Bir Doğru Parçasını Bölme
Bu bölümde bir doğru parçasını belirli oranda bölen noktanın koordinatlarını ve benzer problemleri inceleyeceğiz.
İki Noktanın Orta Noktası
İki noktanın orta noktası, bu iki noktayı birleştiren doğru parçası üzerinde bulunan ve her iki noktaya eşit uzaklıktaki noktadır. Orta noktanın apsis ve ordinat değerleri, verilen iki noktanın apsis ve ordinat değerlerinin toplamının yarısına (aritmetik ortalamasına) eşittir.
\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarının orta noktası \( C(x_0, y_0) \) olmak üzere,
\( \abs{AC} = \abs{CB} \)
\( x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \)
\( y_0 = \dfrac{y_1 + y_2}{2} \)
\( A(-1, 4) \) ve \( B(5, -4) \) noktalarının orta noktası \( C(x_0, y_0) \) ise,
\( x_0 = \dfrac{-1 + 5}{2} = 2 \)
\( y_0 = \dfrac{4 + (-4)}{2} = 0 \)
Orta nokta: \( C(2, 0) \)
Orta noktanın her iki noktaya eşit uzaklıkta olduğunu kontrol edelim.
\( \abs{AC} = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (0 - 4)^2} = 5 \)
\( \abs{CB} = \sqrt{(5 - 2))^2 + (-4 - 0)^2} = 5 \)
İSPATI GÖSTER
İki noktanın orta noktası, aşağıda göreceğimiz bir doğru parçasını belirli bir oranda içten bölen nokta probleminin \( k = 1 \) için özel durumudur.
İspatıyla birlikte verdiğimiz bu formülde \( k = 1 \) yazalım.
\( x_0 = \dfrac{x_1 + kx_2}{1 + k} = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \)
\( y_0 = \dfrac{y_1 + ky_2}{1 + k} = \dfrac{y_1 + y_2}{2} \)
Şekilde görülebileceği gibi, \( C \) noktasının eksenler üzerindeki izdüşümleri de \( A \) ve \( B \) noktalarının eksenler üzerindeki izdüşümlerinin orta noktalarıdır.
Bir Doğru Parçasını Belirli bir Oranda İçten Bölen Nokta
İki noktayı birleştiren doğru parçasını belirli bir oranda içten bölen noktanın koordinatları aşağıdaki formülle bulunur.
\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktaları birleştiren doğru parçasını \( \frac{\abs{CA}}{\abs{CB}} = k \) oranında içten bölen \( C(x_0, y_0) \) noktasının koordinatları:
\( x_0 = \dfrac{x_1 + kx_2}{1 + k} \)
\( y_0 = \dfrac{y_1 + ky_2}{1 + k} \)
\( A(-1, 1) \) ve \( B(11, 9) \) noktalarını birleştiren doğru parçasını \( \frac{\abs{CA}}{\abs{CB}} = 3 \) oranında bölen \( C(x_0, y_0) \) noktasının koordinatları:
\( x_0 = \dfrac{-1 + 3 \cdot 11}{1 + 3} = 8 \)
\( y_0 = \dfrac{1 + 3 \cdot 9}{1 + 3} = 7 \)
İSPATI GÖSTER
\( (0, y_1) \) noktasından \( A \) noktasına çizilen kesikli çizgiyi \( x = x_2 \) doğrusuna kadar uzatalım.
Bu doğrunun \( x = x_0 \) doğrusunu kestiği noktaya \( D \), \( x = x_2 \) doğrusunu kestiği noktaya \( E \) diyelim.
\( y = y_1 \), \( x = x_0 \) ve \( x = x_2 \) doğruları eksenlere paralel oldukları için birbirlerini dik keserler, dolayısıyla oluşan \( ADC \) ve \( AEB \) üçgenleri birer dik üçgendir.
\( ADC \) ve \( AEB \) üçgenlerinin tüm açıları eşit olduğu için benzer üçgenlerdir.
\( \overset{\triangle}{ADC} \sim \overset{\triangle}{AEB} \)
Buna göre temel orantı teoremini kullanarak bu iki üçgenin kenar uzunluk oranları arasında aşağıdaki orantıyı kurabiliriz.
