Bir Kümenin Tümleyeni
Bir kümeye dahil olmayıp evrensel kümeye dahil olan elemanlardan oluşan kümeye o kümenin tümleyeni denir. Bir \( A \) kümesinin tümleyen kümesi \( A' \) ya da \( A^c \) şeklinde gösterilir.
\( A' = \{ x \mid x \notin A \land x \in E \} \)
\( E = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \)
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \)
\( A' = \{ 6, 7 \} \)
Tümleyen İşlem Kuralları
Bir kümenin tümleyeninin tümleyeni kendisidir.
\( (A')' = A \)
Tam sayılar evrensel kümesinde tek sayılar kümesinin tümleyeni çift sayılar kümesidir, çift sayılar kümesinin tümleyeni de yine tek sayılar kümesidir.
Evrensel kümenin tümleyeni boş kümedir. Boş kümenin tümleyeni evrensel kümedir.
\( E' = \emptyset \)
\( \emptyset' = E \)
Bir kümenin tümleyeni ile kesişimi boş kümedir. Bir kümenin tümleyeni ile birleşimi evrensel kümedir.
\( A \cap A' = \emptyset \)
\( A \cup A' = E \)
\( s(A) + s(A') = s(E) \)
Reel sayılar evrensel kümesinde (\( \mathbb{R} \)) rasyonel sayılar kümesinin (\( \mathbb{Q} \)) tümleyeni irrasyonel sayılar kümesidir (\( \mathbb{Q'} \)) .
Rasyonel ve irrasyonel sayılar kümelerinin kesişimi boş küme, birleşimi evrensel kümedir.
\( \mathbb{Q} \cap \mathbb{Q'} = \emptyset \)
\( \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q'} = \mathbb{R} \)
Bir küme diğer bir kümenin alt kümesiyse bu iki kümenin tümleyenleri arasındaki alt küme ilişkisi tersine döner.
\( A \subseteq B \iff B' \subseteq A' \)
\( A \subset B \iff B' \subset A' \)
\( E = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 \} \)
\( A = \{ 1, 2, 3, 4 \} \)
\( B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \)
\( A \subseteq B \)
İki kümenin tümleyenlerini bulalım.
\( A' = \{ 5, 6, 7, 8, 9, 0 \} \)
\( B' = \{ 8, 9, 0 \} \)
\( B' \subseteq A' \)
İSPATI GÖSTER
Bir çift yönlü koşullu önerme, her iki önermeden diğerine tek yönlü önermeler ayrı ayrı doğru olduğunda doğru olur.
İspat 1:
\( A \subseteq B \Longrightarrow B' \subseteq A' \) olduğunu gösterelim.
\( A \subseteq B \) olduğunu kabul edelim.
Herhangi bir \( x \in B' \) elemanı seçelim.
\( x \) elemanı \( B \) kümesinin tümleyeninin elemanı ise \( B \) kümesinin elemanı değildir.
\( x \notin B \)
\( A \subseteq B \) tanımına göre, \( A \) kümesinin her elemanı \( B \) kümesinin de elemanıdır.
Buna göre \( x \) elemanı \( A \) kümesinin elemanı olamaz, aksi takdirde \( B \) kümesinin de elemanı olması gerekir.
\( x \notin A \)
\( x \) elemanı \( A \) kümesinin elemanı değilse \( A \) kümesinin tümleyeninin elemanıdır.
\( x \in A' \)
\( A \subseteq B \) kabülünden yola çıkarak, herhangi bir \( x \in B' \) için \( x \in A' \) olduğunu, dolayısıyla \( B' \subseteq A' \) olduğunu göstermiş olduk.
İspat 2:
\( B' \subseteq A' \Longrightarrow A \subseteq B \) olduğunu gösterelim.
\( B' \subseteq A' \) olduğunu kabul edelim.
Herhangi bir \( x \in A \) elemanı seçelim.
Bir çelişki olarak, \( x \) elemanının \( B \) kümesinin elemanı olmadığını varsayalım.
\( x \notin B \)
\( x \) elemanı \( B \) kümesinin elemanı değilse \( B \) kümesinin tümleyeninin elemanıdır.
\( x \in B' \)
\( B' \subseteq A' \) kabülüne göre, \( x \in A' \) olur.
\( x \in A \) seçimimizle çelişen bir sonuç elde ettik, buna göre \( x \notin B \) yanlış ve \( x \in B \) doğru olmalıdır.
\( B' \subseteq A' \) kabülünden yola çıkarak \( A \subseteq B \) olduğunu göstermiş olduk.
\( A \) ve \( B \) kümeleri \( E \) evrensel kümesinin alt kümeleridir.
\( s(B') + s(A) = 23 \)
\( s(A') + s(B) = 49 \)
olduğuna göre, \( s(E) \) kaçtır?
Çözümü GösterSoruda verilen iki eşitliği taraf tarafa toplayalım.
\( s(B') + s(A) + s(A') + s(B) = 23 + 49 \)
\( (s(A) + s(A')) + (s(B) + s(B')) = 72 \)
Bir küme ile tümleyeni ayrık kümelerdir ve eleman sayılarının toplamı evrensel kümenin eleman sayısına eşittir.
\( s(E) + s(E) = 72 \)
\( s(E) = 36 \) bulunur.
