Noktanın Yansıması
Bir noktanın eksenlere, bir doğruya ya da diğer bir noktaya göre yansımasını bulmak için o noktanın apsis ve ordinat değerlerine belirli dönüşümler uygulanır. Bir noktanın yansımasını bulurken aşağıdaki temel kurallar akılda tutulmalıdır.
\( A \) noktasının \( S \) noktasına göre yansıması \( A' \) noktası ise \( S \) noktası \( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası olur.
\( A \) noktasının \( d \) doğrusuna göre yansıması \( A' \) noktası ise \( d \) doğrusu \( [AA'] \) doğru parçasının orta dikmesi olur, dolayısıyla aşağıdaki iki koşul sağlanır.
- \( [AA'] \) doğru parçası \( d \) doğrusunu dik keser.
- \( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( d \) doğrusu üzerindedir.
Bir noktanın kendisine ya da üzerinde bulunduğu bir doğruya göre yansıması yine kendisidir.
Bir noktanın aynı noktaya ya da aynı doğruya göre art arda iki kez yansıması alınırsa başlangıçtaki nokta elde edilir.
Bir noktanın farklı yansımaları için uygulanması gereken dönüşümler aşağıda belirtilmiştir.
\( x \) Eksenine Göre
Bir noktanın \( x \) eksenine göre yansımasında apsis değişmez, ordinatın işareti değişir.
\( A(a, b) \longmapsto A'(a, -b) \)
\( A(-8, 3) \longmapsto A'(-8, -3) \)
\( B(0, -4) \longmapsto B'(0, 4) \)
\( C(5, 0) \longmapsto C'(5, 0) \)
İSPATI GÖSTER
\( A \) noktasının \( d \) doğrusuna göre yansıması \( A' \) noktası ise \( d \) doğrusu \( [AA'] \) doğru parçasının orta dikmesi olur, dolayısıyla aşağıdaki iki koşul sağlanır.
- \( [AA'] \) doğru parçası \( d \) doğrusunu dik keser.
- \( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( d \) doğrusu üzerindedir.
\( A(a, b) \) noktasının \( x \) eksenine göre yansıması olan noktaya \( A'(x, y) \) diyelim.
\( x \) ekseni yatay bir doğrudur. \( [AA'] \) doğru parçasının \( x \) eksenini dik kesmesi için doğru parçası düşey olmalıdır, dolayısıyla \( A \) ve \( A' \) noktalarının apsis değerleri birbirine eşit olmalıdır.
\( A'(a, y) \)
\( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( x \) ekseni üzerinde olmalıdır, dolayısıyla orta noktanın ordinatı sıfır olmalıdır.
\( \dfrac{b + y}{2} = 0 \)
\( y = -b \)
Buna göre \( A(a, b) \) noktasının \( x \) eksenine göre yansıması \( A'(a, -b) \) noktasıdır.
\( y \) Eksenine Göre
Bir noktanın \( y \) eksenine göre yansımasında ordinat değişmez, apsisin işareti değişir.
\( A(a, b) \longmapsto A'(-a, b) \)
\( A(5, -4) \longmapsto A'(-5, -4) \)
\( B(\frac{3}{2}, 0) \longmapsto B'(-\frac{3}{2}, 0) \)
\( C(0, 5) \longmapsto C'(0, 5) \)
İSPATI GÖSTER
\( A \) noktasının \( d \) doğrusuna göre yansıması \( A' \) noktası ise \( d \) doğrusu \( [AA'] \) doğru parçasının orta dikmesi olur, dolayısıyla aşağıdaki iki koşul sağlanır.
- \( [AA'] \) doğru parçası \( d \) doğrusunu dik keser.
- \( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( d \) doğrusu üzerindedir.
\( A(a, b) \) noktasının \( y \) eksenine göre yansıması olan noktaya \( A'(x, y) \) diyelim.
\( y \) ekseni düşey bir doğrudur. \( [AA'] \) doğru parçasının \( y \) eksenini dik kesmesi için doğru parçası yatay olmalıdır, dolayısıyla \( A \) ve \( A' \) noktalarının ordinat değerleri birbirine eşit olmalıdır.
\( A'(x, b) \)
\( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( y \) ekseni üzerinde olmalıdır, dolayısıyla orta noktanın apsisi sıfır olmalıdır.