\( \dfrac{x_0 - x_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{y_0 - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{k}{k + 1} \)
Bu orantıda birinci ve üçüncü oranlar arasında içler - dışlar çarpımı yaparak \( x_0 \)'ı yalnız bırakalım.
\( \dfrac{x_0 - x_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{k}{k + 1} \)
\( (k + 1)(x_0 - x_1) = k(x_2 - x_1) \)
\( kx_0 - kx_1 + x_0 - x_1 = kx_2 - kx_1 \)
\( x_0 = \dfrac{x_1 + kx_2}{1 + k} \)
Şimdi de ikinci ve üçüncü oranlar arasında içler - dışlar çarpımı yaparak \( y_0 \)'ı yalnız bırakalım.
\( \dfrac{y_0 - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{k}{k + 1} \)
\( (k + 1)(y_0 - y_1) = k(y_2 - y_1) \)
\( ky_0 - ky_1 + y_0 - y_1 = ky_2 - ky_1 \)
\( y_0 = \dfrac{y_1 + ky_2}{1 + k} \)
\( C \) noktasının eksenler üzerindeki izdüşümleri de \( A \) ve \( B \) noktalarının eksenler üzerindeki izdüşümlerini içten aynı oranda böler.
Bir Doğru Parçasını Belirli bir Oranda Dıştan Bölen Nokta
İki noktayı birleştiren doğru parçasını belirli bir oranda dıştan bölen noktanın koordinatları aşağıdaki formülle bulunur.
\( k \gt 1 \) olmak üzere,
\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktaları birleştiren doğru parçasını \( \frac{\abs{CA}}{\abs{CB}} = k \) oranında dıştan bölen \( C(x_0, y_0) \) noktasının koordinatları:
\( x_0 = \dfrac{x_1 - kx_2}{1 - k} \)
\( y_0 = \dfrac{y_1 - ky_2}{1 - k} \)
\( A(-1, 1) \) ve \( B(8, 7) \) noktalarını birleştiren doğru parçasını \( \frac{\abs{CA}}{\abs{CB}} = 4 \) oranında bölen \( C(x_0, y_0) \) noktasının koordinatları:
\( x_0 = \dfrac{-1 - 4 \cdot 8}{1 - 4} = 11 \)
\( y_0 = \dfrac{1 - 4 \cdot 7}{1 - 4} = 9 \)
İSPATI GÖSTER
\( (0, y_1) \) noktasından \( A \) noktasına çizilen kesikli çizgiyi \( x = x_0 \) doğrusuna kadar uzatalım.
Bu doğrunun \( x = x_2 \) doğrusunu kestiği noktaya \( D \), \( x = x_0 \) doğrusunu kestiği noktaya \( E \) diyelim.
\( y = y_1 \), \( x = x_2 \) ve \( x = x_0 \) doğruları eksenlere paralel oldukları için birbirlerini dik keserler, dolayısıyla oluşan \( ADB \) ve \( AEC \) üçgenleri birer dik üçgendir.
\( ADB \) ve \( AEC \) üçgenlerinin tüm açıları eşit olduğu için benzer üçgenlerdir.
\( \overset{\triangle}{ADB} \sim \overset{\triangle}{AEC} \)
Buna göre temel orantı teoremini kullanarak bu iki üçgenin kenar uzunluk oranları arasında aşağıdaki orantıyı kurabiliriz.
\( \dfrac{x_2 - x_1}{x_0 - x_1} = \dfrac{y_2 - y_1}{y_0 - y_1} = \dfrac{k - 1}{k} \)
Bu orantıda birinci ve üçüncü oranlar arasında içler - dışlar çarpımı yaparak \( x_0 \)'ı yalnız bırakalım.
\( \dfrac{x_2 - x_1}{x_0 - x_1} = \dfrac{k - 1}{k} \)
\( (k - 1)(x_0 - x_1) = k(x_2 - x_1) \)
\( kx_0 - kx_1 - x_0 + x_1 = kx_2 - kx_1 \)
\( x_0 = \dfrac{x_1 - kx_2}{1 - k} \)
Şimdi de ikinci ve üçüncü oranlar arasında içler - dışlar çarpımı yaparak \( y_0 \)'ı yalnız bırakalım.
