Analitik Düzlemde Nokta
Kartezyen koordinat sisteminde bir noktanın konumu, noktanın \( x \) ve \( y \) eksenleri üzerindeki izdüşümlerinin sayısal değerlerinden oluşan \( (a, b) \) sıralı ikilisi ile ifade edilir. Bir noktanın konumunu temsil eden bu ikiliye noktanın koordinatı denir.
\( A(a, b) \)
\( a \): Noktanın \( x \) ekseni üzerindeki izdüşümünün sayısal değeri
\( b \): Noktanın \( y \) ekseni üzerindeki izdüşümünün sayısal değeri
Bazı noktaların koordinatları aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Bir noktanın koordinatının birinci bileşenine o noktanın apsisi denir. Apsis değeri I. ve IV. bölgelerde pozitif, II. ve III. bölgelerde negatiftir.
Bir noktanın koordinatının ikinci bileşenine o noktanın ordinatı denir. Ordinat değeri I. ve II. bölgelerde pozitif, III. ve IV. bölgelerde negatiftir.
\( x \) ekseni üzerindeki noktaların ordinat değeri, \( y \) ekseni üzerindeki noktaların apsis değeri sıfırdır.
İki boyutlu koordinat düzlemindeki tüm noktaların kümesi reel sayılar kümesinin ikili kartezyen çarpımı şeklinde ifade edilebilir.
\( \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2 \) \( = \{ (x, y) \mid x, y \in \mathbb{R} \} \)
Üçgenin Ağırlık Merkezi
Doğrusal olmayan üç noktanın oluşturduğu üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları bu üç noktanın apsis ve ordinat değerlerinin aritmetik ortalaması alınarak bulunur.
\( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) \) bir üçgenin köşe noktaları,
\( G(x_0, y_0) \) bu üçgenin ağırlık merkezi olmak üzere,
\( x_0 = \dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3} \)
\( y_0 = \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \)
\( A(2, 3), B(7, -2), C(6, 11) \) noktalarının oluşturduğu üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları:
\( x_0 = \dfrac{2 + 7 + 6}{3} = 5 \)
\( y_0 = \dfrac{3 + (-2) + 11}{3} = 4 \)
İSPATI GÖSTER
\( C \) köşesinden \( [AB] \) kenarına \( G \) noktasından geçen bir doğru parçası çizelim.
Bir üçgenin ağırlık merkezi aynı zamanda üçgenin kenarortaylarının kesişim noktasıdır, dolayısıyla \( G \) noktasından geçen \( [CD] \) doğru parçası \( [AB] \) kenarının kenarortayıdır ve bu kenarın orta noktasıdır.
Buna göre, \( D \) noktasının koordinatları iki noktanın orta nokta formülünden aşağıdaki gibi olur.
\( x_4 = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \)
\( y_4 = \dfrac{y_1 + y_2}{2} \)
\( G \) noktası üçgenin ağırlık merkezi olduğu için, \( [CD] \) kenarortayını \( 2:1 \) oranında keser. Buna göre, \( G \) noktasının koordinatları iki noktayı belirli bir oranda içten bölen nokta formülünden aşağıdaki gibi olur.
\( x_0 = \dfrac{x_3 + 2 \cdot \frac{x_1 + x_2}{2}}{1 + 2} \)
\( = \dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3} \)
\( y_0 = \dfrac{y_3 + 2 \cdot \frac{y_1 + y_2}{2}}{1 + 2} \)
\( = \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \)
Paralelkenarın Köşe Noktaları
Bir paralelkenarın karşılıklı köşelerinin koordinatları toplamı birbirine eşittir. Bu özellik aynı zamanda birer paralelkenar olan dikdörtgen, kare ve eşkenar dörtgen için de geçerlidir.
\( ABCD \) paralelkenarının köşe noktaları \( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3), D(x_4, y_4) \) olmak üzere,
\( x_1 + x_3 = x_2 + x_4 \)
\( y_1 + y_3 = y_2 + y_4 \)
\( A(3, -2), B(6, b), C(8, -3), D(a, -4) \) bir paralelkenarın köşe noktaları ise,
\( 3 + 8 = 6 + a \)
\( a = 5 \)
\( -2 + (-3) = b + (-4) \)
\( b = -1 \)
İSPATI GÖSTER
Paralelkenarlarda köşegenler birbirini ortalar, dolayısıyla köşegenlerin kesişim noktası olan \( K \) noktasının koordinatlarını karşılıklı iki köşenin koordinatları cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( x_0 = \dfrac{x_1 + x_3}{2} = \dfrac{x_2 + x_4}{2} \)
\( y_0 = \dfrac{y_1 + y_3}{2} = \dfrac{y_2 + y_4}{2} \)
Her iki eşitlikte \( K \) noktasının koordinatlarını eşitliğin dışında bırakalım.