\( \dfrac{a + x}{2} = 0 \)
\( x = -a \)
Buna göre \( A(a, b) \) noktasının \( y \) eksenine göre yansıması \( A'(-a, b) \) noktasıdır.
Orijine Göre
Bir noktanın orijine göre yansımasında hem apsisin hem de ordinatın işareti değişir.
\( A(a, b) \longmapsto A'(-a, -b) \)
\( A(-4, 5) \longmapsto A'(4, -5) \)
\( B(3, -3) \longmapsto B'(-3, 3) \)
İSPATI GÖSTER
\( A \) noktasının \( S \) noktasına göre yansıması \( A' \) noktası ise \( S \) noktası \( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası olur.
\( A(a, b) \) noktasının orijine (\( O(0, 0) \) noktasına) göre yansıması olan noktaya \( A'(x, y) \) diyelim.
Orta noktanın apsis ve ordinat değerleri için orta nokta koordinat formüllerini kullanalım.
\( \dfrac{a + x}{2} = 0 \)
\( x = -a \)
\( \dfrac{b + y}{2} = 0 \)
\( y = -b \)
Buna göre \( A(a, b) \) noktasının orijine göre yansıması \( A'(-a, -b) \) noktasıdır.
Orijine göre yansıma, \( x \) ve \( y \) eksenlerine göre herhangi bir sırada art arda yapılan iki yansımaya eşdeğerdir. Ayrıca orijine göre yansıma, orijin etrafında 180° döndürmeye eşdeğerdir.
\( y = x \) Doğrusuna Göre
Bir noktanın \( y = x \) doğrusuna göre yansımasında apsis ve ordinat yer değiştirir.
\( A(a, b) \longmapsto A'(b, a) \)
\( A(-3, 7) \longmapsto A'(7, -3) \)
\( B(6, 0) \longmapsto B'(0, 6) \)
\( C(4, 4) \longmapsto C'(4, 4) \)
İSPATI GÖSTER
A noktası \( y = x \) doğrusu üzerinde ise yansıması kendisi olur. \( A \) noktasının \( y = x \) doğrusu üzerinde olmadığı durumun ispatını yapalım.
\( A \) noktasının \( d \) doğrusuna göre yansıması \( A' \) noktası ise \( d \) doğrusu \( [AA'] \) doğru parçasının orta dikmesi olur, dolayısıyla aşağıdaki iki koşul sağlanır.
- \( [AA'] \) doğru parçası \( d \) doğrusunu dik keser.
- \( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( d \) doğrusu üzerindedir.
\( A(a, b) \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre yansıması olan noktaya \( A'(x, y) \) diyelim.
\( y = x \) doğrusunun eğimi \( 1 \)'dir. \( [AA'] \) doğru parçasının \( y = x \) doğrusunu dik kesmesi için eğimi \( -1 \) olmalıdır.
\( [AA'] \) doğru parçasının eğimini hesaplayalım.
\( \dfrac{y - b}{x - a} = -1 \)
\( x + y = a + b \)
\( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( y = x \) doğrusu üzerinde olmalıdır, dolayısıyla apsis ve ordinatları değerleri \( y = x \) eşitliğini sağlanmalıdır.
Orta noktanın apsis ve ordinat değerleri için orta nokta koordinat formüllerini kullanalım.
\( \dfrac{b + y}{2} = \dfrac{a + x}{2} \)
\( x - y = b - a \)
\( x \) ve \( y \) için bulduğumuz iki denklemi taraf tarafa toplayalım.
\( 2x = 2b \Longrightarrow x = b \)
\( x = b \) değerini birinci denklemde yerine koyarak \( y \) değerini bulalım.
\( b + y = a + b \Longrightarrow y = a \)
Buna göre \( A(a, b) \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre yansıması \( A'(b, a) \) noktasıdır.
\( y = -x \) Doğrusuna Göre
Bir noktanın \( y = -x \) doğrusuna göre yansımasında apsis ve ordinat yer değiştirir ve her ikisinin de işareti değişir.
\( A(a, b) \longmapsto A'(-b, -a) \)
\( A(4, -6) \longmapsto A'(6, -4) \)
\( B(0, -5) \longmapsto B'(5, 0) \)
\( C(4, -4) \longmapsto C'(4, -4) \)
İSPATI GÖSTER
A noktası \( y = -x \) doğrusu üzerinde ise yansıması kendisi olur. \( A \) noktasının \( y = -x \) doğrusu üzerinde olmadığı durumun ispatını yapalım.