\( \dfrac{y_2 - y_1}{y_0 - y_1} = \dfrac{k - 1}{k} \)
\( (k - 1)(y_0 - y_1) = k(y_2 - y_1) \)
\( ky_0 - ky_1 - y_0 + y_1 = ky_2 - ky_1 \)
\( y_0 = \dfrac{y_1 - ky_2}{1 - k} \)
\( C \) noktasının eksenler üzerindeki izdüşümleri de \( A \) ve \( B \) noktalarının eksenler üzerindeki izdüşümlerini dıştan aynı oranda böler.
Paralelkenarın Köşe Noktaları
Bir paralelkenarın karşılıklı köşelerinin koordinatları toplamı birbirine eşittir. Bu özellik aynı zamanda birer paralelkenar olan dikdörtgen, kare ve eşkenar dörtgen için de geçerlidir.
\( ABCD \) paralelkenarının köşe noktaları \( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3), D(x_4, y_4) \) olmak üzere,
\( x_1 + x_3 = x_2 + x_4 \)
\( y_1 + y_3 = y_2 + y_4 \)
\( A(3, -2), B(6, b), C(8, -3), D(a, -4) \) bir paralelkenarın köşe noktaları ise,
\( 3 + 8 = 6 + a \)
\( a = 5 \)
\( -2 + (-3) = b + (-4) \)
\( b = -1 \)
İSPATI GÖSTER
Paralelkenarlarda köşegenler birbirini ortalar, dolayısıyla köşegenlerin kesişim noktası olan \( K \) noktasının koordinatlarını karşılıklı iki köşenin koordinatları cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( x_0 = \dfrac{x_1 + x_3}{2} = \dfrac{x_2 + x_4}{2} \)
\( y_0 = \dfrac{y_1 + y_3}{2} = \dfrac{y_2 + y_4}{2} \)
Her iki eşitlikte \( K \) noktasının koordinatlarını eşitliğin dışında bırakalım.
\( x_1 + x_3 = x_2 + x_4 \)
\( y_1 + y_3 = y_2 + y_4 \)
Şekildeki \( A(1, 2) \) ve \( B(5, -2) \) noktalarını birleştiren doğru parçasını \( \frac{\abs{AC}}{\abs{BC}} = \frac{1}{3} \) oranında içten bölen \( C \) noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözümü Göster\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarını birleştiren doğru parçasını \( k \) oranında içten bölen \( C(x_0, y_0) \) noktasının koordinatları aşağıdaki formülle bulunur.
\( x_0 = \dfrac{x_1 + kx_2}{1 + k} \)
\( y_0 = \dfrac{y_1 + ky_2}{1 + k} \)
Verilen noktaların koordinatlarını bu formüllerde yerine koyalım.
\( x_0 = \dfrac{1 + \frac{1}{3} \cdot 5}{1 + \frac{1}{3}} \)
\( = \dfrac{\frac{8}{3}}{\frac{4}{3}} = 2 \)
\( y_0 = \dfrac{2 + \frac{1}{3} \cdot (-2)}{1 + \frac{1}{3}} \)
\( = \dfrac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}} = 1 \)
\( C \) noktasının koordinatları \( C(2, 1) \) olarak bulunur.
Şekildeki \( A(2, 3) \) ve \( B(6, -1) \) noktalarını birleştiren doğru parçasını \( \abs{AC} : \abs{BC} = 1:2 \) oranında dıştan bölen \( C \) noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözümü Göster\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarını birleştiren doğru parçasını \( k \) oranında dıştan bölen \( C(x_0, y_0) \) noktasının koordinatları aşağıdaki formülle bulunur.
\( x_0 = \dfrac{x_1 - kx_2}{1 - k} \)
\( y_0 = \dfrac{y_1 - ky_2}{1 - k} \)
Verilen noktaların koordinatlarını bu formüllerde yerine koyalım.
\( x_0 = \dfrac{2 - \frac{1}{2} \cdot 6}{1 - \frac{1}{2}} \)
\( = \dfrac{-1}{\frac{1}{2}} = -2 \)
\( y_0 = \dfrac{3 - \frac{1}{2} \cdot (-1)}{1 - \frac{1}{2}} \)
\( = \dfrac{\frac{7}{2}}{\frac{1}{2}} = 7 \)
\( C \) noktasının koordinatları \( C(-2, 7) \) olarak bulunur.
