermesinin değili, denk olduğu "veya" bileşik önermesi ve De Morgan kuralı kullanılarak bulunabilir.
\( (p \Rightarrow q)' \equiv (p' \lor q)' \equiv p \land q' \)
Verilen koşullu önermeyi "veya" önermesi şeklinde yazalım.
(Ali evde ve okulda değildir)' veya maça gitmiştir.
Parantez içindeki ifadeye De Morgan kuralını uygulayalım.
Ali evdedir veya okuldadır veya maça gitmiştir.
Bu ifadenin değilini bulalım.
(Ali evdedir veya okuldadır veya maça gitmiştir.)'
Parantez içindeki ifadeye De Morgan kuralını uygulayalım.
Ali evde ve okulda değildir ve maça gitmemiştir.
İse Bağlacı İşlem Özellikleri
"İse" işleminin değişme özelliği yoktur.
\( p \Rightarrow q \not\equiv q \Rightarrow p \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edilmediği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olmadığı görülebilir.
Buna göre "ise" işleminin değişme özelliği yoktur.
| \( p \) | \( q \) | \( p \Rightarrow q \) | \( q \Rightarrow p \) |
|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
"İse" işleminin birleşme özelliği yoktur.
\( (p \Rightarrow q) \Rightarrow r \not\equiv p \Rightarrow (q \Rightarrow r) \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edilmediği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olmadığı görülebilir.
Buna göre "ise" işleminin birleşme özelliği yoktur.
| \( p \) | \( q \) | \( r \) | \( p \Rightarrow q \) | \( q \Rightarrow r \) | \( (p \Rightarrow q) \Rightarrow r \) | \( p \Rightarrow (q \Rightarrow r) \) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
"İse" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği vardır, sağdan dağılma özelliği yoktur.
\( p \Rightarrow (q \land r) \equiv (p \Rightarrow q) \land (p \Rightarrow r) \)
\( (p \land q) \Rightarrow r \not\equiv (p \Rightarrow r) \land (q \Rightarrow r) \)
İSPATI GÖSTER
Soldan dağılma özelliği:
"İse" önermesini "veya" önermesi şeklinde yazalım.
\( p \Rightarrow (q \land r) \equiv p' \lor (q \land r) \)
"Veya" önermesinin "ve" önermesi üzerinde soldan dağılma özelliği vardır.
\( \equiv (p' \lor q) \land (p' \lor r) \)
Parantez içindeki "veya" önermelerini "ise" önermeleri şeklinde yazalım.
\( \equiv (p \Rightarrow q) \land (p \Rightarrow r) \)
Sağdan dağılma özelliği:
"İse" önermesini "veya" önermesi şeklinde yazalım.
\( (p \land q) \Rightarrow r \equiv (p \land q)' \lor r \)
De Morgan kuralını kullanalım.
\( \equiv p' \lor q' \lor r \)
\( r \equiv r \lor r \) olduğu için ifadeye bir \( r \) önermesi ekleyebiliriz.
\( \equiv (p' \lor r) \lor (q' \lor r) \)
Parantez içindeki "veya" önermelerini "ise" önermeleri şeklinde yazalım.
\( \equiv (p \Rightarrow r) \lor (q \Rightarrow r) \)
Elde ettiğimiz ifade \( (p \Rightarrow r) \land (q \Rightarrow r) \) önermesine denk değildir.
"İse" işleminin "veya" işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği vardır, sağdan dağılma özelliği yoktur.
\( p \Rightarrow (q \lor r) \equiv (p \Rightarrow q) \lor (p \Rightarrow r) \)
\( (p \lor q) \Rightarrow r \not\equiv (p \Rightarrow r) \lor (q \Rightarrow r) \)
İSPATI GÖSTER
Soldan dağılma özelliği:
"İse" önermesini "veya" önermesi şeklinde yazalım.
\( p \Rightarrow (q \lor r) \equiv p' \lor (q \lor r) \)
\( \equiv p' \lor q \lor r \)
\( p' \equiv p' \lor p' \) olduğu için ifadeye bir \( p' \) önermesi ekleyebiliriz.
\( \equiv (p' \lor q) \lor (p' \lor r) \)
Parantez içindeki "veya" önermelerini "ise" önermeleri şeklinde yazalım.
\( \equiv (p \Rightarrow q) \lor (p \Rightarrow r) \)
Sağdan dağılma özelliği:
"İse" önermesini "veya" önermesi şeklinde yazalım.
\( (p \lor q) \Rightarrow r \equiv (p \lor q)' \lor r \)
De Morgan kuralını kullanalım.
\( \equiv (p' \land q') \lor r \)
"Veya" önermesinin "ve" önermesi üzerinde sağdan dağılma özelliği vardır.
\( \equiv (p' \lor r) \land (q' \lor r) \)
Parantez içindeki "veya" önermelerini "ise" önermeleri şeklinde yazalım.
\( \equiv (p \Rightarrow r) \land (q \Rightarrow r) \)
Elde ettiğimiz ifade \( (p \Rightarrow r) \lor (q \Rightarrow r) \) önermesine denk değildir.
"İse" işleminin birim (etkisiz) elemanı yoktur.
İse Bağlacı İşlem Kuralları
"İse" bağlacı ile ilgili bazı özdeşlikler aşağıdaki gibidir.