\( A \) noktasının \( d \) doğrusuna göre yansıması \( A' \) noktası ise \( d \) doğrusu \( [AA'] \) doğru parçasının orta dikmesi olur, dolayısıyla aşağıdaki iki koşul sağlanır.
- \( [AA'] \) doğru parçası \( d \) doğrusunu dik keser.
- \( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( d \) doğrusu üzerindedir.
\( A(a, b) \) noktasının \( y = -x \) doğrusuna göre yansıması olan noktaya \( A'(x, y) \) diyelim.
\( y = x \) doğrusunun eğimi \( -1 \)'dir. \( [AA'] \) doğru parçasının \( y = -x \) doğrusunu dik kesmesi için eğimi \( 1 \) olmalıdır.
\( [AA'] \) doğru parçasının eğimini hesaplayalım.
\( \dfrac{y - b}{x - a} = 1 \)
\( x - y = a - b \)
\( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( y = -x \) doğrusu üzerinde olmalıdır, dolayısıyla apsis ve ordinatları değerleri \( y = -x \) eşitliğini sağlanmalıdır.
Orta noktanın apsis ve ordinat değerleri için orta nokta koordinat formüllerini kullanalım.
\( \dfrac{b + y}{2} = -\dfrac{a + x}{2} \)
\( x + y = -a - b \)
\( x \) ve \( y \) için bulduğumuz iki denklemi taraf tarafa toplayalım.
\( 2x = -2b \Longrightarrow x = -b \)
\( x = -b \) değerini ikinci denklemde yerine koyarak \( y \) değerini bulalım.
\( -b + y = -a - b \Longrightarrow y = -a \)
Buna göre \( A(a, b) \) noktasının \( y = -x \) doğrusuna göre yansıması \( A'(-b, -a) \) noktasıdır.
Bir Noktaya Göre
\( A(a, b) \) noktasının \( S(m, n) \) noktasına göre yansımasında \( a \) yerine \( 2m - a \), \( b \) yerine \( 2n - b \) yazılır.
Simetri noktası \( S(m, n) \) olmak üzere,
\( A(a, b) \longmapsto A'(2m - a, 2n - b) \)
\( A(3, 1) \) noktasının \( S(1, 2) \) noktasına göre yansıması:
\( A'(2(1) - 3, 2(2) - 1) = A'(-1, 3) \)
İSPATI GÖSTER
\( A \) noktasının \( S \) noktasına göre yansıması \( A' \) noktası ise \( S \) noktası \( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası olur.
\( A(a, b) \) noktasının \( S(m, n) \) noktasına göre yansıması olan noktaya \( A'(x, y) \) diyelim.
Orta noktanın apsis ve ordinat değerleri için orta nokta koordinat formüllerini kullanalım.
\( \dfrac{a + x}{2} = m \)
\( x = 2m - a \)
\( \dfrac{b + y}{2} = n \)
\( y = 2n - b \)
Buna göre \( A(a, b) \) noktasının \( S(m, n) \) noktasına göre yansıması \( A'(2m - a, 2n - b) \) noktasıdır.
Orijine göre yansıma, bu kuralın \( S(0, 0) \) simetri noktasına göre özel durumudur.
\( y = n \) Doğrusuna Göre
Bir noktanın yatay \( y = n \) doğrusuna göre yansımasında noktanın simetri doğrusu üzerinde aynı apsis değerli noktaya göre yansıması alınır.
\( A(a, b) \longmapsto A'(a, 2n - b) \)
\( A(3, 1) \) noktasının \( y = -1 \) doğrusuna göre yansıması:
\( A'(3, 2(-1) - 1) = A'(3, -3) \)
İSPATI GÖSTER
\( A \) noktasının \( d \) doğrusuna göre yansıması \( A' \) noktası ise \( d \) doğrusu \( [AA'] \) doğru parçasının orta dikmesi olur, dolayısıyla aşağıdaki iki koşul sağlanır.
- \( [AA'] \) doğru parçası \( d \) doğrusunu dik keser.
- \( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( d \) doğrusu üzerindedir.
\( A(a, b) \) noktasının \( y = n \) doğrusuna göre yansıması olan noktaya \( A'(x, y) \) diyelim.
