En Küçük/En Büyük/Farklı Değer Bulma

Tam sayılar konusunda sıklıkla karşılaşılan soru tiplerinden biri, bir ifadenin ya da bir ifadedeki değişkenin alabileceği en küçük, en büyük ya da tüm farklı değerlerin bulunmasıdır.

Bu tip sorularda dikkat edilmesi gereken iki önemli nokta şunlardır.

  • Sayıların alabilecekleri değerler tanımlı oldukları sayı kümeleri dikkate alınarak belirlenmelidir (doğal sayılar, tam sayılar, pozitif tam sayılar ya da sadece rakamlar).
  • Sayıların birbirinden farklı değerlere sahip olması sorularda ek bir koşul olarak verilebilir.

Toplamları Verilen Sayıların Çarpımının En Küçük/En Büyük Değeri

Toplamları verilen iki ya da daha fazla sayının çarpımlarının en büyük değerini bulmak için sayılar birbirine eşit ya da eşit olamıyorsa en yakın olacak şekilde seçilir.

Toplamları verilen iki ya da daha fazla sayının çarpımlarının en küçük değerini bulmak için sayılar birbirinden en uzak olacak şekilde seçilir.

Çarpımları Verilen Sayıların Toplamının En Küçük/En Büyük Değeri

Çarpımları verilen iki ya da daha fazla sayının toplamlarının en büyük değerini bulmak için sayılar birbirinden en uzak olacak şekilde seçilir.

Çarpımları verilen iki ya da daha fazla sayının toplamlarının en küçük değerini bulmak için sayılar birbirine eşit ya da eşit olamıyorsa en yakın olacak şekilde seçilir.

SORU 1 :

, ve birbirinden farklı negatif tam sayılardır.

Buna göre toplamı en çok kaçtır?

Verilen ifadenin en büyük olması için , ve en büyük değerlerini almalıdır.

Üç sayı birbirinden farklı negatif tam sayılar olduğu için, bu değerler , ve olur.

İfadenin en büyük olması için, bu değerlerden daha büyük olan daha büyük katsayılı değişkene verilmelidir.

Bu değerleri ifadesinde yerine koyalım.

bulunur.


SORU 2 :

birer rakam olmak üzere,

ifadesinin sonucu en çok kaçtır?

ifadesinin en büyük değerini alması için pozitif işaretli ve en büyük değerlerini, negatif işaretli de en küçük değerini almalıdır.

Sayılar birbirinden farklı olmadığı için aynı değerleri alabilirler.

Buna göre ifadenin en büyük değeri aşağıdaki gibi olur.

bulunur.


SORU 3 :

sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere,

ifadesinin sonucu en çok kaçtır?

ifadesinin en büyük değerini alması için pozitif işaretli ve en büyük değerlerini, negatif işaretli de en küçük değerini almalıdır.

Ayrıca 'nin katsayısı 'in katsayısından büyük olduğu için, sonucun daha büyük olması için olmalıdır.

Buna göre değerler aşağıdaki gibi olur.

Buna göre ifadenin en büyük değeri aşağıdaki gibi olur.

bulunur.


SORU 4 :

ve birbirinden farklı doğal sayılar olmak üzere,

ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

ve birbirinden farklı sayılar olduğu için verilen ifadenin en küçük değerini alması için katsayısı daha büyük olan en küçük doğal sayı olan 0 değerini almalıdır.

Bu durumda 0'dan sonraki en küçük doğal sayı olan 1 değerini alır.

Bulduğumuz değerleri verilen ifadede yerine yazarak ifadenin en küçük değerini bulalım.

bulunur.


SORU 5 :

olmak üzere,

ise 'nin en küçük ve en büyük değerleri nedir?

Yukarıda paylaştığımız kurallara göre, toplamı verilen iki sayının çarpımının en büyük değerini bulmak için sayılar birbirine eşit ya da en yakın seçilir.

İki sayının çarpımının en küçük değerini bulmak içinse sayılar birbirinden en uzak seçilir.

Bu iki sayının tüm olası değerlerini bir tabloda listeleyerek çarpımın en küçük ve en büyük değerlerini teyit edebiliriz.

1 11 12 11
2 10 12 20
3 9 12 27
4 8 12 32
5 7 12 35
6 6 12 36
7 5 12 35
8 4 12 32
9 3 12 27
10 2 12 20
11 1 12 11

SORU 6 :

olmak üzere,

ise 'nin en küçük ve en büyük değerleri nedir?

Yukarıda paylaştığımız kurallara göre, çarpımı verilen iki sayının toplamının en büyük değerini bulmak için sayılar birbirinden en uzak seçilir.