\( A(-2, -6) \) ve \( B(4, b) \) noktalarının orta noktası \( C(a, -2) \) olduğuna göre, \( ab \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Gösterİki noktanın orta noktasının apsis ve ordinat değerleri, bu iki noktanın apsis ve ordinat değerlerinin aritmetik ortalamasına eşittir.
\( a = \dfrac{-2 + 4}{2} \)
\( a = 1 \)
\( -2 = \dfrac{-6 + b}{2} \)
\( b = 2 \)
\( ab = 1 \cdot 2 = 2 \) bulunur.
Verilen şekilde \( D, E, G \) noktaları bulundukları kenarların orta noktalarıdır.
Buna göre \( G \) noktasının koordinatları nedir?
Çözümü Göster
\( D, E, G \) noktaları bulundukları kenarların orta noktaları olduğuna göre, iki noktanın orta noktası formülü ile bu noktaların koordinatlarını bulalım.
\( x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \)
\( y_0 = \dfrac{y_1 + y_2}{2} \)
\( D \) noktası \( [AB] \) kenarının orta noktasıdır.
\( x_0 = \dfrac{2 + 6}{2} = 4 \)
\( y_0 = \dfrac{4 + 8}{2} = 6 \)
\( D(4, 6) \)
\( E \) noktası \( [BC] \) kenarının orta noktasıdır.
\( x_0 = \dfrac{6 + 10}{2} = 8 \)
\( y_0 = \dfrac{8 + 2}{2} = 5 \)
\( E(8, 5) \)
\( G \) noktası \( [DE] \) kenarının orta noktasıdır.
\( x_0 = \dfrac{4 + 8}{2} = 6 \)
\( y_0 = \dfrac{6 + 5}{2} = \dfrac{11}{2} \)
\( G \) noktasının koordinatları \( G(6, \frac{11}{2}) \) olarak bulunur.
Koordinat düzleminde \( ABC \) üçgeni verilmiştir.
\( \abs{AK} = \abs{KB} \) ve \( \abs{AL} = \abs{LC} \) olduğuna göre \( \abs{KL} = x \) değerini bulunuz.
Çözümü Göster\( K \) ve \( L \) noktaları bulundukları kenarların orta noktaları olduğu için \( [KL] \) doğru parçası \( ABC \) üçgeninin orta tabanı olur.
Bir üçgende orta taban uzunluğu taban uzunluğunun yarısıdır.
\( [BC] \) taban uzunluğunu iki nokta arasındaki uzaklık formülü ile bulalım.
\( \abs{BC} = \sqrt{(8 - (-8))^2 + (11 - (-1))^2} \)
\( = \sqrt{12^2 + 16^2} = 20 \)
Buna göre \( x = 10 \) bulunur.
Yukarıdaki şekilde \( K, L, M, N, P \) noktaları verilmiştir.
\( L, M, N \) noktaları \( [KP] \) doğru parçasını 4 eşit parçaya böldüğüne göre, \( a + b + c + d + e + f \) kaçtır?
Çözümü Göster\( L, M, N \) noktaları \( [KP] \) doğru parçasını 4 eşit parçaya böldüğüne göre, \( M \) noktası \( [KP] \) doğru parçasının, \( N \) noktası \( [MP] \) doğru parçasının, \( L \) noktası da \( [KM] \) doğru parçasının orta noktasıdır.
\( [MP] \) doğru parçası için orta nokta bulma formülünü kullanarak \( N \) noktasının ordinatını bulalım.
\( y_0 = \dfrac{y_1 + y_2}{2} \)
\( f = \dfrac{2 + 6}{2} = 4 \)
\( N(10, f) = N(10, 4) \)
Aynı doğru parçasını kullanarak \( M \) noktasının apsisini bulalım.
\( x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \)
\( 10 = \dfrac{e + 12}{2} \)
\( e = 8 \)
\( M(e, 2) = M(8, 2) \)
\( M(8, 2) \) noktası \( [LN] \) doğru parçasının da orta noktasıdır.
\( [LN] \) doğru parçası için orta nokta bulma formülü kullanarak \( L \) noktasının koordinatlarını bulalım.
\( 8 = \dfrac{c + 10}{2} \)
\( c = 6 \)
\( 2 = \dfrac{d + 4}{2} \)
\( d = 0 \)
\( L(c, d) = L(6, 0) \)
\( [KP] \) doğru parçası için orta nokta bulma formülü kullanarak \( K \) noktasının koordinatlarını bulalım.
