Temel Dört İşlem
Bu bölümde temel dört aritmetik işlemin bir önceki bölümde bahsettiğimiz işlem özelliklerini inceleyeceğiz.
Toplama
Toplama işleminin değişme ve birleşme özellikleri vardır.
\( a + b = b + a \)
\( a + (b + c) = (a + b) + c \)
Toplama işleminin birim (etkisiz) elemanı 0'dır.
\( a + 0 = 0 + a = a \)
Toplama işleminin ters elemanı sayının ters işaretlisidir.
\( a + (-a) = 0 \)
Bir \( a \) sayısı için \( -a \) ifadesine \( a \)'nın toplamaya göre tersi denir.
Toplama işleminin farklı sayı kümeleri için kapalılık özelliği aşağıdaki gibidir:
| Sayı Kümesi | Kapalılık Durumu | Örnek İşlem |
|---|---|---|
| Doğal sayılar | Kapalıdır: İki doğal sayının toplamı da bir doğal sayıdır. | \( 5 + 0 = 5 \) |
| Tam sayılar | Kapalıdır: İki tam sayının toplamı da bir tam sayıdır. | \( 5 + 3 = 8 \) |
| Rasyonel sayılar | Kapalıdır: İki rasyonel sayının toplamı da bir rasyonel sayıdır. | \( \frac{1}{2} + 0,75 = \frac{5}{4} \) |
| İrrasyonel sayılar | Kapalı değildir: İki irrasyonel sayının toplamı bir irrasyonel sayı olmayabilir. | \( \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 \) |
| Reel sayılar | Kapalıdır: İki reel sayının toplamı da bir reel sayıdır. | \( \sqrt{2} + 3,15 \) |
Çıkarma
Çıkarma işleminin değişme ve birleşme özellikleri yoktur.
Çıkarma işleminin birim (etkisiz) ve ters elemanları yoktur. 0 sayısı çıkarma işleminin ikinci terimi olarak etkisiz eleman gibi davransa da, bir elemanın bir işlemin etkisiz elemanı olabilmesi için terimlerin sıralamasından bağımsız bu işlevi görmesi gerekir.
\( a \ne 0 \) olmak üzere,
\( a - 0 = a \)
\( 0 - a \ne a \)
Çıkarma işleminin farklı sayı kümeleri için kapalılık özelliği aşağıdaki gibidir:
| Sayı Kümesi | Kapalılık Durumu | Örnek İşlem |
|---|---|---|
| Doğal sayılar | Kapalı değildir: İki doğal sayının farkı bir doğal sayı olmayabilir. | \( 2 - 3 = -1 \) |
| Tam sayılar | Kapalıdır: İki tam sayının farkı da bir tam sayıdır. | \( 5 - 3 = 2 \) |
| Rasyonel sayılar | Kapalıdır: İki rasyonel sayının farkı da bir rasyonel sayıdır. | \( \frac{3}{2} - 0,7 = \frac{4}{5} \) |
| İrrasyonel sayılar | Kapalı değildir: İki irrasyonel sayının farkı bir irrasyonel sayı olmayabilir. | \( \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0 \) |
| Reel sayılar | Kapalıdır: İki reel sayının farkı da bir reel sayıdır. | \( \sqrt{3} - \sqrt{2} \) |
Çarpma
Çarpma işleminin değişme ve birleşme özellikleri vardır.
\( a \cdot b = b \cdot a \)
\( a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \)
Çarpma işleminin toplama ve çıkarma üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.
\( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \)
\( (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \)
\( a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c \)
\( (a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c \)
Çarpmanın birim (etkisiz) elemanı 1'dir.
\( a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \)
Çarpmanın ters elemanı 1 bölü kendisidir.
\( a \cdot \dfrac{1}{a} = 1 \quad (a \ne 0) \)
\( a \ne 0 \) olmak üzere, bir \( a \) sayısı için \( a^{-1} = \frac{1}{a} \) ifadesine \( a \)'nın çarpmaya göre tersi denir.
Çarpma işleminin farklı sayı kümeleri için kapalılık özelliği aşağıdaki gibidir:
| Sayı Kümesi | Kapalılık Durumu | Örnek İşlem |
|---|---|---|
| Doğal sayılar | Kapalıdır: İki doğal sayının çarpımı da bir doğal sayıdır. | \( 2 \cdot 3 = 6 \) |
| Tam sayılar | Kapalıdır: İki tam sayının çarpımı da bir tam sayıdır. | \( 4 \cdot (-2) = -8 \) |
| Rasyonel sayılar | Kapalıdır: İki rasyonel sayının çarpımı da bir rasyonel sayıdır. | \( \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{2}{3} \) |
| İrrasyonel sayılar | Kapalı değildir: İki irrasyonel sayının çarpımı bir irrasyonel sayı olmayabilir. | \( \sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} = 1 \) |
| Reel sayılar | Kapalıdır: İki reel sayının çarpımı da bir reel sayıdır. | \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6} \) |
Bölme
Bölme işleminin değişme ve birleşme özellikleri yoktur.
Bölme işleminin toplama ve çıkarma üzerine sadece sağdan dağılma özelliği vardır.
\( c \ne 0 \) olmak üzere,
\( (a + b) \div c = (a \div c) + (b \div c) \)
\( (a - b) \div c = (a \div c) - (b \div c) \)
Yukarıdaki işlemleri kesirli ifade olarak yazdığımızda, bölmenin neden sağdan dağılma özelliği olduğu ve soldan dağılma özelliği olmadığı daha net görülecektir.