İki sayının toplamının en küçük değerini bulmak içinse sayılar birbirine eşit ya da en yakın seçilir.

Bu iki sayının tüm olası değerlerini bir tabloda listeleyerek toplamın en küçük ve en büyük değerlerini teyit edebiliriz.

1 12 12 13
2 6 12 8
3 4 12 7
4 3 12 7
6 2 12 8
12 1 12 13

SORU 7 :

Birbirinden farklı 10 pozitif tam sayının ortalaması 20 olduğuna göre, bu sayılardan en büyüğü en fazla kaç olabilir?

Sayıların toplamını bulalım.

En büyük sayının alacağı değere diyelim.

'nın alabileceği en büyük değeri bulmak için diğer 9 sayıya 1'den başlayarak 9'a kadarki en küçük değerleri verelim.

İlk 9 terim için ardışık sayıların toplam formülünü kullanalım.

bulunur.


SORU 8 :

olmak üzere,

olduğuna göre, çarpımının alabileceği en büyük değer nedir?

İki eşitliği taraf tarafa toplayalım.

Toplamı verilen iki sayının çarpımının en büyük değerini bulmak için sayılar birbirine eşit ya da (sayılar birer tam sayı ise) en yakın seçilir.

bulunur.


SORU 9 :

olmak üzere,

ifadesi bir tam sayı olduğuna göre, 'nın alabileceği kaç farklı değer vardır?

Kesirli ifadede tek bir kalacak şekilde ifadeyi düzenleyelim.

ifadesi tam sayıdır.

ifadesini tam sayı yapan doğal sayı değerleri aşağıdaki gibidir.

Buna göre 'nın alabileceği 6 farklı değer vardır.


SORU 10 :

olmak üzere,

olduğuna göre, en fazla kaç olabilir?

Birinci eşitlikte 'nin en büyük değerini alması için en küçük değerini almalıdır.

'in en küçük değeri ikinci eşitliği sağlamalıdır.

Bu eşitliği sağlayan en küçük tam sayı değeri 'tir.

Bulduğumuz değerini birinci eşitlikte yerine yazarak 'nin en büyük değerini bulalım.

bulunur.


SORU 11 :

olmak üzere,

olduğuna göre, kaç farklı değer alabilir?

'yı yalnız bırakalım.

İfadeyi tek bir kalacak şekilde düzenleyelim.

15'i tam bölen değerler aldığında ifadesi doğal sayı, eşitliğin sağ tarafı da tam sayı olur.

Ancak olduğunda negatif olduğu için bu iki değer geçerli birer çözüm değildir.

Buna göre iki farklı değer alabilir.

bulunur.


SORU 12 :

ve birer rakam olmak üzere,

eşitliğini sağlayan değerlerinin toplamı kaçtır?

olmak üzere,

ve şeklinde yazabiliriz.

için:

için:

için:

için:

'nın daha büyük değerlerinde bir rakam olmaz.

'nın alabileceği değerlerin toplamını bulalım.

bulunur.


SORU 13 :

ifadesini tam sayı yapan tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Verilen ifadeyi tek bir kalacak şekilde düzenleyelim.

Bu ifadenin değerinin tam sayı olması için ifadesi 21'i tam bölmelidir.

21'i tam bölen tam sayılar:

Paydadaki ifadeyi bu değerlere eşitleyerek 'in alabileceği değerleri bulalım.

Bulduğumuz değerlerinin toplamını alalım.

bulunur.


SORU 14 :

olmak üzere,

olduğuna göre, çarpımı kaçtır?

ve pozitif tam sayılar olduğuna göre, birinci eşitlik sadece ya da olduğunda sağlanır.

ve dersek olur, 0 pozitif tam sayı olmadığı için bu geçerli bir çözüm değildir.

O halde ve olmalıdır.

Bulduğumuz değerleri ikinci eşitlikte yerine yazalım.

bulunur.


SORU 15 :

olmak üzere,

olduğuna göre, çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Verilen ve sayılarını toplayalım.

ifadesinin en büyük değerini bulalım.

Toplamları verilen iki ya da daha fazla sayının çarpımının en büyük değerini bulmak için sayılar birbirine eşit ya da en yakın olacak şekilde seçilir.

bulunur.


SORU 16 :

olmak üzere,

olduğuna göre, 'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

için ikinci eşitlik sağlanır, ancak birinci eşitlik sağlanmaz.

Bu yüzden olmalıdır.

Birinci eşitlikte 'nin alabileceği değerleri bulalım.