\( x_1 + x_3 = x_2 + x_4 \)
\( y_1 + y_3 = y_2 + y_4 \)
Üçgenin Alanı
Doğrusal olmayan üç noktanın oluşturduğu üçgenin alanı aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) \) noktalarının oluşturduğu üçgenin alanı:
\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} \left|\begin{matrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \\ x_1 & y_1 \end{matrix} \right| \)
\( = \dfrac{1}{2} [(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (x_2y_1 + x_3y_2 + x_1y_3)] \)
İSPATI GÖSTER
Pozitif alan değeri elde etmek için \( A \), \( B \) ve \( C \) noktalarını üçgenin köşelerine saatin tersi yönünde yerleştirelim.
Üçgeni içine alan aşağıdaki gibi bir \( BDEF \) dikdörtgeni çizelim.
Üçgenin ve dikdörtgenin köşelerinin koordinatları ve köşe noktaları arası uzaklıklar şekilde belirtildiği gibi olur.
Dikdörtgenin içinde oluşan dört üçgenin alanlarına \( A \), \( A_1 \), \( A_2 \) ve \( A_3 \) diyelim.
Alanını bulmak istediğimiz üçgenin alanını dikdörtgenin alanından diğer üç üçgenin alanını çıkarak bulabiliriz.
\( A(ABC) = A(BDEF) - A(AFB) - A(BDC) - A(CEA) \)
\( A = A(BDEF) - A_1 - A_2 - A_3 \)
Dikdörtgenin alanını hesaplayalım.
\( A(BDEF) = (x_3 - x_2)(y_1 - y_2) \)
\( = x_3y_1 - x_3y_2 - x_2y_1 + x_2y_2 \)
Üçgenlerin alanlarını hesaplayalım.
\( A_1 = \dfrac{1}{2}(x_1 - x_2)(y_1 - y_2) \)
\( = \dfrac{1}{2}(x_1y_1 - x_1y_2 - x_2y_1 + x_2y_2) \)
\( A_2 = \dfrac{1}{2}(x_3 - x_2)(y_3 - y_2) \)
\( = \dfrac{1}{2}(x_3y_3 - x_3y_2 - x_2y_3 + x_2y_2) \)
\( A_3 = \dfrac{1}{2}(x_3 - x_1)(y_1 - y_3) \)
\( = \dfrac{1}{2}(x_3y_1 - x_3y_3 - x_1y_1 + x_1y_3) \)
Bu ifadeleri yukarıdaki üçgen alan formülünde yerlerine yazalım.
\( A = A(BDEF) - A_1 - A_2 - A_3 \)
\( = (x_3y_1 - x_3y_2 - x_2y_1 + x_2y_2) \) \( - \dfrac{1}{2}(x_1y_1 - x_1y_2 - x_2y_1 + x_2y_2) \) \( - \dfrac{1}{2}(x_3y_3 - x_3y_2 - x_2y_3 + x_2y_2) \) \( - \dfrac{1}{2}(x_3y_1 - x_3y_3 - x_1y_1 + x_1y_3) \)
Bu işlemdeki sadeleştirmeleri yaptığımızda aşağıdaki formülü elde ederiz.
\( = \dfrac{1}{2} [(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (x_2y_1 + x_3y_2 + x_1y_3)] \)
Bu formül üçgenin köşelerinin koordinatları matrise saatin tersi yönünde yerleştirildiğinde pozitif, saat yönünde yerleştirildiğinde negatif sonuç verir, dolayısıyla alan değeri için sonucun mutlak değeri alınmalıdır.
Çokgenin Alanı
Basit (kenarları uç noktalar dışında kesişmeyen) bir çokgenin alanı aşağıdaki formülle hesaplanır. Bu formül hem konveks hem de konkav çokgenler için kullanılabilir.
\( ABCDE \) beşgeninin alanı:
\( A(ABCDE) = \dfrac{1}{2} \left|\begin{matrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \\ x_4 & y_4 \\ x_5 & y_5 \\ x_1 & y_1 \end{matrix} \right| \)
Yukarıdaki formül bir beşgen için verilmiş olsa da herhangi bir çokgen için kullanılabilir.
Bu formül çokgenin köşelerinin koordinatları matrise saatin tersi yönünde yerleştirildiğinde pozitif, saat yönünde yerleştirildiğinde negatif sonuç verir, dolayısıyla alan değeri için sonucun mutlak değeri alınmalıdır.
Analitik düzlemdeki \( A(2 - 7k, k - 5) \) noktasının ordinatı apsisinin dörtte biri olduğuna göre, \( A \) noktası kaçıncı bölgededir?