\( y = n \) doğrusu yatay bir doğrudur. \( [AA'] \) doğru parçasının \( y = n \) doğrusunu dik kesmesi için doğru parçası düşey olmalıdır, dolayısıyla \( A \) ve \( A' \) noktalarının apsis değerleri birbirine eşit olmalıdır.
\( A'(a, y) \)
\( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( y = n \) doğrusu üzerinde olmalıdır, dolayısıyla orta noktanın ordinatı \( n \) olmalıdır.
\( \dfrac{b + y}{2} = n \)
\( y = 2n - b \)
Buna göre \( A(a, b) \) noktasının \( y = n \) doğrusuna göre yansıması \( A'(a, 2n - b) \) noktasıdır.
\( x = m \) Doğrusuna Göre
Bir noktanın düşey \( x = m \) doğrusuna göre yansımasında noktanın simetri doğrusu üzerinde aynı ordinat değerli noktaya göre yansıması alınır.
\( A(a, b) \longmapsto A'(2m - a, b) \)
\( A(3, 1) \) noktasının \( x = 1 \) doğrusuna göre yansıması:
\( A'(2(1) - 3, 1) = A'(-1, 1) \)
İSPATI GÖSTER
\( A \) noktasının \( d \) doğrusuna göre yansıması \( A' \) noktası ise \( d \) doğrusu \( [AA'] \) doğru parçasının orta dikmesi olur, dolayısıyla aşağıdaki iki koşul sağlanır.
- \( [AA'] \) doğru parçası \( d \) doğrusunu dik keser.
- \( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( d \) doğrusu üzerindedir.
\( A(a, b) \) noktasının \( x = m \) doğrusuna göre yansıması olan noktaya \( A'(x, y) \) diyelim.
\( x = m \) doğrusu düşey bir doğrudur. \( [AA'] \) doğru parçasının \( x = m \) doğrusunu dik kesmesi için doğru parçası yatay olmalıdır, dolayısıyla \( A \) ve \( A' \) noktalarının ordinat değerleri birbirine eşit olmalıdır.
\( A'(x, b) \)
\( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( x = m \) doğrusu üzerinde olmalıdır, dolayısıyla orta noktanın ordinatı \( m \) olmalıdır.
\( \dfrac{a + x}{2} = m \)
\( x = 2m - a \)
Buna göre \( A(a, b) \) noktasının \( x = m \) doğrusuna göre yansıması \( A'(2m - a, b) \) noktasıdır.
\( ax + by + c = 0 \) Doğrusuna Göre
Bir noktanın \( ax + by + c = 0 \) doğrusuna göre yansıması olan noktanın koordinatları aşağıdaki iki formülle bulunur.
\( A(x_1, y_1) \longmapsto A'(x_2, y_2) \)
Simetrik noktanın koordinatları aşağıdaki iki formülle bulunur.
\( x_2 = x_1 - \dfrac{2a(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2} \)
\( y_2 = y_1 - \dfrac{2b(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2} \)
\( A(2, 1) \) noktasının \( 2x + y + 5 = 0 \) doğrusuna göre yansıması:
\( x_2 = 2 - \dfrac{2(2)(2(2) + 1(1) + 5)}{2^2 + 1^2} \)
\( y_2 = 1 - \dfrac{2(1)(2(2) + 1(1) + 5)}{2^2 + 1^2} \)
\( (x_2, y_2) = (-6, -3) \)
İSPATI GÖSTER
A noktası \( ax + by + c = 0 \) doğrusu üzerinde ise yansıması kendisi olur. \( A \) noktasının \( ax + by + c = 0 \) doğrusu üzerinde olmadığı durumun ispatını yapalım.
\( A \) noktasının \( d \) doğrusuna göre yansıması \( A' \) noktası ise \( d \) doğrusu \( [AA'] \) doğru parçasının orta dikmesi olur, dolayısıyla aşağıdaki iki koşul sağlanır.
- \( [AA'] \) doğru parçası \( d \) doğrusunu dik keser.
- \( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( d \) doğrusu üzerindedir.
\( A(x_1, y_1) \) noktasının \( ax + by + c = 0 \) doğrusuna göre yansıması olan noktaya \( A'(x_2, y_2) \) diyelim.
\( ax + by + c = 0 \) doğrusunun eğimi \( -\frac{a}{b} \)'dir. \( [AA'] \) doğru parçasının \( ax + by + c = 0 \) doğrusunu dik kesmesi için eğimi \( \frac{b}{a} \) olmalıdır.
