Kartezyen Düzlemi
İki boyutlu kartezyen koordinat sistemi (ya da kısaca kartezyen düzlemi), birbirine dik \( x \) ve \( y \) koordinat eksenlerinden ve bu eksenlerin oluşturduğu koordinat düzleminden oluşur. \( x \) ekseni yatay ekseni, \( y \) ekseni dikey ekseni temsil eder. İki eksenin kesişim noktasına orijin denir ve \( O \) harfi ile gösterilir.
Reel sayı doğrusuna benzer şekilde, eksenlerin üzerindeki her nokta bir reel sayıya karşılık gelir. Bu değerler orijin noktasında iki eksen için de sıfırdır, \( x \) ekseninde sağa doğru artar, sola doğru azalır, \( y \) ekseninde ise yukarıya doğru artar, aşağıya doğru azalır.
Kartezyen düzleminde bir \( A \) noktasının konumu \( (a, b) \) sıralı ikilisi ile ifade edilir. Bu ikiliye noktanın koordinatı denir. Bir noktanın koordinatının birinci bileşenine noktanın apsisi, ikinci bileşenine noktanın ordinatı denir.
\( A(a, b) \) noktasının koordinatları üç farklı şekilde tanımlanabilir.
- \( a \) koordinatı noktanın \( x \) ekseni üzerindeki dik izdüşümünün, \( b \) koordinatı noktanın \( y \) ekseni üzerindeki dik izdüşümünün karşılık geldiği reel sayı değerlerdir.
- \( a \) koordinatı noktanın \( y \) eksenine olan yönlü uzaklığını, \( b \) koordinatı noktanın \( x \) eksenine olan yönlü uzaklığını verir. "Yönlü" uzaklık, bu değerin pozitif ya da negatif olabileceği anlamına gelir.
- Orijinden \( A \) noktasına ulaşmak için, \( a \) birim sağa/sola (pozitif değer için sağa, negatif değer için sola) ve \( b \) birim yukarıya/aşağıya (pozitif değer için yukarıya, negatif değer için aşağıya) hareket edilir.
Bazı noktaların koordinatları aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Bu örneklerde görülebileceği üzere, \( x \) ekseni üzerindeki noktaların ordinat değeri, \( y \) ekseni üzerindeki noktaların apsis değeri sıfırdır.
Bir noktanın \( x \) ve \( y \) eksenlerine uzaklığı sırasıyla ordinat ve apsis değerlerinin mutlak değerine eşittir.
Eksenler koordinat düzlemini I., II., III. ve IV. bölge olmak üzere dört bölgeye ayırırlar. Eksenler bu bölgelere dahil değildir. Apsis değeri I. ve IV. bölgelerde pozitif, II. ve III. bölgelerde negatiftir. Ordinat değeri I. ve II. bölgelerde pozitif, III. ve IV. bölgelerde negatiftir.
İki boyutlu koordinat düzlemindeki tüm noktaların kümesi reel sayılar kümesinin ikili kartezyen çarpımı şeklinde ifade edilebilir.
\( \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2 = \{ (x, y) \mid x, y \in \mathbb{R} \} \)
Koordinat düzlemindeki \( A(2 - 7k, k - 5) \) noktasının ordinatı apsisinin dörtte biri olduğuna göre, \( A \) noktası kaçıncı bölgededir?
Çözümü Göster\( A \) noktasının ordinatı apsisinin dörtte biridir.
\( k - 5 = \dfrac{2 - 7k}{4} \)
\( 4(k - 5) = 2 - 7k \)
\( 11k = 22 \)
\( k = 2 \)
\( A \) noktasının koordinatlarında \( k = 2 \) değerini yerine koyalım.
\( A(2 - 7(2), 2 - 5) = A(-12, -3) \)
Buna göre \( A \) noktası III. bölgededir.
\( P(2n - 6, n - 5) \) noktası koordinat düzleminde \( y \) ekseni üzerinde olduğuna göre, noktanın orijine olan uzaklığı nedir?
