Veya Bağlacı
\( p \) ile \( q \) önermelerinin "veya" bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye "\( p \) veya \( q \)" önermesi denir ve "\( p \lor q \)" şeklinde gösterilir.
"Veya" bileşik önermesi; bileşeni olan önermelerin tümü yanlış olduğunda yanlış, bu önermelerin en az biri doğru olduğunda doğru olur.
\( p \lor q \) bileşik önermesi için doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.
| \( p \) | \( q \) | \( p \lor q \) |
|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
\( p \lor q \) bileşik önermesi için aşağıda bazı örnekler verilmiştir.
| Bileşik Önerme | Doğruluk Değeri | Açıklama |
|---|---|---|
| Eiffel kulesi Paris'tedir VEYA Paris Fransa'nın başkentidir. | \( 1 \lor 1 \equiv 1 \) | Her iki önerme de doğrudur, dolayısıyla bileşik önerme de doğrudur. |
| \( 8 \cdot 4 = 32 \) VEYA \( 2 \cdot 2 = 5 \) | \( 1 \lor 0 \equiv 1 \) | Önermelerden en az biri doğru olduğu için "veya" bileşik önermesi de doğrudur. |
| Dünya Ay'ın uydusudur VEYA Ay Dünya'nın uydusudur. | \( 0 \lor 1 \equiv 1 \) | Önermelerden en az biri doğru olduğu için "veya" bileşik önermesi de doğrudur. |
| Bir hafta 5 gündür VEYA Haftanın ilk günü çarşambadır. | \( 0 \lor 0 \equiv 0 \) | Her iki önerme de yanlıştır, dolayısıyla bileşik önerme de yanlıştır. |
Üç önermeden oluşan \( p \lor q \lor r \) bileşik önermesi için doğruluk tablosu aşağıdaki gibi olur.
| \( p \) | \( q \) | \( r \) | \( p \lor q \lor r \) |
|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
Veya Bağlacının Değili
Bir "veya" bileşik önermesinin değili, bileşik önermeyi oluşturan önermelerin değillerinin "ve" bileşik önermesine denktir. Bu kural aynı zamanda De Morgan kuralları olarak bilinen kurallardan biridir.
\( (p \lor q)' \equiv p' \land q' \)
\( (p \lor q \lor r)' \equiv p' \land q' \land r' \)
\( p \): Ece Almanya'da doğdu.
\( q \): Ece'nin annesi Alman.
\( p \lor q \): Ece Almanya'da doğdu veya annesi Alman.
\( (p \lor q)' \equiv p' \land q' \): Ece Almanya'da doğmadı ve annesi Alman değil.
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
| \( p \) | \( q \) | \( p \lor q \) | \( (p \lor q)' \) | \( p' \) | \( q' \) | \( p' \land q' \) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
Veya Bağlacı İşlem Özellikleri
"Veya" işleminin değişme özelliği vardır.
\( p \lor q \equiv q \lor p \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
Buna göre "veya" işleminin değişme özelliği vardır.
| \( p \) | \( q \) | \( p \lor q \) | \( q \lor p \) |
|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
"Veya" işleminin birleşme özelliği vardır.
\( (p \lor q) \lor r \equiv p \lor (q \lor r) \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
Buna göre "veya" işleminin birleşme özelliği vardır.
| \( p \) | \( q \) | \( r \) | \( p \lor q \) | \( q \lor r \) | \( (p \lor q) \lor r \) | \( p \lor (q \lor r) \) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
"Veya" işleminin değişme ve birleşme özellikleri olduğu için, sadece "veya" bağlaçlarından oluşan bir bileşik önermede önermeler arasındaki parantezler kaydırılabilir ya da kaldırılabilir ve önermelerin sırası değiştirilebilir.
\( (p \lor q) \lor (r \lor s) \)
\( \equiv p \lor (q \lor r) \lor s \)
\( \equiv p \lor q \lor r \lor s \)
\( \equiv s \lor q \lor p \lor r \)
"Veya" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.