\( p \Rightarrow p \equiv 1 \)
\( p \Rightarrow p' \equiv p' \)
\( p \Rightarrow 1 \equiv 1 \)
\( p \Rightarrow 0 \equiv p' \)
\( 1 \Rightarrow p \equiv p \)
\( 0 \Rightarrow p \equiv 1 \)
\( p \equiv 1 \) ve \( q \equiv 0 \) olduğuna göre,
\( (p \Rightarrow q) \lor [q \Rightarrow (q \land p)] \) ifadesinin doğruluk değeri nedir?
Çözümü GösterVerilen doğruluk değerlerini verilen ifadede yerine koyalım.
\( (p \Rightarrow q) \lor [q \Rightarrow (q \land p)] \)
\( \equiv (1 \Rightarrow 0) \lor [0 \Rightarrow (0 \land 1)] \)
\( \equiv 0 \lor (0 \Rightarrow 0) \)
\( \equiv 0 \lor 1 \equiv 1 \) bulunur.
p: 90 sayısı 2'ye tam bölünür.
q: 90 sayısı 3'e tam bölünür.
r: 90 sayısı 6'ya tam bölünür.
olduğuna göre, \( (p \land q) \Rightarrow r \) önermesinin sözel ifadesi nedir?
Çözümü Göster90 sayısı 2'ye ve 3'e tam bölünüyorsa 6'ya tam bölünür.
\( p \): "Dikdörtgenin köşegenleri birbirini ortalar."
\( q \): "Karenin dört köşegeni vardır."
önermeleri için \( p \Rightarrow q \) bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir?
Çözümü GösterKarşılıklı kenarları paralel olan dörtgenlerde köşegenler birbirini ortaladığı için \( p \) önermesi doğrudur.
Karenin iki köşegeni olduğu için \( q \) önermesi yanlıştır.
\( (p \Rightarrow q) \equiv (1 \Rightarrow 0) \equiv 0 \) bulunur.
\( p: \) “51 asal sayıdır.”
\( q: \) “Ardışık iki tam sayının çarpımı çifttir.”
olmak üzere,
\( p \Rightarrow q, \quad q \Rightarrow p, \quad p' \Rightarrow q', \quad q' \Rightarrow p' \)
bileşik önermelerinin doğruluk değerleri nedir?
Çözümü Göster51 sayısı 3 ile tam bölünebildiği için asal değildir, dolayısıyla \( p \) önermesi yanlıştır.
Ardışık iki tam sayıdan biri çift olacağı için çarpımları çift sayı olur, dolayısıyla \( q \) önermesi doğrudur.
Bu doğruluk değerlerini verilen ifadelerde yerine koyalım.
\( p \Rightarrow q \equiv (0 \Rightarrow 1) \equiv 1 \)
\( q \Rightarrow p \equiv (1 \Rightarrow 0) \equiv 0 \)
\( p' \Rightarrow q' \equiv (0' \Rightarrow 1') \equiv (1 \Rightarrow 0) \equiv 0 \)
\( q' \Rightarrow p' \equiv (1' \Rightarrow 0') \equiv (0 \Rightarrow 1) \equiv 1 \)
\( (p \land q) \Rightarrow r \)
bileşik önermesinin değilinin doğruluk değeri 1 olduğuna göre,
\( p \), \( q \) ve \( r \) önermelerinin doğruluk değerleri nedir?
Çözümü Göster\( (p \land q) \Rightarrow r \) bileşik önermesinin değilinin doğruluk değeri 1 ise kendisinin doğruluk değeri 0'dır.
\( (p \land q) \Rightarrow r \equiv 0 \)
"İse" bileşik önermesi, bileşeni olan birinci önerme doğru ve ikinci önerme yanlış olduğunda yanlış olur.
\( p \land q \equiv 1, \quad r \equiv 0 \)
"Ve" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü doğru olduğunda doğru olur.
\( p \equiv 1, \quad q \equiv 1 \)
Buna göre üç önermenin doğruluk değerleri aşağıdaki gibi olur.
\( p \equiv q \equiv 1, \quad r \equiv 0 \)
\( [r \Rightarrow (p \lor q)] \lor p \equiv 0 \) olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
(a) \( p \equiv 0, q \equiv 0, r \equiv 1 \)
(b) \( p \equiv 0, q \equiv 1, r \equiv 1 \)
(c) \( p \equiv 0, q \equiv 1, r \equiv 0 \)
(d) \( p \equiv 1, q \equiv 0, r \equiv 1 \)
(e) \( p \equiv 1, q \equiv 1, r \equiv 1 \)
Çözümü Göster"Veya" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü yanlış olduğunda yanlış olur.
\( r \Rightarrow (p \lor q) \equiv 0 \) ve \( p \equiv 0 \)
"İse" bileşik önermesi, bileşeni olan birinci önerme doğru ve ikinci önerme yanlış olduğunda yanlış olur.
\( r \equiv 1 \) ve \( p \lor q \equiv 0 \)
\( p \equiv 0 \) olduğu için \( q \equiv 0 \) olmalıdır.
\( p \equiv q \equiv 0, \quad r \equiv 1 \)
Buna göre doğru cevap (a) olur.
"\( x \) sayısının mutlak değeri 1 ise \( x \)'in değeri 1 veya -1'dir." ifadesini mantık sembolleri kullanarak yazın.
Çözümü Göster\( (\abs{x} = 1) \Rightarrow [(x = 1) \lor (x = -1)] \)
"\( x \) ve \( y \) birer doğal sayı ise \( x + y \) toplamı bir doğal sayıdır." ifadesini mantık sembolleri kullanarak yazın.