Üç tam sayının çarpımı tek sayı ise sayıların üçü de tek sayı olmalıdır.

'nin alabileceği değerler toplamını bulalım.

bulunur.


SORU 17 :

ve olmak üzere,

olduğuna göre, çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Verilen üç eşitliği taraf tarafa toplayalım.

çarpımının en büyük değerini bulalım.

Toplamları verilen iki ya da daha fazla sayının çarpımlarının en büyük değerini bulmak için sayılar birbirine eşit ya da en yakın olacak şekilde seçilir.

bulunur.


SORU 18 :

olmak üzere,

olduğuna göre, 'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Verilen iki eşitliği taraf tarafa toplayalım.

Negatif ve sayılarının alabileceği değerleri bulalım.

Durum 1:

Durum 2:

Bulduğumuz değerlerini ikinci denklemde yerine yazarak 'nin alabileceği değerleri bulalım.

'nin alabileceği değerlerin toplamını bulalım.

bulunur.


SORU 19 :

olmak üzere,

eşitliğini sağlayan kaç farklı ikilisi vardır?

eşitliğinde,

verirsek bulunur.

verirsek bulunur.

verirsek bulunur.

verirsek bulunur.

değerlerine göre, 0-100 arası ardışık terim sayısı kadar verilen eşitliği sağlayan sayı ikilisi vardır.

Verilen eşitliği sağlayan 101 farklı ikilisi vardır.


SORU 20 :

İki basamaklı ve birbirinden farklı beş doğal sayının toplamı 120 ise bu sayılardan en büyüğü en fazla kaçtır?

Sayılardan en büyüğünün en fazla olması için diğer dört sayı en küçük seçilmelidir.

İki basamaklı beş farklı doğal sayının en büyüğü en fazla 74 olabilir.


SORU 21 :

Ayşe, Leman ve Suna iki basamaklı doğal sayılar yazacaktır.

Ayşe rakamları çarpımı 5 olan, Leman rakamları toplamı 5 olan, Suna rakamları farkı 5 olan sayıları yazmıştır.

Üçünün yazdıkları sayılardan en büyük ve en küçük olanların farkı kaçtır?

Ayşe, Leman ve Suna için verilen koşulları sağlayan sayıları yazalım.

Ayşe: 51, 15

Leman: 14, 23, 32, 41, 50

Suna: 16, 27, 38, 49, 50, 61, 72, 83, 94

Bu sayılardan en büyüğü 94, en küçüğü 14'tür.

bulunur.


SORU 22 :

İkisi 400'den küçük üç basamaklı ve birbirinden farklı dört sayının toplamı 2687'dir.

Bu sayılardan en küçüğü en az kaçtır?

Sayılara diyelim.

Sayıların sıralamasına diyelim.

Buna göre ve 400'den küçük sayılardır.

, ve sayılarına alabilecekleri en büyük değerleri verelim.

Bu değerleri toplam eşitliğinde yerine koyalım.

bulunur.


SORU 23 :

ve olmak üzere,

olduğuna göre, en çok kaçtır?

sayısının en büyük değere sahip olabilmesi için ifadesinin sonucu en büyük olmalıdır.

O halde sayısına alabileceği en büyük değeri verelim.

Bu değeri denklemde yerine yazalım.

sayısının en büyük değere sahip olabilmesi için en küçük olmalıdır.

Bu değeri denklemde yerine yazalım.

bulunur.


SORU 24 :

olmak üzere,

olduğuna göre, 'nın en küçük değeri için kaçtır?

İfadeyi düzenleyelim.

'nın en küçük değeri için ifadesi de en küçük olmalıdır.

verirsek 'nın en küçük değeri bulunur.

'nın en küçük değeri için değerini bulalım.

bulunur.


SORU 25 :

Birbirinden farklı ve dört tanesi 25'ten küçük altı doğal sayının toplamı 268 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü en az kaçtır?

Altı doğal sayının toplamında en büyük sayının en küçük değerini bulmak için 25'ten küçük dört doğal sayının en büyük değerlerini almalıyız.

24, 23, 22, 21

Bu dört sayının toplamını 268'den çıkaralım.

Diğer iki sayıdan büyük olanın en küçük değeri için iki sayıyı birbirlerine en yakın seçmeliyiz.

Bunun için 178 sayısını ikiye bölelim.

Sayılar birbirinden farklı olduğu için diğer iki sayıyı 88 ve 90 olarak seçmeliyiz.

Buna göre en büyük sayı en az 90 olur.


SORU 26 :

olmak üzere,

eşitliği veriliyor.

Buna göre, 'in alabileceği en büyük değer kaçtır?