\( [AA'] \) doğru parçasının eğimini hesaplayalım.
\( \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{b}{a} \)
\( ay_2 - ay_1 = bx_2 - bx_1 \)
\( bx_2 - ay_2 = bx_1 - ay_1 \)
\( [AA'] \) doğru parçasının orta noktası \( ax + by + c = 0 \) doğrusu üzerinde olmalıdır, dolayısıyla apsis ve ordinatları değerleri \( ax + by + c = 0 \) eşitliğini sağlanmalıdır.
\( ax + by + c = 0 \)
Orta noktanın apsis ve ordinat değerleri için orta nokta koordinat formüllerini kullanalım.
\( a\left( \dfrac{x_1 + x_2}{2} \right) + b\left( \dfrac{y_1 + y_2}{2} \right) + c = 0 \)
\( ax_1 + ax_2 + by_1 + by_2 + 2c = 0 \)
\( ax_2 + by_2 = -ax_1 - by_1 - 2c \)
\( x_2 \) ve \( y_2 \) için bulduğumuz iki denklemden birincisinin taraflarını \( b \) ile, ikincisinin taraflarını \( a \) ile çarpalım.
\( b^2x_2 - aby_2 = b^2x_1 - aby_1 \)
\( a^2x_2 + aby_2 = -a^2x_1 - aby_1 - 2ac \)
İki eşitliği taraf tarafa toplayalım.
\( a^2x_2 + b^2x_2 = b^2x_1 - a^2x_1 - 2aby_1 - 2ac \)
Eşitliğin sağ tarafına \( a^2x_1 \) ekleyip çıkaralım.
\( (a^2 + b^2)x_2 = a^2x_1 + b^2x_1 - 2a^2x_1 - 2aby_1 - 2ac \)
\( (a^2 + b^2)x_2 = (a^2 + b^2)x_1 - 2a(ax_1 + by_1 + c) \)
\( (a^2 + b^2)x_2 - (a^2 + b^2)x_1 = -2a(ax_1 + by_1 + c) \)
\( (a^2 + b^2)(x_2 - x_1) = -2a(ax_1 + by_1 + c) \)
\( x_2 = x_1 - \dfrac{2a(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2} \)
Şimdi de \( x_2 \) ve \( y_2 \) için bulduğumuz iki denklemden birincisinin taraflarını \( -a \) ile, ikincisinin taraflarını \( b \) ile çarpalım.
\( -abx_2 + a^2y_2 = -abx_1 + a^2y_1 \)
\( abx_2 + b^2y_2 = -abx_1 - b^2y_1 - 2bc \)
İki eşitliği taraf tarafa toplayalım.
\( (a^2 + b^2)y_2 = a^2y_1 - 2abx_1 - b^2y_1 - 2bc \)
Eşitliğin sağ tarafına \( b^2y_1 \) ekleyip çıkaralım.
\( (a^2 + b^2)y_2 = a^2y_1 + b^2y_1 - 2abx_1 - 2b^2y_1 - 2bc \)
\( (a^2 + b^2)y_2 = (a^2 + b^2)y_1 - 2b(ax_1 + by_1 + c) \)
\( (a^2 + b^2)y_2 - (a^2 + b^2)y_1 = -2b(ax_1 + by_1 + c) \)
\( (a^2 + b^2)(y_2 - y_1) = -2b(ax_1 + by_1 + c) \)
\( y_2 = y_1 - \dfrac{2b(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2} \)
\( A(2, -3) \) noktasının aşağıdaki eksen, doğru ve noktalara göre yansımasını bulunuz.
(a) \( x \) eksenine göre
(b) \( y \) eksenine göre
(c) orijine göre
(d) \( y = x \) doğrusuna göre
(e) \( y = -x \) doğrusuna göre
(f) \( S(-4, 1) \) noktasına göre
(g) \( y = 3 \) doğrusuna göre
(h) \( x = -7 \) doğrusuna göre
Çözümü Göster(a) seçeneği:
Bir noktanın \( x \) eksenine göre yansımasında apsis değişmez, ordinatın işareti değişir.
\( A(2, -3) \longmapsto A'(2, 3) \)
(b) seçeneği:
Bir noktanın \( y \) eksenine göre yansımasında ordinat değişmez, apsisin işareti değişir.
