Köklü İfadelerin Sıralaması

Köklü ifadelerin katsayılarını kök içine alalım.

\( a = 3\sqrt{19} = \sqrt{9 \cdot 19} = \sqrt{171} \)

\( b = 10\sqrt{2} = \sqrt{100 \cdot 2} = \sqrt{200} \)

\( c = 6\sqrt{5} = \sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{180} \)

\( d = 5\sqrt{7} = \sqrt{25 \cdot 7} = \sqrt{175} \)

\( e = 8\sqrt{3} = \sqrt{64 \cdot 3} = \sqrt{192} \)

Kök içindeki sayı daha büyük olan sayı daha büyüktür.

Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( a \lt d \lt c \lt e \lt b \)

\( n \in \mathbb{N} \) olmak üzere,

\( 0 \lt x \lt y \) ise \( x^n \lt y^n \) olur.

Birinci ifadenin 12. kuvvetini alalım.

\( a^{12} = (\sqrt[3]{3})^{12} = (3^{\frac{1}{3}})^{12} \)

\( = 3^4 = 81 \)

İkinci ifadenin 12. kuvvetini alalım.

\( b^{12} = (\sqrt[4]{4})^{12} = (4^{\frac{1}{4}})^{12} \)

\( = 4^3 = 64 \)

Üçüncü ifadenin 12. kuvvetini alalım.

\( c^{12} = (\sqrt[6]{6})^{12} = (6^{\frac{1}{6}})^{12} \)

\( = 6^2 = 36 \)

Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( c \lt b \lt a \)

Köklü ifadelerin derecelerini mevcut derecelerin EKOK'unda eşitleyelim.

\( EKOK(4, 3, 6) = 24 \)

\( a = \sqrt[4]{x^5} = \sqrt[4 \cdot 6]{x^{5 \cdot 6}} = \sqrt[24]{x^{30}} \)

\( b = \sqrt[3]{x^4} = \sqrt[3 \cdot 8]{x^{4 \cdot 8}} = \sqrt[24]{x^{32}} \)

\( c = \sqrt[6]{x^7} = \sqrt[6 \cdot 4]{x^{7 \cdot 4}} = \sqrt[24]{x^{28}} \)

\( x \gt x^2 \) olduğuna göre \( x \) sayısı \( (0, 1) \) aralığındadır. Bu aralıkta \( x \)'in üssü büyüdükçe sayının değeri azalır.

Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( b \lt a \lt c \)

Tüm sayıların karesini alalım.

\( (\sqrt{0,4})^2 = 0,4 \)

\( (0,2)^2 = 0,04 \)

\( (0,04)^2 = 0,0016 \)

\( (0,8)^2 = 0,64 \)

\( (1,6)^2 = 2,56 \)

Buna göre \( \sqrt{0,4} \) sayısının en yakın olduğu sayı \( 0,8 \)'dir.

Dikkat edilirse üç ifadede de kök içindeki sayıların toplamı aynı ve 36'dır.

Üç ifadenin de karesini alalım.

\( a^2 = (\sqrt{29} + \sqrt{7})^2 \)

\( = (\sqrt{29})^2 + 2\sqrt{29}\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 \)

\( = 36 + 2\sqrt{203} \)

\( b^2 = (\sqrt{15} + \sqrt{21})^2 \)

\( = (\sqrt{15})^2 + 2\sqrt{15}\sqrt{21} + (\sqrt{21})^2 \)

\( = 36 + 2\sqrt{315} \)

\( c^2 = (\sqrt{30} + \sqrt{6})^2 \)

\( = (\sqrt{30})^2 + 2\sqrt{30}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 \)

\( = 36 + 2\sqrt{180} \)

Elde ettiğimiz sayıların tümü \( 36 + 2\sqrt{a} \) formunda olduğu için kök içindeki sayı daha büyük olan sayı daha büyüktür.

Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( c \lt a \lt b \)

Dikkat edilirse üç ifadede de kök içindeki sayıların toplamı aynı ve 16'dır.

Üç ifadenin de karesini alalım.

\( a^2 = 13 + 2\sqrt{13 \cdot 3} + 3 = 16 + 2\sqrt{39} \)

\( b^2 = 10 + 2\sqrt{10 \cdot 6} + 6 = 16 + 2\sqrt{60} \)

\( c^2 = 5 + 2\sqrt{5 \cdot 11} + 11 = 16 + 2\sqrt{55} \)

Elde ettiğimiz sayıların tümü \( 16 + 2\sqrt{a} \) formunda olduğu için kök içindeki sayı daha büyük olan sayı daha büyüktür.

Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( a \lt c \lt b \)

Her sayı için önce köklü ifadenin, sonra tüm ifadenin hangi tam sayı aralığında olduğunu bulalım.

I. ifade:

\( 2 \lt \sqrt{7} \lt 3 \)

\( -3 \lt -\sqrt{7} \lt -2 \)

\( 9 \lt 12 - \sqrt{7} \lt 10 \)

II. ifade:

\( 1 \lt \sqrt{2} \lt 2 \)

\( 7 \lt 6 + \sqrt{2} \lt 8 \)

III. ifade:

\( \sqrt{64} \lt \sqrt{67} \lt \sqrt{81} \)

\( 8 \lt \sqrt{67} \lt 9 \)

Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( b \lt c \lt a \)

3 sayıyı da \( \sqrt{3} \) parantezine alalım.

\( a = \sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{5}) \)

\( b = \sqrt{3}(\sqrt{11} - \sqrt{10}) \)

\( c = \sqrt{3}(\sqrt{8} - \sqrt{7}) \)

Köklü sayılar arasındaki çıkarma işleminde kök içindeki sayılar arasındaki fark sabit kalmak koşuluyla, kök içindeki sayı daha küçük olan ifade daha büyüktür.

Örnek: \( (\sqrt{3} - \sqrt{2} \approx 0,32) \lt (\sqrt{2} - 1 \approx 0,41) \)

\( \sqrt{11} - \sqrt{10} \lt \sqrt{8} - \sqrt{7} \lt \sqrt{6} - \sqrt{5} \)

Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( b \lt c \lt a \)

Köklü ifadelerin derecelerini eşitleyelim.

\( a = \sqrt[y]{5\sqrt[x]{\sqrt[z]{5}}} = \sqrt[yx]{5^x\sqrt[z]{5}} \) \( = \sqrt[yxz]{5^{xz} \cdot 5} \) \( = \sqrt[xyz]{5^{xz + 1}} \)

\( b = \sqrt[z]{5\sqrt[x]{\sqrt[y]{5}}} = \sqrt[zx]{5^x \sqrt[y]{5}} \) \( = \sqrt[zxy]{5^{xy} \cdot 5} \) \( = \sqrt[xyz]{5^{xy + 1}} \)

\( c = \sqrt[x]{5\sqrt[y]{\sqrt[z]{5}}} = \sqrt[xy]{5^y\sqrt[z]{5}} \) \( = \sqrt[xyz]{5^{yz} \cdot 5} \) \( = \sqrt[xyz]{5^{yz + 1}} \)

Köklü ifadelerin dereceleri eşit olduğu için kök içindeki sayı daha büyük olan ifade daha büyük olur.

\( z \lt y \lt x \) eşitsizliği veriliyor.

\( yz \lt xz \lt xy \)

\( yz + 1 \lt xz + 1 \lt xy + 1 \)

Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( c \lt a \lt b \)

İfadeleri düzenleyerek birbirine benzetelim.

\( a = 2\sqrt{5} - 2\sqrt{4} = 2(\sqrt{5} - \sqrt{4}) \)

\( b = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{3} = 2(\sqrt{4} - \sqrt{3}) \)

\( c = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} = 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \)

İfadelerin paylarını ve paydalarını parantez içindeki ifadenin eşleniği ile çarpalım.

\( a = \dfrac{2(\sqrt{5} - \sqrt{4})(\sqrt{5} + \sqrt{4})}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} \)

\( = \dfrac{2((\sqrt{5})^2 - (\sqrt{4})^2)}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} \)

\( = \dfrac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} \)

\( b = \dfrac{2(\sqrt{4} - \sqrt{3})(\sqrt{4} + \sqrt{3})}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} \)

\( = \dfrac{2((\sqrt{4})^2 - (\sqrt{3})^2)}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} \)

\( = \dfrac{2}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} \)

\( c = \dfrac{2(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \)

\( = \dfrac{2((\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2)}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \)

\( = \dfrac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \)

İfadelerin payları eşit olduğu için paydası daha büyük olan daha küçüktür.