Çözümü Göster\( P \) noktası \( y \) ekseni üzerinde olduğuna göre apsis değeri 0'dır.
\( 2n - 6 = 0 \)
\( n = 3 \)
\( P \) noktasının koordinatlarında \( n = 3 \) değerini yerine koyalım.
\( P(2(3) - 6, 3 - 5) = P(0, -2) \)
Buna göre \( P \) noktasının orijine olan uzaklığı \( \abs{-2} = 2 \) birimdir.
\( A(a + 6, a - 5) \) noktasının \( x \) eksenine olan uzaklığı \( 3 \) birim olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) noktasının \( x \) eksenine olan uzaklığı ordinatının mutlak değerine eşittir.
\( \abs{a - 5} = 3 \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
Durum 1:
\( a - 5 = 3 \)
\( a = 8 \)
Durum 2:
\( a - 5 = -3 \)
\( a = 2 \)
Buna göre \( a \)'nın alabileceği değerler toplamı \( 8 + 2 = 10 \) olur.
\( A(3a + 15, a - 1) \) noktası koordinat düzleminin IV. bölgesinde olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?
Çözümü GösterIV. bölgedeki bir noktanın apsis ve ordinatının işaretleri \( (+, -) \) olur.
\( A \) noktasının apsisi pozitiftir.
\( 3a + 15 \gt 0 \)
\( a \gt -5 \)
\( A \) noktasının ordinatı negatiftir.
\( a - 1 \lt 0 \)
\( a \lt 1 \)
Buna göre \( a \) değer aralığı aşağıdaki gibidir.
\( -5 \lt a \lt 1 \)
Bu aralıktaki tam sayı değerleri aşağıdaki gibidir.
\( a \in \{-4, -3, -2, -1, 0\} \)
Buna göre \( a \)'nın alabileceği 5 tam sayı değeri vardır.
\( A(-a, b) \) noktası koordinat düzleminde IV. bölgede olduğuna göre, \( B(-ab, a) \) noktası kaçıncı bölgededir?
Çözümü Göster\( A(-a, b) \) noktası IV. bölgededir.
IV. bölgedeki noktaların apsis ve ordinatının işaretleri \( (+, -) \) olur.
\( -a \gt 0 \Longrightarrow a \lt 0 \)
\( b \lt 0 \)
Buna göre \( B(-ab, a) \) noktasının apsis ve ordinatının işaretleri \( (-, -) \) olur.
Dolayısıyla \( B \) noktası III. bölgededir.
\( K(2a - 3, -a + 7) \) noktası koordinat düzleminde eksenlere eşit uzaklıkta olduğuna göre, \( K \) noktası hangi bölgelerde bulunabilir?
Çözümü Göster\( K \) noktası eksenlere eşit uzaklıkta olduğuna göre, 1. açıortay (\( y = x \)) ya da 2. açıortay (\( y = -x \)) doğrusu üzerindedir ve apsis ve ordinat değerlerinin mutlak değerleri birbirine eşittir.
\( \abs{2a - 3} = \abs{-a + 7} \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
Durum 1:
\( 2a - 3 = -a + 7 \)
\( 3a = 10 \)
\( a = \dfrac{10}{3} \)
\( K \) noktasının koordinatlarında bu değeri yerine koyalım.
\( K(2(\frac{10}{3}) - 3, -\frac{10}{3} + 7) = K(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}) \)
Bu durumda \( K \) noktası I. bölgede bulunur.
Durum 2:
\( 2a - 3 = -(-a + 7) \)
\( 2a - 3 = a - 7 \)
\( a = -4 \)
\( K \) noktasının koordinatlarında bu değeri yerine koyalım.
\( K(2(-4) - 3, -(-4) + 7) = K(-11, 11) \)
Bu durumda \( K \) noktası II. bölgede bulunur.