\( A(2, -3) \longmapsto A'(-2, -3) \)
(c) seçeneği:
Bir noktanın orijine göre yansımasında hem apsisin hem de ordinatın işareti değişir.
\( A(2, -3) \longmapsto A'(-2, 3) \)
(d) seçeneği:
Bir noktanın \( y = x \) doğrusuna göre yansımasında apsis ve ordinat yer değiştirir.
\( A(2, -3) \longmapsto A'(-3, 2) \)
(e) seçeneği:
Bir noktanın \( y = -x \) doğrusuna göre yansımasında apsis ve ordinat yer değiştirir ve her ikisinin de işareti değişir.
\( A(2, -3) \longmapsto A'(3, -2) \)
(f) seçeneği:
\( A(a, b) \) noktasının \( S(m, n) \) noktasına göre yansımasında \( a \) yerine \( 2m - a \), \( b \) yerine \( 2n - b \) yazılır.
\( A(a, b) \longmapsto A'(2m - a, 2n - b) \)
Simetri noktası \( S(-4, 1) \) olmak üzere,
\( A(2, -3) \longmapsto A'(2(-4) - 2, 2(1) - (-3)) \)
\( = A'(-10, 5) \)
(g) seçeneği:
Bir noktanın \( y = n \) doğrusuna göre yansımasında noktanın simetri doğrusu üzerinde aynı apsis değerli noktaya göre yansıması alınır.
\( A(a, b) \longmapsto A'(a, 2n - b) \)
Simetri doğrusu \( y = 3 \) olmak üzere,
\( A(2, -3) \longmapsto A'(2, 2(3) - (-3)) \)
\( = A'(2, 9) \)
(h) seçeneği:
Bir noktanın \( x = m \) doğrusuna göre yansımasında noktanın simetri doğrusu üzerinde aynı ordinat değerli noktaya göre yansıması alınır.
\( A(a, b) \longmapsto A'(2m - a, b) \)
Simetri doğrusu \( x = -7 \) olmak üzere,
\( A(2, -3) \longmapsto A'(2(-7) - 2, -3) \)
\( = A'(-16, -3) \)
\( A(3a, 6) \) noktasının orijine göre yansıması olan nokta \( A'(-12, 2b) \) olduğuna göre, \( ab \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( A(3a, 6) \) noktasının orijine göre yansıması \( A'(-3a, -6) \) noktasıdır.
\( A'(-3a, -6) = A'(-12, 2b) \)
\( -3a = -12 \Longrightarrow a = 4 \)
\( -6 = 2b \Longrightarrow b = -3 \)
\( ab = 4(-3) = -12 \) bulunur.
\( A(3, 4) \) noktasının \( x \) eksenine göre yansıması \( A' \) noktası, \( B(4, 3) \) noktasının \( y \) eksenine göre yansıması \( B' \) noktası olduğuna göre, \( \abs{A'B'} \) uzaklığı kaç birimdir?
Çözümü Göster\( A(3, 4) \) noktasının \( x \) eksenine göre yansıması \( A'(3, -4) \) noktasıdır.
\( B(4, 3) \) noktasının \( y \) eksenine göre yansıması \( B'(-4, 3) \) noktasıdır.
\( \abs{A'B'} \) değerini iki nokta arasındaki uzaklık formülü ile bulalım.
\( \abs{A'B'} = \sqrt{(3 - (-4))^2 + (-4 - 3)^2} \)
\( = \sqrt{7^2 + (-7)^2} \)
\( = 7\sqrt{2} \) bulunur.
\( A(n, 4) \) noktasının \( 3x + y - 8 = 0 \) doğrusuna göre yansıması yine kendisi olduğuna göre, \( n \) kaçtır?
Çözümü GösterBir noktanın bir doğruya göre yansıması noktanın kendisi ise nokta o doğrunun üzerindedir.
\( A(n, 4) \) noktası \( 3x + y - 8 = 0 \) doğrusunun üzerinde ise koordinatları doğru denklemini sağlar.
\( 3n + 4 - 8 = 0 \)
\( n = \dfrac{4}{3} \) bulunur.
Dik koordinat düzlemindeki \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları \( A(2, 5) \) noktasında dik kesişmektedir.
