Kartezyen Düzleminde Alan Hesaplama
Bu bölümde kartezyen düzlemindeki üçgen ve çokgenlerin alanlarını hesaplamak için kullanılabilecek formülleri göreceğiz.
Üçgenin Alanı
Aynı doğru üzerinde (doğrusal) olmayan üç noktanın oluşturduğu üçgenin alanı, aşağıdaki ayakkabı bağcığı (ya da Gauss alan) formülü ile hesaplanır.
\( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) \) noktalarının oluşturduğu üçgenin alanı:
\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} \left|\begin{matrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \\ x_1 & y_1 \end{matrix} \right| \)
\( = \dfrac{1}{2} \abs{(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (x_2y_1 + x_3y_2 + x_1y_3)} \)
İSPATI GÖSTER
Pozitif alan değeri elde etmek için \( A \), \( B \) ve \( C \) noktalarını üçgenin köşelerine saatin tersi yönünde yerleştirelim.
Üçgeni içine alan aşağıdaki gibi bir \( BDEF \) dikdörtgeni çizelim.
Üçgenin ve dikdörtgenin köşelerinin koordinatları ve köşe noktaları arası uzaklıklar şekilde belirtildiği gibi olur.
Dikdörtgenin içinde oluşan dört üçgenin alanlarına \( A \), \( A_1 \), \( A_2 \) ve \( A_3 \) diyelim.
Alanını bulmak istediğimiz üçgenin alanını dikdörtgenin alanından diğer üç üçgenin alanını çıkarak bulabiliriz.
\( A(ABC) = A(BDEF) - A(AFB) - A(BDC) - A(CEA) \)
\( A = A(BDEF) - A_1 - A_2 - A_3 \)
Dikdörtgenin alanını hesaplayalım.
\( A(BDEF) = (x_3 - x_2)(y_1 - y_2) \)
\( = x_3y_1 - x_3y_2 - x_2y_1 + x_2y_2 \)
Üçgenlerin alanlarını hesaplayalım.
\( A_1 = \dfrac{1}{2}(x_1 - x_2)(y_1 - y_2) \)
\( = \dfrac{1}{2}(x_1y_1 - x_1y_2 - x_2y_1 + x_2y_2) \)
\( A_2 = \dfrac{1}{2}(x_3 - x_2)(y_3 - y_2) \)
\( = \dfrac{1}{2}(x_3y_3 - x_3y_2 - x_2y_3 + x_2y_2) \)
\( A_3 = \dfrac{1}{2}(x_3 - x_1)(y_1 - y_3) \)
\( = \dfrac{1}{2}(x_3y_1 - x_3y_3 - x_1y_1 + x_1y_3) \)
Bu ifadeleri yukarıdaki üçgen alan formülünde yerlerine yazalım.
\( A = A(BDEF) - A_1 - A_2 - A_3 \)
\( = (x_3y_1 - x_3y_2 - x_2y_1 + x_2y_2) - \dfrac{1}{2}(x_1y_1 - x_1y_2 - x_2y_1 + x_2y_2) - \dfrac{1}{2}(x_3y_3 - x_3y_2 - x_2y_3 + x_2y_2) - \dfrac{1}{2}(x_3y_1 - x_3y_3 - x_1y_1 + x_1y_3) \)
Bu işlemdeki sadeleştirmeleri yaptığımızda aşağıdaki formülü elde ederiz.
\( = \dfrac{1}{2} [(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (x_2y_1 + x_3y_2 + x_1y_3)] \)
Bu formül üçgenin köşeleri matrise saatin tersi yönde yerleştirilirse pozitif, saat yönünde yerleştirilirse negatif sonuç verir, dolayısıyla alan değeri için sonucun mutlak değeri alınmalıdır.
Çokgenin Alanı
Yukarıda üçgen için verdiğimiz ayakkabı bağcığı formülü, herhangi bir basit (kenarları uç noktalar dışında kesişmeyen) çokgen için de geçerlidir. Bu formül hem konveks hem de konkav basit çokgenler için geçerlidir.
\( ABCDE \) beşgeninin alanı:
\( A(ABCDE) = \dfrac{1}{2} \left|\begin{matrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \\ x_4 & y_4 \\ x_5 & y_5 \\ x_1 & y_1 \end{matrix} \right| \)
Yukarıdaki formül bir beşgen için verilmiş olsa da herhangi bir çokgen için kullanılabilir. Köşeler çokgen üzerinde ardışık sırayla yazılmalıdır.
Bu formül çokgenin köşeleri matrise saatin tersi yönde yerleştirilirse pozitif, saat yönünde yerleştirilirse negatif sonuç verir, dolayısıyla alan değeri için sonucun mutlak değeri alınmalıdır.
Koordinat düzleminde \( AOD \) ve \( BOC \) üçgenleri şekildeki gibi veriliyor.