\( A \) kümesi 18 elemanlı \( E \) evrensel kümesinin bir alt kümesidir.
\( s(A') = 3s(A) - 2 \) olduğuna göre, \( s(A) \) kaçtır?
Çözümü GösterBir kümenin tümleyeni ile birleşimi evrensel kümedir.
\( s(A) + s(A') = s(E) \)
\( s(A) + 3s(A) - 2 = 18 \)
\( s(A) = 5 \) bulunur.
\( A, B, C \) kümeleri \( E \) evrensel kümesinin alt kümeleridir.
\( s(A) + s(C') = 13 \)
\( s(B) + s(A') = 15 \)
\( s(C) + s(B') = 17 \)
olduğuna göre, \( s(E) \) kaçtır?
Çözümü GösterVerilen 3 eşitliği taraf tarafa toplayalım.
\( s(A) + s(A') + s(B) + s(B') + s(C) + s(C') = 45 \)
Bir kümenin ve tümleyeninin eleman sayıları toplamı evrensel kümenin eleman sayısına eşittir.
\( s(E) + s(E) + s(E) = 45 \)
\( s(E) = 15 \) bulunur.
\( A \) ve \( B \) aynı evrensel kümenin iki alt kümesidir.
\( s(A') = 7 \) ve \( s(B') = 11 \) olduğuna göre, \( s(A) - s(B) \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( A \), \( B \) ve evrensel kümeleri Venn şeması şeklinde çizelim ve her bölgenin eleman sayısına birer değişken atayalım.
\( s(A') = c + d = 7 \)
\( s(B') = a + d = 11 \)
İkinci eşitlikten birinciyi taraf tarafa çıkaralım.
\( (a + d) - (c + d) = 11 - 7 \)
\( a - c = 4 \)
\( s(A) = a + b \)
\( s(B) = b + c \)
Birinci eşitlikten ikinciyi taraf tarafa çıkaralım.
\( s(A) - s(B) = (a + b) - (b + c) \)
\( a - c = 4 \) bulunur.
\( A \subset B \) olmak üzere,
\( s(A') = 12, \quad s(B') = 10, \quad s(A \cup B) = 9 \)
olduğuna göre, \( s(A) + s(B) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) ve \( B \) kümelerini bir Venn şemasında gösterelim ve farklı bölgelerin eleman sayılarını birer değişken olarak işaretleyelim.
\( s(A') = y + z = 12 \)
\( s(B') = z = 10 \)
\( y = 2 \)
\( s(A \cup B) = x + y = 9 \)
\( x = 7 \)
\( s(A) + s(B) \) toplamını bulalım.
\( s(A) + s(B) = x + (x + y) \)
\( = 2x + y \)
\( = 2 \cdot 7 + 2 \)
\( = 16 \) bulunur.
\( A \) ve \( B \) aynı evrensel kümede tanımlı iki kümedir.
\( s(A') = 10 \)
\( s(B') = 15 \)
olduğuna göre , \( s(A) - s(B) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) ve \( B \) kümelerini bir Venn şemasında gösterelim ve farklı bölgelerin eleman sayılarını birer değişken olarak işaretleyelim.
\( s(A') = z + t = 10 \)
\( s(B') = x + t = 15 \)
İkinci denklemin taraflarından birinci denklemi çıkaralım.
\( (x + t) - (z + t) = 15 - 10 \)
\( x - z = 5 \)
\( s(A) = x + y \)
\( s(B) = y + z \)
\( s(A) - s(B) = (x + y) - (y + z) \)
\( = x - z = 5 \) bulunur.
Yukarıdaki şekle göre, aşağıdaki elemanlardan oluşan kümeleri \( A \) ve \( B \) kümeleri cinsinden ifade ediniz.
(a) \( \{ h \} \)
(b) \( \{ a, b, h \} \)
(c) \( \{ a, b \} \)
(d) \( \{ a, b, c, e, h \} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( (A \cup B)' = \{ h \} \)
(b) seçeneği:
\( B' = \{ a, b, h \} \)
(c) seçeneği:
\( B' \cap A = \{ a, b \} \)
(d) seçeneği:
\( B' \cup (A \cap B) = (B - A)' = \{ a, b, c, e, h \} \)
\( P \subset Q \) olduğuna göre,
\( (P \cap Q') \cup [P \cup (P' \cap Q)]' \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster\( Q \) kümesi \( P \) kümesini kapsayacak şekilde bir Venn şeması çizelim.
Venn şemasını kullanarak işlemleri sadeleştirelim.
\( (P \cap Q') \cup [P \cup (P' \cap Q)]' \)
\( Q \) kümesi \( P \) kümesini kapsadığı için, \( Q \) kümesinin tümleyeni ile \( P \) kümesinin kesişimi boş kümedir.
\( = \emptyset \cup [P \cup (P' \cap Q)]' \)
\( P \) kümesinin tümleyeni ile \( Q \) kümesinin kesişimi, \( Q \) kümesinin \( P \) kümesinden farkına eşittir.
\( = \emptyset \cup [P \cup (Q - P)]' \)
\( Q \) kümesinin \( P \) kümesinden farkı ile \( P \) kümesinin birleşimi \( Q \) kümesine eşittir.
\( = \emptyset \cup [Q]' \)
\( = Q' \) bulunur.