Buna göre \( K \) noktası I. ya da II. bölgede bulunur ve aşağıdaki şekilde görülebileceği gibi her iki durumda eksenlere eşit uzaklıkta olur.
\( A(3a - 12, 4) \) ve \( B(-17, a + 5) \) noktaları koordinat düzleminin aynı bölgesindedir.
Buna göre \( a \)'nın alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözümü Göster\( A \) ve \( B \) noktaları aynı bölgede olduklarına göre, hem apsislerinin hem de ordinatlarının işareti aynıdır.
\( B \) noktasının apsisi negatif olduğuna göre \( A \) noktasının apsisi de negatiftir.
\( 3a - 12 \lt 0 \)
\( a \lt 4 \)
\( A \) noktasının ordinatı pozitif olduğuna göre \( B \) noktasının ordinatı da pozitiftir.
\( a + 5 \gt 0 \)
\( a \gt -5 \)
\( a \) değer aralığı bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesidir.
\( -5 \lt a \lt 4 \)
Buna göre \( a \)'nın alabileceği \( 3 - (-4) + 1 = 8 \) farklı tam sayı değeri vardır.
Koordinat düzlemindeki \( A(\frac{m}{n}, m - n) \) noktası II. bölgede olduğuna göre, \( B(m^2 - n, mn) \) noktası kaçıncı bölgededir?
Çözümü GösterII. bölgedeki bir noktanın apsis ve ordinatının işaretleri \( (-, +) \) olur.
\( A \) noktası II. bölgededir.
\( \dfrac{m}{n} \lt 0 \)
Buna göre \( m \) ve \( n \) ters işaretlidir.
\( m - n \gt 0 \)
\( m \gt n \)
Buna göre (\( m \) ve \( n \) ters işaretli oldukları için) \( m \) pozitif, \( n \) negatiftir.
\( B(m^2 - n, mn) \) noktasının apsis ve ordinatının işaretlerini inceleyelim.
\( m^2 \) pozitiftir. Pozitif bir sayıdan negatif bir sayı çıkarıldığında sonuç pozitif olur.
\( m^2 - n \gt 0 \)
\( m \) ve \( n \) ters işaretli oldukları için çarpımları negatiftir.
\( mn \lt 0 \)
Buna göre \( B \) noktasının apsis ve ordinatının işaretleri \( (+, -) \) olur.
Dolayısıyla \( B \) noktası IV. bölgededir.
Koordinat düzleminde \( A(3, n + 4) \) noktası \( 2m + 1 \) birim sağa, 6 birim aşağı ötelendiğinde \( B(-6, 3n - 8) \) noktası elde ediliyor.
Buna göre \( n - m \) kaçtır?
Çözümü GösterBir nokta \( 2m + 1 \) birim sağa ötelendiğinde apsisi \( 2m + 1 \) birim artar.
\( A(3, n + 4) \longmapsto A'(2m + 4, n + 4) \)
Bir nokta 6 birim aşağı ötelendiğinde ordinatı 6 birim azalır.
\( A'(2m + 4, n + 4) \longmapsto A''(2m + 4, n - 2) \)
Bu dönüşümler sonucunda \( B \) noktası elde ediliyor.
\( A''(2m + 4, n - 2) = B(-6, 3n - 8) \)
İki noktanın eşitliğinde apsis ve ordinat değerleri ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( 2m + 4 = -6 \)
\( m = -5 \)
\( n - 2 = 3n - 8 \)
\( n = 3 \)
\( n - m = 3 - (-5) = 8 \) bulunur.
Yukarıdaki şekilde \( \abs{OB} \perp \abs{AB} \) ve \( B(9, 6) \) olduğuna göre, \( A \) noktasının apsisi kaçtır?
Çözümü Göster
\( B \) noktasından eksenlere birer dikme çizelim.
\( OBA \) bir dik üçgen olduğu için Öklid bağıntısını kullanabiliriz.