Çözümü Göster\( [(x \in \mathbb{N}) \land (y \in \mathbb{N})] \Rightarrow (x + y) \in \mathbb{N} \)
\( (q \Rightarrow p)' \land q' \) bileşik önermesinin en sade şekli nedir?
Çözümü Göster"İse" bileşik önermesini "veya" önermesi olarak yazalım.
\( (q \Rightarrow p)' \land q' \equiv (q' \lor p)' \land q' \)
Parantez içindeki ifadeye De Morgan kuralını uygulayalım.
\( \equiv (q \land p') \land q' \)
"Ve" işleminin birleşme ve değişme özellikleri olduğu için parantezi kaldırıp önermelerin sırasını değiştirebiliriz.
\( \equiv q \land q' \land p' \)
\( \equiv 0 \land p' \equiv 0 \)
\( (p \Rightarrow q')' \land r \equiv 1 \) ise,
\( p \), \( q \) ve \( r \) önermelerinin doğruluk değerleri nedir?
Çözümü Göster"Ve" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü doğru olduğunda doğru olur.
\( (p \Rightarrow q')' \equiv 1 \) ve \( r \equiv 1 \)
\( (p \Rightarrow q')' \equiv 1 \) ise:
\( p \Rightarrow q' \equiv 0 \)
"İse" bileşik önermesi, bileşeni olan birinci önerme doğru ve ikinci önerme yanlış olduğunda yanlış olur.
\( p \equiv 1 \) ve \( q' \equiv 0 \)
\( q \equiv 1 \)
Buna göre önermelerin doğruluk değerleri aşağıdaki gibi olur.
\( p \equiv q \equiv r \equiv 1 \)
\( (q \Rightarrow p)' \Rightarrow q \equiv 1 \) olduğunu doğruluk tablosu kullanmadan gösteriniz.
Çözümü Göster"İse" bileşik önermesini "veya" önermesi olarak yazalım.
\( (q \Rightarrow p)' \Rightarrow q \equiv (q' \lor p)' \Rightarrow q \)
Parantez içindeki ifadeye De Morgan kuralını uygulayalım.
\( \equiv (q \land p') \Rightarrow q \)
"İse" bileşik önermesini "veya" önermesi olarak yazalım.
\( \equiv (q \land p')' \lor q \)
Parantez içindeki ifadeye De Morgan kuralını uygulayalım.
\( \equiv (q' \lor p) \lor q \)
"Veya" işleminin birleşme ve değişme özellikleri olduğu için parantezi kaldırıp işlem sırasını değiştirebiliriz.
\( \equiv p \lor q' \lor q \)
\( \equiv p \lor 1 \equiv 1 \)
\( [p \Rightarrow (q \land p)] \Rightarrow [q \lor (p \lor q)'] \) bileşik önermesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster"İse" bileşik önermesini "veya" önermesi olarak yazalım.
\( [p' \lor (q \land p)] \Rightarrow [q \lor (p \lor q)'] \)
De Morgan kuralını kullanalım.
\( \equiv [p' \lor (q \land p)] \Rightarrow [q \lor (p' \land q')] \)
"Veya" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan dağılma özelliğini kullanalım.
\( \equiv [(p' \lor q) \land (p' \lor p)] \Rightarrow [(q \lor p') \land (q \lor q')] \)
\( \equiv [(p' \lor q) \land 1] \Rightarrow [(q \lor p') \land 1] \)
\( \equiv (p' \lor q) \Rightarrow (q \lor p') \)
"İse" bileşik önermesini "veya" önermesi olarak yazalım.
\( \equiv (p' \lor q)' \lor (q \lor p') \)
"Veya" işleminin değişme özelliği vardır.
\( \equiv (q \lor p')' \lor (q \lor p') \)
\( q \lor p' \) bileşik önermesine \( r \) diyelim.
\( \equiv r' \lor r \)
\( \equiv 1 \) bulunur.
\( (p \Rightarrow q)' \lor (q' \Rightarrow p)' \) bileşik önermesinin en sade şekli nedir?
Çözümü Göster"İse" bileşik önermelerini "veya" önermeleri olarak yazalım.
\( (p \Rightarrow q)' \lor (q' \Rightarrow p)' \equiv (p' \lor q)' \lor (q \lor p)' \)
Her iki paranteze De Morgan kuralını uygulayalım.
\( \equiv (p \land q') \lor (q' \land p') \)
"Ve" işleminin değişme özelliği vardır.
\( \equiv (q' \land p) \lor (q' \land p') \)
Bu ifade "ve" işleminin "veya" işlemi üzerine dağılma özelliğinin uygulanmış hali olduğu için ifadeyi \( q' \) parantezine alalım.
\( \equiv q' \land (p \lor p') \)
\( \equiv q' \land 1 \equiv q' \)
\( p: x \in \mathbb{Z} \)
\( q: \abs{x} \ge 4 \)
\( r: x \lt -1 \)
önermeleri veriliyor.
\( (p \Rightarrow q) \lor r \) önermesi yanlış olduğuna göre, \( x \)'in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster"Veya" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü yanlış olduğunda yanlış olur.
\( p \Rightarrow q \equiv 0 \) ve \( r \equiv 0 \)
"İse" bileşik önermesi, bileşeni olan birinci önerme doğru ve ikinci önerme yanlış olduğunda yanlış olur.
\( p \equiv 1 \) ve \( q \equiv 0 \)
Bu doğruluk değerlerine göre verilen önermeleri inceleyelim.
\( p \equiv 1 \) olduğu için \( x \in \mathbb{Z} \) olur.