Düzlemdeki \( B \) noktasının \( d_1 \) doğrusuna göre yansıması ile \( C \) noktası, \( d_2 \) doğrusuna göre yansıması ile \( D \) noktası elde edildiğine göre, \( C \) ve \( D \) noktalarının koordinatları toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBir noktanın birbirini dik kesen iki doğruya göre yansımaları ile elde edilen iki nokta, birbirinin doğruların kesişim noktasına göre yansıması olur.
Bu nedenle \( [CD] \) doğru parçasının orta noktası, \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının kesişim noktası olan \( A(2, 5) \) olur.
\( C \) noktasının koordinatlarına \( C(x_c, y_c) \), D noktasının koordinatlarına \( D(x_d, y_d) \) diyelim.
\( A(2, 5) = \left( \dfrac{x_c + x_d}{2}, \dfrac{y_c + y_d}{2} \right) \)
\( \dfrac{x_c + x_d}{2} = 2 \)
\( x_c + x_d = 4 \)
\( \dfrac{y_c + y_d}{2} = 5 \)
\( y_c + y_d = 10 \)
\( C \) ve \( D \) noktalarının koordinatları toplamı \( x_c + x_d + y_c + y_d = 4 + 10 = 14 \) olarak bulunur.
Koordinat düzleminde \( A \) noktasının \( y = 2 \) doğrusuna göre yansıması \( B \) noktası, \( B \) noktasının \( x = 1 \) doğrusuna göre yansıması \( C \) noktası, \( C \) noktasının \( y = -x \) doğrusuna göre yansıması \( D(-8, 1) \) noktası olduğuna göre, \( A \) noktasının koordinatları çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) noktasının koordinatlarını bulmak için \( D \) noktasından başlayarak yansıma işlemlerini geriye doğru uygulayalım.
Bir noktanın \( y = -x \) doğrusuna göre yansımasında apsis ve ordinat yer değiştirir ve her ikisinin de işareti değişir.
\( D(-8, 1) \longmapsto C(-1, 8) \)
Bir noktanın \( x = m \) doğrusuna göre yansımasında noktanın simetri doğrusu üzerinde aynı ordinat değerli noktaya göre yansıması alınır.
\( (a, b) \longmapsto (2m - a, b) \)
Simetri doğrusu \( x = 1 \) olmak üzere,
\( C(-1, 8) \longmapsto B(2(1) - (-1), 8) \)
\( = B(3, 8) \)
Bir noktanın \( y = n \) doğrusuna göre yansımasında noktanın simetri doğrusu üzerinde aynı apsis değerli noktaya göre yansıması alınır.
\( (a, b) \longmapsto (a, 2n - b) \)
Simetri doğrusu \( y = 2 \) olmak üzere,
\( B(3, 8) \longmapsto A(3, 2(2) - 8) \)
\( = A(3, -4) \)
\( A \) noktasının koordinatları çarpımı \( 3 \cdot (-4) = -12 \) olarak bulunur.
\( K(2, 1) \) noktasının \( L \) noktasına göre yansıması ile \( P(2, 5) \) noktasının \( x = 4 \) doğrusuna göre yansıması aynı nokta olduğuna göre, \( L \) noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( L \) noktasının koordinatlarına \( L(m, n) \) diyelim.
\( K \) noktasının \( L \) noktasına göre yansımasına \( R \) diyelim.
\( A(a, b) \) noktasının \( S(m, n) \) noktasına göre yansımasında \( a \) yerine \( 2m - a \), \( b \) yerine \( 2n - b \) yazılır.
\( A(a, b) \longmapsto A'(2m - a, 2n - b) \)
\( K(2, 1) \) noktasının \( L(m, n) \) noktasına göre yansımasını bulalım.
\( K(2, 1) \longmapsto R(2m - 2, 2n - 1) \)
\( P \) noktasının \( x = 4 \) doğrusuna göre yansıması da \( R \) noktasıdır.
Bir noktanın \( x = m \) doğrusuna göre yansımasında noktanın simetri doğrusu üzerinde aynı ordinat değerli noktaya göre yansıması alınır.
\( A(a, b) \longmapsto A'(2m - a, b) \)
Simetri doğrusu \( x = 4 \) olmak üzere,
\( P(2, 5) \longmapsto R(2(4) - 2, 5) \)
\( = R(6, 5) \)
\( R \) noktası için iki durumda bulduğumuz koordinatları birbirine eşitleyelim.
