Matematiksel İspat
Matematiksel ispat; belirli varsayımlardan yola çıkarak, doğruluğu bilinen ve gösterilebilen bir dizi mantıksal çıkarımı takip ederek bir sonucun her zaman doğru olduğunu göstermek için kullanılan bir yöntemdir.
Bu bölümde ispat yapabilmek için bilinmesi gereken bazı kavramlardan bahsedeceğiz. Önümüzdeki bölümlerde matematikte en sık kullanılan ispat yöntemlerine değineceğiz.
Terim
Her bilim dalı kendi alanıyla ilgili sözcüklere sahiptir. Bu sözcüklerin her birine o bilim dalına ait bir terim denir.
Diğer matematiksel terimler yardımıyla tanımlanabilen terimlere tanımlı terim denir. Örneğin "asal sayı", "dikdörtgen" ve "fonksiyon" tanımlı birer terimdir.
Kesin bir tanımı olmayan, sezgiler ve çeşitli örnekler kullanılarak kavranabilen terimlere tanımsız terim denir. Örneğin "nokta", "doğru", "düzlem", "küme" gibi kavramlar tanımsız birer terimdir.
Tanım
Bir terimin özelliklerini anlamları bilinen terimler kullanarak belirten ifadeye tanım denir. İyi bir tanım anlaşılır, tutarlı ve kesin olmalıdır.
2'ye kalansız bölünebilen tam sayılara çift sayı denir.
Ölçüsü 90° olan açılara dik açı denir.
1 ve kendisi dışında iki doğal sayının çarpımı olarak yazılamayan ve 1'den büyük olan tam sayılara asal sayı denir.
Aksiyom / Postulat
Doğruluğu ispatsız kabul edilen önermelere aksiyom ya da postulat denir.
Aksiyom ve postulat iki farklı kelime olsalar da tanımları aynıdır. Postulat genellikle geometride kullanılır.
\( x = y \) ise \( y = x \) olur.
Farklı iki noktadan yalnızca bir doğru geçer.
Bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktalar bir çember belirtir.
Teorem
Doğru olan ve doğruluğu ispatla gösterilebilen matematiksel ifadelere teorem denir.
Pisagor teoremi: Dik üçgende hipotenüs uzunluğunun karesi diğer iki kenar uzunluklarının kareleri toplamına eşittir.
Orta taban teoremi: Bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren orta taban üçgenin üçüncü kenarına paraleldir ve uzunluğu bu üçüncü kenarın uzunluğunun yarısına eşittir.
Çarpan teoremi: Bir \( a \) sayısı bir polinomun sıfırı ise \( x - a \) bu polinomun bir çarpanıdır.
Teoremler çoğu zaman birer koşullu önerme formunda olurlar. Bu formdaki bir teoremde \( p \) önermesine hipotez (varsayım), \( q \) önermesine ise hüküm adı verilir. Hipotez teoremin doğru kabul edilen kısmını, hüküm ise ispatlanacak kısmını oluşturur.
\( p \Rightarrow q \)
\( a \) ve \( b \) aralarında asal sayılar ise \( a + b \) ve \( ab \) sayıları da aralarında asaldır.
Bir teorem birden fazla hipotezden oluşabilir.
\( (p_1 \land p_2 \land \ldots \land p_n) \Rightarrow q \)
\( (p_1 \land p_2) \Rightarrow q \)
\( A \) kümesi \( B \) kümesinin alt kümesi VE \( B \) kümesi \( A \) kümesinin alt kümesi ise \( A \) ve \( B \) eşit kümelerdir.
\( (A \subseteq B \land B \subseteq A) \Rightarrow A = B \)
İspatın zorluk derecesine ya da ispatlanacak ifadenin önem derecesine göre, teorem yerine önerme, lemma, sonuç gibi terimler de kullanılabilir.