\( A(-6, 0) \), \( B(-4, 0) \), \( C(0, 5) \), \( D(0, 7) \) olduğuna göre, \( ABCD \) dörtgeninin alanı kaç birimkaredir?
Çözümü Göster\( ABCD \) dörtgeninin alanını verilen iki üçgenin alanlarının farkı şeklinde yazabiliriz.
\( A(ABDC) = A(AOD) - A(BOC) \)
\( = \dfrac{6 \cdot 7}{2} - \dfrac{4 \cdot 5}{2} \)
\( = 21 - 10 = 11 \) bulunur.
Alanı 18 birimkare olan \( ABC \) üçgeninde \( A(2, -1), B(4, 5) \) ve \( C(6, m) \) olduğuna göre, \( m \)'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterKöşe noktalarının koordinatları \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \) ve \( C(x_3, y_3) \) olan üçgenin alanı aşağıdaki formülle bulunur.
\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} \abs{x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)} \)
\( 18 = \dfrac{1}{2} \abs{2(5 - m) + 4(m - (-1)) + 6(-1 - 5)}\)
\( 36 = \abs{10 - 2m + 4m + 4 - 36} \)
\( \abs{2m - 22} = 36 \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
Durum 1:
\( 2m - 22 = 36 \)
\( m = 29 \)
Durum 2:
\( 2m - 22 = -36 \)
\( m = -7 \)
\( m \)'nin alabileceği değerlerin toplamı \( -7 + 29 = 22 \) olarak bulunur.
\( A(0, 5) \) noktası ile \( x \) ekseni üzerinde bulunan ve \( A \) noktasına 10 birim uzaklıkta olan \( B \) ve \( C \) noktaları veriliyor. Buna göre, bu üç noktanın oluşturduğu \( ABC \) üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
Çözümü GösterVerilen noktaları koordinat düzleminde gösterelim.
\( \abs{AO} = 5 \)
\( AOB \) üçgenine Pisagor teoremini uygulayalım.
\( \abs{AB}^2 = \abs{AO}^2 + \abs{BO}^2 \)
\( 10^2 = 5^2 + \abs{BO}^2 \)
\( \abs{BO} = 5\sqrt{3} \)
\( AOC \) üçgenine Pisagor teoremini uyguladığımızda aynı sonucu elde ederiz.
\( \abs{CO} = 5\sqrt{3} \)
\( ABC \) üçgeninin alanını bulalım.
\( A(ABC) = \dfrac{\abs{BC} \cdot \abs{AO}}{2} \)
\( = \dfrac{10\sqrt{3} \cdot 5}{2} \)
\( = 25\sqrt{3} \) bulunur.
Şekildeki yatay ve dikey kesikli doğrular arasındaki uzaklık 1'er birimdir.
Buna göre \( ABC \) üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
Çözümü GösterÜçgenin köşelerinin koordinatlarını \( A(1, 5) \), \( B(3, 4) \) ve \( C(7, 3) \), bu noktaların \( x \) ekseni üzerindeki dik izdüşümlerini de \( D(1, 0) \), \( E(3, 0) \) ve \( F(7, 0) \) olarak işaretleyelim.
\( ABC \) üçgeninin alanını iki yöntemle bulabiliriz.
1. yöntem: Analitik
3 noktanın oluşturduğu üçgenin alan formülünü kullanalım.
\( A(1, 5) = A(x_1, y_1) \), \( B(3, 4) = B(x_2, y_2) \) ve \( C(7, 3) = C(x_3, y_3) \) olmak üzere,
\( A(ABC) = \dfrac{1}{2} \abs{(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (x_2y_1 + x_3y_2 + x_1y_3)} \)
\( = \dfrac{1}{2} \abs{(1 \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 7 \cdot 5) - (3 \cdot 5 + 7 \cdot 4 + 1 \cdot 3)} \)
\( = \dfrac{1}{2} \abs{48 - 46} = 1 \) birimkare
2. yöntem: Geometrik
\( ABC \) üçgeninin alanını \( ADFC \) yamuğunun alanından \( ADEB \) ve \( BEFC \) yamuklarının alanlarını çıkararak bulalım.
\( A(ABC) = A(ADFC) - A(ADEB) - A(BEFC) \)
\( = \dfrac{(5 + 3) \cdot 6}{2} - \dfrac{(5 + 4) \cdot 2}{2} - \dfrac{(4 + 3) \cdot 4}{2} \)
\( = 24 - 9 - 14 = 1 \) birimkare bulunur.
Yukarıdaki şekildeki \( ABCO \) dörtgeninin alanı kaçtır?
Çözümü Göster\( B \) noktasından \( x \) eksenine bir dikme çizelim ve \( x \) eksenini kestiği noktaya \( D \) diyelim.
\( [BD] \perp [AO] \)
\( \abs{DO} = 8 \), \( \abs{AD} = 2 \), \( \abs{BD} = 4 \)
\( ABCO \) dörtgeninin alanı, oluşan dik üçgen ve yamuğun alanları toplamına eşittir.