\( h^2 = c \cdot k \)
\( 6^2 = 9 \cdot k \)
\( k = 4 \)
Buna göre \( A \) noktasının apsisi \( 9 + k = 13 \) bulunur.
Yukarıdaki şekilde \( [AB] \perp [AC] \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) noktasından \( x \) eksenine bir dikme çizelim.
\( D \) noktasının apsis değeri \( A \) noktası ile aynı olur.
\( \abs{OD} = 1 \)
\( \abs{DC} = 5 - 1 = 4 \)
\( BAC \) bir dik üçgen olduğu için Öklid bağıntısını kullanabiliriz.
\( h^2 = \abs{BD} \cdot \abs{DC} \)
\( h^2 = (8 + 1) \cdot 4 = 36 \)
\( h = 6 \)
Buna göre \( x \) eksenine negatif tarafta 6 birim uzaklıkta olan \( A \) noktasının ordinat değeri \( a = -6 \) olur.
\( m, n \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
Koordinat düzleminde \( K(mn, m^3n^4) \) noktası IV. bölgede yer aldığına göre, \( L((m + n)^3, \sqrt[3]{-nm}) \) noktası kaçıncı bölgededir?
Çözümü GösterIV. bölgedeki bir noktanın apsis ve ordinatının işaretleri \( (+, -) \) olur.
\( K \) noktası IV. bölgededir.
\( m^3n^4 \lt 0 \) eşitsizliğini inceleyelim.
\( n^4 \) ifadesi pozitiftir, dolayısıyla \( m^3 \) negatif ve \( m \lt 0 \) olur.
\( mn \gt 0 \) eşitsizliğini inceleyelim.
\( m \lt 0 \) olduğuna göre, \( n \lt 0 \) olur.
\( L \) noktasının bulunduğu bölgeyi bulalım.
İki negatif sayının toplamı negatiftir, dolayısıyla \( m + n \) ve \( (m + n)^3 \) ifadeleri negatif olur.
İki negatif sayının çarpımı pozitiftir, dolayısıyla \( -nm \) negatiftir. Negatif bir sayının küp kökü de negatiftir, dolayısıyla \( \sqrt[3]{-nm} \) ifadesi negatif olur.
\( L \) noktasının hem apsisi hem de ordinatı negatif olduğu için nokta III. bölgededir.
\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
Koordinat düzleminde \( A(a + 4, a - 3) \) noktası IV. bölgede, \( B(b - 2, b - 3) \) noktası III. bölgededir.
Buna göre \( a + b \) toplamının alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) noktası IV. bölgede olduğuna göre, apsis değeri pozitif, ordinat değeri negatif olur.
\( a + 4 \gt 0 \Longrightarrow a \gt -4 \)
\( a - 3 \lt 0 \Longrightarrow a \lt 3 \)
\( a \) değer aralığı yukarıdaki iki aralığın kesişim kümesidir.
\( -4 \lt a \lt 3 \)
\( B \) noktası III. bölgede olduğuna göre, apsis ve ordinat değerleri negatif olur.
\( b - 2 \lt 0 \Longrightarrow b \lt 2 \)
\( b - 3 \lt 0 \Longrightarrow b \lt 3 \)
\( b \) değer aralığı yukarıdaki iki aralığın kesişim kümesidir.
\( -\infty \lt b \lt 2 \)
\( a + b \) toplamının değer aralığını bulmak için iki eşitsizliği taraf tarafa toplayalım.
\( -\infty \lt a + b \lt 5 \)
Buna göre \( a + b \) toplamının alabileceği en büyük tam sayı değeri 4 olur.
\( ABCD \) bir kare olduğuna göre, \( C \) noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( C \) noktasından \( x \) eksenine bir dikme çizerek \( CEB \) dik üçgenini oluşturalım.
\( m(\widehat{CEB}) = m(\widehat{BOA}) = 90° \)
\( m(\widehat{EBC}) = m(\widehat{OAB}) = \alpha \)
\( ABCD \) bir karedir.
