Kuvvet Kümesi
Bir \( A \) kümesinin kendisi ve boş küme dahil tüm alt kümelerini içeren kümeye kuvvet kümesi denir ve \( P(A) \) ya da \( \mathcal{P}(A) \) şeklinde gösterilir.
\( P(A) = \{X \mid X \subseteq A\} \)
\( A = \{1\} \)
\( P(A) = \{\emptyset, \{1\}\} \)
\( B = \{x, y\} \)
\( P(B) = \{\emptyset, \{x\}, \{y\}, \{x, y\}\} \)
\( C = \{a, b, c\} \)
\( P(C) = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \) \( \{a, c\}, \{b, c\}, \) \( \{a, b, c\}\} \)
Dikkat edilirse; \( P(A) \) kümesinin elemanları \( A \) kümesinin elemanları değil, \( A \) kümesinin alt kümeleridir. Buna göre, bir küme \( A \) kümesinin alt kümesi ise \( A \) kümesinin kuvvet kümesinin elemanıdır.
\( X \subseteq A \Leftrightarrow X \in P(A) \)
Yukarıdaki örnekteki \( C \) kümesi için:
\( \{a, b\} \subseteq C \)
\( \{a, b\} \in P(C) \)
\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) olduğu için kuvvet kümesi de \( 2^n \) elemanlıdır.
\( s(A) = n \) ise,
\( s(P(A)) = 2^n \)
\( A = \{a, b, c\} \) ise,
\( s(A) = 3 \)
\( s(P(A)) = 2^3 = 8 \)
İki kümenin kesişiminin kuvvet kümesi, kümelerin kuvvet kümelerinin kesişimine eşittir.
\( P(A \cap B) = P(A) \cap P(B) \)
\( A = \{ x, a \} \)
\( B = \{ x, b \} \)
\( A \cap B = \{ x \} \)
\( P(A) = \{ \emptyset, \{x\}, \{a\}, \{x, a\} \} \)
\( P(B) = \{ \emptyset, \{x\}, \{b\}, \{x, b\} \} \)
\( P(A \cap B) = \{ \emptyset, \{x\} \} \)
\( P(A) \cap P(B) = \{ \emptyset, \{x\} \} \)
\( P(A \cap B) = P(A) \cap P(B) \)
İSPATI GÖSTER
\( A \) ve \( B \) olmak üzere iki küme tanımlayalım.
\( X \) iki kümenin kesişiminin kuvvet kümesinin bir elemanı olsun.
\( X \in P(A \cap B) \)
Kuvvet kümesi tanımına göre, \( X \) kesişim kümesinin bir alt kümesi olur.
\( \Leftrightarrow X \subseteq A \cap B \)
Kesişim kümesi tanımına göre, bir küme iki kümenin kesişiminin alt kümesi ise iki kümenin ayrı ayrı alt kümesidir.
\( \Leftrightarrow X \subseteq A \land X \subseteq B \)
Kuvvet kümesi tanımına göre, bir küme bir diğer kümenin alt kümesi ise kuvvet kümesinin elemanı olur.
\( \Leftrightarrow X \in P(A) \land X \in P(B) \)
Kesişim kümesi tanımına göre, bir küme iki kümenin ayrı ayrı alt kümesi ise kesişimlerinin de alt kümesidir.
\( \Leftrightarrow X \in P(A) \cap P(B) \)
Buna göre aşağıdaki iki küme eşittir.
\( P(A \cap B) = P(A) \cap P(B) \)
İki kümenin kuvvet kümelerinin birleşimi, kümelerin birleşiminin kuvvet kümesinin alt kümesidir. Bu ilişki ters yönlü olarak her zaman doğru olmadığı için iki küme birbirine eşit değildir.
\( P(A) \cup P(B) \subseteq P(A \cup B) \)
İSPATI GÖSTER
\( A \) ve \( B \) olmak üzere iki küme tanımlayalım.
\( X \) iki kümenin kuvvet kümelerinin birleşiminin bir alt kümesi olsun.
\( X \in P(A) \cup P(B) \)
Birleşim kümesi tanımına göre, bir küme iki kümenin birleşim kümesinin elemanı ise birinci kümenin veya ikinci kümenin elemanıdır.
\( X \in P(A) \lor X \in P(B) \)
Kuvvet kümesi tanımına göre, bir küme bir kümenin kuvvet kümesinin elemanı ise o kümenin alt kümesi olur.
\( X \subseteq A \lor X \subseteq B \)
Birleşim kümesi tanımına göre, bir küme iki kümenin ayrı ayrı alt kümesi ise kümelerin birleşim kümesinin kuvvet kümesinin elemanıdır.
\( X \subseteq A \cup B \)
Kuvvet kümesi tanımına göre, bir küme bir kümenin alt kümesi ise o kümenin kuvvet kümesinin elemanı olur.
