Sayı Kümeleri
Önceki bölümde bahsettiğimiz sayıların farklı sınıflandırmaları içinde en temel olanı sayı kümeleridir. Her sayı bu bölümde inceleyeceğimiz sayı kümelerinden birinin ya da birkaçının elemanı olabilir.
Sayı kümeleri birer küme oldukları için küme işlemleri ve özellikleri sayı kümeleri için de geçerlidir.
Doğal Sayılar
Doğal sayılar kümesi 0'dan pozitif sonsuza kadar olan tam sayıları kapsar ve \( \mathbb{N} \) sembolü ile gösterilir.
\( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\} \)
0 hariç doğal sayılar kümesine sayma sayıları denir ve \( \mathbb{N^+} \) sembolü ile gösterilir.
\( \mathbb{N^+} = \{1, 2, 3, \ldots\} \)
NOT: Doğal sayılar bazı kaynaklarda 0 ile başlarken bazı kaynaklarda 1 ile başlar.
Tam Sayılar
Tam sayılar kümesi negatif sonsuzdan pozitif sonsuza kadar olan tam sayıları kapsar ve \( \mathbb{Z} \) sembolü ile gösterilir.
\( \mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\} \)
Tam sayılar kümesinin birer alt kümesi olarak pozitif ve negatif tam sayılar kümeleri aşağıdaki şekilde tanımlıdır.
\(\mathbb{Z^+} = \{1, 2, 3, \ldots\} \)
\(\mathbb{Z^-} = \{\ldots, -3, -2, -1\} \)
0 (sıfır) pozitif ya da negatif değildir, işareti olmayan bir tam sayıdır.
Tam sayılar kümesi pozitif ve negatif tam sayılar kümeleri ile sıfırın birleşim kümesi şeklinde ifade edilebilir.
\( \mathbb{Z} = \mathbb{Z^-} \cup \{0\} \cup \mathbb{Z^+} \)
Rasyonel Sayılar
Paydası sıfır olmamak şartıyla, iki tam sayının birbirine oranı şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar kümesi \( \mathbb{Q} \) sembolü ile gösterilir.
\( \mathbb{Q} = \left\{ \dfrac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z}, b \ne 0 \right\} \)
Bu tanıma göre aşağıdaki sayılar birer rasyonel sayıdır.
\( \dfrac{1}{2}, -\dfrac{4}{3} \)
\( 2\dfrac{4}{5} = \dfrac{14}{5} \)
Kesirli şekilde ifade edilebilen ondalık ve yüzdeli ifadeler de birer rasyonel sayıdır.
\( 2,5 = \dfrac{5}{2} \)
\( \%75 = \dfrac{3}{4} \)
Tam sayılar kesirli şekilde yazılabildikleri için birer rasyonel sayıdır.
\( 0 = \dfrac{0}{1} = \dfrac{0}{5} \)
\( 1 = \dfrac{1}{1} = \dfrac{2}{2} = \dfrac{5}{5} \)
\( -2 = -\dfrac{2}{1} = -\dfrac{4}{2} \)
Virgülden sonra sonlu sayıda basamağı olan ondalık sayılar, kesirli şekilde yazılabildikleri için birer rasyonel sayıdır.
\( 0,123456 = \dfrac{123456}{1000000} \)
Devirli ondalık sayılar virgülden sonraki basamakları tekrar ederek sonsuza gitse de, kesirli şekilde yazılabildikleri için birer rasyonel sayıdır.
\( 0,333\ldots = 0,\overline{3} = \dfrac{1}{3} \)
\( 2,272727\ldots = 2,\overline{27} = \dfrac{25}{11} \)
Özetle, bir rasyonel sayının ya virgülden sonra sonlu sayıda basamağı vardır ya da bu basamaklar sonsuza gidiyorsa bir basamaktan sonra kendini tekrar eder.
\( \pi \) ve \( e \) sayıları, virgülden sonraki basamakları tekrar etmeden sonsuza gittiği için rasyonel sayı değildir. Bazı sorularda \( \pi \) sayısı için verilen \( 3,14 \) ve \( \frac{22}{7} \) değerleri \( \pi \) sayısının gerçek değeri olmayıp hesaplama kolaylığı açısından verilen yaklaşık değerlerdir.
\( \sqrt{2}, \sqrt[3]{15}, \sqrt[4]{95} \) gibi kök içinin kökten tamamen çıkamadığı ifadelerin virgülden sonraki basamakları tekrar etmeden sonsuza gider, dolayısıyla bu sayılar rasyonel sayı değildir.
İrrasyonel Sayılar
İki tam sayının birbirine oranı şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesi \( \mathbb{Q'} \) sembolü ile gösterilir.
İrrasyonel sayılara aşağıdaki örnekler verilebilir.