\( \abs{CB} = \abs{BA} \)
Buna göre tüm iç açıları ve birer benzer kenar uzunluğu eşit aşağıdaki iki üçgen eş üçgenlerdir.
\( \overset{\triangle}{CEB} \cong \overset{\triangle}{BOA} \)
Eş üçgenlerin birbirine karşılık gelen kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir.
\( \abs{CE} = \abs{BO} = 2 \)
\( \abs{EB} = \abs{OA} = 3 \)
\( C \) noktasının koordinatları aşağıdaki gibi olur.
\( C(-(3 + 2), 2) = C(-5, 2) \)
Buna göre \( C \) noktasının koordinatları toplamı \( -5 + 2 = -3 \) olarak bulunur.
Şekildeki \( ABCDEF \) düzgün altıgeninin ağırlık merkezi \( y \) ekseni üzerindedir.
\( D \) noktasının ordinatı \( \sqrt{3} \), \( B \) noktasının apsisi \( -6 \) olduğuna göre, \( E \) noktasının koordinatları nedir?
Çözümü GösterDüzgün altıgenin ağırlık merkezine \( G \), bir kenar uzunluğuna \( 2a \) diyelim.
\( B \) noktasından \( y \) eksenine bir dikme çizelim ve \( y \) eksenini kestiği noktaya \( H \) diyelim.
\( [BH] \perp [AO] \)
Düzgün altıgende köşelerden merkeze çizilen doğrular 6 eşkanar üçgen oluşturur.
\( [BH] \) doğrusu \( ABG \) üçgeninde kenarortay ve açıortay doğrusudur. Buna göre açıları ve kenar uzunlukları aşağıdaki gibi olur.
\( m(\widehat{ABH}) = m(\widehat{HBG}) = 30° \)
\( m(\widehat{BAG}) = m(\widehat{BGA}) = 60° \)
\( \abs{AH} = \abs{HG} = a \)
\( 30-60-90° \) özel üçgeninde 60°'lik açının gördüğü kenar uzunluğu \( 30° \)'lik açının gördüğü kenar uzunluğunun \( \sqrt{3} \) katıdır.
\( \abs{BH} = a\sqrt{3} \)
\( B \) noktasının \( y \) eksenine olan uzaklığı, noktanın apsisinin mutlak değerine eşittir.
\( B \) noktasının apsisi -6 olarak veriliyor.
\( \abs{BH} = a\sqrt{3} \)
\( 6 = a\sqrt{3} \)
\( a = 2\sqrt{3} \)
\( E \) noktasının koordinatlarını bulalım.
\( E \) noktasından \( y \) eksenine bir dikme çizelim ve \( y \) eksenini kestiği noktaya \( K \) diyelim.
\( [EK] \perp [AO] \)
\( B \) ve \( E \) noktalarının \( y \) eksenine olan uzaklıkları eşittir.
\( \abs{BH} = \abs{EK} = a\sqrt{3} = 6 \)
\( E \) noktasının ordinatı \( \abs{KO} \) değerine eşittir.
\( \abs{KO} = \abs{KD} + \abs{DO} = a + \sqrt{3} \)
\( = 3\sqrt{3} \)
\( E(6, 3\sqrt{3}) \) bulunur.
Koordinat düzleminde \( A(-22, 0), B(22, 0) \) ve \( C(0, 22) \) noktalarının oluşturduğu \( ABC \) üçgeninin içinde kalan ve koordinatları tam sayı olan kaç nokta vardır?
Çözümü Göster
Verilen \( ABC \) üçgeni bir ikizkenar üçgendir. Üçgenin I. ve II. bölgeleri birbirine göre simetrik olduğu için I. bölgedeki nokta sayısı II. bölgedeki nokta sayısına eşit olur.
