Temel İşlem Kuralları
Bu bölümde tüm matematiksel işlemlerin çözümünde kullanılabilecek bazı işlem kurallarından bahsedeceğiz. Bu örneklerdeki tüm değişkenler birer pozitif reel sayıdır (\( a, b, c \in \mathbb{R^+} \)).
İşlem Sembolleri
Çarpma işlemi "\( \times \)" ya da "\( \cdot \)" sembolü ile ya da sembolsüz ifade edilebilir. Aşağıdaki ifadelerin tümü çarpma işlemine karşılık gelir.
\( ab = (a)(b) = a \times b = a \cdot b \)
\( 2a = 2 \cdot a \)
\( 2(a + b) = 2 \cdot (a + b) \)
Bölme işlemi "\( \div \)" ya da "\( / \)" sembolü ile ya da kesirli şekilde ifade edilebilir. Aşağıdaki ifadelerin tümü bölme işlemine karşılık gelir.
\( a \div b = a / b = \dfrac{a}{b} \)
Pozitif ve Negatif İşaretleri
Parantez içindeki bir ifadenin önündeki (belirtilmiş ya da belirtilmemiş) pozitif işareti, parantez kaldırıldığında içerideki terimlerin işaretini değiştirmez.
\( +(a) = a \)
\( +(-a) = -a \)
\( +(a - b) = a - b \)
\( (-a + b - c) = -a + b - c \)
Parantez içindeki bir ifadenin önündeki negatif işareti, parantez kaldırıldığında içerideki tüm terimlerin işaretini ayrı ayrı tersine çevirir.
\( -(a) = -a \)
\( -(-a) = a \)
\( -(a + b) = -a - b \)
\( -(a - b) = -a + b = b - a \)
\( -(-a + b - c) = a - b + c \)
Artı (Toplama) ve Eksi (Çıkarma) İşaretleri
Pozitif işaretine benzer bir şekilde, parantez içindeki bir ifadenin önündeki artı (toplama) işareti, parantez kaldırıldığında içerideki terimlerin işaretini değiştirmez.
\( a + (-b) = a - b \)
\( a + (b + c) = a + b + c \)
\( a + (b - c) = a + b - c \)
Negatif işaretine benzer bir şekilde, parantez içindeki bir ifadenin önündeki eksi (çıkarma) işareti, parantez kaldırıldığında içerideki tüm terimlerin işaretini ayrı ayrı tersine çevirir.
\( a - (-b) = a + b \)
\( a - (b + c) = a - b - c \)
\( a - (b - c) = a - b + c \)
Pozitif/Negatif Sayılarla Çarpma
Pozitif ve negatif sayılar konusunda gördüğümüz gibi, çarpılan terimlerin her ikisi de pozitif ya da negatif ise sonuç pozitif, terimlerden biri pozitif diğeri negatif ise sonuç negatiftir.
\( a \cdot b = (-a) \cdot (-b) \)
\( a \cdot (-b) = (-a) \cdot b = -a \cdot b \)
\( 3 \cdot 2 = (-3) \cdot (-2) = 6 \)
\( 3 \cdot (-2) = (-3) \cdot 2 = -6 \)
Eğer çarpma işlemi ikiden fazla çarpandan oluşuyorsa, negatif çarpanların sayısı çift ise sonuç pozitif, tek ise sonuç negatiftir. Pozitif çarpanların sayısının sonucun işaretine etkisi yoktur.
Pozitif/Negatif Sayılarla Bölme
Pozitif ve negatif sayıların birbirine bölümünün pozitif/negatif olma durumları çarpmadaki ile aynıdır. Buna göre, bölünen terimlerin her ikisi de pozitif ya da negatif ise sonuç pozitif, terimlerden biri pozitif diğeri negatif ise sonuç negatiftir.
\( b \ne 0 \) olmak üzere,
\( a \div b = (-a) \div (-b) \)
\( a \div (-b) = (-a) \div b = -a \div b \)
\( 8 \div 2 = (-8) \div (-2) = 4 \)
\( 8 \div (-2) = (-8) \div 2 = -4 \)
Kesirlerle İşlemler
Kesirlerle işlemleri rasyonel sayılar konusunda detaylı inceleyecek olsak da, burada temel bazı işlemlerden bahsedeceğiz.
Çarpma ve bölmeye benzer şekilde, bir kesrin pay ve paydasının işaretlerinin ikisi de pozitif ya da negatif ise kesrin işareti pozitif, biri pozitif diğeri negatif ise kesrin işareti negatif olur.
\( b \ne 0 \) olmak üzere,
\( \dfrac{-a}{-b} = \dfrac{a}{b} \)
\( \dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} = -\dfrac{a}{b} \)
Paydadaki bir kesirli ifade, ters çevrilerek paya taşınabilir.
\( a \ne 0, \quad b \ne 0 \) olmak üzere,
\( \dfrac{1}{\frac{a}{b}} = \dfrac{b}{a} \)
\( \dfrac{c}{\frac{a}{b}} = \dfrac{c \cdot b}{a} \)
Kesirli bir ifade ile çarpılan diğer bir ifade, kesirli ifadenin payına taşınabilir (paydasına taşınamaz).
\( b \ne 0 \) olmak üzere,
\( \dfrac{a}{b} \cdot c = \dfrac{a \cdot c}{b} \)
\( (-17)^0 + 5 - (-4) - [2 - (4 + 7) \cdot 3] \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİlk olarak en içteki parantez içindeki işlemi yapalım.
\( (-17)^0 + 5 - (-4) - [2 - 11 \cdot 3] \)
\( = (-17)^0 + 5 - (-4) - [2 - 33] \)
\( = (-17)^0 + 5 - (-4) - (-31) \)
0 dışında tüm sayıların 0. kuvveti 1'dir.
\( = 1 + 5 - (-4) - (-31) \)
Bir sayıdan negatif bir sayıyı çıkarmakla o sayının pozitif işaretlisi ile toplamak aynı işlemlerdir.
\( = 1 + 5 + 4 + 31 \)
\( = 41 \) bulunur.
\( a = -7 \) ve \( b = 5 \) olduğuna göre,
\( b^{a+9} + b - a + ab \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( a \) ve \( b \) sayılarını ifadede yerlerine yazalım.
\( 5^{-7+9} + 5 - (-7) + (-7) \cdot 5 \)
\( 5^{-7+9} + 5 - (-7) - 35 \)
Bir sayıdan negatif bir sayıyı çıkarmakla o sayının pozitif işaretlisi ile toplamak aynı işlemlerdir.
\( = 5^2 + 5 + 7 - 35 \)
\( = 25 + 5 + 7 - 35 \)
\( = 2 \) bulunur.