\( q \equiv 0 \) olduğu için \( \abs{x} \lt 4 \) olur.
\( r \equiv 0 \) olduğu için \( x \ge -1 \) olur.
Buna göre \( x \)'in alabileceği değerler aşağıdaki gibidir.
\( x \in \{ -1, 0, 1, 2, 3 \} \)
\( x \)'in alabileceği değerler toplamı 5'tir.
\( p: x \cdot y \cdot z \lt 0 \)
\( q: x^3 \cdot y^2 \gt 0 \)
\( r: x^2 \cdot z \gt 0 \)
önermeleri veriliyor.
\( (p \Rightarrow q')' \land r \) önermesi doğru olduğuna göre, \( x, y, z \)'nin işaretleri nedir?
Çözümü Göster\( (p \Rightarrow q')' \land r \equiv 1 \)
"İse" bileşik önermesini "veya" önermesi olarak yazalım.
\( (p' \lor q')' \land r \equiv 1 \)
Parantez içindeki ifadeye De Morgan kuralını uygulayalım.
\( (p \land q) \land r \equiv 1 \)
"Ve" işleminin değişme ve birleşme özellikleri olduğu için, sadece "ve" bağlaçlarından oluşan bir bileşik önermede önermeler arasındaki parantezler kaydırılabilir ya da kaldırılabilir ve önermelerin sırası değiştirilebilir.
\( p \land q \land r \equiv 1 \)
"Ve" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü doğru olduğunda doğru olur.
\( p \equiv q \equiv r \equiv 1 \)
\( q \) doğru olduğuna göre \( x \) pozitiftir, \( r \) doğru olduğuna göre \( z \) pozitiftir, \( p \) doğru olduğuna göre \( y \) negatiftir.
\( x \gt 0, \quad y \lt 0, \quad z \gt 0 \)
\( p' \lor r \equiv 1 \)
\( s \Rightarrow 0 \equiv 0 \)
önermeleri veriliyor.
\( [(p \Rightarrow q) \lor (q \lor r)] \land (p \lor s) \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster\( s \Rightarrow 0 \equiv 0 \) olduğuna göre \( s \) önermesi doğrudur.
\( s \equiv 1 \)
Doğruluk değeri sorulan önermeyi sadeleştirelim.
\( [(p \Rightarrow q) \lor (q \lor r)] \land (p \lor s) \)
\( \equiv [(p \Rightarrow q) \lor (q \lor r)] \land (p \lor 1) \)
\( \equiv [(p \Rightarrow q) \lor (q \lor r)] \land 1 \)
\( \equiv (p \Rightarrow q) \lor (q \lor r)\)
"İse" bileşik önermesini "veya" önermesi olarak yazalım.
\( \equiv (p' \lor q) \lor (q \lor r)\)
"Veya" işleminin değişme ve birleşme özellikleri olduğu için, sadece "veya" bağlaçlarından oluşan bir bileşik önermede önermeler arasındaki parantezler kaydırılabilir ya da kaldırılabilir ve önermelerin sırası değiştirilebilir.
\( \equiv p' \lor q \lor q \lor r \)
\( \equiv (q \lor q) \lor (p' \lor r) \)
\( \equiv q \lor 1 \equiv 1 \)
\( (p' \lor q) \Rightarrow r \) önermesinin yanlış olduğu biliniyor.
Buna göre, aşağıdaki önermelerden hangileri her zaman doğrudur?
I. \( p \lor q \)
II. \( q \Rightarrow r \)
III. \( r \Rightarrow p \)
Çözümü Göster\( (p' \lor q) \Rightarrow r \equiv 0 \)
"İse" bileşik önermesi, bileşeni olan birinci önerme doğru ve ikinci önerme yanlış olduğunda yanlış olur.
\( p' \lor q \equiv 1 \) ve \( r \equiv 0 \)
\( p \) ve \( q \)'nun üç farklı doğruluk durumunda \( p' \lor q \equiv 1 \) olur.
\( (p \equiv q \equiv 1), (p \equiv q \equiv 0), (p \equiv 0, q \equiv 1) \)
Sorudaki önermelerin doğruluk değerlerini bu üç durum için değerlendirelim.
I. önerme ikinci durumda yanlış olur.
II. önerme \( q \equiv 1 \) olduğunda yanlış olur.
III. önerme \( r \equiv 0 \) olduğu için her zaman doğrudur.
Buna göre III. önerme her zaman doğrudur.
\( r \Rightarrow (r \Rightarrow (\ldots (r \Rightarrow (r \Rightarrow r)))) \)
bileşik önermesi 703 tane \( r \) önermesi içerdiğine göre, önermenin sonucu nedir?
Çözümü GösterEn içteki önermenin değerini bulalım.
\( (r \Rightarrow r) \equiv 1 \)
Bir dıştaki önermenin değerini bulalım.
\( [r \Rightarrow (r \Rightarrow r)] \equiv (r \Rightarrow 1) \equiv 1 \)
Görülebileceği üzere, en içten dışa doğru ilerledikçe her adımda 1 değeri bulunur.
Verilen bileşik önermenin doğruluk değeri 1'dir.
\( (AB) \) iki basamaklı bir doğal sayıdır.
\( p \): \( (AB) \) bir asal sayıdır.
\( q \): \( (AB) \) bir çift sayıdır.
\( r \): \( A + B = 17 \)
önermeleri veriliyor.
\( (p' \lor r') \lor (p \Rightarrow q) \equiv 0 \) olduğuna göre, \( 2A + 3B \) kaçtır?