\( p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r) \)
\( (p \land q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (q \lor r) \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
Buna göre "veya" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği vardır.
| \( p \) | \( q \) | \( r \) | \( q \land r \) | \( p \lor q \) | \( p \lor r \) | \( p \lor (q \land r) \) | \( (p \lor q) \land (p \lor r) \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
Buna göre "veya" işleminin "ve" işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği vardır.
| \( p \) | \( q \) | \( r \) | \( p \land q \) | \( p \lor r \) | \( q \lor r \) | \( (p \land q) \lor r \) | \( (p \lor r) \land (q \lor r) \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
"Veya" işleminin "ve" işlemi üzerinde dağılma özelliği aşağıdaki dört önermeli durumda da geçerlidir.
\( (p \land q) \lor (r \land s) \equiv \) \( (p \lor r) \land (p \lor s) \land (q \lor r) \land (q \lor s) \)
İSPATI GÖSTER
Birinci parantez içindeki bileşik önermeye \( t \) diyelim.
\( p \land q \equiv t \)
\( (p \land q) \lor (r \land s) \equiv t \lor (r \land s) \)
"Veya" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.
\( \equiv (t \lor r) \land (t \lor s) \)
\( t \) önermesine denk olan önermeyi yazalım.
\( \equiv ((p \land q) \lor r) \land ((p \land q) \lor s) \)
"Veya" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.
\( \equiv ((p \lor r) \land (q \lor r)) \land ((p \lor s) \land (q \lor s)) \)
"Ve" işleminin değişme ve birleşme özellikleri olduğu için, sadece "ve" bağlaçlarından oluşan bir bileşik önermede önermeler arasındaki parantezler kaydırılabilir ya da kaldırılabilir ve önermelerin sırası değiştirilebilir.
\( \equiv (p \lor r) \land (p \lor s) \land (q \lor r) \land (q \lor s) \)
"Veya" işleminin "ya da" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği yoktur.
\( p \lor (q \veebar r) \not\equiv (p \lor q) \veebar (p \lor r) \)
\( (p \veebar q) \lor r \not\equiv (p \lor r) \veebar (q \lor r) \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edilmediği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olmadığı görülebilir.
Buna göre "veya" işleminin "ya da" işlemi üzerinde soldan dağılma özelliği yoktur.
| \( p \) | \( q \) | \( r \) | \( q \veebar r \) | \( p \lor q \) | \( p \lor r \) | \( p \lor (q \veebar r) \) | \( (p \lor q) \veebar (p \lor r) \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edilmediği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olmadığı görülebilir.
Buna göre "veya" işleminin "ya da" işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği yoktur.
| \( p \) | \( q \) | \( r \) | \( p \veebar q \) | \( p \lor r \) | \( q \lor r \) | \( (p \veebar q) \lor r \) | \( (p \lor r) \veebar (q \lor r) \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
"Veya" işleminin birim (etkisiz) elemanı 0'dır.
\( p \lor 0 \equiv 0 \lor p \equiv p \)
\( p \lor q \lor 0 \equiv p \lor q \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
Buna göre "veya" işleminin birim (etkisiz) elemanı 0'dır.
| \( p \) | \( 0 \) | \( p \lor 0 \) |
|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
Veya Bağlacı İşlem Kuralları
"Veya" bağlacı ile ilgili bazı özdeşlikler aşağıdaki gibidir.
\( p \lor p \equiv p \)
\( p \lor p' \equiv 1 \)
\( p \lor 1 \equiv 1 \)
\( p \lor 0 \equiv p \)
"Ve" ve "veya" bağlaçlarını birlikte içeren bir bileşik önermede parantezlerin yeri önemlidir ve parantezler kaldırılarak işlem sırası değiştirilemez. Aşağıda parantezlerin yerinin değiştirilmesinin önermenin doğruluk değerini değiştirebileceğine dair bir örnek verilmiştir.
\( p \equiv 0, \quad q \equiv r \equiv 1 \) ise,
\( (p \land q) \lor r \equiv (0 \land 1) \lor 1 \equiv 1 \)
\( p \land (q \lor r) \equiv 0 \land (1 \lor 1) \equiv 0 \)
\( (p \lor q') \lor r' \equiv 0 \) ise,
\( p, q, r \) önermelerinin doğruluk değerleri nedir?
Çözümü Göster"Veya" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü yanlış olduğunda yanlış olur.
