Köklü İfade İşlem Kuralları

İfadeleri sadeleştirelim.

Pay ve paydalardaki ifadeleri $$ parantezine alalım.

$$ ifadeleri sadeleşir.

Paydaları eşitleyelim.

$$ bulunur.

Köklü ifadelerin içindeki tam kare çarpanları kök dışına çıkaralım.

Tüm kesirlerin paydalarını $$'de eşitleyelim.

Paydayı rasyonel yapmak için payı ve paydayı $$ ile çarpalım.

$$ bulunur.

Kök içindeki bölme işlemi aynı dereceden köklerin bölümü şeklinde yazılabilir.

Paydaları rasyonel hale getirelim.

$$ bulunur.

Dereceleri eşit olan köklü ifadelerin çarpımı/bölümü, kök içlerinin çarpımının/bölümünün aynı dereceden kökü şeklinde yazılabilir.

Pay ve paydadaki sayıları sadeleştirelim.

$$ bulunur.

Köklü ifadeleri üslü ifade biçiminde yazalım.

$$ bulunur.

Birinci ifadeyi en sade şekilde yazalım.

Üslü ifadeyi köklü ifadenin içine alalım.

Üslü ifadeyi köklü ifadenin içine alalım.

İç içe üç köklü ifadeyi tek kökte birleştirelim.

İkinci ifadeyi en sade şekilde yazalım.

En içteki üslü ifadeyi kökten kurtaralım.

En içteki üslü ifadeyi kökten kurtaralım.

Bulduğumuz değerleri istenen ifadede yerine koyalım.

$$ bulunur.

$$ ifadesinin yarısını $$ ifadesine bölelim.

$$ bulunur.

Soruda verilen ilişkiyi eşitlik olarak yazalım.

İki tarafın 12. kuvvetini alalım.

$$ bulunur.

İkinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.

İkinci ve üçüncü çarpanların dereceleri eşit olduğu için kök içlerini birleştirebiliriz.

İkinci çarpanın derecesini ve kök içinin üssünü 3'e bölelim.

İki çarpanın dereceleri eşit olduğu için kök içlerini birleştirebiliriz.

Kare farkı özdeşliğini kullanalım.

$$ bulunur.

Kök içindeki sayıları asal çarpanları cinsinden yazalım.

Birinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.

İki çarpanın dereceleri eşit olduğu için kök içlerini birleştirebiliriz.

$$ bulunur.

$$ ve $$ eşitliklerini birbiri ile çarpalım.

İki kare farkı özdeşliğini kullanalım.

$$ bulunur.

Küp farkı özdeşliği aşağıdaki gibidir.

$$ ifadesi ile $$ ifadesinin paydası küp farkı özdeşliğinin iki çarpanıdır.

$$ ifadesinin payını ve paydasını $$ ile çarpalım.

$$'yi yalnız bırakalım.

$$ bulunur.

İfadeyi düzenleyelim.

İkinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.

İki çarpanın dereceleri eşit olduğu için kök içlerini birleştirebiliriz.

İki kare farkı özdeşliğini kullanalım.

$$ bulunur.

İki çarpanı birbiri ile çarpabilmek için önce derecelerini eşitleyelim.

İkinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.

Derecelerini eşitlediğimiz köklü ifadeleri çarpalım.

İki kare farkı özdeşliğini kullanalım.

$$ bulunur.

Verilen işlemin sonucuna $$ diyelim.

Tarafların karesini alalım.

$$ bulunur.

Sorunun çözümü için önce payı düzenleyelim.

Küp farkı özdeşliği aşağıdaki gibidir.

Paydaki ifadeyi bir küp farkının açılımı şeklinde yazalım.

Şimdi paydayı düzenleyelim.

İlk iki çarpana kare farkı özdeşliğini uygulayalım.

İki çarpana tekrar kare farkı özdeşliğini uygulayalım.

Pay ve paydanın sadeleştirilmiş hallerini birbirine bölelim.

$$ bulunur.

Köklü ifadelerden kurtulmak için kök içlerini parantez karesi şeklinde yazalım.

$$ bulunur.

Sorudaki ifadeyi asal çarpanları cinsinden yazalım.

Köklü ifadeleri üslü ifade şeklinde yazalım.