Çözümü Göster"Veya" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü yanlış olduğunda yanlış olur.
\( (p' \lor r') \lor (p \Rightarrow q) \equiv 0 \) ise,
\( p' \lor r' \equiv 0 \) ve \( p \Rightarrow q \equiv 0 \)
\( p' \equiv 0, \quad p \equiv 1 \)
\( r' \equiv 0 , \quad r \equiv 1 \)
\( (p \Rightarrow q) \equiv (1 \Rightarrow q) \equiv 0 \)
\( q \equiv 0 \)
\( p \) ve \( r \) önermeleri doğru, \( q \) önermesi yanlıştır.
Buna göre, \( (AB) \) asal sayıdır ve tektir, ayrıca \( A + B = 17 \) olur.
Toplamları 17 olan iki rakam 9 ve 8'dir.
Verilen koşulları sağlayan \( (AB) \) sayısı \( 89 \) olur.
\( A = 8, \quad B = 9 \)
\( 2A + 3B = 2 \cdot 8 + 3 \cdot 9 = 43 \) bulunur.
Atakan, Berkay, Sena ve Kutay; babaannelerinin misafirler için yaptığı pastayı kimlerin yediği ile ilgili olarak aşağıdakileri söylüyorlar.
\( p \): Atakan: "Yiyenlerden biri Berkay'dı."
\( q \): Berkay: "Yiyenlerden biri Atakan'dı."
\( r \): Sena: "Yiyenler 2 kişiydi."
\( s \): Kutay: "Ben yemedim."
\( p' \lor s \lor (q' \Rightarrow r) \equiv 0 \) olduğuna göre, pastayı kimler yemiştir?
Çözümü Göster"Veya" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü yanlış olduğunda yanlış olur.
\( p' \lor s \lor (q' \Rightarrow r) \equiv 0 \) ise,
\( p' \equiv 0, \quad p \equiv 1 \)
\( s \equiv 0 \)
\( q' \Rightarrow r \equiv 0 \)
"İse" bileşik önermesi, bileşeni olan birinci önerme doğru ve ikinci önerme yanlış olduğunda yanlış olur.
\( q' \equiv 1, \quad q \equiv 0 \)
\( r \equiv 0 \)
Verilen önermelerin doğruluk değerleri özetle aşağıdaki gibidir.
\( p \equiv 1, \quad q \equiv r \equiv s \equiv 0 \)
Buna göre Atakan doğru söylemektedir, dolayısıyla pastayı yiyenlerden biri Berkay'dır.
Berkay yalan söylemektedir, dolayısıyla pastayı yiyenlerden biri Atakan değildir.
Sena yalan söylemektedir, dolayısıyla pastayı yiyen kişi sayısı 2 değildir.
Kutay yalan söylemektedir, dolayısıyla pastayı yiyenlerden biridir.
Berkay ve Kutay'ın pastadan yediği ve yiyen kişi sayısının 2 olmadığı bilindiğine göre, Sena da pastadan yemiştir.
O halde pastayı yiyenler Berkay, Sena ve Kutay'dır.
Bir yarışmaya katılan yarışmacının arasından seçim yapacağı dört kapının arkasında araba, televizyon, cep telefonu ve tatil ödülleri vardır.
\( p \): "D kapısının arkasında cep telefonu yoktur."
\( q \): "C kapısının arkasında tatil yoktur."
\( r \): "A kapısının arkasında televizyon vardır."
Yukarıdaki önermeler için \( (p \veebar q) \Rightarrow (q \Leftrightarrow r) \) önermesi yanlış ve \( (p \Leftrightarrow q) \veebar r \) önermesi doğru olduğuna göre, yarışmacı araba ödülünü kazanmak için hangi kapıyı seçmelidir?
Çözümü Göster\( p, q, r \) önermeleri için bir doğruluk tablosu oluşturalım ve verilen bileşik önermelerin doğruluk değerlerini gösterelim.
| \( p \) | \( q \) | \( r \) | \( p \veebar q \) | \( q \Leftrightarrow r \) | \( p \Leftrightarrow q \) | \( (p \veebar q) \Rightarrow (q \Leftrightarrow r) \) | \( (p \Leftrightarrow q) \veebar r \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
Bileşik önermeler verilen doğruluk değerlerine sadece aşağıdaki durumda sahip olurlar.
\( p \equiv 1, \quad q \equiv 0, \quad r \equiv 1 \)
\( r \) önermesi doğru olduğu için A kapısının arkasında televizyon ödülü vardır.
\( q \) önermesi yanlış olduğu için tatil ödülü C kapısının arkasında olmalıdır.
\( p \) önermesi doğru olduğu için D kapısının arkasında cep telefonu ödülü yoktur, dolayısıyla cep telefonu B kapısının arkasında olmalıdır.
Bu durumda araba ödülü D kapısının arkasındadır.
Yarışmacı araba ödülünü kazanmak için D kapısını seçmelidir.
\( x, y \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( p: x + y = 1 \)
\( q: x \cdot y = 0 \)
\( r: x^2 - y^2 = 1 \)
önermeleri veriliyor.
\((q \land r) \Rightarrow p \) önermesinin yanlış olduğu bilindiğine göre, \( (x, y) \) sıralı ikilisini bulunuz.
Çözümü Göster\( (q \land r) \Rightarrow p \equiv 0 \)
"İse" bileşik önermesi, bileşeni olan birinci önerme doğru ve ikinci önerme yanlış olduğunda yanlış olur.
\( (q \land r) \equiv 1 \) ve \( p \equiv 0 \)
"Ve" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü doğru olduğunda doğru olur.