\( (p \lor q') \equiv 0 \) ve \( r' \equiv 0 \)
\( p \lor q'\equiv 0 \) ise,
\( p \equiv 0 \)
\( q' \equiv 0, \quad q \equiv 1 \)
\( r' \equiv\ 0 \) ise,
\( r \equiv 1 \)
Buna göre önermelerin doğruluk değerleri aşağıdaki gibi olur.
\( p \equiv 0, \quad q \equiv r \equiv 1 \)
\( p \lor q' \equiv 0 \) olduğuna göre,
\( p' \land q \) bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir?
Çözümü Göster"Veya" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü yanlış olduğunda yanlış olur.
\( p \equiv 0 \) ve \( q' \equiv 0 \)
\( q \equiv 1 \)
Bu doğruluk değerlerini verilen ifadede yerine koyalım.
\( p' \land q \equiv 0' \land 1 \)
\( \equiv 1 \land 1 \equiv 1 \)
\( p' \land q' \equiv 1 \) olduğuna göre,
\( p \land (p' \lor q) \) bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir?
Çözümü Göster"Ve" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü doğru olduğunda doğru olur.
\( p' \equiv 1 \) ve \( q' \equiv 1 \)
\( p' \equiv 1, \quad p \equiv 0 \)
\( q' \equiv 1, \quad q \equiv 0 \)
Bu doğruluk değerlerini verilen ifadede yerine koyalım.
\( p \land (p' \lor q) \equiv 0 \land (0' \lor 0) \)
\( \equiv 0 \land (1 \lor 0) \)
\( \equiv 0 \land 1 \equiv 0 \)
\( p \land q' \equiv 1 \)
\( p' \lor r \equiv 0 \)
olduğuna göre, \( p, q, r \) önermelerinin doğruluk değerleri nedir?
Çözümü Göster\( p \land q' \equiv 1 \)
"Ve" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü doğru olduğunda doğru olur.
\( p \equiv 1 \)
\( q' \equiv 1, \quad q \equiv 0 \)
\( p' \lor r \equiv 0 \)
"Veya" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü yanlış olduğunda yanlış olur.
\( p' \equiv 0, \quad p \equiv 1 \)
\( r \equiv 0 \)
Buna göre önermelerin doğruluk değerleri aşağıdaki gibi olur.
\( p \equiv 1, \quad q \equiv r \equiv 0 \)
Aşağıdaki bileşik önermelerden hangilerinin doğruluk değeri 1'dir?
I. \( 1 \land 1 \land \ldots \land 1 \land 0 \)
II. \( 0 \land 0 \land \ldots \land 0 \land 1 \)
III. \( 1 \lor 1 \lor \ldots \lor 1 \lor 0 \)
IV. \( 0 \lor 0 \lor \ldots \lor 0 \lor 1 \)
Çözümü Göster"Ve" bileşik önermesi; bileşeni olan önermelerin tümü doğru olduğunda doğru, bu önermelerin en az biri yanlış olduğunda yanlış olur.
"Veya" bileşik önermesi; bileşeni olan önermelerin tümü yanlış olduğunda yanlış, bu önermelerin en az biri doğru olduğunda doğru olur.
Buna göre III. ve IV. önermeler doğrudur.
\( (p' \lor q) \land p \) önermesi doğru olduğuna göre,
\( p \lor q \) bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir?
Çözümü Göster\( (p' \lor q) \land p \equiv 1 \)
"Ve" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü doğru olduğunda doğru olur.
\( p \equiv 1 \)
\( p' \lor q \equiv 1 \) ise,
\( \quad 1' \lor q \equiv 1 \)
\( \quad 0 \lor q \equiv 1 \)
\( \quad q \equiv 1 \)
Bu doğruluk değerlerini verilen ifadede yerine koyalım.
\( p \lor q \equiv 1 \lor 1 \equiv 1 \)
\( [p' \land (q' \lor q)]' \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster\( [p' \land (q' \lor q)]' \)
"Ve" ve "veya" işlemlerine ait özdeşlikleri kullanalım.
\( \equiv (p' \land 1)' \)
\( \equiv (p')' \)
Bir önermenin değilinin değili kendisine denktir.