\( R(2m - 2, 2n - 1) = R(6, 5) \)
\( 2m - 2 = 6 \Longrightarrow m = 4 \)
\( 2n - 1 = 5 \Longrightarrow n = 3 \)
\( L(m, n) = L(4, 3) \)
\( L \) noktasının koordinatları toplamı \( 4 + 3 = 7 \) olarak bulunur.
\( A(-1, 3) \) noktasının 2 birim sola 1 birim yukarı ötelenmesi ile \( A'(-3, 4) \) noktası elde edilir.
Bir \( (x, y) \) noktasının orijin etrafında negatif yönde \( 90° \) döndürülmesi ile \( (y, -x) \) noktası elde edilir.
Buna göre \( A'(-3, 4) \) noktasına bu döndürme dönüşümü uygulandığında \( A''(4, 3) \) noktası elde edilir.
Bu üç nokta koordinat düzleminde aşağıdaki \( AA'A'' \) üçgenini oluşturur.
Bu üçgenin \( A \) ve \( A'' \) köşelerinin ordinat değerleri aynı olduğu için bu kenarı taban kabul edelim. Bu durumda üçgenin yüksekliği \( A \) ve \( A' \) köşelerinin ordinat değerlerinin farkı olur.
Alan \( = \dfrac{\text{taban} \cdot \text{yükseklik}}{2} \)
\( = \dfrac{(4 - (-1)) \cdot (4 - 3)}{2} = \dfrac{5}{2} \) bulunur.
\( A(2\sqrt{2}, 4\sqrt{2}) \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre yansıması alınarak \( A' \) noktası, yine \( A \) noktasının orijin etrafında pozitif yönde \( 270° \) döndürülmesiyle de \( A'' \) noktası elde ediliyor.
Buna göre \( OA'A'' \) üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
Çözümü GösterBir noktanın \( y = x \) doğrusuna göre yansımasında apsis ve ordinat yer değiştirir.
\( A(2\sqrt{2}, 4\sqrt{2}) \longmapsto A'(4\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) \)
\( (x, y) \) noktası orijin etrafında pozitif yönde \( 270° \) döndürülürse \( (y, -x) \) noktası elde edilir.
\( A(2\sqrt{2}, 4\sqrt{2}) \longmapsto A''(4\sqrt{2}, -2\sqrt{2}) \)
Bu noktalar aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Oluşan üçgenin alanını hesaplayalım.
Alan \( = \dfrac{\text{taban} \cdot \text{yükseklik}}{2} \)
\( = \dfrac{4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}}{2} = 16 \) bulunur.
Koordinat düzlemindeki \( A(-2, 5) \) noktasının \( y \) eksenine göre yansıması ile \( B \) noktası, \( B \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre yansıması ile \( C \) noktası, \( C \) noktasının da \( x \) eksenine göre yansıması ile \( D \) noktası elde ediliyor.
Bu noktaların oluşturduğu \( ABCD \) dörtgeninin alanı kaçtır?
Çözümü GösterBir noktanın \( y \) eksenine göre yansımasında ordinat değişmez, apsisin işareti değişir.
\( A(-2, 5) \longmapsto B(2, 5) \)
Bir noktanın \( y = x \) doğrusuna göre yansımasında apsis ve ordinat yer değiştirir.
\( B(2, 5) \longmapsto C(5, 2) \)
Bir noktanın \( x \) eksenine göre yansımasında apsis değişmez, ordinatın işareti değişir.
\( C(5, 2) \longmapsto D(5, -2) \)
Tüm bu noktaları koordinat düzleminde gösterelim.
Alan hesaplamasında kullanmak için \( E(5, 5) \) noktasını işaretleyelim.
\( ABCD \) dörtgeninin alanını bulmak için büyük üçgenin alanından küçük üçgenin alanını çıkartabiliriz.
\( A(ABCD) = A(AED) - A(BEC) \)
\( A(AED) = \dfrac{\abs{AE} \cdot \abs{ED}}{2} \)
\( = \dfrac{7 \cdot 7}{2} = \dfrac{49}{2} \)
\( A(BEC) = \dfrac{\abs{BE} \cdot \abs{EC}}{2} \)
\( = \dfrac{3 \cdot 3}{2} = \dfrac{9}{2} \)
Bulduğumuz alan değerlerini denklemde yerine koyalım.
\( A(ABCD) = A(AED) - A(BEC) \)
\( = \dfrac{49}{2} - \dfrac{9}{2} \)
\( = 20 \) bulunur.