\( X \in P(A \cup B) \)
\( A = \{ a \} \)
\( B = \{ b \} \)
\( A \cup B = \{ a, b \} \)
\( P(A) = \{ \emptyset, \{a\} \} \)
\( P(B) = \{ \emptyset, \{b\} \} \)
\( P(A \cup B) = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\} \} \)
\( P(A) \cup P(B) = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\} \} \)
\( P(A) \cup P(B) \subseteq P(A \cup B) \)
\( A = \{a\} \) olmak üzere,
\( P(A) \) ve \( P(P(A)) \) kümelerini bulunuz.
Çözümü GösterSoruda \( A \) kümesinin kuvvet kümesi ve kuvvet kümesinin kuvvet kümesi istenmektedir.
Önce \( A \) kümesinin kuvvet kümesi olan \( P(A) \) kümesini bulalım.
\( A \) kümesi \( 1 \) elemanlıdır, dolayısıyla \( P(A) \) kuvvet kümesi \( 2^1 = 2 \) elemanlıdır.
\( P(A) = \{\emptyset, \{a\}\} \)
Şimdi \( P(A) \) kümesinin kuvvet kümesi olan \( P(P(A)) \) kümesini bulalım.
\( P(A) \) kümesi \( 2 \) elemanlıdır, dolayısıyla \( P(P(A)) \) kuvvet kümesi \( 2^2 = 4 \) elemanlıdır.
\( P(P(A)) = \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{a\}\}, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
\( P(P(A)) \) kümesinin elemanlarını okuma kolaylığı açısından satır satır listeleyelim.
Boş küme:
\( \emptyset \)
1 elemanlı alt kümeler:
\( \{\emptyset\} \)
\( \{\{a\}\} \)
2 elemanlı alt küme:
\( \{\emptyset, \{a\}\} \)
\( A = \{\text{21560'ın asal çarpanları}\} \)
\( B = \{\text{30 sayısının pozitif bölenleri}\} \)
\( C = \{\text{"DERSPRESSO" kelimesindeki harfler}\} \)
Yukarıdaki kümelerin kuvvet kümelerinin eleman sayılarını bulunuz.
Çözümü Göster\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) olduğu için kuvvet kümesi de \( 2^n \) elemanlıdır.
\( A \) kümesinin kuvvet kümesinin eleman sayısını bulalım.
\( 21560 = 2^3 \cdot 5 \cdot 7^2 \cdot 11 \)
\( A = \{ 2, 5, 7, 11 \} \)
\( s(A) = 4 \)
\( s(P(A)) = 2^4 = 16 \)
\( B \) kümesinin kuvvet kümesinin eleman sayısını bulalım.
\( 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \)
\( B = \{ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \} \)
\( s(B) = 8 \)
\( s(P(B)) = 2^8 = 256 \)
\( C \) kümesinin kuvvet kümesinin eleman sayısını bulalım.
\( C = \{ D, E, R, S, P, O \} \)
\( s(C) = 6 \)
\( s(P(C)) = 2^6 = 64 \)
Aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( P(\{2, 3\}) = \{\emptyset, \{2\}, \{3\}, \{2, 3\}\} \)
II. \( P(\emptyset) = \emptyset \)
III. \( P(2) = \{ \emptyset, \{2\} \} \)
IV. \( P(\{\emptyset\}) = \{\emptyset,\{\emptyset\}\} \)
Çözümü GösterI. öncül:
İki elemanlı \( \{2, 3\} \) kümesinin kuvvet kümesi \( 2^2 = 4 \) elemanlıdır.
Verilen kuvvet kümesi \( \{2, 3\} \) kümesinin tüm alt kümelerini doğru şekilde listelemektedir.
I. öncül doğrudur.
II. öncül:
Boş kümenin kuvvet kümesi \( 2^0 = 1 \) elemanlıdır ve tek elemanı boş kümedir.
\( P(\emptyset) = \{ \emptyset \} \) olmalıdır.
II. öncül yanlıştır.
III. öncül:
\( P(2) \) ifadesinde parantez içindeki 2 bir küme değil bir sayıdır ve bir sayının alt kümelerinden bahsedilemez.
III. öncül yanlıştır.
IV. öncül:
Tek elemanlı \( \{ \emptyset \} \) kümesinin kuvvet kümesi \( 2^1 = 2 \) elemanlıdır.
Verilen kuvvet kümesi \( \{ \emptyset \} \) kümesinin tüm alt kümelerini doğru şekilde listelemektedir.
IV. öncül doğrudur.
Buna göre I. ve IV. öncüller doğrudur.