\( \equiv p \)
\( p \land q' \equiv 1 \) ve \( r' \lor s \equiv 0 \) olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerin doğruluk değerini bulunuz.
(a) \( (p \land q) \lor r \)
(b) \( (p \land q) \lor (r \land s) \)
Çözümü Göster"Ve" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü doğru olduğunda doğru olur.
\( p \land q' \equiv 1 \) ise,
\( p \equiv 1 \)
\( q' \equiv 1, \quad q \equiv 0 \)
"Veya" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü yanlış olduğunda yanlış olur.
\( r' \lor s \equiv 0 \) ise,
\( r' \equiv 0, \quad r \equiv 1 \)
\( s \equiv 0 \)
Bu doğruluk değerlerini verilen ifadelerde yerine koyalım.
(a) ifadesi:
\( (p \land q) \lor r \equiv (1 \land 0) \lor 1 \)
\( \equiv 0 \lor 1 \equiv 1 \)
(b) ifadesi:
\( (p \land q) \lor (r \land s) \equiv (1 \land 0) \lor (1 \land 0) \)
\( \equiv 0 \lor 0 \equiv 0 \)
\( (p \land q')' \lor (p' \lor q') \) bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir?
Çözümü GösterBirinci paranteze De Morgan kuralını uygulayalım.
\( (p \land q')' \lor (p' \lor q') \equiv (p' \lor q) \lor (p' \lor q') \)
"Veya" işleminin değişme ve birleşme özellikleri olduğu için, sadece "veya" bağlaçlarından oluşan bir bileşik önermede önermeler arasındaki parantezler kaydırılabilir ya da kaldırılabilir ve önermelerin sırası değiştirilebilir.
\( \equiv p' \lor q \lor p' \lor q' \)
\( \equiv p' \lor p' \lor q \lor q' \)
\( \equiv p' \lor 1 \equiv 1 \)
Aşağıdaki önermelerden hangisinin doğruluk değeri 1'dir?
(a) \( (p \lor p') \land p \)
(b) \( (p \lor p')' \land p \)
(c) \( (p \land p') \lor (q \land q') \)
(d) \( p \lor (0 \land q)' \)
(e) \( (p' \lor q)' \land p \)
Çözümü Göster"Ve" ve "veya" işlemlerine ait özdeşlikleri kullanalım.
(a) seçeneği:
\( (p \lor p') \land p \)
\( \equiv 1 \land p \equiv p \)
(b) seçeneği:
\( (p \lor p')' \land p \)
\( \equiv 1' \land p \)
\( \equiv 0 \land p \equiv 0 \)
(c) seçeneği:
\( (p \land p') \lor (q \land q') \)
\( \equiv 0 \lor 0 \equiv 0 \)
(d) seçeneği:
\( p \lor (0 \land q)' \)
\( \equiv p \lor 0' \)
\( \equiv p \lor 1 \equiv 1 \)
(e) seçeneği:
\( (p' \lor q)' \land p \)
Paranteze De Morgan kuralını uygulayalım.
\( \equiv p \land q' \land p \)
"Ve" işleminin değişme özelliği vardır.
\( \equiv p \land p \land q' \equiv p \land q' \)
Buna göre doğruluk değeri 1 olan seçenek (d)'dir.
\( p: x = 3 \)
\( q: x^2 = 9 \)
olduğuna göre, \( p \lor q \) önermesinin olumsuzu nedir?
Çözümü Göster\( [(x = 3) \lor (x^2 = 9)]' \)
Önce De Morgan kuralı ile değil işaretini köşeli parantezin içine dağıtalım.
\( \equiv (x = 3)' \land (x^2 = 9)' \)
Şimdi de her bir önermenin değilini alalım.
\( \equiv (x \ne 3) \land (x^2 \ne 9) \)
\( p: 3 \lt x \le 12 \)
\( q: 6 \le x \lt 10 \)
\( r: x \gt 7 \)
önermeleri veriliyor. Buna göre \( (q \lor r') \land (q \lor p) \) önermesini sağlayan kaç \( x \) pozitif tam sayısı vardır?
Çözümü Göster\( x \) değişkeninin bir pozitif tam sayı olduğunu dikkate alarak \( r \) önermesinin değilini alalım.