\( q \equiv 1, \quad r \equiv 1 \)
Bu doğruluk değerlerine göre verilen önermeleri inceleyelim.
\( p \equiv 0 \) olduğu için \( x + y \ne 1 \) olur.
\( q \equiv 1 \) olduğu için \( x \cdot y = 0 \) olur.
\( r \equiv 1 \) olduğu için \( x^2 - y^2 = 1 \) olur.
Bu bilgiler doğrultusunda \( x \) ve \( y \) tam sayılarından en az biri 0'dır. Kareleri farkı 1 ise \( x^2 = 1 \) ve \( y = 0 \) olmalıdır. Toplamları 1 olmadığına göre \( x = -1 \) olur.
Buna göre, \( (x, y) = (-1, 0) \) bulunur.
Aşağıdaki ifadenin \( (p \land q) \Rightarrow r \) ifadesine denk olduğunu gösterin.
\( (p \land r') \Rightarrow q' \)
Çözümü Göster\( (p \land r') \Rightarrow q' \)
"İse" ifadesini "veya" ifadesi şeklinde yazalım.
\( (p \land r')' \lor q' \)
Parantez içindeki ifadeye De Morgan kuralını uygulayalım.
\( p' \lor (r')' \lor q' \)
\( p' \lor r \lor q' \)
"Veya" işleminin değişme ve birleşme özellikleri olduğu için, sadece "veya" bağlaçlarından oluşan bir bileşik önermede önermeler arasındaki parantezler kaydırılabilir ya da kaldırılabilir ve önermelerin sırası değiştirilebilir.
\( (p' \lor q') \lor r \)
Parantez içindeki ifadeye De Morgan kuralını tersten uygulayalım.
\( (p \land q)' \lor r \)
"Veya" ifadesini "ise" ifadesi şeklinde yazalım.
\( (p \land q) \Rightarrow r \)
Ters, Karşıt ve Karşıt Ters
Bir koşullu önermenin tersi, karşıtı ve karşıt tersi; koşullu önermeden türetilen üç farklı koşullu önermedir.
Bir koşullu önermenin tersinde önermelerin değilleri alınır, karşıtında önermeler aralarında yer değiştirir, karşıt tersinde ise önermeler hem aralarında yer değiştirir, hem de önermelerin değilleri alınır.
\( p \Rightarrow q \) koşullu önermesinin;
Tersi: \( p' \Rightarrow q' \)
Karşıtı: \( q \Rightarrow p \)
Karşıt tersi: \( q' \Rightarrow p' \)
Önerme: Bir şekil kare ise o şekil bir dörtgendir.
Tersi: Bir şekil kare değilse o şekil bir dörtgen değildir.
Karşıtı: Bir şekil dörtgen ise o şekil bir karedir.
Karşıt Tersi: Bir şekil dörtgen değilse o şekil bir kare değildir.
Aşağıdaki tabloda bir koşullu önerme, tersi, karşıtı ve karşıt tersi için doğruluk değerleri verilmiştir.
| \( p \) | \( q \) | \( p \Rightarrow q \) | \( p' \Rightarrow q' \) | \( q \Rightarrow p \) | \( q' \Rightarrow p' \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
Bu tablodan da görülebileceği üzere, bir koşulluk önerme karşıt tersine denktir.
\( (p \Rightarrow q) \equiv (q' \Rightarrow p') \)
İSPATI GÖSTER
"İse" önermesini "veya" önermesi şeklinde yazalım.
\( (p \Rightarrow q) \equiv p' \lor q \)
"Veya" önermesinin değişme özelliği vardır.
\( \equiv q \lor p' \)
Bir önermenin değilinin değili kendisine eşittir.
\( \equiv (q')' \lor p' \)
"Veya" önermesini "ise" önermesi şeklinde yazalım.
\( \equiv q' \Rightarrow p' \)
Yukarıda verdiğimiz örneği kullanırsak, bir şekil kare ise o şekil aynı zamanda bir dörtgendir. Bu önermenin tersi ve karşıtı olan önermeler her zaman doğru olmasa da, karşıt tersi her zaman doğrudur, yani bir şekil dörtgen değilse şekil bir kare olamaz.
Bir koşullu önermenin karşıt tersine denkliğini ispat yöntemleri konusunda sıklıkla kullanılan bir ispat yöntemi olarak inceleyeceğiz.
Aşağıda verilen sözlü koşullu önermelerin tersini, karşıtını ve karşıt tersini bulun.
(a) Eğer çimleri biçersen sana 100 TL veririm.
(b) İyilik yaparsan iyilik bulursun.
(c) Kar yağıyorsa mevsim kıştır.
Çözümü GösterBir koşullu önermenin tersinde önermelerin değilleri alınır, karşıtında önermeler aralarında yer değiştirir, karşıt tersinde ise önermeler hem aralarında yer değiştirir, hem de önermelerin değilleri alınır.
(a) seçeneği:
Önerme: Eğer çimleri biçersen sana 100 TL veririm.
Tersi: Eğer çimleri biçmezsen sana 100 TL vermem.
Karşıtı: Eğer sana 100 TL verirsem çimleri biçersin.
Karşıt tersi: Eğer sana 100 TL vermezsem çimleri biçmezsin.
(b) seçeneği:
Önerme: İyilik yaparsan iyilik bulursun.
Tersi: İyilik yapmazsan iyilik bulmazsın.
Karşıtı: İyilik bulursan iyilik yaparsın.
