Koordinat Sistemleri
Bu bölümde iki boyutlu kartezyen koordinat sistemi dışında en sık kullanılan koordinat sistemlerinden kısaca bahsedeceğiz.
Üç Boyutlu Kartezyen Koordinat Sistemi
Üç boyutlu kartezyen koordinat sisteminde, \( x \) ve \( y \) eksenlerinin oluşturduğu koordinat düzlemine, her iki eksene de dik olan bir \( z \) ekseni eklenir.
Bu sistemde bir \( A \) noktasının konumu \( (a, b, c) \) sıralı üçlüsü ile ifade edilir. Burada \( a, b, c \) sırasıyla noktanın \( x, y, z \) koordinatlarıdır. Uzaydaki her noktaya bir ve yalnız bir sıralı üçlü, her sıralı üçlüye bir ve yalnız bir nokta karşılık gelir.
Her koordinat eksen ikilisi bir koordinat düzlemi belirler. Bu düzlemlere \( xy \), \( xz \) ve \( yz \) düzlemleri denir. Bu üç düzlem birbirine diktir. Her koordinat düzleminde, o düzlemde bulunmayan eksene ait koordinat sıfırdır.
Kutupsal Koordinat Sistemi
Kutupsal koordinat sistemi bir düzlemdeki \( A \) noktasını \( (r, \theta) \) sıralı ikilisi ile temsil eder.
\( A(r, \theta) \)
\( r \) (yarıçap): Noktanın orijine olan uzaklığı
\( \theta \) (açı): Pozitif \( x \) ekseni ile yapılan yönlü açı
Kutupsal koordinat sisteminde orijine kutup noktası, pozitif \( x \) eksenine kutup ekseni, koordinat sisteminin tanımlandığı düzleme ise kutup düzlemi denir.
Kutupsal koordinat sistemi özellikle dairesel ve spiral biçimli eğrilerin ve hareketlerin modellenmesinde kullanılır.
Kutupsal koordinatları daha detaylı şekilde kutupsal denklemler bölümünde inceleyeceğiz.
Silindirik Koordinat Sistemi
Silindirik koordinat sistemi, kutupsal koordinat sisteminin bir uzantısıdır ve kutupsal koordinatlara bir \( z \) bileşeni ekleyerek sistemi üç boyuta taşır. Üç boyutlu uzaydaki \( A \) noktası silindirik koordinat sisteminde \( (r, \theta, z) \) sıralı üçlüsü ile temsil edilir.
\( A(r, \theta, z) \)
\( r, \theta \): Noktanın kutup düzlemi üzerindeki dik izdüşümünün kutupsal koordinatları
\( z \) (yükseklik): Noktanın kutup düzlemine olan yönlü uzaklığı
Başka bir deyişle, \( (r, \theta) \) noktanın kutup düzlemindeki konumunu, \( z \) ise bu düzlemin ne kadar üstünde veya altında olduğunu belirtir.
Silindirik koordinat sistemi özellikle \( z \) ekseni etrafında dönel simetriye sahip geometrik şekillerin ve hareketlerin modellenmesinde kullanılır.
Küresel Koordinat Sistemi
Küresel koordinat sistemi üç boyutlu uzaydaki \( A \) noktasını \( (\rho, \varphi, \theta) \) sıralı üçlüsü ile temsil eder.
\( \rho \ge 0, 0 \le \varphi \le \pi, 0 \le \theta \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( A(\rho, \varphi, \theta) \)
\( \rho \) (yarıçap): Noktanın orijine olan uzaklığı
\( \varphi \) (kutup açısı): \( [OA] \) doğru parçasının pozitif \( z \) ekseniyle yaptığı açı
\( \theta \) (azimut açısı): Noktanın polar düzlemi üzerindeki dik izdüşümünün pozitif \( x \) ekseniyle yaptığı yönlü açı
Yukarıda \( \varphi \) ve \( theta \) için kullandığımız tanımlar ve aralıklar kaynağa göre değişebilir.
Küresel koordinat sisteminde pozitif \( z \) eksenine kutup ekseni denir.
Küresel koordinat sistemi özellikle küre gibi bir nokta etrafında simetriye sahip geometrik şekillerin ve hareketlerin modellenmesinde kullanılır.