\( r': 1 \le x \le 7 \)
Verilen bileşik önerme "veya" işleminin "ve" işlemi üzerinde dağılma özelliği uygulanmış halidir.
\( (q \lor r') \land (q \lor p) \equiv q \lor (r' \land p) \)
Bu önerme \( q \) veya \( r' \land p \) önermeleri doğru olduğunda doğru olur.
\( r' \land p \) önermesi hem \( r' \) hem de \( p \) önermeleri doğru olduğunda doğru olur.
\( q \lor (r' \land p) \equiv (6 \le x \lt 10) \lor [(1 \le x \le 7) \land (3 \lt x \le 12)] \)
İki aralığın birlikte sağlanması için aralıkların kesişim kümesi alınır.
\( \equiv (6 \le x \lt 10) \lor (3 \lt x \le 7) \)
İki aralıktan en az birinin sağlanması için aralıkların birleşim kümesi alınır.
\( \equiv (3 \lt x \lt 10) \)
\( x \)'in bu aralıkta alabileceği \( 9 - 4 + 1 = 6 \) tam sayı değeri vardır.
\( p: x = 0 \)
\( q: y = 0 \)
olduğuna göre,
\( r: \abs{x} + \abs{y} \gt 0 \)
\( s: x \cdot y = 0 \)
önermelerinden hangileri her \( x \) ve \( y \) reel sayısı için \( p \lor q \) önermesine denktir?
Çözümü GösterBir doğruluk tablosu ile sorulan denkliği kontrol edelim.
| \( p \) | \( q \) | \( p \lor q \) | \( r \) | \( s \) |
|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
Buna göre \( s \) önermesi her zaman \( p \lor q \) önermesine denktir.
\( [p' \lor (p \land q')] \land (p \land q')' \) önermesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster\( [p' \lor (p \land q')] \land (p \land q')' \)
"Veya" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan dağılma özelliğini kullanalım.
\( \equiv [(p' \lor p) \land (p' \lor q')] \land (p \land q')' \)
\( \equiv [1 \land (p' \lor q')] \land (p \land q')' \)
"Ve" işleminin birim (etkisiz) elemanı 1'dir.
\( \equiv (p' \lor q') \land (p \land q')' \)
Sağdaki paranteze De Morgan kuralını uygulayalım.
\( \equiv (p' \lor q') \land (p' \lor q) \)
Bu ifade "veya" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan dağılma özelliğinin uygulanmış halidir.
\( \equiv p' \lor (q' \land q) \)
\( \equiv p' \lor 0 \)
"Veya" işleminin birim (etkisiz) elemanı 0'dır.
\( \equiv p' \)
Bir masada bir yeşil, bir mor ve bir mavi boncuk vardır. Bu boncuklar 1, 2 ve 3 numaralı torbalara her torbada bir boncuk olacak şekilde konuluyor ve aşağıdaki önermeler veriliyor.
\( p \): 1. torbada yeşil boncuk yoktur.
\( q \): 2. torbada mor boncuk vardır.
\( r \): 3. torbada mavi boncuk yoktur.
\( p \land (q \lor r)' \) önermesi doğru olduğuna göre, 1., 2. ve 3. torbalarda sırasıyla hangi renk boncuklar vardır?
Çözümü Göster\( p \land (q \lor r)' \equiv 1 \)
"Ve" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü doğru olduğunda doğru olur.
\( p \equiv 1 \) ve \( (q \lor r)' \equiv 1 \)
\( q \lor r \equiv 0 \)
"Veya" bileşik önermesi, bileşeni olan önermelerin tümü yanlış olduğunda yanlış olur.
\( q \equiv 0 \) ve \( r \equiv 0 \)
Bu doğruluk değerleri doğrultusunda verilen ifadeleri inceleyelim.
\( p \equiv 1 \) olduğu için 1. torbada yeşil boncuk yoktur.
\( q \equiv 0 \) olduğu için 2. torbada mor boncuk yoktur.
\( r \equiv 0 \) olduğu için 3. torbada mavi boncuk vardır.
Buna göre, 1, 2 ve 3. torbalarda sırasıyla mor, yeşil ve mavi boncuklar vardır.