Çözümü Göster\( A \) noktasının ordinatı apsisinin dörtte biridir.
\( k - 5 = \dfrac{2 - 7k}{4} \)
\( 4(k - 5) = 2 - 7k \)
\( 11k = 22 \)
\( k = 2 \)
\( A \) noktasının koordinatlarında \( k = 2 \) değerini yerine koyalım.
\( A(2 - 7(2), 2 - 5) = A(-12, -3) \)
Buna göre \( A \) noktası III. bölgededir.
\( A(a, -b) \) noktası analitik düzlemde III. bölgede olduğuna göre, \( B(-b, -a) \) noktası hangi bölgededir?
Çözümü GösterIII. bölgedeki noktaların apsis ve ordinatlarının işaretleri \( (-, -) \) olur.
\( A(a, -b) \) noktası III. bölgede olduğuna göre, \( a \lt 0 \) ve \( b \gt 0 \) olur.
Buna göre \( B(-b, -a) \) noktasının apsis ve ordinatlarının işaretleri \( (-, +) \) olur.
Dolayısıyla \( B \) noktası II. bölgededir.
\( P(2n - 6, n - 5) \) noktası analitik düzlemde \( y \) ekseni üzerinde bir nokta olduğuna göre, noktanın orijine olan uzaklığı nedir?
Çözümü Göster\( P \) noktası \( y \) ekseni üzerinde olduğuna göre apsis değeri 0'dır.
\( 2n - 6 = 0 \)
\( n = 3 \)
\( P \) noktasının koordinatları aşağıdaki gibi olur.
\( P(2(3) - 6, 3 - 5) = P(0, -2) \)
Buna göre \( P \) noktasının orijine uzaklığı \( \abs{-2} = 2 \) birimdir.
\( K \) noktasının \( y \) eksenine uzaklığı \( 3 \) br, \( x \) eksenine uzaklığı \( 5 \) br ve koordinatları çarpımı negatif olduğuna göre, \( K \) noktasının koordinatları ne olabilir?
Çözümü Göster\( K \) noktasının \( y \) eksenine uzaklığı \( 3 \) br ise apsis değeri \( 3 \) ya da \( -3 \) olabilir.
\( K \) noktasının \( x \) eksenine uzaklığı \( 5 \) br ise ordinat değeri \( 5 \) ya da \( -5 \) olabilir.
Bu iki koşulu sağlayan noktalar aşağıdaki gibidir.
\( (3, 5), (3, -5) (-3, 5), (-3, -5) \)
Bu noktalardan koordinatları çarpımı negatif olanlar \( (3, -5) \) ve \( (-3, 5) \) noktalarıdır.
Buna göre \( K \) noktası \( (3, -5) \) ve \( (-3, 5) \) noktalarından biri olabilir.
\( A(a + 6, a - 5) \) noktasının \( x \) eksenine olan uzaklığı \( 3 \) birim olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) noktası \( x \) ekseninin altında ya da üstünde bulunabileceği için \( x \) eksenine uzaklığı ordinatının mutlak değerine eşit olur.
\( \abs{a - 5} = 3 \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
Durum 1:
\( a - 5 = 3 \)
\( a = 8 \)
Durum 2:
\( a - 5 = -3 \)
\( a = 2 \)
Buna göre \( a \)'nın alabileceği değerler toplamı \( 8 + 2 = 10 \) olur.
\( A(3a + 15, a - 1) \) noktası analitik düzlemin IV. bölgesinde olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?
Çözümü GösterIV. bölgedeki noktaların apsis ve ordinatlarının işaretleri \( (+, -) \) olur.
\( A \) noktasının apsisi pozitiftir.
\( 3a + 15 \gt 0 \)
\( a \gt -5 \)
\( A \) noktasının ordinatı negatiftir.
\( a - 1 \lt 0 \)
\( a \lt 1 \)
Buna göre \( a \) değer aralığı aşağıdaki gibidir.
\( -5 \lt a \lt 1 \)
Bu aralıktaki tam sayı değerleri aşağıdaki gibidir.
\( a \in \{-4, -3, -2, -1, 0\} \)
Buna göre \( a \)'nın alabileceği 5 tam sayı değeri vardır.
\( K(2a - 3, -a + 7) \) noktası analitik düzlemde eksenlere eşit uzaklıkta olduğuna göre, \( K \) noktası hangi bölgelerde bulunabilir?
Çözümü Göster\( K \) noktası eksenlere eşit uzaklıkta olduğuna göre, 1. açıortay (\( y = x \)) ya da 2. açıortay (\( y = -x \)) doğruları üzerindedir ve apsis ve ordinat değerlerinin mutlak değerleri birbirine eşittir.