Karşıt tersi: İyilik bulmazsan iyilik yapmazsın.
(c) seçeneği:
Önerme: Kar yağıyorsa mevsim kıştır.
Tersi: Kar yağmıyorsa mevsim kış değildir.
Karşıtı: Mevsim kışsa kar yağıyordur.
Karşıt tersi: Mevsim kış değilse kar yağmıyordur.
\( p' \Rightarrow q \) koşullu önermesinin tersi, karşıtı ve karşıt tersi nedir?
Çözümü GösterBir koşullu önermenin tersinde önermelerin değilleri alınır.
\( p \Rightarrow q' \)
Bir koşullu önermenin karşıtında önermeler yer değiştirir.
\( q \Rightarrow p' \)
Bir koşullu önermenin karşıt tersinde önermeler hem yer değiştirir, hem de değilleri alınır.
\( q' \Rightarrow p \)
I. \( p \Rightarrow q' \) koşullu önermesinin tersi \( q' \Rightarrow p \) koşullu önermesidir.
II. \( p' \Rightarrow q \) koşullu önermesinin karşıtı \( q' \Rightarrow p \) koşullu önermesidir.
III. \( p \Rightarrow q' \) koşullu önermesinin karşıt tersi \( q \Rightarrow p' \) koşullu önermesidir.
IV. Bir koşullu önerme ile karşıtı birbirine denktir.
Yukarıdaki önermelerden hangileri doğrudur?
Çözümü GösterBir koşullu önermenin tersinde önermelerin değilleri alınır, karşıtında önermeler yer değiştirir, karşıt tersinde önermeler hem yer değiştirir, hem de değilleri alınır.
\( p \Rightarrow q' \) koşullu önermesinin tersi \( p' \Rightarrow q \) koşullu önermesidir. I. önerme yanlıştır.
\( p' \Rightarrow q \) koşullu önermesinin karşıtı \( q \Rightarrow p' \) koşullu önermesidir. II. önerme yanlıştır.
\( p \Rightarrow q' \) koşullu önermesinin karşıt tersi \( q \Rightarrow p' \) koşullu önermesidir. III. önerme doğrudur.
Bir koşullu önerme ile karşıtı değil, karşıt tersi birbirine denktir. IV. önerme yanlıştır.
Buna göre sadece III. önerme doğrudur.
\( (x \ge 0) \Rightarrow (\abs{x} = x)\)
koşullu önermesinin tersini, karşıtını ve karşıt tersini yazınız.
Çözümü GösterKoşullu önermenin tersi ön ve art bileşenlerin değilleri alınarak elde edilir.
Tersi: \( (x \lt 0) \Rightarrow (\abs{x} \ne x) \)
Koşullu önermenin karşıtı ön ve art bileşenlerin aralarında yer değiştirilmesiyle elde edilir.
Karşıtı: \( (\abs{x} = x) \Rightarrow (x \ge 0) \)
Koşullu önermenin karşıt tersi önermenin hem tersi hem de karşıtı alınarak elde edilir.
Karşıt tersi: \( (\abs{x} \ne x) \Rightarrow (x \lt 0) \)
\( p \Rightarrow (q' \land r) \) önermesinin tersi nedir?
Çözümü GösterBir koşullu önermenin tersinde önermelerin değilleri alınır.
\( p' \Rightarrow (q' \land r)' \)
Parantez içindeki ifadeye De Morgan kuralını uygulayalım.
\( p' \Rightarrow (q \lor r') \)
\( (x = -2) \Rightarrow (x^2 = 4) \) önermesinin karşıt tersi nedir?
Çözümü GösterBir koşullu önermenin karşıt tersinde önermeler hem yer değiştirir, hem de değilleri alınır.
\( (x^2 = 4)' \Rightarrow (x = -2)' \)
\( (x^2 \ne 4) \Rightarrow (x \ne -2) \)
Bir koşullu önermenin karşıt tersine denk olduğunu yukarıdaki iki önermeyi sözel ifade ederek de teyit edebiliriz.
Koşullu önerme: \( x = -2 \) ise karesi 4'tür.
Karşıt tersi: \( x \)'in karesi 4 değilse \( x = -2 \) değildir.
\( p \Rightarrow q \) önermesinin karşıtı \( r \) ve karşıt tersi \( s \) önermesi olduğuna göre, \( r \lor s \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterBir koşullu önermenin karşıtında önermeler yer değiştirir.
\( r \equiv q \Rightarrow p \)
Bir koşullu önermenin karşıt tersinde önermeler hem yer değiştirir, hem de değilleri alınır.
\( s \equiv q' \Rightarrow p' \)
Buna göre \( r \lor s \) ifadesi aşağıdaki gibi olur.
\( r \lor s \equiv (q \Rightarrow p) \lor (q' \Rightarrow p') \)
Bu bileşik önermenin doğruluk tablosunu oluşturduğumuzda sonucun her zaman 1 olduğunu görürüz.
| \( p \) | \( q \) | \( q \Rightarrow p \) | \( q' \Rightarrow p' \) | \( (q \Rightarrow p) \lor (q' \Rightarrow p') \) |
|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
\( p: (a \ge b) \Rightarrow (c \ge d) \)
\( q: (a \ge b) \lor (m \lt n) \)
Yukarıdaki iki önermenin doğru olduğu biliniyorsa aşağıdaki önermelerden hangileri kesinlikle doğrudur?
