Noktaların Doğrusallığı
Bir nokta kümesinin doğrusal olması, bu noktalardan geçen tek bir doğru çizilebilmesi anlamına gelir.
Aşağıdaki şekildeki \( A, B, C \) noktaları doğrusaldır, \( D, E, F \) noktaları ise doğrusal değildir. Bu örnekte görülebileceği üzere, doğrusal olmayan üç nokta bir üçgen oluşturur.
İki farklı noktayı birleştiren bir doğru her zaman çizilebileceği için iki nokta her zaman doğrulsaldır. Bu yüzden genellikle üç ya da daha fazla sayıda noktanın doğrusal olup olmadığı incelenir.
Noktaların doğrusal olup olmadığını bulmak için dört yöntem paylaşacağız. Bu yöntemlerden ilk ikisi 4 ve üstü noktadan oluşan kümelerin doğrusallığı için de kullanılabilir, son iki yöntem ise sadece 3 noktanın doğrusallığı için kullanılır.
Eğim Yöntemi
Bu yöntemde, üç noktanın doğrusal olup olmadığını bulmak için bu noktalar içinden seçilen herhangi iki nokta ikilisini birleştiren doğru parçalarının eğimleri hesaplanır. Eğimler birbirine eşitse noktalar doğrusaldır, farklı ise doğrusal değildir.
\( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) \) olmak üzere,
\( m_{AB} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( m_{BC} = \dfrac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2} \)
\( m_{AB} = m_{BC} \) ise noktalar doğrusaldır.
\( m_{AB} \ne m_{BC} \) ise noktalar doğrusal değildir.
\( A(-3, 8), B(-1, 2), C(5, -16) \) noktalarının doğrusallığını inceleyelim.
\( [AB] \) doğru parçasının eğimini hesaplayalım.
\( m_{AB} = \dfrac{2 - 8}{-1 - (-3)} = -3 \)
\( [BC] \) doğru parçasının eğimini hesaplayalım.
\( m_{BC} = \dfrac{-16 - 2}{5 - (-1)} = -3 \)
İki eğim birbirine eşit olduğu için bu üç nokta doğrusaldır.
Bu örnekte ikinci eğimin \( [AC] \) doğru parçası için hesaplanması doğrusallığı gösterme anlamında sonucu değiştirmez. Bunun sebebi, doğrusallığın bu noktalardan tek bir doğru geçmesi anlamına gelmesi ve bir doğru boyunca hangi iki nokta seçilirse seçilsin eğimin sabit olmasıdır.
\( [AC] \) doğru parçasının eğimini hesaplayalım.
\( m_{AC} = \dfrac{-16 - 8}{5 - (-3)} = -3 \)
Dört ve daha fazla sayıda noktanın doğrusallığını bu yöntemle bulmak için, noktalardan biri sabit tutulur ve diğer noktaların her biri ile bu nokta arasındaki eğimlerin eşitliğine bakılır.
\( m_{AB} = m_{AC} = m_{AD} = m_{AE} = \ldots \) ise noktalar doğrusaldır.
En az bir eğim diğerlerinden farklı ise noktalar doğrusal değildir.
Dört ya da daha fazla sayıda nokta söz konusu olduğunda noktalardan biri sabit tutulmazsa aşağıdaki örnekteki gibi hatalı sonuç elde edilebilir. Bu örnekte eğimler \( AB, AC, BC, DE \) ikilileri için hesaplandığında aynı değer elde edilir, ama noktalar doğrusal değildir.
Dikey bir doğrunun eğimi tanımsız olduğu için, dikey bir doğru üzerinde bulunan noktaların doğrusalllığı eğim yöntemiyle bulunamaz. Bu durumda aşağıdaki diğer yöntemler kullanılmalıdır.
Denklem Yöntemi
Bu yöntemde, verilen noktalardan herhangi ikisinin geçtiği doğru denklemi bulunur. Diğer noktaların tümü bu doğru denklemini sağlıyorsa noktalar doğrusaldır, noktalardan en az biri denklemi sağlamıyorsa doğrusal değildir.
\( A(2, 6), B(5, -3), C(-7, 33), D(8, -10) \) noktalarının doğrusallığını inceleyelim.
\( A \) ve \( B \) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazalım.
\( \dfrac{y - 6}{x - 2} = \dfrac{-3 - 6}{5 - 2} \)
\( y = -3x + 12 \)
\( C \) ve \( D \) noktalarını denklemde yerine koyalım.
\( C: y = -3(-7) + 12 = 33 \)
\( C \) noktası doğru denklemini sağlar.
\( D: y = -3(8) + 12 = -12 \ne -10 \)
\( D \) noktası doğru denklemini sağlamaz.
Buna göre \( A, B, C \) noktaları doğrusaldır, ancak noktaların tümü doğrusal değildir.
Alan Yöntemi
Bu yöntemde, üç noktanın doğrusal olup olmadığını bulmak için önceki bölümde paylaştığımız üçgen alan formülü kullanılır. Alan sıfır çıkıyorsa noktalar doğrusaldır (bir üçgen oluşturmazlar), sıfırdan büyük çıkıyorsa doğrusal değildir (bir üçgen oluştururlar).
\( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) \) olmak üzere,
\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} \left|\begin{matrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \\ x_1 & y_1 \end{matrix} \right| \)
\( = \dfrac{1}{2} [(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (x_2y_1 + x_3y_2 + x_1y_3)] \)
\( A(ABC) = 0 \) ise noktalar doğrusaldır.
\( A(ABC) \gt 0 \) ise noktalar doğrusal değildir.
\( A(-3, 8), B(-1, 2), C(5, -16) \) noktalarının doğrusallığını inceleyelim.
\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} [((-3)(2) + (-1)(-16) + (5)(8)) - ((-1)(8) + (5)(2) + (-3)(-16))] = 0 \)
\( A(ABC) = 0 \) olduğuna göre bu üç nokta doğrusaldır.
Uzaklık Yöntemi
Bu yöntemde, üç noktanın doğrusal olup olmadığını bulmak için aralarındaki ikili uzaklıklar hesaplanır. En büyük uzaklık diğer iki uzaklığın toplamına eşitse noktalar doğrusaldır, aksi takdirde doğrusal değildir.
\( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) \) olmak üzere,
\( \abs{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( \abs{AC} = \sqrt{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2} \)
\( \abs{BC} = \sqrt{(x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2} \)
\( \abs{AC} \) uzunluğunun en büyük olduğunu varsayalım.
\( \abs{AC} = \abs{AB} + \abs{BC} \) ise noktalar doğrusaldır.
\( \abs{AC} \ne \abs{AB} + \abs{BC} \) ise noktalar doğrusal değildir.
\( A(-3, 8), B(-1, 2), C(5, -16) \) noktalarının doğrusallığını inceleyelim.
\( \abs{AB} = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (2 - 8)^2} = 2\sqrt{10} \)
\( \abs{AC} = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (-16 - 8)^2} = 8\sqrt{10} \)
\( \abs{AC} = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (-16 - 2)^2} = 6\sqrt{10} \)
En büyük uzunluk \( \abs{AC} = 8\sqrt{10} \) olur.
\( 8\sqrt{10} = 2\sqrt{10} + 6\sqrt{10} \)
Buna göre bu üç nokta doğrusaldır.
Koordinat düzlemindeki \( A(-2, 0), B(4, 2) \) ve \( C(6, k) \) noktaları doğrusal olduğuna göre, \( k \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen noktaları koordinat düzleminde işaretleyelim.
Bu noktalar doğrusal olduğuna göre, herhangi ikisinden geçen doğruların eğimi eşit olmalıdır.
\( m_{AB} = m_{BC} \)
\( \dfrac{2 - 0}{4 - (-2)} = \dfrac{k - 2}{6 - 4} \)
\( \dfrac{2}{6} = \dfrac{k - 2}{2} \)
\( k - 2 = \dfrac{2}{3} \)
\( k = \dfrac{8}{3} \) bulunur.
\( A(1, 4), B(a, 0), C(6, -2) \) olmak üzere,
\( \abs{AB} + \abs{BC} \) toplamının en küçük olması için \( a \) kaç olmalıdır?
Çözümü GösterUzaklıklar toplamının en küçük olması için bu üç nokta doğrusal olmalıdır, aksi takdirde noktalar bir üçgen oluşturur.
\( m_{AB} = m_{BC} \)
\( \dfrac{0 - 4}{a - 1} = \dfrac{-2 - 0}{6 - a} \)
\( \dfrac{-4}{a - 1} = \dfrac{-2}{6 - a} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( -24 + 4a = -2a + 2 \)
\( 6a = 26 \)
\( a = \dfrac{13}{3} \) bulunur.
\( (k + 1, 2k - 3) \), \( (2k - 1, 3k - 2) \) ve \( (2k + 3, 5k - 4) \) noktaları \( k \)'nın hangi değerleri için doğrusaldır?
Çözümü GösterVerilen noktaların doğrusal olabilmesi için noktaların birleştirilmesiyle oluşan şeklin alanı sıfır olmalıdır (bir diğer ifadeyle, bu noktalar bir üçgen oluşturmamalıdır).
Üç noktasının koordinatları bilinen üçgenin alanı aşağıdaki formülle bulunur.
\( A = \dfrac{1}{2} \abs{(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (x_2y_1 + x_3y_2 + x_1y_3)} \)
\( A(x_1, y_1) = A(k + 1, 2k - 3) \)
\( B(x_2, y_2) = B(2k- 1, 3k - 2) \)
\( C(x_3, y_3) = C(2k + 3, 5k - 4) \)
Noktaların koordinatlarını denklemde yerine koyalım.
\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} \abs{[(k + 1)(3k - 2) + (2k- 1)(5k - 4) + (2k + 3)(2k - 3)] - [(2k- 1)(2k - 3) + (2k + 3)(3k - 2) + (k + 1)(5k - 4)]} \)
\( = \dfrac{1}{2} \abs{(3k^2 + k - 2 + 10k^2 - 13k + 4 + 4k^2 - 9) - (4k^2 - 8k + 3 + 6k^2 + 5k - 6 + 5k^2 + k - 4)} \)
\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} \abs{(2k^2 - 10k)} \)
Verilen noktaların doğrusal olması için bu noktaların sınırlandırdığı alan 0 olmalıdır.
\( \dfrac{1}{2} \abs{(2k^2 - 10k)} = 0 \)
\( k(k - 5) = 0 \)
Buna göre \( k \in \{ 0, 5 \} \) değerleri için verilen üç nokta doğrusal olur.
\( A(-3, -3), B(-2, -1), C(1, 5) \) noktalarının doğrusal olup olmadığını uzaklık formülünü kullanarak bulunuz.
Çözümü GösterBu üç nokta arasındaki uzaklıkları bulalım.
\( \abs{AB} = \sqrt{(-2 - (-3))^2 + (-1 - (-3))^2} \)
\( = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \)
\( \abs{BC} = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (5 - (-1))^2} \)
\( = \sqrt{3^2 + 6^2} = 3\sqrt{5} \)
\( \abs{AC} = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (5 - (-3))^2} \)
\( = \sqrt{4^2 + 8^2} = 4\sqrt{5} \)
\( [AC] \) uzunluğunun \( [AB] \) ve \( [BC] \) uzunlukları toplamına eşit olduğunu görüyoruz.
\( \abs{AC} = \abs{AB} + \abs{BC} \)
\( 4\sqrt{5} = \sqrt{5} + 3\sqrt{5} \)
Üçgen eşitsizliğine göre, bir üçgende bir kenar uzunluğu her zaman diğer iki kenar uzunlukları toplamından küçüktür. Bu eşitlik bize bu üç noktanın bir üçgen oluşturmadıklarını, dolayısıyla doğrusal olduklarını gösterir.
Noktaların doğrusal olduğunu aşağıdaki şekilde de görebiliriz.