\( \abs{2a - 3} = \abs{-a + 7} \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
Durum 1:
\( 2a - 3 = -a + 7 \)
\( 3a = 10 \)
\( a = \dfrac{10}{3} \)
\( a \) değerini yerine yazalım.
\( K(2(\frac{10}{3}) - 3, -\frac{10}{3} + 7) = K(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}) \)
Bu durumda \( K \) noktası I. bölgede bulunur.
Durum 2:
\( 2a - 3 = -(-a + 7) \)
\( 2a - 3 = a - 7 \)
\( a = -4 \)
\( a \) değerini yerine yazalım.
\( K(2(-4) - 3, -(-4) + 7) = K(-11, 11) \)
Bu durumda \( K \) noktası II. bölgede bulunur.
Buna göre \( K \) noktası I. ya da II. bölgede bulunabilir ve aşağıdaki şekilde görülebileceği gibi her iki durumda eksenlere eşit uzaklıkta olur.
Analitik düzlemde \( A(a + 4, a - 3) \) noktası IV. bölgede, \( B(b - 2, b - 3) \) noktası III. bölgededir.
Buna göre \( a + b \) toplamının değer aralığı nedir?
Çözümü Göster\( A \) noktası IV. bölgede olduğuna göre, apsis değeri pozitif, ordinat değeri negatif olur.
\( a + 4 \gt 0 \Longrightarrow a \gt -4 \)
\( a - 3 \lt 0 \Longrightarrow a \lt 3 \)
\( a \) değer aralığı yukarıdaki iki aralığın kesişim kümesidir.
\( -4 \lt a \lt 3 \)
\( B \) noktası III. bölgede olduğuna göre, apsis ve ordinat değerleri negatif olur.
\( b - 2 \lt 0 \Longrightarrow b \lt 2 \)
\( b - 3 \lt 0 \Longrightarrow b \lt 3 \)
\( b \) değer aralığı yukarıdaki iki aralığın kesişim kümesidir.
\( -\infty \lt b \lt 2 \)
\( a + b \) toplamının değer aralığını bulmak için iki eşitsizliği taraf tarafa toplayalım.
\( -\infty \lt a + b \lt 5 \)
\( a + b \lt 5 \) bulunur.
\( A(3a - 12, 4) \) ve \( B(-17, a + 5) \) noktaları analitik düzlemin aynı bölgesindedir.
Buna göre \( a \)'nın alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözümü Göster\( A \) ve \( B \) noktaları aynı bölgedelerse hem apsislerinin hem de ordinatlarının işareti aynıdır.
\( B \) noktasının apsis değeri negatif olduğuna göre \( A \) noktasının apsis değeri de negatiftir.
\( 3a - 12 \lt 0 \)
\( a \lt 4 \)
\( A \) noktasının ordinat değeri pozitif olduğuna göre \( B \) noktasının ordinat değeri de pozitiftir.
\( a + 5 \gt 0 \)
\( a \gt -5 \)
\( a \) değer aralığı bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesidir.
\( -5 \lt a \lt 4 \)
Buna göre \( a \)'nın alabileceği \( 3 - (-4) + 1 = 8 \) farklı tam sayı değeri vardır.
Koordinat düzlemindeki \( A(\frac{m}{n}, m - n) \) noktası II. bölgede olduğuna göre, \( B(m^2 - n, mn) \) noktası hangi bölgededir?
Çözümü Göster\( A(\frac{m}{n}, m - n) \) noktası II. bölgede olduğuna göre apsisi negatif, ordinatı pozitiftir.
\( \dfrac{m}{n} \lt 0 \)
Buna göre \( m \) ve \( n \) ters işaretlidir.
\( m - n \gt 0 \)
\( m \gt n \)
Buna göre \( m \) pozitif, \( n \) negatiftir.
\( B \) noktasının apsis ve ordinatının işaretini inceleyelim.
\( m^2 \) pozitiftir, pozitif bir sayıdan negatif bir sayı çıkardığımızda sonuç pozitif olur.
\( m^2 - n \gt 0 \)
\( m \) ve \( n \) ters işaretli olduğu için çarpımları negatiftir.
\( mn \lt 0 \)
\( B(m^2 - n, mn) = B(+, -) \)
Buna göre \( B \) noktası IV. bölgededir.
Alanı 18 birimkare olan \( ABC \) üçgeninde \( A(2, -1), B(4, 5) \) ve \( C(6, m) \) olduğuna göre, \( m \)'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterKöşe noktalarının koordinatları \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \) ve \( C(x_3, y_3) \) olan üçgenin alanı aşağıdaki formülle bulunur.