Önerme
Doğruluğu kesin olan, ancak önem derecesi teoremden daha düşük olan ifadelere önerme denir.
Lemma
Bazı teoremlerin ispatında diğer bazı küçük önermelerin ispatlarına ihtiyaç duyulur. Teoremin ispatı yapılırken önce bu küçük önermeler ispatlanır, daha sonra bu ispatlar kullanılarak teoremin ispatı yapılır.
Bir teoremin ispatında basamak görevi gören ve teoremin ispatının daha anlaşılır olmasını sağlayan bu önermelere lemma ya da yardımcı teorem denir.
Sonuç
Bir teoremden türetilen ve genellikle önem derecesi teoremden daha düşük olan ifadelere sonuç (ingilizce: corollary) denir.
Sanı
Doğruluğu kesin olarak ispatlanmamış ve kısmi kanıtlara dayanan ifadelere sanı (ingilizce: conjecture) denir.
İspat
Bir ifadenin doğruluğunu gösteren mantıksal argümanlar dizisine ispat denir. Bir ifade ispatlanırken ispatta verilen hipotez ve varsayımlardan, daha önceden ispatlanmış teoremlerden, tanımlardan ve aksiyomlardan yararlanılır.
Matematikte en sık kullanılan ispat yöntemlerinden önümüzdeki bölümde bahsedeceğiz.
Aşağıda boş bırakılan yerleri doldurunuz.
Doğruluğu ispatsız kabul edilen ifadelere ________ denir.
Doğruluğu ispat edilebilen doğru matematiksel ifadelere ________ denir.
Bir teoremde varsayılan kısma ________, ispatlanacak olan kısma ________ denir.
Çözümü Göster1. boşluk: aksiyom/postulat
2. boşluk: teorem
3. boşluk: hipotez
4. boşluk: hüküm
Aşağıda verilen ifadelerin her biri hangi terimle ilişkilidir?
I. Doğrulukları ispatsız kabul edilir.
II. İspatlarda basamak görevi görürler, yardımcı teorem olarak da adlandırılırlar.
III. Hipotez ve hükümden oluşur, hem hipotez hem de hüküm doğru olmalıdır.
Çözümü GösterI. öncül aksiyom ve postulat terimleri ile,
II. öncül lemma terimi ile,
III. öncül teorem terimi ile ilişkilidir.
Aşağıdaki ifadelerden hangileri aksiyomdur?
I. Farklı iki noktadan yalnızca bir doğru geçer.
II. Uzayda kesişen iki düzlemin ara kesiti bir doğrudur.
III. Bir noktadan birden fazla doğru geçer.
Çözümü GösterI., II. ve III. öncüllerde verilen ifadelerin tümü doğruluğu ispatsız kabul edilen ifadelerdir, dolayısıyla birer aksiyomdur.
"\( a \) ve \( b \) sayılarından en az biri çift sayı ise \( ab \) çarpımı çift sayıdır."
Yukarıda verilen teoremin hipotez ve hükmünü belirtin.
Çözümü GösterBir teoremde varsayılan kısma hipotez, ispatlanacak olan kısma hüküm denir.
Buna göre,
Hipotez: \( a \) ve \( b \) sayılarından en az biri çift sayıdır.
Hüküm: \( ab \) çarpımı çift sayıdır.
Aşağıdakilerden hangileri teoremdir?
I. \( x \gt 2 \) ise \( x^2 \gt 4 \)'tür.
II. İki çift sayının çarpımı da çift sayıdır.
III. Düzlemsel olmayan dört nokta bir uzay belirtir.
IV. \( x \) tek sayı ise \( x^{10} \) da tek sayıdır.
Çözümü GösterDoğruluğu ispat edilebilen matematiksel ifadelere teorem denir.
Buna göre I., II. ve IV. öncülleri birer teoremdir.
III. öncül ise doğruluğu ispatsız kabul edilmiş bir ifadedir, yani bir aksiyom/postulattır.