Bu bölümde bölme ve diğer bazı işlemlerde karşımıza çıkan tanımsızlık ve belirsizlik kavramlarından bahsedeceğiz.
Matematiksel işlemlerde sonucu tanımlı ya da anlamlı olmayan ifadeler tanımsız olarak adlandırılır.
En sık karşılaşılan tanımsız ifade sıfırdan farklı bir reel sayının sıfıra bölünme durumudur. Böyle bir ifadenin neden tanımsız olduğunu açıklamaya çalışalım.
Sıfıra bölme işleminin bir reel sayı sonucu olduğunu varsayalım.
\( \dfrac{2}{0} = a \in \mathbb{R} \)
İçler - dışlar çarpımı yaptığımızda ifade aşağıdaki gibi olur (paydanın sıfır olduğu durumda içler - dışlar çarpımı yapılamaz, ancak şu anda sonucun tanımsız olduğunu bildiğimiz bir işlemde yanlış bir varsayım üzerinden ilerliyoruz).
\( 2 = a \cdot 0 \)
Sıfır ile çarpıldığında 2 sonucunu veren hiçbir reel sayı yoktur, dolayısıyla bu eşitliğin çözümü olabilecek hiçbir \( a \) değeri yoktur. Bu yüzden bu işlemin sonucu tanımsızdır.
Reel sayılar kümesinde aşağıdaki ifadeler tanımsızdır.
| İfade Tipi | Örnek İfade | Açıklama |
|---|---|---|
| Sıfırdan farklı bir sayının sıfıra bölme işlemi | \( \dfrac{2}{0} \) | Yukarıda açıkladığımız sebeple tanımsızdır. |
| Negatif reel sayıların çift dereceli kökleri | \( \sqrt{-2} \) | Kendisiyle çift sayıda kez çarpımının sonucu negatif olan bir reel sayı yoktur. |
| Esas ölçüsü 90° ve 270° olan açıların tanjantı | \( \tan{\frac{\pi}{2}}, \tan{\frac{3\pi}{2}} \) | Tanjant fonksiyon tanımında paydada olan kosinüs fonksiyonu bu açılarda sıfır değerini alır. |
| Esas ölçüsü 0° ve 180° olan açıların kotanjantı | \( \cot{0}, \cot{\pi} \) | Kotanjant fonksiyon tanımında paydada olan sinüs fonksiyonu bu açılarda sıfır değerini alır. |
| Sıfır ve negatif sayıların logaritması | \( \log{0}, \log_2(-2) \) | Tabanı pozitif olan bir üstel ifadenin sonucu sıfır ya da negatif olamayacağı için tanımsızdır. |
Matematiksel işlemlerde sonucu tanımlı olan ama değeri belirlenemeyen ifadeler belirsiz olarak adlandırılır.
En sık karşılaşılan belirsiz ifade sıfırın sıfıra bölünme durumudur. Böyle bir ifadenin neden belirsiz olduğunu açıklamaya çalışalım.
Sıfırın sıfıra bölünme işleminin bir reel sayı sonucu olduğunu varsayalım.
\( \dfrac{0}{0} = a \in \mathbb{R} \)
İçler - dışlar çarpımı yaptığımızda ifade aşağıdaki gibi olur.
\( 0 = a \cdot 0 \)
Sıfır ile çarpıldığında 0 sonucunu veren sayılar kümesi tüm reel sayılardır, dolayısıyla böyle bir \( a \) sayısı vardır, ancak herhangi bir reel sayı olabileceği için bu işlemdeki kesin değeri bilinemez. Bu sebeple sıfır bölü sıfır ifadesinin sonucu belirsizdir.