\( A = \{a, b, c\} \)
\( B = \{1, 2\} \)
\( A \) ve \( B \) kümelerinin kuvvet kümeleri sırasıyla \( P(A) \) ve \( P(B) \) olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( s(P(A)) = 8 \)
II. \( s(P(B)) = 4 \)
III. \( s(P(A) \times P(B)) = 6 \)
IV. \( s(P(A \times B)) = 32 \)
Çözümü Göster\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) olduğu için kuvvet kümesi de \( 2^n \) elemanlıdır.
I. öncül:
\( s(A) = 3 \)
\( s(P(A)) = 2^3 = 8 \)
I. öncül doğrudur.
II. öncül:
\( s(B) = 2 \)
\( s(P(B)) = 2^2 = 4 \)
II. öncül doğrudur.
III. öncül:
İki kümenin kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
\( s(P(A) \times P(B)) = s(P(A)) \cdot s(P(B)) \)
\( = 8 \cdot 4 = 32 \)
III. öncül yanlıştır.
IV. öncül:
İki kümenin kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
\( s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) \)
\( = 3 \cdot 2 = 6 \)
\( s(P(A \times B)) = 2^{s(A \times B)} = 2^6 = 64 \)
IV. öncül yanlıştır.
Buna göre sadece I. ve II. öncüller doğrudur.
Kuvvet kümesinin alt küme sayısı \( 4^8 \) olan kümenin öz alt küme sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) olduğu için kuvvet kümesi de \( 2^n \) elemanlıdır. \( 2^n \) elemanlı böyle bir kuvvet kümesinin alt küme sayısı \( 2^{(2^n)} \) olur.
\( 2^{(2^n)} = 4^8 = 2^{16} \)
\( 2^n = 16 \)
\( n = 4 \)
Eleman sayısı 4 olan bu kümenin öz alt küme sayısı \( 2^4 - 1 = 15 \) olur.
\( A = \{\{1\}, 2, \{3, 4\}\} \)
\( B = \{3, 4\} \)
\( A \) ve \( B \) kümelerinin kuvvet kümeleri sırasıyla \( P(A) \) ve \( P(B) \) olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( \{1\} \in P(A) \)
II. \( \{\{3, 4\}\} \in P(B) \)
III. \( \{2, \{3, 4\}\} \in P(A) \)
IV. \( (\{\{1\}\}, \{\emptyset\}) \in P(A) \times P(B) \)
Çözümü GösterÖncelikle \( P(A) \) ve \( P(B) \) kümelerini yazalım.
\( P(A) = \{\emptyset, \{\{1\}\}, \{2\}, \{\{3, 4\}\}, \{\{1\}, 2\}, \{\{1\}, \{3, 4\}\}, \{2, \{3, 4\}\}, \{\{1\}, 2, \{3, 4\}\}\} \)
\( P(B) = \{\emptyset, \{3\}, \{4\}, \{3, 4\}\} \)
Yukarıda yazdığımız kümelere göre öncüllerin doğruluğunu kontrol edelim.
\( \{1\} \in A \) ve \( \{\{1\}\} \in P(A) \) olduğundan I. öncül yanlıştır.
\( 3, 4 \in B \) ve \( \{3, 4\} \in P(B) \) olduğundan II. öncül yanlıştır.
\( 2, \{3, 4\} \in A \) olduğundan III. öncül doğrudur.
\( (a, b) \in P(A) \times P(B) \) olabilmesi için \( a \in P(A) \) ve \( b \in P(B) \) olmalıdır.
\( \{\{1\}\} \in P(A) \), ancak \( \{\emptyset\} \not\in P(B) \) olduğu için IV. öncül yanlıştır. Sıralı ikilinin ikinci bileşeni \( \emptyset \in P(B) \) olsaydı bu öncül doğru olurdu.
Buna göre sadece III. öncül doğrudur.
\( A = \{a\} \) olmak üzere,
\( P(P(P(A))) \) kümesini bulunuz.
Çözümü GösterSoruda \( A \) kümesinin kuvvet kümesinin kuvvet kümesinin kuvvet kümesi istenmektedir.
Önceki soruda \( A \) kümesinin kuvvet kümesinin kuvvet kümesini aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( P(P(A)) = \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{a\}\}, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
\( P(P(A)) \) kümesinin kuvvet kümesi olan \( P(P(P(A))) \) kümesini bulalım.
\( P(P(P(A))) \) kümesi \( 2^4 = 16 \) elemanlıdır.
\( P(P(P(A))) \) kümesinin elemanlarını okuma kolaylığı açısından satır satır listeleyelim.
