Önceki bölümde orijinal denklemin çözüm kümesinde olmayan, uygulanan yöntemin ürettiği ve çözüm kümesine dahil edilmemesi gereken değerlerden bahsettik. Çözümün son adımında yapılacak bir sağlama ile bu geçersiz değerler çözüm kümesinden çıkartılabilir, dolayısıyla bu durumun giderilebilir bir problem olduğu söylenebilir.
Denklem çözümlerinde karşılaşılabilecek bir diğer durum ise çözüme dahil olması gereken, ama uygulanan yöntem sebebiyle işlem sırasında kaybolan değerlerdir. Bu duruma aşağıdaki gibi bir örnek verebiliriz.
\( x^2 - 2x = x - 2 \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Eşitliğin her iki tarafında ortak çarpanlar olduğunu görürsek sol tarafı çarpanlarına ayırmayı deneyebiliriz.
\( x(x - 2) = x - 2 \)
\( x - 2 \) çarpanlarını sadeleştirirsek çözümü \( x = 1 \) olarak buluruz.
\( x = 1 \)
\( x = 1 \) değerini ilk denklemde yerine koyduğumuzda eşitliği sağladığını görürüz.
\( 1^2 - 2(1) = 1 - 2 \)
\( -1 = -1 \)
Bu çözümdeki problem, \( x = 1 \) değerine ek olarak \( x = 2 \)'nin de denklemin bir çözümü olması ve kullandığımız yöntem sebebiyle bu çözümün işlem sırasında kaybolmuş olmasıdır. Nitekim denklemde \( x = 2 \) değerini yerine koyduğumuzda eşitliğin sağlandığını görebiliriz.
\( 2^2 - 2(2) = 2 - 2 \)
\( 0 = 0 \)
Önceki bölümde bir denklemin derecesini artıran işlemler sonucunda denkleme yeni (reel olmayan) çözümler eklenebileceğinden bahsetmiştik. Burada yaptığımız \( x - 2 \) sadeleştirmesi ile denklemin derecesini azaltmış olduk, bu da denklemi iki çözümü olabilecek ikinci dereceden bir denklemden, bir çözümü olabilecek birinci dereceden bir denkleme dönüştürmüş oldu.
Böyle bir durumla karşılaşmamak adına, eşitliğin her iki tarafını değişken içeren terimlere bölmek yerine, tüm terimleri bir tarafta toplayıp denklemi sıfıra eşitleyip denklemi çözmeye çalışmalıyız. Bu problemi şimdi de bu şekilde çözelim.
\( x^2 - 2x = x - 2 \)
Tüm terimleri tek tarafta toplayalım.
\( x^2 - 3x + 2 = 0 \)
\( (x - 1)(x - 2) = 0 \)
Bu yöntemle denklemin her iki çözümünü de bulmuş olduk.
Çözüm kümesi: \( x = \{ 1, 2 \} \)
Eğer bir denklemin iki tarafının bir değişken içeren bir ifadeye bölünmesi gerekiyorsa bu ifadeyi sıfır yapan değişken değerleri ek birer çözüm olarak not edilerek bu işlem yapılabilir. Bu değerlerin işlemin sonunda çözüm kümesine dahil edilmek üzere son sağlamaya dahil edilmesi gerekecektir.