\( e = 8 = \dfrac{a + 12}{2} \)
\( a = 4 \)
\( 2 = \dfrac{b + 6}{2} \)
\( b = -2 \)
\( K(a, b) = K(4, -2) \)
\( a + b + c + d + e + f = 4 + (-2) + 6 + 0 + 8 + 4 \)
\( = 20 \) bulunur.
Koordinat düzleminde \( A(t - 1, 2t + 3) \) ve \( B(t + 3, 4t - 1) \) noktaları veriliyor.
\( [AB] \) doğru parçasının orta noktalarının geometrik yerinin denklemi nedir?
Çözümü Gösterİki noktanın orta noktasının apsis ve ordinat değerleri, bu iki noktanın apsis ve ordinat değerlerinin aritmetik ortalamasına eşittir.
\( A \) ve \( B \) noktalarının orta noktasına \( C \) diyelim.
\( C\left( \dfrac{t - 1 + t + 3}{2}, \dfrac{2t + 3 + 4t - 1}{2} \right) = C(t + 1, 3t + 1) \)
\( t \) cinsinden parametrik denklemini bulduğumuz doğrunun denklemini bulalım.
\( x = t + 1 \Longrightarrow t = x - 1 \)
Birinci denklemde bulduğumuz \( t \) değerini ikinci denklemde yerine koyalım.
\( y = 3t + 1 \Longrightarrow y = 3(x - 1) + 1 \)
\( y = 3x - 2 \) bulunur.
Buna göre, farklı \( t \) değerleri için oluşan \( [AB] \) doğru parçalarının orta noktaları bir doğru oluşturur.
Şekildeki \( ABC \) üçgeninde \( D, E, F \) noktaları bulundukları kenarların orta noktalarıdır.
Buna göre \( B \) noktasının koordinatları nedir?
Çözümü Göster\( B \) noktasının koordinatlarına \( B(a, b) \) diyelim.
Orta noktaları kullanarak \( [AB] \) ve \( [BC] \) kenarlarına paralel olacak şekilde orta tabanları çizelim.
\( [EF] \parallel [AB] \)
\( [DE] \parallel [BC] \)
Çizilen doğrular \( DEFB \) parelelkenarını oluşturur.
Bir paralelkenarda karşılıklı köşelerin koordinatları toplamları birbirine eşittir.
Köşe noktalarını kullanarak \( B \) noktasının koordinatlarını bulalım.
\( B \) noktasının apsisini bulalım.
\( a + (-2) = -4 + (-3) \)
\( a = -5 \)
\( B \) noktasının ordinatını bulalım.
\( b + 6 = 5 + 2 \)
\( b = 1 \)
\( B(a, b) = B(-5, 1) \) bulunur.
\( x \) ekseni \( A(4, -3) \) ve \( B(7, 6) \) noktalarını birleştiren doğru parçasını hangi oranda böler?
Çözümü Göster\( A \) noktası IV. bölgede, \( B \) noktası I. bölgede olduğu için \( x \) ekseni \( [AB] \) doğru parçasını içten böler.
\( x \) ekseninin \( [AB] \) doğru parçasını böldüğü orana \( k \) diyelim.
\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarını birleştiren doğru parçasını \( k \) oranda içten bölen \( C(x_0, y_0) \) noktasının koordinatları aşağıdaki formülle bulunur.
\( x_0 = \dfrac{x_1 + kx_2}{1 + k} \)
\( y_0 = \dfrac{y_1 + ky_2}{1 + k} \)
\( [AB] \) doğru parçasının \( x \) eksenini kestiği noktaya \( C \) diyelim. \( C \) noktası \( x \) ekseni üzerinde olduğu için ordinatı sıfırdır.
\( C(x_0, 0) \)
\( y_0 = \dfrac{-3 + 6k}{1 + k} = 0 \)
\( 0 = -3 + 6k \)
\( k = \dfrac{1}{2} \)
Buna göre \( x \) ekseni verilen iki noktayı birleştiren doğru parçasını \( \frac{1}{2} \) oranında içten böler.
\( d: 2x + 3y - 12 = 0 \) doğrusu \( A(2, -1) \) ve \( B(4, 3) \) noktalarını birleştiren doğru parçasını hangi oranda böler?
Çözümü Göster\( d \) doğrusunun \( [AB] \) doğru parçasını böldüğü noktaya \( C \), böldüğü orana \( m \) diyelim.
\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarını birleştiren doğru parçasını \( k \) oranda içten bölen \( C(x_0, y_0) \) noktasının koordinatları aşağıdaki formülle bulunur.
\( x_0 = \dfrac{x_1 + kx_2}{1 + k} \)
\( y_0 = \dfrac{y_1 + ky_2}{1 + k} \)
\( d \) doğrusu üzerindeki \( C \) noktasının koordinatlarını bulalım.
\( x_0 = \dfrac{2 + 4m}{1 + m} \)
\( y_0 = \dfrac{-1 + 3m}{1 + m} \)
\( C(\dfrac{2 + 4m}{1 + m}, \dfrac{-1 + 3m}{1 + m}) \)
\( C \) noktası \( d \) doğrusu üzerinde olduğuna göre koordinatları doğru denklemini sağlar.
\( 2(\dfrac{2 + 4m}{1 + m}) + 3(\dfrac{-1 + 3m}{1 + m}) - 12 = 0 \)
\( \dfrac{4 + 8m - 3 + 9m}{1 + m} = 12 \)
\( 17m + 1 = 12 + 12m \)
\( m = \dfrac{11}{5} \)
Buna göre \( d \) doğrusu \( [AB] \) doğru parçasını \( \frac{11}{5} \) oranında böler.
\( ABCD \) bir paralelkenardır.
\( \dfrac{\abs{DE}}{\abs{CE}} = \dfrac{5}{2} \) olduğuna göre, \( F \) noktasının koordinatları nedir?
Çözümü Göster
Köşelerinin koordinatları \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \) ve \( D(x_4,y_4) \) olan bir paralelkenarının köşe koordinatları arasında aşağıdaki ilişki vardır.
\( x_1 + x_3 = x_2 + x_4 \)
\( y_1 + y_3 = y_2 + y_4 \)
\( D \) noktasının apsisini bulalım.
\( 6 + 8 = 13 + x_4 \)
\( x_4 = 1 \)
\( D \) noktasının ordinatını bulalım.
\( 18 + 10 = 20 + y_4 \)
\( y_4 = 8 \)
\( D(x_4, y_4) = (1, 8) \)
\( \dfrac{\abs{DE}}{\abs{CE}} = \dfrac{5}{2} \) oranı için doğru uzunluklarını yazalım.
\( \abs{DE} = 5k \) ve \( \abs{CE} = 2k \) diyelim.
Paralelkenarda karşılıklı kenar uzunlukları eşittir.
\( \abs{AB} = \abs{CD} = 7k \)
\( ABF \) ve \( EDF \) üçgenleri paralellikten dolayı benzer üçgenlerdir.
\( \overset{\triangle}{ABF} \sim \overset{\triangle}{EDF} \)
Benzer üçgenlerin kenar uzunlukları arasında orantı kuralım.
\( \dfrac{\abs{AB}}{\abs{BF}} = \dfrac{\abs{ED}}{\abs{DF}} \)
\( \dfrac{7k}{\abs{BF}} = \dfrac{5k}{\abs{DF}} \)
\( \abs{BF} = 7m \) ve \( \abs{DF} = 5m \) diyelim.
\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarını birleştiren doğru parçasını \( k \) oranında içten bölen \( C(x_0, y_0) \) noktasının koordinatları aşağıdaki formülle bulunur.
\( x_0 = \dfrac{x_1 + kx_2}{1 + k} \)
\( y_0 = \dfrac{y_1 + ky_2}{1 + k} \)
Bu formülleri \( D \) ve \( B \) noktalarını birleştiren doğru parçasını \( \frac{5}{7} \) oranında bölen \( F \) noktasına uygulayalım.
\( x_0 = \dfrac{1 + \frac{5}{7} \cdot 13}{1 + \frac{5}{7}} \)
\( = \dfrac{\frac{72}{7}}{\frac{12}{7}} = 6 \)
\( y_0 = \dfrac{8 + \frac{5}{7} \cdot 20}{1 + \frac{5}{7}} \)
\( = \dfrac{\frac{156}{7}}{\frac{12}{7}} = 13 \)
\( F(6, 13) \) olarak bulunur.