\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} \abs{x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)} \)
\( 18 = \dfrac{1}{2} \abs{2(5 - m) + 4(m - (-1)) + 6(-1 - 5)}\)
\( 36 = \abs{10 - 2m + 4m + 4 - 36} \)
\( \abs{2m - 22} = 36 \)
\( 2m - 22 = 36 \) ya da \( 2m - 22 = -36 \)
\( 2m - 22 = 36 \) için:
\( m = 29 \)
\( 2m - 22 = -36 \) için:
\( m = -7 \)
\( m \in \{ -7, 29 \} \)
\( m \)'nin alabileceği değerlerin toplamı \( -7 + 29 = 22 \) olarak bulunur.
\( m, n \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
Analitik düzlemde \( K(mn, m^3n^4) \) noktası IV. bölgede yer aldığına göre, \( L((m + n)^3, \sqrt[3]{-nm}) \) noktası hangi bölgededir?
Çözümü Göster\( K \) noktası IV. bölgede yer aldığına göre apsisi pozitif, ordinatı negatiftir.
\( mn \gt 0, \quad m^3n^4 \lt 0 \)
\( m^3n^4 \lt 0 \) eşitsizliğini inceleyelim.
\( n^4 \) ifadesi pozitiftir, dolayısıyla \( m^3 \) negatif ve \( m \lt 0 \) olur.
\( mn \gt 0 \) eşitsizliğini inceleyelim.
\( m \lt 0 \) olduğuna göre, \( n \lt 0 \) olur.
\( L \) noktasının bulunduğu bölgeyi bulalım.
İki negatif sayının toplamı negatiftir, dolayısıyla \( m + n \) ve \( (m + n)^3 \) negatif olur.
İki negatif sayının çarpımı pozitiftir, dolayısıyla \( -nm \) negatiftir. Negatif bir sayının küp kökü de negatiftir, dolayısıyla \( \sqrt[3]{-nm} \) ifadesi negatif olur.
\( L \) noktasının apsisi ve ordinatı negatif olduğu için nokta III. bölgededir.
Analitik düzlemde \( A(3, n + 4) \) noktası \( 2m + 1 \) birim sağa, 6 birim aşağı ötelendiğinde \( B(-6, 3n - 8) \) noktası elde ediliyor.
Buna göre \( n - m \) kaçtır?
Çözümü GösterBir nokta \( 2m + 1 \) birim sağa ötelendiğinde apsisi \( 2m + 1 \) birim artar.
\( A(3, n + 4) \longmapsto A'(2m + 4, n + 4) \)
Bir nokta 6 birim aşağı ötelendiğinde ordinatı 6 birim azalır.
\( A'(2m + 4, n + 4) \longmapsto A''(2m + 4, n - 2) \)
Bu dönüşümler sonucunda elde edilen nokta \( B \) noktasıdır.
\( A''(2m + 4, n - 2) = B(-6, 3n - 8) \)
İki noktanın eşitliğinde apsis ve ordinat değerleri ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( 2m + 4 = -6 \)
\( m = -5 \)
\( n - 2 = 3n - 8 \)
\( n = 3 \)
\( n - m = 3 - (-5) = 8 \) bulunur.
Yukarıda analitik düzlemde \( AOD \) ve \( BOC \) üçgenleri verilmiştir.
\( A(-6, 0) \), \( B(-4, 0) \), \( C(0, 5) \), \( D(0, 7) \) olduğuna göre, \( ABCD \) dikdörtgeninin alanı kaç birimkaredir?
Çözümü Göster\( ABCD \) dikdörtgeninin alanını şekildeki iki üçgenin alanlarının farkı şeklinde yazabiliriz.
\( A(ABDC) = A(AOD) - A(BOC) \)
\( = \dfrac{6 \cdot 7}{2} - \dfrac{4 \cdot 5}{2} \)
\( = 21 - 10 = 11 \) bulunur.
Yukarıdaki şekilde \( \abs{OB} \perp \abs{AB} \) ve \( B(9, 6) \) olduğuna göre, \( A \) noktasının apsis değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( B \) noktasından eksenlere dik doğrular çizelim.
\( BOA \) bir dik üçgen olduğu için Öklid bağıntısını kullanabiliriz.
\( h^2 = c \cdot k \)
\( 6^2 = 9 \cdot k \)
\( k = 4 \)
Buna göre \( A \) noktasının apsis değeri \( 9 + k = 13 \) bulunur.
Yukarıdaki şekilde \( [AB] \perp [AC] \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) noktasından \( x \) eksenine bir dikme çizelim.
\( D \) noktasının apsis değeri \( A \) noktası ile aynı olur.
\( \abs{OD} = 1 \)
\( \abs{DC} = 5 - 1 = 4 \)
\( BAC \) bir dik üçgen olduğu için Öklid bağıntısını kullanabiliriz.