\( \dfrac{a + b}{c} = \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} \)
\( \dfrac{c}{a + b} \ne \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b} \)
Bölme işleminin birim (etkisiz) ve ters elemanları yoktur. 1 sayısı bölme işleminin ikinci terimi olarak etkisiz eleman gibi davransa da, 0 sayısının çıkarma işlemindeki durumunda olduğu gibi etkisiz eleman olmamaktadır.
Bölme işleminin farklı sayı kümeleri için kapalılık özelliği aşağıdaki gibidir:
| Sayı Kümesi | Kapalılık Durumu | Örnek İşlem |
|---|---|---|
| Doğal sayılar | Kapalı değildir: İki doğal sayının bölümü bir doğal sayı olmayabilir. | \( 2 \div 4 = \dfrac{1}{2} \) |
| Tam sayılar | Kapalı değildir: İki tam sayının bölümü bir tam sayı olmayabilir. | \( 2 \div 4 = \dfrac{1}{2} \) |
| Rasyonel sayılar | Kapalı değildir: İki rasyonel sayının bölümü bir rasyonel sayı olmayabilir. | \( \dfrac{3}{2} \div 0 = \) Tanımsız |
| İrrasyonel sayılar | Kapalı değildir: İki irrasyonel sayının bölümü bir irrasyonel sayı olmayabilir. | \( \sqrt{2} \div \sqrt{2} = 1 \) |
| Reel sayılar | Kapalı değildir: İki reel sayının bölümü bir reel sayı olmayabilir. | \( \sqrt{2} \div 0 = \) Tanımsız |
\( 999 \cdot 999 + 999 \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Gösterİfadeyi 999 parantezine alalım.
\( 999 \cdot 999 + 999 = 999 \cdot (999 + 1) \)
\( = 999 \cdot 1000 \)
\( = 999000 \) bulunur.
\( x, y \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( x \) ile çarpmaya göre tersinin toplamı, \( y \) ile çarpmaya göre tersinin toplamının 7 katından \( \frac{48}{11} \) eksiktir.
\( x = 7y \) olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen bilgileri denklem şeklinde yazalım.
\( x + \dfrac{1}{x} = 7(y + \dfrac{1}{y}) - \dfrac{48}{11} \)
\( x = 7y \Longrightarrow y = \dfrac{x}{7} \)
\( x + \dfrac{1}{x} + \dfrac{48}{11} = 7(\dfrac{x}{7} + \dfrac{7}{x}) \)
\( x + \dfrac{1}{x} + \dfrac{48}{11} = x + \dfrac{49}{x} \)
\( \dfrac{48}{11} = \dfrac{48}{x} \)
\( x = 11 \) bulunur.
İki tam sayının toplamı 22 ve çarpmaya göre terslerinin toplamı \( \frac{11}{56} \)'dır.
Buna göre bu sayılardan büyük olanın küçük olandan farkı nedir?
Çözümü GösterSayılara \( x \) ve \( y \) diyelim.
\( x + y = 22 \)
\( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{11}{56} \)
Bize verilen ilk eşitliği kullanarak \( y \)'nin \( x \) cinsinden eşitini bulalım ve bu değeri ikinci eşitlikte yerine yazalım.
\( y = 22 - x \)
\( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{22 - x} = \dfrac{11}{56} \)
Paydaları eşitleyelim.
\( \dfrac{22 - x + x}{x(22 - x)} = \dfrac{11}{56} \)
\( \dfrac{2}{x(22 - x)} = \dfrac{1}{56} \)
\( 22x - x^2 = 112 \)
\( x^2 - 22x + 112 = 0 \)
\( (x - 8)(x - 14) = 0 \)
\( x = 8 \) ya da \( x = 14 \)
\( x \)'in iki değeri için \( y \)'nin alabileceği değerleri bulalım.
\( x = 8 \Longrightarrow y = 22 - 8 = 14 \)
\( x = 14 \Longrightarrow y = 22 - 14 = 8 \)
\( x \) ve \( y \)' nin alabileceği 2 değer için fark aynı olacaktır.
Sayıların farkı \( 14 - 8 = 6 \) olarak bulunur.
\( 109969 = 397 \cdot 277 \) olduğuna göre, \( 407 \cdot 287 \) çarpımının sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( 407 \cdot 287 \) çarpımını 397 ve 277 sayıları cinsinden yazalım.
\( 407 = 397 + 10 \)
\( 287 = 277 + 10 \)
\( 407 \cdot 287 = (397 + 10)(277 + 10) \)
Parantezleri genişletelim.
\( = 397 \cdot 277 + 397 \cdot 10 + 277 \cdot 10 + 10 \cdot 10 \)
\( = 397 \cdot 277 + 10(397 + 277 + 10) \)
\( 109969 = 397 \cdot 277 \) olarak veriliyor.
\( = 109969 + 10 \cdot 684 \)
\( = 109969 + 6840 \)
\( = 116809 \) bulunur.
\( 0 \lt a \lt 1 \)
\( 0 \lt b \lt 1 \) olmak üzere,
\( \dfrac{a}{b^2}, \sqrt{\dfrac{b}{a}}, ab, a^2b^3 \)
Yukarıdaki ifadelerden hangileri 1'den büyük olabilir?
Çözümü Göster\( \dfrac{a}{b^2} \) ifadesi \( a = 0,5 \) ve \( b = 0,5 \) için 1'den büyük olur.
\( \sqrt{\frac{b}{a}} \) ifadesi \( b \gt a \) olduğu durumda 1'den büyük olur.
Bir pozitif sayının \( (0, 1) \) aralığında bir sayı ile çarpımının sonucu sayının kendisinden küçük olacağı için \( ab \) ifadesi hiçbir zaman 1'den büyük olamaz.
Üstteki maddede belirtilen sebeple \( a^2b^3 \) ifadesi de hiçbir zaman 1'den büyük olamaz.