çarpımının sonucunun doğal sayı olabilmesi için sıfır ya da 7'nin katı negatif bir sayı olmalıdır.

negatif tam sayı olduğuna göre, işlem sonucunu doğal sayı yapacak en büyük değeri olur.


SORU 27 :

sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere,

ve eşitlikleri veriliyor.

Buna göre toplamı en çok kaçtır?

ve olduğuna göre olur.

eşitliğinde olması durumunda eşitliğin sağ tarafı 10 olacağı olur ( olduğu için olamaz).

Buna göre değerler aşağıdaki gibi olur.

bulunur.


SORU 28 :

olmak üzere,

olduğuna göre, toplamı en az kaçtır?

32 sayısının pozitif tam sayı bölenleri:

için olur.

için olur.

için olur, ancak olması gerektiği için bu geçerli bir çözüm değildir.

Daha büyük değerleri için de aynı durum söz konusu olacağı için başka geçerli çözüm yoktur.

Buna göre sayılarının alabileceği değerler aşağıdaki gibidir.

Bu olasılıklar içinde sayıların toplamı en küçük değerini aşağıdaki değerlerde alır.

Buna göre toplamı en az olur.


SORU 29 :

olmak üzere,

olduğuna göre, çarpımının en büyük değeri kaçtır?

Verilen eşitliği düzenleyelim.

95 sayısının tam sayı bölenleri:

pozitif olduğu için toplamı sadece 19 ya da 95 olabilir.

ise:

ise:

Buna göre çarpımının en büyük değeri olur.


SORU 30 :

olmak üzere,

olduğuna göre, toplamı en az kaçtır?

pozitif olduğu için de pozitif olmalıdır.

147 sayısının pozitif tam sayı bölenleri:

tam sayı olduğu için karesi 1 ya da 49 olabilir.

için:

için:

Buna göre toplamı en az olur.


SORU 31 :

olmak üzere,

olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

I. toplamı en çok 89 olabilir.

II. toplamı en az 17 olabilir.

III. toplamı en az 18 olabilir.

eşitliği için ve tam sayılarının alabileceği değerleri bulalım.

Bu bilgiler doğrultusunda verilen öncülleri inceleyelim.

I. öncül: toplamı en çok olabilir. Bu öncül doğrudur.

II. öncül: toplamı en az olabilir. Bu öncül yanlıştır.

III. öncül: toplamı en az olabilir. Bu öncül doğrudur.

Buna göre I. ve III. öncüller doğrudur.


SORU 32 :

birbirinden farklı pozitif tam sayılar olmak üzere,

olduğuna göre, en büyük değerini aldığında ifadesinin değeri kaçtır?

'nin en büyük değerini alması için pozitif işaretli ve sayıları en küçük değerlerini almalıdır.

ve için olur.

Bu değerler için ifadesinin değerini bulalım.

bulunur.


SORU 33 :

olmak üzere,

olduğuna göre, 'nın alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

ve 'nin alabileceği değerleri bulalım.

değerleri için tam sayı değer almaz.

için:

için:

için:

Buna göre 'nın alabileceği değerler çarpımı olur.


SORU 34 :

olmak üzere,

olduğuna göre, 'in alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Verilen eşitlikte her terimi 5'e bölelim.

'in doğal sayı olabilmesi için 5'in bir doğal sayı katı olmalıdır.

Bu şekilde 'in alabileceği değerler 6 azalarak devam eder.

'in alabileceği değerlerin toplamını bulalım.

bulunur.


SORU 35 :

olmak üzere,

ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

İfadenin açılımını yazalım.

Bir reel sayının karesinin alabileceği en küçük değer 0'dır.

Elde ettiğimiz ifadede ve 'li terimlerin işareti pozitif olduğu için, ifadenin en küçük değerini alması için olmalıdır.

bulunur.


SORU 36 :

olarak veriliyor.

ifadesindeki üslü ifadelerin tabanı 1'er artırılırsa değeri kaç artar?

ifadesindeki üslü ifadelerin tabanını 1'er artıralım.

Bulduğumuz ifadeden sayısını çıkardığımızda değerinin kaç arttığını buluruz.

İki terim dışında tüm terimler birbirini götürür.

bulunur.


SORU 37 :

Bir fabrikada üretilen levhaların genişliği cm ve yüksekliği cm'dir.

Buna göre, bu levhaların alanının en büyük ve en küçük değerleri arasındaki fark nedir?