Pi sayısı: \( \pi = 3,1415926535\ldots \)
Euler sayısı: \( e = 2,7182818284\ldots \)
Altın oran: \( \phi = 1,6180339887\ldots \)
Tam kare olmayan doğal sayıların karekökleri: \( \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \ldots \)
Çoğu logaritmik ifade: \( \log{2}, \log_2{3}, \ldots \)
Reel (Gerçel) Sayılar
Rasyonel ve irrasyonel sayılar kümelerinin birleşim kümesine reel (gerçel) sayılar denir. Reel sayılar kümesi \( \mathbb{R} \) sembolü ile gösterilir.
\( \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q'} \)
Bu tanıma göre rasyonel ve irrasyonel sayılar dışında bir reel sayı yoktur.
Pozitif reel sayılar kümesi \(\mathbb{R^+} \) sembolü ile, negatif reel sayılar kümesi de \(\mathbb{R^-} \) sembolü ile gösterilir.
Reel sayılar kümesi pozitif ve negatif reel sayılar kümeleri ile sıfırın birleşim kümesi şeklinde ifade edilebilir.
\( \mathbb{R} = \mathbb{R^-} \cup \{ 0 \} \cup \mathbb{R^+} \)
Sıfırın dahil olduğu aşağıdaki sayı kümeleri de belirtilen isimlerle kullanılabilir.
Negatif olmayan reel sayılar \( = \mathbb{R^+} \cup \{ 0 \} \)
Pozitif olmayan reel sayılar \( = \mathbb{R^-} \cup \{ 0 \} \)
Sanal Sayılar
Karesi bir negatif reel sayı olan, bir diğer ifadeyle bir negatif reel sayının karekökü olan sayılara sanal sayı denir.
Aşağıdaki sayılar birer sanal sayıdır.
\( \sqrt{-1}, \sqrt{-2}, \sqrt{-\frac{7}{2}} \)
\( -1 \) sayısının kareköküne sanal birim denir ve \( i \) ile gösterilir.
\( i = \sqrt{-1} \)
Sanal birimin tüm reel sayı katları sanal sayılar kümesini oluşturur.
\( i, 2i, -3i \)
Karmaşık Sayılar
Reel ve sanal bileşenlerden oluşan ve \( a + bi \) şeklinde ifade edilebilen sayılara karmaşık sayılar denir. Karmaşık sayılar kümesi \( \mathbb{C} \) sembolü ile gösterilir.
\( \mathbb{C} = \{a + bi \mid a, b \in \mathbb{R}, i = \sqrt{-1}\} \)
Tüm reel sayılar sanal bileşenleri sıfır olacak şekilde \( a + 0i \) şeklinde yazılabildikleri için aynı zamanda birer karmaşık sayıdır.
\( 3 = 3 + 0i \)
Benzer şekilde, tüm sanal sayılar reel bileşenleri sıfır olacak şekilde \( 0 + bi \) şeklinde yazılabildikleri için aynı zamanda birer karmaşık sayıdır.
\( 3i = 0 + 3i \)
Sanal ve karmaşık sayıları detaylı şekilde karmaşık sayılar konusunda inceyeceğiz.
Sayı Kümeleri Arasındaki İlişki
Sayı kümeleri arasındaki ilişkiyi aşağıdaki şekilde özetleyebiliriz.
\( \mathbb{N} = \{ 0 \} \cup \mathbb{Z^+} \)
\( \mathbb{Z} = \mathbb{Z^-} \cup \{ 0 \} \cup \mathbb{Z^+} \)
\( \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q'} \)
\( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \)
Aşağıdaki sayıların ait oldukları sayı kümelerini belirtin.
\( 1; \ \ -5; \ \ \sqrt{9}; \ \ \sqrt{10}; \ \ \%25 \)
Çözümü Göster\( 1 \): Doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar, reel sayılar, karmaşık sayılar (\( 1 + 0i \))
\( -5 \): Tam sayılar, rasyonel sayılar, reel sayılar, karmaşık sayılar (\( -5 + 0i \))
\( \sqrt{9} = 3 \): Sonuç bir tam sayı olduğu için ait olduğu sayı kümeleri 1 ile aynıdır.
\( \sqrt{10} \): İrrasyonel sayılar, reel sayılar, karmaşık sayılar (\( \sqrt{10} + 0i \))
\( \%25 = \frac{1}{4} \): Rasyonel sayılar, reel sayılar, karmaşık sayılar (\( \frac{1}{4} + 0i \))
Aşağıdaki sayılardan kaçı hem doğal sayı, hem sayma sayısı, hem de rasyonel sayıdır?