Boş küme:
\( \emptyset \)
1 elemanlı alt kümeler:
\( \{\emptyset\} \)
\( \{\{\emptyset\}\} \)
\( \{\{\{a\}\}\} \)
\( \{\{\emptyset, \{a\}\}\} \)
2 elemanlı alt kümeler:
\( \{\emptyset, \{\emptyset\}\} \)
\( \{\emptyset, \{\{a\}\}\} \)
\( \{\emptyset, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
\( \{\{\emptyset\}, \{\{a\}\}\} \)
\( \{\{\emptyset\}, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
\( \{\{\{a\}\}, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
3 elemanlı alt kümeler:
\( \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{a\}\}\} \)
\( \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
\( \{\emptyset, \{\{a\}\}, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
\( \{\{\emptyset\}, \{\{a\}\}, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
4 elemanlı alt küme:
\( \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{a\}\}, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
\( X = \{1, 2, 3, 4\} \)
\( Y = \{5, 6, 7\} \)
\( X \) ve \( Y \) kümelerinin kuvvet kümeleri sırasıyla \( P(X) \) ve \( P(Y) \) olmak üzere,
(a) \( P(X) \)'ten \( P(Y) \)'ye kaç farklı bağıntı tanımlanabilir?
(b) \( P(X) \)'ten \( P(Y) \)'ye kaç farklı fonksiyon tanımlanabilir?
Çözümü Göster\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) olduğu için kuvvet kümesi de \( 2^n \) elemanlıdır.
\( s(X) = 4, \quad s(P(X)) = 2^4 = 16 \)
\( s(Y) = 3, \quad s(P(Y)) = 2^3 = 8 \)
(a) seçeneği:
\( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlanabilecek bağıntı sayısı, \( A \times B \) kartezyen çarpım kümesinin alt küme sayısına eşittir.
\( A \)'dan \( B \)'ye bağıntı sayısı \( = 2^{s(A \times B)} = 2^{s(A) \cdot s(B)} \)
\( s(P(X) \times P(Y)) = 16 \cdot 8 = 128 \)
128 elemanlı \( P(X) \times P(Y) \) kartezyen çarpım kümesinin her bir alt kümesi bir bağıntıdır.
\( P(X) \to P(Y) \) bağıntı sayısı \( = 2^{128} \)
(b) seçeneği:
\( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlanabilecek fonksiyon sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( s(A) = n, \quad s(B) = k \) olmak üzere,
\( A \)'dan \( B \)'ye fonksiyon sayısı \( = k^n \)
\( P(X) \to P(Y) \) fonksiyon sayısı \( = 8^{16} \)
\( s(A) = m \) ve \( s(B) = n \) olduğuna göre, aşağıdaki kümelerin eleman sayılarını bulunuz.
(a) \( P(P(P(\emptyset))) \)
(b) \( P(P(A)) \)
(c) \( P(A \times B) \)
(d) \( P(P(A) \times P(B)) \)
(e) \( P(A \times P(B)) \)
(f) \( P(P(A) \times \emptyset) \)
Çözümü Göster\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) olduğu için kuvvet kümesi de \( 2^n \) elemanlıdır.
İki kümenin kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı iki kümenin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
(a) seçeneği:
\( P(P(P(\emptyset))) \)
\( s(\emptyset) = 0 \)
\( s(P(\emptyset)) = 2^0 = 1 \)
\( s(P(P(\emptyset))) = 2^1 = 2 \)
\( s(P(P(P(\emptyset)))) = 2^2 = 4 \)
(b) seçeneği:
\( P(P(A)) \)
\( s(A) = m \)
\( s(P(A)) = 2^{s(A)} = 2^m \)
\( s(P(P(A))) = 2^{(2^m)} \)
(c) seçeneği:
\( P(A \times B) \)
\( s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = m \cdot n \)
\( s(P(A \times B)) = 2^{m \cdot n} \)
\( s(P(P(A \times B))) = 2^{(2^{m \cdot n})} \)
(d) seçeneği:
\( P(P(A) \times P(B)) \)
\( s(P(A)) = 2^{s(A)} = 2^m \)
\( s(P(B)) = 2^{s(B)} = 2^n \)
\( s(P(A) \times P(B)) = s(P(A)) \cdot s(P(B)) \)
\( = 2^m \cdot 2^n = 2^{m+n} \)
\( s(P(P(A) \times P(B))) = 2^{(2^{m+n})} \)
(e) seçeneği:
\( P(A \times P(B)) \)
\( s(A \times P(B)) = s(A) \cdot s(P(B)) \)
\( = m \cdot 2^{s(P(B))} = m \cdot 2^n \)
\( s(P(A \times P(B))) = 2^{m \cdot 2^n} \)
(f) seçeneği:
\( P(P(A) \times \emptyset) \)
\( s(P(A) \times \emptyset) = s(P(A)) \cdot s(\emptyset) \)
\( = 2^{s(P(A))} \cdot 0 = 2^m \cdot 0 = 0 \)
\( s(P(P(A) \times \emptyset)) = 2^0 = 1 \)