Köklü İfadelerin Tanım Aralığı
Köklü ifadelerin reel sayılarda tanımlı oldukları aralıklar ifadenin derecesinin tek ya da çift olmasına göre farklılık gösterir.
Tek Dereceli Köklü İfadeler
Bir köklü ifadenin derecesi tek sayı ise köklü ifadenin içi pozitif, negatif ya da sıfır olabilir.
Pozitif Sayıların Kökü
Bir reel sayının tek sayıda kuvvetinin sonucu pozitif ise bu sayı sadece pozitif olabilir, dolayısıyla pozitif sayıların tek dereceli köklerinin sonucu tanımlı ve pozitiftir.
\( x^{\text{Tek}} = (+) \) ise \( x \) pozitiftir.
\( \sqrt[\text{Tek}]{(+)} = (+) \)
\( \sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4 \cdot 4 \cdot 4} = 4 \)
Negatif Sayıların Kökü
Bir reel sayının tek sayıda kuvvetinin sonucu negatif ise bu sayı sadece negatif olabilir, dolayısıyla negatif sayıların tek dereceli köklerinin sonucu tanımlı ve negatiftir.
\( x^{\text{Tek}} = (-) \) ise \( x \) negatiftir.
\( \sqrt[\text{Tek}]{(-)} = (-) \)
\( \sqrt[3]{-64} = \sqrt[3]{(-4)(-4)(-4)} = -4 \)
Çift Dereceli Köklü İfadeler
Bir köklü ifadenin derecesi çift sayı ise köklü ifadenin içi pozitif ya da sıfır olabilir, negatif olamaz.
Negatif Sayıların Kökü
Pozitif ve negatif reel sayıların çift sayıda kuvvetinin sonucu her zaman pozitiftir, dolayısıyla negatif sayıların çift dereceli kökleri reel sayılar kümesinde tanımlı değildir.
\( x^{\text{Çift}} = (-) \) ise \( x \)'in reel sayılar kümesinde çözümü yoktur.
\( \sqrt[\text{Çift}]{(-)} \Longrightarrow \) Reel sayılarda tanımsız
\( \sqrt{-4} \Longrightarrow \) Reel sayılarda tanımsız
Bunun bir sonucu olarak, çift dereceli köklü ifadelerin içini negatif yapan değişken değerleri denklemlerde çözüm kümesinin, fonksiyonlarda tanım kümesinin dışında tutulmalıdır.
Aşağıda her köklü ifade için o ifadeyi reel sayılarda tanımlı yapan en geniş \( x \) aralığı verilmiştir.
\( \sqrt{x} \) ifadesi için:
\( x \ge 0 \)
\( \sqrt{4 - x} \) ifadesi için:
\( 4 - x \ge 0 \)
\( x \le 4 \)
\( \sqrt{x^2 - 4x + 3} \) ifadesi için:
\( x^2 - 4x + 3 \ge 0 \)
\( x \in \mathbb{R} - (1, 3) \)
Pozitif Sayıların Kökü
Pozitif ve negatif reel sayıların çift sayıda kuvvetinin sonucu her zaman pozitiftir. Buradan pozitif bir sayının çift dereceli köklerinin sonucunun hem pozitif hem de negatif olabileceği sonucu çıkabilir, ancak tanım gereği pozitif bir sayının çift dereceli kökünün sonucu sadece pozitif olabilir.
\( \sqrt[\text{Çift}]{(+)} = (+) \)
\( \sqrt{9} = 3 \)
\( \sqrt{9} \ne -3 \)
Bunun bir sonucu olarak, değerinin pozitif mi negatif mi olduğu bilinmeyen bir değişkenin karesinin karekökü (ya da \( n \) çift olmak üzere \( n \). kuvvetinin \( n \). dereceden kökünü) alındığında sonuç \( x \) değil, \( \abs{x} \) olur. Mutlak değer konusunda göreceğimiz üzere, aşağıdaki birinci ifade mutlak değerin tanımlarından biridir.
\( \sqrt{x^2} = \abs{x} \)
\( \sqrt[2n]{x^{2n}} = \abs{x} \)
\( \sqrt{25} = \sqrt{5^2} = \abs{5} = +5 \)
\( \sqrt{25} = \sqrt{(-5)^2} = \abs{-5} = +5 \)
\( \sqrt[4]{(-3)^4} = \abs{-3} = +3 \)
Burada benzer iki ifade arasındaki ayrıma dikkat çekmemiz önem taşımaktadır. Aşağıdaki üslü eşitliğin çözüm kümesi 5 ve -5 olur, çünkü her iki değeri de \( x \) yerine koyduğumuzda eşitlik sağlanmaktadır.
\( x^2 = 25 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{ -5, 5 \} \)
Ancak aşağıdaki köklü eşitliğin çözüm kümesi mutlak değer işleminden dolayı sadece 5'tir.
\( x = \sqrt{25} = \sqrt{5^2} = \abs{5} \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{ 5 \} \)
Çözüm kümesi: \( x \notin \{ -5, 5 \} \)
\( a \lt 0 \lt b \) olmak üzere,
\( \sqrt{(b - a)^2} - \sqrt{(2a - b)^2} + \sqrt{b^2} - \sqrt{a^2} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü GösterBir tam kare ifadenin karekökü kökten mutlak değer içinde çıkar.
\( \abs{b - a} - \abs{2a - b} + \abs{b} - \abs{a} \)
\( a \) ve \( b \)'nin işaretine göre mutlak değer içindeki ifadeleri dışarıya olduğu gibi ya da negatif işaretli çıkaralım.
\( = (b - a) - (-(2a - b)) + b - (-a) \)
\( = b - a + 2a - b + b + a \)
\( = 2a + b \) bulunur.
\( x \lt 0 \lt y \) olmak üzere,
\( \sqrt{x^2 - 2xy + y^2} - \sqrt[3]{(-y)^3} - \sqrt[4]{x^4} \)
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterHer bir terimi sırayla kökten çıkaralım.
Birinci terimin derecesi çift sayı olduğu için \( x - y \) ifadesi kökten mutlak değer içinde çıkar.
\( \sqrt{x^2 - 2xy + y^2} = \sqrt{(x - y)^2} = \abs{x - y} \)
\( y \gt x \) olduğu için \( x - y \) ifadesi negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( = -(x - y) = y - x \)
İkinci terimin derecesi tek sayı olduğu için \( -y \) ifadesi kökten olduğu gibi çıkar.
\( \sqrt[3]{(-y)^3} = -y \)
Üçüncü terimin derecesi çift sayı olduğu için \( x \) ifadesi kökten mutlak değer içinde çıkar.
\( \sqrt[4]{x^4} = \abs{x} \)
\( x \lt 0 \) olduğu için \( x \) ifadesi negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( = -x \)
Bu değerleri yerine koyalım.
\( (y - x) - (-y) - (-x) = y - x + y + x \)
\( = 2y \) bulunur.
\(\ \sqrt{5 - x} + \sqrt{6 + x} + \sqrt{(x - 3)^2}\) ifadesinin bir reel sayı belirtmesi için \( x \)'in alabileceği tam sayı değerleri nelerdir?
Çözümü GösterBu ifadenin bir reel sayı belirtmesi için, \( x \) değişkeni ifadeyi tanımsız yapan bir değer almamalıdır. İfadede tanımsızlığa yol açabilecek tek durum köklü ifadelerin içlerinin sıfırdan küçük olma durumu olduğu için, üç köklü ifadenin de kök içi sıfırdan büyük olmalıdır.
İfade 1: \( \sqrt{5 - x} \)
\( 5 - x \ge 0 \)
\( x \le 5 \)
İfade 2: \( \sqrt{6 + x} \)
\( 6 + x \ge 0 \)
\( x \ge -6 \)
İfade 3: \( \sqrt{(x - 3)^2} \)
\( \sqrt{(x - 3)^2} = \abs{x - 3} \)
Mutlak değer ifadesini tanımsız yapan bir \( x \) değeri yoktur.
\( x \) için bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesi ifadeyi reel sayı yapan \( x \) değer aralığını verir.
\( x \in [-6, 5] \)
\( \sqrt{2 - \sqrt{3 - x}} \) ifadesinin reel sayılarda tanımlı olduğu en geniş aralık nedir?
Çözümü Gösterİfadenin tanımlı olduğu en geniş aralığı, reel sayılar kümesinden ifadeyi reel sayılarda tanımsız yapan \( x \) değerlerini çıkarak bulabiliriz.
İfadenin reel sayılarda tanımlı olması için, iki köklü ifadenin de içi sıfır ya da sıfırdan büyük olmalıdır.
İfade 1: \( \sqrt{3 - x} \)
\( 3 - x \ge 0 \)
\( x \le 3 \)
İfade 2: \( \sqrt{2 - \sqrt{3 - x}} \)
\( 2 - \sqrt{3 - x} \ge 0 \)
\( \sqrt{3 - x} \le 2 \)
\( 0 \le 3 - x \le 4 \)
\( -3 \le -x \le 1 \)
\( -1 \le x \le 3 \)
Bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesi, ifadeyi reel sayılarda tanımlı yapan en geniş \( x \) değer aralığını verir.
\( x \in [-1, 3] \)
\( \sqrt{2 - \sqrt{4 - \sqrt{6 - x}}} \) ifadesinin reel sayılarda tanımlı olduğu en geniş aralık nedir?
Çözümü Gösterİfadenin tanımlı olduğu en geniş aralığı, reel sayılar kümesinden ifadeyi reel sayılarda tanımsız yapan \( x \) değerlerini çıkarak bulabiliriz.
İfadenin reel sayılarda tanımlı olması için, üç köklü ifadenin de içi sıfır ya da sıfırdan büyük olmalıdır.
İfade 1: \( \sqrt{6 - x} \)
\( 6 - x \ge 0 \)
\( x \le 6 \)
İfade 2: \( \sqrt{4 - \sqrt{6 - x}} \)
\( 4 - \sqrt{6 - x} \ge 0 \)
\( \sqrt{6 - x} \le 4 \)
\( 0 \le 6 - x \le 16 \)
\( -6 \le -x \le 10 \)
\( -10 \le x \le 6 \)
İfade 3: \( \sqrt{2 - \sqrt{4 - \sqrt{6 - x}}} \)
\( 2 - \sqrt{4 - \sqrt{6 - x}} \ge 0 \)
\( \sqrt{4 - \sqrt{6 - x}} \le 2 \)
\( 0 \le 4 - \sqrt{6 - x} \le 4 \)
\( -4 \le -\sqrt{6 - x} \le 0 \)
\( 0 \le \sqrt{6 - x} \le 4 \)
\( 0 \le 6 - x \le 16 \)
\( -6 \le -x \le 10 \)
\( -10 \le x \le 6 \)
Bulduğumuz üç aralığın kesişim kümesi, ifadeyi reel sayılarda tanımlı yapan en geniş \( x \) değer aralığını verir.
\( x \in [-10, 6] \)