\( h^2 = \abs{BD} \cdot \abs{DC} \)
\( h^2 = (8 + 1) \cdot 4 = 36 \)
\( h = 6 \)
Buna göre \( x \) eksenine negatif tarafta 6 birim uzaklıkta olan \( A \) noktasının ordinat değeri \( a = -6 \) olur.
\( ABCO \) bir dörtgendir.
\( [AB] \perp [BC] \)
\( B(-8, 8) \) olduğuna göre, \( A(ABCO) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( B \) noktasından \( x \) ve \( y \) eksenlerine birer dikme çizelim ve eksenleri kestiği noktalara \( E \) ve \( F \) diyelim.
\( B \) noktasının koordinatlarını kullanarak doğru parçalarının uzunluklarını yazalım.
\( \abs{BE} = \abs{BF} = 8 \)
\( m(\widehat{BCE}) = \alpha \) diyelim.
\( m(\widehat{EBA}) = \alpha \)
Dörtgenin iç açılarından \( m(\widehat{BAO}) = 180° - \alpha \) olur.
\( m(\widehat{BAF}) = \alpha \)
Açıları ve kenar uzunlukları eşit olan \( BEC \) ve \( BFA \) üçgenleri eş üçgenlerdir.
\( \overset{\triangle}{BEC} \cong \overset{\triangle}{BFA} \)
Koordinat sistemindeki bölgelerin alanlarına değer verelim.
Eş üçgen oldukları için \( A(BEC) = A(BFA) = S \) diyelim.
\( A(BEOA) = M \) diyelim.
Soruda istenilen alan değerine bakalım.
\( A(ABCO) = S + M = A(BEOF) \)
\( A(BEOF) = \abs{BF} \cdot \abs{FO} \)
\( = 8 \cdot 8 = 64 \) bulunur.
\( A(0, 5) \) noktası ile \( x \) ekseni üzerinde bulunan ve \( A \) noktasına 10 birim uzaklıkta olan \( B \) ve \( C \) noktaları veriliyor. Buna göre, bu üç noktanın oluşturduğu \( ABC \) üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
Çözümü GösterVerilen noktaları analitik düzlemde gösterelim.
\( \abs{AO} = 5 \)
\( ABO \) üçgenine Pisagor teoremini uygulayalım.
\( \abs{AB}^2 = \abs{AO}^2 + \abs{BO}^2 \)
\( 10^2 = 5^2 + \abs{BO}^2 \)
\( \abs{BO} = 5\sqrt{3} \)
\( ACO \) üçgenine Pisagor teoremini uyguladığımızda aynı sonucu elde ederiz.
\( \abs{CO} = 5\sqrt{3} \)
\( ABC \) üçgeninin alanını bulalım.
\( A(ABC) = \dfrac{\abs{BC} \cdot \abs{AO}}{2} \)
\( = \dfrac{10\sqrt{3} \cdot 5}{2} \)
\( = 25\sqrt{3} \) bulunur.
\( x \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
Bir üçgenin köşelerinin koordinatları \( A(-x, 2x), B(2x + 3, 2x), C(-2x - 1, 5 - 3x) \) şeklindedir.
Üçgenin alanı 60 birimkare olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü GösterÜçgenin köşelerini analitik düzlemde işaretleyelim.
Şekilde görülebileceği gibi, üçgenin \( [AB] \) kenarı \( x \) eksenine paraleldir.
Üçgenin \( [AB] \) kenarını taban, \( [DC] \) doğru parçasını da yükseklik olarak kullanarak üçgenin alanını hesaplayabiliriz.
\( \abs{AB} = 2x + 3 - (-x) = 3x + 3 \)
\( \abs{DC} = 2x - (5 - 3x) = 5x - 5 \)
Üçgenin alanı 60 birimkaredir.
\( A(ABC) = \dfrac{\abs{AB} \cdot \abs{DC}}{2} = 60 \)
\( \dfrac{(3x + 3)(5x - 5)}{2} = 60 \)
\( 3(x + 1) \cdot 5(x - 1) = 120 \)
\( x^2 - 1 = 8 \)
\( x = 3 \) olarak bulunur.
Şekildeki yatay ve dikey kesikli doğrular arasındaki uzaklık 1'er birimdir.
Buna göre \( ABC \) üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
Çözümü GösterÜçgenin köşelerinin koordinatlarını \( A(1, 5) \), \( B(3, 4) \) ve \( C(7, 3) \), bu noktaların \( x \) ekseni üzerindeki izdüşümlerini de \( D(1, 0) \), \( E(3, 0) \) ve \( F(7, 0) \) olarak işaretleyelim.
\( ABC \) üçgeninin alanını iki yöntemle bulabiliriz.