I. bölgede kalan ve koordinatları tam sayı olan noktaların sayısını bulalım.
\( x = 1 \) doğrusu üçgenin kenarını \( (1, 21) \) noktasında keser; bu nedenle \( x = 1 \) doğrusu üzerinde olan, üçgenin kenarları üzerinde olmayan ve koordinatları \( (1, 1) \) ile \( (1, 20) \) arasında olan 20 nokta vardır.
\( x = 2 \) doğrusu üçgenin kenarını \( (2, 20) \) noktasında keser; bu nedenle \( x = 2 \) doğrusu üzerinde olan, üçgenin kenarları üzerinde olmayan ve koordinatları \( (2, 1) \) ile \( (2, 19) \) arasında olan 19 nokta vardır.
\( \vdots \)
\( x = 20 \) doğrusu üçgenin kenarını \( (20, 2) \) noktasında keser; bu nedenle \( x = 20 \) doğrusu üzerinde olan, üçgenin kenarları üzerinde olmayan ve koordinatları \( (20, 1) \) ile \( (20, 1) \) arasında olan 1 nokta vardır.
\( x = 21 \) doğrusu üçgenin kenarını \( (21, 1) \) noktasında keser; bu nedenle \( x = 21 \) doğrusu üzerinde olan, üçgenin kenarları üzerinde olmayan nokta yoktur.
Koordinat düzleminin I. bölgesinde bulunan nokta sayısını ardışık sayıların toplam formülü ile bulalım.
\( 20 + 19 + \ldots + 1 = \dfrac{20(20 + 1)}{2} \)
\( = 210 \)
Koordinat düzleminin II. bölgesinde de eşit sayıda, yani 210 nokta vardır.
Son olarak \( y = 0 \) doğrusu üzerinde olan ve üçgenin kenarları üzerinde olmayan nokta sayısını bulalım.
\( y = 0 \) doğrusu üzerinde, üçgenin kenarları üzerinde olmayan ve koordinatları \( (0, 1) \) ile \( (0, 21) \) arasında olan 21 nokta vardır.
Buna göre, istenen koşulları sağlayan \( 210 + 210 + 21 = 441 \) nokta vardır.
\( x, y \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \abs{x} + \abs{y} \lt 15 \) eşitsizliğini sağlayan kaç tane \( (x, y) \) ikilisi vardır?
Çözümü GösterSoruyu koordinat düzlemi üzerinde modelleyerek çözelim.
Eksenler üzerindeki noktaları gözardı ederek koordinat düzleminin birinci bölgesinde eşitsizliği sağlayan noktaları bulalım.
\( x = 1 \) için: \( y \in \underbrace{\{ 1, 2, \ldots, 13 \}}_\text{13 adet} \)
\( x = 2 \) için: \( y \in \underbrace{\{ 1, 2, \ldots, 12 \}}_\text{12 adet} \)
\( \vdots \)
\( x = 13 \) için: \( y \in \underbrace{\{ 1 \}}_\text{1 adet} \)
1. bölgedeki \( (x, y) \) ikililerinin toplam sayısını ardışık sayıların toplam formülü ile bulalım.
\( 1 + 2 + \ldots + 13 = \dfrac{13 \cdot 14}{2} = 91 \)
İfadeler mutlak değer içinde olduğu için bu noktaların diğer bölgelerdeki yansımaları da eşitsizliği sağlar.
\( 4 \cdot 91 = 364 \) nokta
Bu noktalara eksenler üzerinde bulunan noktaları ekleyelim.
\( x \) ekseni üzerinde \( (14, 0) \) ve \( (-14, 0) \) arasında 29 nokta eşitsizliği sağlar.
\( y \) ekseni üzerinde \( (0, 14) \) ve \( (0, -14) \) arasında 29 nokta eşitsizliği sağlar.
\( (x, y) = (0, 0) \) noktası iki eksen üzerinde de bulunduğu için iki eksen üzerindeki noktaların toplamından 1 çıkarmalıyız.
\( 364 + 29 + 29 - 1 = 421 \) ikili bulunur.