Levhanın alanı en büyük değerini genişlik ve yükseklik en büyük olduğunda alır.

cm

Levhanın alanı en küçük değerini genişlik ve yükseklik en küçük olduğunda alır.

cm

Buna göre levhaların alanının en büyük ve en küçük değeri arasındaki fark cm olarak bulunur.


SORU 38 :

olmak üzere,

olduğuna göre, kaçtır?

Birinci eşitlikte ifadesindeki bilinmeyenlerin ikisi de 0'dan farklı olursa sonuç 8'den büyük olur, dolayısıyla veya sıfır olmalıdır.

veya

İkinci eşitliğe göre ve sıfır olamaz, aksi takdirde olması için ya da negatif olmalıdır.

O halde olmalıdır.

ve olduğunu biliyoruz.

ya da olamayacağı için olmalıdır, buradan ve olarak bulunur.

Bulduğumuz değerlerin toplamını alalım.

bulunur.


SORU 39 :

olmak üzere,

olduğuna göre, ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

En büyük sayı olan 'nin alabileceği en büyük sayıları deneyelim.

için:

pozitif tam sayı olmadığı için olamaz.

için:

olmalıdır, ancak olduğundan olamaz.

için:

Toplamları en büyük olacak şekilde oranı 2 olan iki sayı ve olur.

toplamının en büyük değeri olarak bulunur.


SORU 40 :

olmak üzere,

olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangileri doğru olabilir?

I.

II.

III.

Verilen ifadeyi düzenleyelim.

sayısının tam sayı olabilmesi için ya da olmalıdır.

ya da olabileceği için olabilir, dolayısıyla I. öncül doğrudur.

olabileceği için olabilir, dolayısıyla II. öncül doğrudur.

Verilen eşitliği sağlayacak şekilde olamaz, dolayısıyla III. öncül yanlıştır.

Buna göre I. ve II. öncüller doğru olabilir.


SORU 41 :

Bir doğal sayı ile bir tam sayının çarpımı, doğal sayının 4 katı ile tam sayının 5 katının toplamına eşittir.

Buna göre, tam sayı kaç farklı değer alabilir?

ve olsun.

İki sayının çarpımı , doğal sayının 4 katı ile tam sayının 5 katının toplamı olur.

Bu eşitlikte ifadesini yalnız bırakalım.

Eşitliğin sağ tarafını tek bir kalacak şekilde düzenleyelim.

sayısının tam sayı olması için ifadesi 20'yi tam bölmelidir.

Bu ifadeyi tam sayı yapan doğal sayı değerleri aşağıdaki gibidir.

Buna göre 10 farklı değer alabilir.


SORU 42 :

olmak üzere,

olduğuna göre,

toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Değeri istenen ifadede paydaları eşitleyelim.

olarak veriliyor.

ve negatif tam sayılar olduğu için çarpımı pozitif, ifadesi negatif olur.

Sonuç negatif olacağından ifadenin en büyük değerini alması için ifadesinde payda en büyük olmalıdır.

çarpımının en büyük olması için eşitliğinde ve 'ye birbirlerine en yakın değerler verilir.

Bu değerleri yerine koyalım.

bulunur.


SORU 43 :

olmak üzere,

olduğuna göre,

ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük değerler kaçtır?

ifadesinin en büyük değerini alması için pozitif işaretli ve en büyük değerlerini, negatif işaretli en küçük değerini almalıdır.

Ancak sayılar arasındaki büyüklük ilişkisinden dolayı bir sayıya verdiğimiz değer diğer sayılara verdiğimiz değerleri etkilemektedir.

Pozitif işaretli ve sayılarının katsayıları toplamı negatif işaretli sayısının katsayısından büyük olduğu için () ifadenin en büyük değeri için öncelikli olarak ve 'ye büyük değer vermeliyiz.

Buna göre ifadenin en büyük değeri 36 olarak bulunur.

ifadesinin en küçük değeri için ve en küçük, en büyük değerini almalıdır.

Buna göre ifadenin en küçük değeri -48 olarak bulunur.


SORU 44 :

olmak üzere,

ifadesini tam kare yapan değerlerinin toplamı kaçtır?

olmak üzere,

diyelim.

63'ün pozitif çarpanları 1, 3, 7, 9, 21, 63 sayılarından oluşur.

Buna göre istenen durum üç şekilde oluşur.

Durum 1:

Buradan ve bulunur.

Durum 2:

Buradan ve bulunur.

Durum 3:

Buradan ve bulunur.

Verilen ifadeyi tam sayı yapan değerlerinin toplamı olarak bulunur.


« Önceki
Ardışık Sayılar
Sonraki »
Tanımsızlık ve Belirsizlik


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır