İşlem Öncelikleri
İşlem öncelikleri, çok sayıda işlemden oluşan ifadelerde işlemlerin hangi sırada yapılması gerektiğini belirler. Bu işlem sıraları doğru şekilde takip edilmezse işlemlerde yanlış sonuçlara ulaşılabilir.
İşlemlerin öncelik sırası, en yüksek öncelikli işlemden en düşük öncelikli işleme doğru sırasıyla aşağıdaki gibidir.
- Parantez: "()", "[]", "{}"
- Üslü ve köklü ifadeler
- Çarpma ve bölme: Eşit öncelikteki işlemlerde işlem sırası soldan sağa doğrudur.
- Toplama ve çıkarma: Eşit öncelikteki işlemlerde işlem sırası soldan sağa doğrudur.
Bu kurallar doğrultusunda aşağıdaki örnek işlemlerde takip edilmesi gereken öncelik sırası her satırda belirtilmiştir.
| İşlem | Yanlış | Doğru | Notlar |
|---|---|---|---|
| \( 4 + 3 \cdot 2 \) | \( \overbrace{\underbrace{4 + 3}_\text{1. adım} \cdot 2}^\text{2. adım} = 14 \) | \( \overbrace{4 + \underbrace{3 \cdot 2}_\text{1. adım}}^\text{2. adım} = 10 \) | Çarpma toplamaya göre önceliklidir. |
| \( 24 \div 3 \cdot 2 \) | \( \overbrace{24 \div \underbrace{3 \cdot 2}_\text{1. adım}}^\text{2. adım} = 4 \) | \( \overbrace{\underbrace{24 \div 3}_\text{1. adım} \cdot 2}^\text{2. adım} = 16 \) | Önceliği aynı olan çarpma ve bölme işlemlerinden önce soldaki işlem yapılır. |
| \( -4^2 \) | \( 16 \) | \( -16 \) | Üs işlemi negatif işaretinden önceliklidir. \( -4 \)'ün karesi için ifade \( (-4)^2 \) şeklinde yazılmalıdır. |
| \( 12 \div 6 - 2 \cdot 3 \) | \( \overbrace{\overbrace{12 \div \underbrace{6 - 2}_\text{1. adım}}^\text{2. adım} \cdot 3}^\text{3. adım} = 9 \) | \( \overbrace{\underbrace{12 \div 6}_\text{1. adım} - \underbrace{2 \cdot 3}_\text{2. adım}}^\text{3. adım} = -4 \) | Bölme ve çarpma çıkarmadan önceliklidir. |
| \( 36 \div 3(3 + 1) \) | \( \overbrace{36 \div \underbrace{3(3 + 1)}_\text{1. adım}}^\text{2. adım} = 3 \) | \( \overbrace{\underbrace{36 \div 3}_\text{1. adım}(3 + 1)}^\text{2. adım} = 48 \) | Çarpma ve bölme işlemlerinin önceliği aynı olduğu için önce soldaki bölme işlemi yapılır. |
| \( 2^{3^2} \) | \( (2^3)^2 = 8^2 = 64 \) | \( 2^{(3^2)} = 2^9 = 512 \) | Yukarıda bahsetmediğimiz ek bir kural olarak, üssü üslü bir ifade olan ifadelerde eğer işlem sırası bir parantez ile belirtilmediyse, işlem en üstteki ifadeden başlayarak tabana doğru yapılır. |
Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.
(a) \( 3 - 5 - 7 + 4 - 6 + 2 \)
(b) \( 6 \div 2 + 6 \cdot 2 + 6 - 2 \)
(c) \( 3 \cdot (-12 \cdot 3 - 2 \cdot (-5)) - 2 + 9 \)
(d) \( \dfrac{-21 \div 3 + 4 \cdot (-7)}{-4 + 1 - 2} \)
Çözümü Gösterİşlem öncelik sıralarını kullanarak işlemleri adım adım yapalım.
(a) seçeneği:
\( 3 - 5 - 7 + 4 - 6 + 2 \)
\( = -2 - 7 + 4 - 6 + 2 \)
\( = -9 + 4 - 6 + 2 \)
\( = -5 - 6 + 2 \)
\( = -11 + 2 \)
\( = -9 \)
(b) seçeneği:
\( 6 \div 2 + 6 \cdot 2 + 6 - 2 \)
\( = (6 \div 2) + (6 \cdot 2) + 6 - 2 \)
\( = 3 + 12 + 4 \)
\( = 19 \)
(c) seçeneği:
\( 3 \cdot (-12 \cdot 3 - 2 \cdot (-5)) - 2 + 9 \)
\( = 3 \cdot (-36 - (-10)) - 2 + 9 \)
\( = 3 \cdot (-36 + 10) - 2 + 9 \)
\( = 3 \cdot (-26) - 2 + 9 \)
\( = -78 - 2 + 9 \)
\( = -80 + 9 \)
\( = -71 \)
(d) seçeneği:
\( \dfrac{-21 \div 3 + 4 \cdot (-7)}{-4 + 1 - 2} \)
\( = \dfrac{-7 + (-28)}{-3 - 2} \)
\( = \dfrac{-35}{-5} \)
\( = 7 \)
Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.
(a) \( -2^2 - 8 \div 4 \cdot 2 - 12 \div 2 + 1 \)
(b) \( 5 \div 5 \div 2 \div 2 \)
(c) \( 6 \cdot \dfrac{1}{3} \div \dfrac{1^2 - 2^2 + (-3)^3}{6 \cdot (-1 - 4 - 5)} - 3 \)
(d) \( \dfrac{-6 \div (-3) \cdot 8 + 9}{3^2 + (-2)^3 + 4} \)
Çözümü Gösterİşlem öncelik sıralarını kullanarak işlemleri adım adım yapalım.
(a) seçeneği:
\( -2^2 - 8 \div 4 \cdot 2 - 12 \div 2 + 1 \)
\( = -(2^2) - (8 \div 4) \cdot 2 - (12 \div 2) + 1 \)
\( = -4 - 2 \cdot 2 - 6 + 1 \)
\( = -4 - 4 - 6 + 1 \)
\( = -8 - 6 + 1 \)
\( = -14 + 1 \)
\( = -13 \)
(b) seçeneği:
\( 5 \div 5 \div 2 \div 2 \)
\( = (5 \div 5) \div 2 \div 2 \)
\( = (1 \div 2) \div 2 \)
\( = 0,5 \div 2 \)
\( = 0,25 \)
(c) seçeneği:
\( 6 \cdot \dfrac{1}{3} \div \dfrac{1^2 - 2^2 + (-3)^3}{6 \cdot (-1 - 4 - 5)} - 3 \)
\( = 6 \cdot \dfrac{1}{3} \div \dfrac{1 - 4 + (-27)}{6 \cdot (-5 - 5)} - 3 \)
\( = 6 \cdot \dfrac{1}{3} \div \dfrac{-3 - 27}{6 \cdot (-10)} - 3 \)
\( = 6 \cdot \dfrac{1}{3} \div \dfrac{-30}{-60} - 3 \)
\( = 6 \cdot \dfrac{1}{3} \div \dfrac{1}{2} - 3 \)
\( = (6 \cdot \dfrac{1}{3}) \div \dfrac{1}{2} - 3 \)
\( = 2 \div \dfrac{1}{2} - 3 \)
\( = 2 \cdot \dfrac{2}{1} - 3 \)
\( = 4 - 3 \)
\( = 1 \)
(d) seçeneği:
\( \dfrac{-6 \div (-3) \cdot 8 + 9}{3^2 + (-2)^3 + 4} \)
\( = \dfrac{2 \cdot 8 + 9}{9 + (-8) + 4} \)
\( = \dfrac{16 + 9}{9 - 8 + 4} \)
\( = \dfrac{25}{5} \)
\( = 5 \)
\( -3^2 \cdot (-3) - 5^3 \div 5 + (-4 \cdot 2 - 2^2 \cdot 3) \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİşlem önceliği parantez içindeki işlemdedir.
\( -3^2 \cdot (-3) - 5^3 \div 5 + (-8 - 2^2 \cdot 3) \)
\( = -3^2 \cdot (-3) - 5^3 \div 5 + (-8 - 4 \cdot 3) \)
\( = -3^2 \cdot (-3) - 5^3 \div 5 + (-8 - 12) \)
\( = -3^2 \cdot (-3) - 5^3 \div 5 - 20 \)
\( = -9 \cdot (-3) - 125 \div 5 - 20 \)
\( = 27 - 25 - 20 \)
Eşit öncelikteki toplama ve çıkarma işlemleri soldan sağa doğru yapılır.
\( = 2 - 20 \)
\( = -18 \) bulunur.
Okulda işlem önceliğini öğrenen Ahmet tahtadaki kuralları defterine geçirirken bir hata yapıyor ve işlemlerin öncelik sırasını ters yazıyor.
\( 36 \div 6 + 12 \cdot 3 - 1 \) işlemini, kuralları defterine yazdığı şekliyle uygulayan Ahmet'in bulduğu sonucun bulması gereken sonuca oranı nedir?
Çözümü GösterAhmet'in bulduğu (hatalı) sonucu bulalım.
\( 36 \div (6 + 12) \cdot (3 - 1) \)
\( = 36 \div (18 \cdot 2) \)
\( = 36 \div 36 = 1 \)
Ahmet'in bulması gereken sonucu bulalım.
\( (36 \div 6) + (12 \cdot 3) - 1 \)
\( 6 + 36 - 1 = 41 \)
Ahmet'in bulduğu sonucun bulması gereken sonuca oranını bulalım.
\( \dfrac{1}{41} \) bulunur.
Bir sınıfta işlem öncelik sırası öğretilmeden önce öğretmen tahtaya \( 9 + 8 \cdot 7 - 6 \) işlemini yazıyor. Sınıftaki öğrencilerin doğru ya da yanlış elde edebileceği tüm farklı sonuçların toplamı kaçtır?
Çözümü Gösterİşlem öncelik sırası bilinmediğinde işlemler herhangi bir sırada yapılabilir.
Kullanılabilecek farklı işlem önceliklerini gösterebilmek ve olası farklı sonuçları bulabilmek için parantez kullanalım.
\( (9 + 8) \cdot 7 - 6 = 17 \cdot 7 - 6 = 113 \)
\( 9 + (8 \cdot 7) - 6 = 9 + 56 - 6 = 59 \)
\( 9 + 8 \cdot (7 - 6) = 9 + 8 \cdot 1 = 17 \)
\( (9 + 8) \cdot (7 - 6) = 17 \cdot 1 = 17 \)
\( (9 + 8 \cdot 7) - 6 = (9 + 56) - 6 = 59 \)
\( 9 + (8 \cdot 7 - 6) = 9 + (56 - 6) = 59 \)
Buna göre elde edilebilecek farklı sonuçlar 113, 59 ve 17 olur.
\( 113 + 59 + 17 = 189 \) bulunur.