\( -21; \ \ 68; \ \ 0; \ \ \sqrt{169} \)
\( \dfrac{2}{5}; \ \ \dfrac{24}{8}; \ \ 3,5 \)
Çözümü GösterDoğal sayılar kümesi 0'dan pozitif sonsuza kadar olan tam sayıları kapsar. 0 hariç doğal sayılar kümesine sayma sayıları denir.
\( -21 \), \( \frac{2}{5} \) ve \( 3,5 = \frac{7}{2} \) rasyonel sayıdır, ancak doğal sayı ve sayma sayısı değildir.
0 rasyonel sayı ve doğal sayıdır, ancak sayma sayısı değildir.
\( 68 \), \( \sqrt{169} = 13 \) ve \( \frac{24}{8} = 3 \) verilen üç sayı kümesine de dahildir.
Buna göre verilen sayılardan 3'ü üç sayı kümesine de dahildir.
Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi rasyonel sayıdır?
\( \dfrac{14}{3}; \quad 1,3\overline{2}; \quad -29; \quad 9,999... \)
\( \dfrac{45}{0}; \quad \dfrac{3\sqrt{5}}{11}; \quad 0; \quad \pi \)
Çözümü Göster\( \frac{14}{3} \) iki tam sayının oranı şeklinde yazılabildiği için rasyonel sayıdır.
Devirli ondalık sayılar iki tam sayının oranı şeklinde yazılabildiği için rasyonel sayılardır (\( 1,3\overline{2} = \frac{119}{90} \)).
\( -29 \) bir tam sayıdır ve aynı zamanda rasyonel sayıdır.
\( 9,999... \) devirli ondalık sayısı 10'a eşit olduğu için bir tam sayıdır ve aynı zamanda rasyonel sayıdır.
\( \frac{45}{0} \) paydası sıfır olduğundan tanımsızdır ve rasyonel sayı değildir.
\( \sqrt{5} \) ifadesi kökten kurtarılamadığı için \( \frac{3\sqrt{5}}{11} \) rasyonel sayı değildir.
0 bir tam sayıdır ve aynı zamanda rasyonel sayıdır.
\( \pi \) sayısı rasyonel sayı değildir.
Buna göre verilen ifadelerden 5 tanesi rasyonel sayıdır.
Aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
I. Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi reel sayılar kümesini verir.
II. Pozitif ve negatif tam sayıların birleşimi tam sayılar kümesini verir.
III. Reel ve sanal sayıların birleşimi karmaşık sayılar kümesini verir.
IV. Rasyonel sayılar doğal sayıları kapsar.
Çözümü GösterVerilen ifadeleri inceleyelim.
I. Her reel sayı ya rasyonel ya da irrasyoneldir. Bu ifade doğrudur.
II. Tam sayılar kümesi pozitif ve negatif tam sayılar ile sıfırın birleşiminden oluşur. Bu ifade yanlıştır.
III. Reel sayılar sadece reel bileşeni olan, sanal sayılar da sadece sanal bileşeni olan karmaşık sayılardır. Karmaşık sayılar bu sayılara ek olarak her iki bileşeni de sıfırdan farklı olan sayıları da içerir (örneğin \( 2 + 3i \)). Bu ifade yanlıştır.
IV. Tüm tam sayılar kesirli şekilde yazılabildikleri için rasyonel sayılar doğal sayıları kapsar. Bu ifade doğrudur.
Buna göre I. ve IV. ifadeler doğrudur.
\( x, y \in \mathbb{R} - \{0\} \) olmak üzere,
\( x \cdot y = 14 \) ise aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
I. \( x \) rasyonel sayı ise \( y \) de rasyonel sayıdır.
II. \( x \) irrasyonel sayı ise \( y \) de irrasyonel sayıdır.
III. \( x \) tam sayı ise \( y \) de tam sayıdır.
Çözümü GösterI. öncül:
\( x \) rasyonel sayı ise iki tam sayının oranı şeklinde yazılabilir.
\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x = \dfrac{a}{b} \)
\( \dfrac{a}{b} \cdot y = 14 \)
\( y = \dfrac{14b}{a} \)
Buna göre \( y \) sayısı da iki tam sayının oranı şeklinde yazılabilir, dolayısıyla rasyonel sayıdır.
I. öncül doğrudur.
II. öncül:
\( y = \dfrac{14}{x} \)
\( x \) sayısı iki tam sayının oranı şeklinde yazılamayacağı gibi \( \frac{14}{x} \) ifadesi de yazılamaz.
Dolayısıyla \( x \) irrasyonel ise \( y \) de irrasyoneldir.
II. öncül doğrudur.
III. öncül:
\( y = \dfrac{14}{x} \)
Örneğin \( x = 5 \) ise \( y = \dfrac{14}{5} \) olur.
Dolayısıyla \( x \) tam sayı ise \( y \) tam sayı olmak zorunda değildir.
III. öncül yanlıştır.
Buna göre I. ve II. öncüller doğrudur.