Köklü ifadelerin yerlerine karşılıklarını yazalım.

Üslü ifadeleri köklü ifade şeklinde yazalım.

$$ bulunur.

Bu değerleri sonucu istenen ifadede yerine koyalım.

İkinci terimin payını ve paydasını paydanın eşleniği ile çarpalım.

$$ bulunur.

Önce paydayı düzenleyelim.

Köklü ifadeden kurtulmak için kök içini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.

Soruda verilen işlem aşağıdaki şekilde olur.

Paydaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

$$ bulunur.

$$'i tam kare şeklinde yazalım.

Bulduğumuz $$ değerini sorudaki ifadede yerine koyalım.

Kesirli ifadenin payını ve paydasını paydanın eşleniği ile çarpalım.

$$ bulunur.

İçteki köklü ifadeden kurtulmak için kök içini parantez karesi şeklinde yazalım.

Aynı işlemi tekrarlayalım.

$$ bulunur.

Paydadaki köklü ifadelerden kurtulmak için kök içlerini parantez karesi şeklinde yazalım.

Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.

Kesirlerin pay ve paydalarını paydaların eşlenikleri ile çarpalım.

$$ bulunur.

Paydadaki köklü ifadeden kurtulmak için payı ve paydayı paydanın eşleniği ile genişletelim.

Paydaki ilk çarpanı parantez karesi şeklinde yazalım.

Sorudaki ifadede yerine yazalım.

$$ bulunur.

Paydadaki köklü ifadeden kurtulmak için kök içini parantez karesi şeklinde yazalım.

Payı ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım.

$$ bulunur.

En içteki köklü ifadeden başlayarak köklerden kurtulmaya çalışalım.

$$ ifadesini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.

Bu değeri sorudaki ifadede yerine koyalım.

$$ ifadesini yine bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.

Bu değeri sorudaki ifadede yerine koyalım.

$$ bulunur.

İki tarafın küpünü alalım.

Buna göre küpünün 19 eksiği bir asal sayı olan en küçük $$ sayısını bulmalıyız. Farklı $$ sayıları için yukarıdaki ifadeyi hesaplayalım.

$$ Asal değil

$$ Asal değil

$$ Asal değil

$$ Asal

Buna göre $$'in alabileceği en küçük değer 197 olur.

Köklü ifadelerin içini düzenleyelim.

Köklü ifadeleri üslü ifadelere çevirelim.

Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.

Buna göre orantı sabiti $$ olacak şekilde aşağıdaki orantıyı yazabiliriz.

Bu değerleri soruda verilen eşitlikte yerine koyalım.

$$ bulunur.

Değeri istenen ifadeyi tam kareye tamamlamak için $$ yazalım.

$$'i yerine koyalım.

$$ bulunur.

Değeri istenen işlemin sonucuna $$ diyelim.

Aşağıdaki değişkenleri tanımlayalım.

Bu eşitliğin taraflarının küpünü alalım.

$$, $$ ve $$ ifadelerinin karşılıklarını yazalım.

Eşitliğin sol tarafına $$ ekleyip çıkaralım.

İfadeyi çarpanlarına ayıralım.

İkinci çarpanın deltası sıfırdan küçük olduğu için sadece birinci çarpandan reel çözüm gelir.

Verilen ifadenin sonucu 1 olarak bulunur.

İkinci köklü ifadeyi $$ ile çarpalım.

Paydaki köklü ifadeden kurtulmak için kök içini parantez karesi şeklinde yazalım.

Parantez içindeki köklü ifadeyi düzenleyelim.

İki kare farkı özdeşliğini kullanalım.

$$ bulunur.

Seçeneklerdeki ifadelerin tümü $$ şeklindedir. Buna göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.

İki tarafın karesini alalım.

Eşitliğin iki tarafında $$ ifadelerinin katsayıları için $$ eşitliğini sağlayan tüm $$ ve $$ pozitif tam sayı değerlerini yazalım.

$$ için:

Bu durumda cevap $$ olur.

$$ için:

Bu durumda cevap $$ olur.

$$ için:

Bu durumda cevap $$ olur.

$$ için:

Bu durumda cevap $$ olur.

Buna göre karekökü $$ şeklinde olamayacak olan ifade (d) seçeneğidir.