\( A(ABCO) = A(ADB) + A(DBCO) \)
\( ADB \) üçgeninin alanını hesaplayalım.
\( A(ADB) = \dfrac{\abs{AD} \cdot \abs{BD}}{2} \)
\( = \dfrac{2 \cdot 4}{2} = 4 \)
\( DBCO \) yamuğunun alanını hesaplayalım.
\( A(DBCO) = \dfrac{(\abs{BD} + \abs{CO}) \cdot \abs{DO}}{2} \)
\( = \dfrac{(4 + 6) \cdot 8}{2} = 40 \)
\( A(ABCO) = 4 + 40 = 44 \) bulunur.
\( A(8, 4) \), \( C(0, -5) \)
\( \abs{AB} = 2\sqrt{17} \)
\( m(\widehat{ABC}) \lt 90° \) olduğuna göre, \( A(ABC) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( B \) noktasının koordinatlarına \( B(0, n) \) diyelim.
\( B \) noktasının koordinatlarını \( A-B \) noktaları arasındaki uzaklık formülünü kullanarak bulalım.
\( {\abs{AB}}^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \)
\( (2\sqrt{17})^2 = (8 - 0)^2 + (4 - n)^2 \)
\( 68 = 64 + (4 - n)^2 \)
\( (4 - n)^2 = 4 \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
Durum 1:
\( 4 - n = 2 \)
\( n = 2 \)
Durum 2:
\( 4 - n = -2 \)
\( n = 6 \)
\( m(\widehat{ABC}) \lt 90° \) olduğuna göre, \( A \) noktasının ordinatı \( B \) noktasının ordinatından daha küçük olmalıdır.
\( n \gt 4 \)
Buna göre \( B(0, 6) \) olur.
\( ABC \) üçgeninin alanını bulalım.
\( A \) noktasının \( y \) eksenine olan uzaklığı 8 birimdir.
\( A(ABC) = \dfrac{\abs{BC} \cdot 8}{2} \)
\( = \dfrac{11 \cdot 8}{2} \)
\( = 44 \) bulunur.
\( ABCO \) bir dörtgendir.
\( [AB] \perp [BC] \) ve \( B(-8, 8) \) olduğuna göre, \( A(ABCO) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( B \) noktasından \( x \) ve \( y \) eksenlerine birer dikme çizelim ve eksenleri kestiği noktalara \( E \) ve \( F \) diyelim.
\( B \) noktasının koordinatlarını kullanarak doğru parçalarının uzunluklarını yazalım.
\( \abs{BE} = \abs{BF} = 8 \)
\( m(\widehat{BCE}) = \alpha \) diyelim.
\( m(\widehat{EBA}) = \alpha \)
\( \widehat{EBA} \) ve \( \widehat{BAF} \) iç ters açılardır.
\( m(\widehat{BAF}) = \alpha \)
Açıları ve kenar uzunlukları eşit olan \( BEC \) ve \( BFA \) üçgenleri eş üçgenlerdir.
\( \overset{\triangle}{BEC} \cong \overset{\triangle}{BFA} \)
Oluşan bölgelerin alanlarına değer verelim.
Eş üçgen oldukları için \( A(BEC) = A(BFA) = S \) diyelim.
\( A(BEOA) = M \) diyelim.
Soruda istenen alanı yazalım.
\( A(ABCO) = S + M = A(BEOF) \)
\( A(BEOF) = \abs{BF} \cdot \abs{FO} \)
\( = 8 \cdot 8 = 64 \) bulunur.
\( x \in \mathbb{R^-} \) olmak üzere,
Bir üçgenin köşelerinin koordinatları \( A(-x, 2x), B(2x + 3, 2x), C(-2x - 1, 5 - 3x) \) şeklindedir.
Üçgenin alanı 60 birimkare olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü GösterÜçgenin köşelerini koordinat düzleminde işaretleyelim.
Şekilde görülebileceği gibi, üçgenin \( [AB] \) kenarı \( x \) eksenine paraleldir.
Üçgenin \( [AB] \) kenarını taban, \( [DC] \) doğru parçasını da yükseklik olarak kullanarak üçgenin alanını hesaplayabiliriz.
\( \abs{AB} = 2x + 3 - (-x) = 3x + 3 \)
\( \abs{DC} = 2x - (5 - 3x) = 5x - 5 \)
Üçgenin alanı 60 birimkaredir.
\( A(ABC) = \dfrac{\abs{AB} \cdot \abs{DC}}{2} = 60 \)
\( \dfrac{(3x + 3)(5x - 5)}{2} = 60 \)
\( 3(x + 1) \cdot 5(x - 1) = 120 \)
\( x^2 - 1 = 8 \)
\( x \) negatif olarak veriliyor.
\( x = -3 \) olarak bulunur.