1. yöntem: Analitik
3 noktanın oluşturduğu üçgenin alan formülünü kullanalım.
\( A(1, 5) = A(x_1, y_1) \), \( B(3, 4) = B(x_2, y_2) \) ve \( C(7, 3) = C(x_3, y_3) \) olmak üzere,
\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} \abs{(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (x_2y_1 + x_3y_2 + x_1y_3)} \)
\( = \dfrac{1}{2} \abs{(1 \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 7 \cdot 5) - (3 \cdot 5 + 7 \cdot 4 + 1 \cdot 3)} \)
\( = \dfrac{1}{2} \abs{48 - 46} = 1 \) birimkare
2. yöntem: Geometrik
\( ABC \) üçgeninin alanını \( ADFC \) yamuğunun alanından \( ADEB \) ve \( BEFC \) yamuklarının alanlarını çıkararak bulalım.
\( A(ABC) = A(ADFC) - A(ADEB) - A(BEFC) \)
\( = \dfrac{(5 + 3)6}{2} - \dfrac{(5 + 4)2}{2} - \dfrac{(4 + 3)4}{2} \)
\( = 24 - 9 - 14 = 1 \) birimkare bulunur.
Analitik düzlemde \( A(-22, 0), B(22, 0) \) ve \( C(0, 22) \) noktalarının oluşturduğu \( ABC \) üçgeninin içinde koordinatları tam sayı olan ve üçgenin kenarları üzerinde olmayan kaç nokta vardır?
Çözümü Göster
Verilen \( ABC \) üçgeni ikizkenar üçgendir. Üçgenin I. ve II. bölgeleri birbirine göre simetrik olduğu için I. bölgedeki nokta sayısı II. bölgedeki nokta sayısına eşit olacaktır.
Üçgenin analitik düzleme göre I. bölgede kalan ve koordinatları tam sayı olan noktalarını bulalım.
\( x = 1 \) doğrusu üçgenin kenarını \( (1, 21) \) noktasında keser; bu nedenle \( x = 1 \) doğrusu üzerinde, üçgenin kenarları üzerinde olmayan ve koordinatları \( (1, 1) \) ile \( (1, 20) \) arasında olan 20 nokta vardır.
\( x = 2 \) doğrusu üçgenin kenarını \( (2, 20) \) noktasında keser; bu nedenle \( x = 2 \) doğrusu üzerinde, üçgenin kenarları üzerinde olmayan ve koordinatları \( (2, 1) \) ile \( (2, 19) \) arasında olan 19 nokta vardır.
\( \vdots \)
\( x = 20 \) doğrusu üçgenin kenarını \( (20, 2) \) noktasında keser; bu nedenle \( x = 20 \) doğrusu üzerinde, üçgenin kenarları üzerinde olmayan ve koordinatları \( (20, 1) \) ile \( (20, 1) \) arasında olan 1 nokta vardır.
\( x = 21 \) doğrusu üçgenin kenarını \( (21, 1) \) noktasında keser; bu nedenle \( x = 21 \) doğrusu üzerinde, üçgenin kenarları üzerinde olmayan nokta yoktur.
Analitik düzlemin I. bölgesinde bulunan nokta sayısını ardışık sayıların toplam formülü ile bulalım.
\( 20 + 19 + \ldots + 1 = \dfrac{20(20 + 1)}{2} \)
\( = 210 \)
Analitik düzlemin II. bölgesinde de eşit sayıda, yani 210 nokta vardır.
Son olarak \( y = 0 \) doğrusu üzerinde olan ve üçgenin kenarları üzerinde olmayan nokta sayısını bulalım.
\( y = 0 \) doğrusu üzerinde, üçgenin kenarları üzerinde olmayan ve koordinatları \( (0, 1) \) ile \( (0, 21) \) arasında olan 21 nokta vardır.
Buna göre, istenen koşulları sağlayan \( 210 + 210 + 21 = 441 \) nokta vardır.
\( x, y \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \abs{x} + \abs{y} \lt 15 \) eşitsizliğini sağlayan kaç tane \( (x, y) \) ikilisi vardır?
Çözümü GösterSoruyu analitik düzlem üzerinde modelleyerek çözelim.
Eksenler üzerindeki noktaları gözardı ederek koordinat düzleminin birinci bölgesinde eşitsizliği sağlayan noktaları bulalım.
\( x = 1 \) için: \( y \in \underbrace{\{ 1, 2, \ldots, 13 \}}_\text{13 adet} \)
\( x = 2 \) için: \( y \in \underbrace{\{ 1, 2, \ldots, 12 \}}_\text{12 adet} \)
\( \vdots \)
\( x = 13 \) için: \( y \in \underbrace{\{ 1 \}}_\text{1 adet} \)
1. bölgedeki \( (x, y) \) ikililerinin toplam sayısını bulalım.