\( \sqrt{3} + \sqrt{2} \lt \sqrt{4} + \sqrt{3} \lt \sqrt{5} + \sqrt{4} \)

Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( a \lt b \lt c \)

\( n \in \mathbb{N} \) olmak üzere,

\( 0 \lt x \lt y \) ise \( x^n \lt y^n \) olur.

Birinci ifadenin karesini alalım.

\( a^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{6})^2 \)

\( = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5 \cdot 6} + (\sqrt{6})^2 \)

\( = 11 + 2\sqrt{30}\)

İkinci ifadenin karesini alalım.

\( b^2 = (\sqrt{11})^2 = 11 \)

\( 11 \lt 11 + 2\sqrt{30} \)

Buna göre \( a \) daha büyüktür.

\( n \in \mathbb{N} \) olmak üzere,

\( 0 \lt x \lt y \) ise \( x^n \lt y^n \) olur.

Birinci ifadenin karesini alalım.

\( a^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 \)

\( = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5 \cdot 2} + (\sqrt{2})^2 \)

\( = 7 + 2\sqrt{10}\)

İkinci ifadenin karesini alalım.

\( b^2 = (\sqrt{8 + 2\sqrt{10}})^2 = 8 + 2\sqrt{10} \)

\( 7 + 2\sqrt{10} \lt 8 + 2\sqrt{10} \)

Buna göre \( b \) daha büyüktür.

Köklü ifadeleri üslü ifade şeklinde yazalım.

\( \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} \)

\( \sqrt[5]{5} = 5^{\frac{1}{5}} \)

\( \sqrt[10]{10} = 10^{\frac{1}{10}} \)

\( \sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}} \)

Tüm ifadelerin aynı pozitif tam sayı üssünü aldığımızda sayıların sıralaması değişmez.

Sayıların üslerinin paydasındaki sayıların EKOK'unu bulalım.

\( EKOK(2, 5, 10, 4) = 20 \)

Sayıların 20. üssünü alalım.

\( (2^{\frac{1}{2}})^{20} = 2^{10} = 1024 \)

\( (5^{\frac{1}{5}})^{20} = 5^4 = 625 \)

\( (10^{\frac{1}{10}})^{20} = 10^2 = 100 \)

\( (3^{\frac{1}{4}})^{20} = 3^5 = 243 \)

Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( 100 \lt 243 \lt 625 \lt 1024 \)

\( \sqrt[10]{10} \lt \sqrt[4]{3} \lt \sqrt[5]{5} \lt \sqrt{2} \)

Köklü ifadeleri üslü ifade şeklinde yazalım.

\( \dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \)

\( \dfrac{1}{x^2} \)

\( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^4}} = \dfrac{1}{x^{\frac{4}{3}}} \)

\( \dfrac{1}{x} \)

\( (0, 1) \) aralığındaki bir sayının üssü büyüdükçe sayı küçülür.

\( x^2 \lt x^{\frac{4}{3}} \lt x \lt x^{\frac{1}{2}} \)

Bu ifadelerin çarpmaya göre tersi alındığında sıralama tersine döner.

\( \dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \lt \dfrac{1}{x} \lt \dfrac{1}{x^{\frac{4}{3}}} \lt \dfrac{1}{x^2} \)

Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( \dfrac{1}{\sqrt{x}} \lt \dfrac{1}{x} \lt \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^4}} \lt \dfrac{1}{x^2} \)

\( a - b \) pozitif tam sayı olduğuna göre, \( a \gt b \) diyebiliriz.

\( 0 \lt b \lt a \)

Buna göre \( \frac{a}{b} \) ifadesi 1'den büyük, \( \frac{b}{a} \) ifadesi 1'den küçüktür.

1'den büyük bir ifadenin karesi karekökünden büyüktür.

\( 1 \lt \sqrt{\dfrac{a}{b}} \lt \dfrac{a^2}{b^2} \)

1'den küçük bir ifadenin karekökü kendisinden büyük, karesi kendisinden küçüktür.

\( 0 \lt \dfrac{b^2}{a^2} \lt \dfrac{b}{a} \lt \sqrt{\dfrac{b}{a}} \lt 1 \)

Buna göre verilen ifadelerin sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( \dfrac{b^2}{a^2} \lt \dfrac{b}{a} \lt \sqrt{\dfrac{b}{a}} \lt \sqrt{\dfrac{a}{b}} \lt \dfrac{a^2}{b^2} \)