I. \( (a \lt b) \Rightarrow (c \lt d) \)
II. \( (c \lt d) \Rightarrow (m \lt n) \)
III. \( (c \ge d) \Rightarrow (m \ge n) \)
IV. \( (m \lt n) \Rightarrow (a \ge b) \)
V. \( (m \ge n) \Rightarrow (c \lt d) \)
Çözümü GösterVerilen iki önerme doğru olduğuna göre aşağıdaki iki durumdan biri geçerlidir.
- \( a \ge b \equiv 1 \): Bu durumda \( c \ge d \) doğru olur, \( m \lt n \) doğru ya da yanlış olabilir.
- \( a \ge b \equiv 0 \): Bu durumda \( c \ge d \) doğru ya da yanlış olabilir, \( m \lt n \) doğru olur.
Verilen öncülleri her iki durum için inceleyelim.
I. öncül: \( (a \lt b) \Rightarrow (c \lt d) \)
Birinci durumda \( a \lt b \) yanlış olur, dolayısıyla öncül doğru olur.
İkinci durumda \( a \lt b \) doğru olur, \( c \lt d \) doğru ya da yanlış olabilir, dolayısıyla öncül her zaman doğru olmaz.
Buna göre I. öncül her zaman doğru olmaz.
II. öncül: \( (c \lt d) \Rightarrow (m \lt n) \)
Birinci durumda \( c \lt d \) yanlış olur, dolayısıyla öncül doğru olur.
İkinci durumda \( m \lt n \) doğru olur, dolayısıyla öncül doğru olur.
Buna göre II. öncül her zaman doğru olur.
III. öncül: \( (c \ge d) \Rightarrow (m \ge n) \)
Birinci durumda \( c \ge d \) doğru olur, \( m \ge n \) doğru ya da yanlış olabilir, dolayısıyla öncül her zaman doğru olmaz.
İkinci durumda \( c \ge d \) doğru ya da yanlış olabilir, \( m \ge n \) yanlış olur, dolayısıyla öncül her zaman doğru olmaz.
Buna göre III. öncül her zaman doğru olmaz.
IV. öncül: \( (m \lt n) \Rightarrow (a \ge b) \)
Birinci durumda \( a \ge b \) doğru olur, dolayısıyla öncül doğru olur.
İkinci durumda \( m \lt n \) doğru, \( a \ge b \) yanlış olur, dolayısıyla öncül yanlış olur.
Buna göre IV. öncül her zaman doğru olmaz.
V. öncül: \( (m \ge n) \Rightarrow (c \lt d) \)
Birinci durumda \( m \ge n \) doğru ya da yanlış olabilir, \( c \lt d \) yanlış olur, dolayısıyla öncül her zaman doğru olmaz.
İkinci durumda \( m \ge n \) yanlış olur, dolayısıyla öncül doğru olur.
Buna göre V. öncül her zaman doğru olmaz.
Buna göre sadece II. öncül her zaman doğrudur.
Gerektirme
Doğruluk değeri 1 olan koşullu önermelere gerektirme denir.
\( p \Rightarrow q \equiv 1 \) ise,
Bu koşullu önerme bir gerektirmedir.
3 bir tam sayı ise 3 bir reel sayıdır.
\( 1 \Rightarrow 1 \equiv 1 \)
Aşağıdakilerden hangisi bir gerektirmedir?
(a) Terli su içersen hasta olursun.
(b) Bugün cuma ise yarın cumartesidir.
(c) Bir sayı asal ise tek sayıdır.
(d) Çok çalışırsanız çok para kazanırsınız.
(e) Markete gittiyse süt almıştır.
Çözümü GösterDoğruluk değeri her zaman 1 olan seçenek (b)'dir.
Yeterli ve Gerekli Koşullar
Bir "\( p \Rightarrow q \)" koşullu önermesinde \( p \) önermesine \( q \) için yeterli koşul, \( q \) önermesine \( p \) için gerekli koşul denir.
- Bir \( p \) önermesi diğer bir \( q \) önermesi için yeterli bir koşul ise \( p \) önermesinin doğru olması \( q \) önermesinin de doğru olması anlamına gelir.
- Bir \( q \) önermesi diğer bir \( p \) önermesi için gerekli bir koşul ise \( p \) önermesinin doğru olabilmesi için \( q \) önermesi doğru olmalıdır, ancak \( q \) önermesinin doğru olması \( p \) önermesinin doğru olmasını garanti etmez. Bir diğer ifadeyle, \( q \) önermesinin yanlış olması \( p \) önermesinin de yanlış olması anlamına gelir.
Yeterli ve gerekli koşullara aşağıdaki gibi bir örnek verebiliriz.
\( p \): \( a \) sayısı 9'a tam bölünür.
\( q \): \( a \) sayısı 3'e tam bölünür.
\( p \Rightarrow q \): \( a \) sayısı 9'a tam bölünüyorsa 3'e tam bölünür.
Bu bileşik önermeden aşağıdaki iki koşulu çıkarabiliriz.
- \( a \) sayısının 9'a bölünmesi 3'e bölünmesi için yeterli bir koşuldur. Buna göre, \( a \) sayısının 9'a bölündüğünü biliyorsak 3'e de bölündüğünden emin olabiliriz.
- \( a \) sayısının 3'e bölünmesi 9'a bölünmesi için gerekli bir koşuldur. Buna göre, \( a \) sayısının 3'e bölünmediğini biliyorsak 9'a da bölünmediğinden emin olabiliriz. Bir diğer ifadeyle, \( a \) sayısı yalnızca 3'e bölünüyorsa 9'a bölünüyor olabilir (9'a bölünmeden 3'e bölünüyor olamaz).