\( 1 + 2 + \ldots + 13 = \dfrac{13 \cdot 14}{2} = 91 \)
İfadeler mutlak değer içinde olduğu için bu noktaların diğer bölgelerdeki yansımaları da eşitsizliği sağlar.
\( 4 \cdot 91 = 364 \) nokta
Bu noktalara eksenler üzerinde bulunan noktaları ekleyelim.
\( x \) ekseni üzerinde \( (14, 0) \) ve \( (-14, 0) \) arasında 29 nokta eşitsizliği sağlar.
\( y \) ekseni üzerinde \( (0, 14) \) ve \( (0, -14) \) arasında 29 nokta eşitsizliği sağlar.
\( (x, y) = (0, 0) \) noktası iki eksen üzerinde de bulunduğu için iki eksen üzerindeki noktaların toplamından 1 çıkarmalıyız.
\( 364 + 29 + 29 - 1 = 421 \) ikili bulunur.
Yukarıdaki şekildeki \( ABCO \) dörtgeninin alanı kaçtır?
Çözümü Göster\( B \) noktasından \( x \) eksenine bir dikme çizelim ve \( x \) eksenini kestiği noktaya \( D \) diyelim.
\( [BD] \perp [AO] \)
\( \abs{DO} = 8 \), \( \abs{AD} = 2 \), \( \abs{BD} = 4 \)
\( ABCO \) dörtgeninin alanı, oluşan dik üçgen ve yamuğun alanları toplamına eşittir.
\( A(ABCO) = A(ADB) + A(DBCO) \)
\( ADB \) üçgeninin alanını hesaplayalım.
\( A(ADB) = \dfrac{\abs{AD} \cdot \abs{BD}}{2} \)
\( = \dfrac{2 \cdot 4}{2} = 4 \)
\( DBCO \) yamuğunun alanını hesaplayalım.
\( A(DBCO) = \dfrac{(\abs{BD} + \abs{CO}) \cdot \abs{DO}}{2} \)
\( = \dfrac{(4 + 6) \cdot 8}{2} = 40 \)
\( A(ABCO) = 4 + 40 = 44 \) bulunur.
Şekildeki \( ABCDEF \) düzgün altıgeninin ağırlık merkezi \( y \) ekseni üzerindedir.
\( D \) noktasının ordinatı \( \sqrt{3} \), \( B \) noktasının apsisi \( -6 \) olduğuna göre, \( E \) noktasının koordinatları nedir?
Çözümü GösterDüzgün altıgenin ağırlık merkezine \( G \), bir kenar uzunluğuna \( 2a \) diyelim.
\( B \) noktasından \( y \) eksenine dikme çizelim ve \( y \) eksenini kestiği noktaya \( H \) diyelim.
\( [BH] \perp [AO] \)
Düzgün altıgende köşelerden merkeze çizilen doğrular 6 eşkanar üçgen oluşturur.
\( [BH] \) doğrusu \( ABG \) üçgeninde kenarortay ve açıortay doğrusudur. Buna göre açıları ve kenar uzunlukları aşağıdaki gibi olur.
\( m(\widehat{ABH}) = m(\widehat{HBG}) = 30° \)
\( m(\widehat{BAG}) = m(\widehat{BGA}) = 60° \)
\( \abs{AH} = \abs{HG} = a \)
\( 30-60-90° \) özel üçgeninde 60°'lik açının gördüğü kenar uzunluğu \( 30° \)'lik açının gördüğü kenar uzunluğunun \( \sqrt{3} \) katıdır.
\( \abs{BH} = a\sqrt{3} \)
\( B \) noktasının \( y \) eksenine olan uzaklığı, noktanın apsisinin mutlak değerine eşittir.
\( B \) noktasının apsisi -6 olarak veriliyor.
\( \abs{BH} = a\sqrt{3} \)
\( 6 = a\sqrt{3} \)
\( a = 2\sqrt{3} \)
\( E \) noktasının koordinatlarını bulalım.
\( E \) noktasından \( y \) eksenine bir dikme çizelim ve \( y \) eksenini kestiği noktaya \( K \) diyelim.
\( [EK] \perp [AO] \)
\( B \) ve \( E \) noktalarının \( y \) eksenine olan uzaklıkları eşittir.
\( \abs{BH} = \abs{EK} = a\sqrt{3} = 6 \)
\( E \) noktasının ordinatı \( \abs{KO} \) değerine eşittir.
\( \abs{KO} = \abs{KD} + \abs{DO} = a + \sqrt{3} \)
\( = 3\sqrt{3} \)
\( E(6, 3\sqrt{3}) \) bulunur.