Alt Küme
Bir \( B \) kümesinin her elemanı \( A \) kümesinin de elemanı ise \( B \) kümesi \( A \) kümesinin bir alt kümesidir. Bu durumda iki küme arasındaki alt küme ilişkisi "\( \subseteq \)" sembolü kullanılarak \( B \subseteq A \) şeklinde gösterilir.
Her \( x \) için, \( x \in B \Longrightarrow x \in A \) ise,
\( B \) kümesi \( A \) kümesinin bir alt kümesidir.
\( B \subseteq A \)
\( A = \{ a, b, c, d, e \} \)
\( B = \{ b, d \} \)
\( B \) kümesinin her elemanı \( A \) kümesinin de elemanı olduğu için \( B \) kümesi \( A \) kümesinin bir alt kümesidir.
\( B \) kümesi \( A \) kümesinin bir alt kümesi ise \( A \) kümesinin \( B \) kümesinin elemanları dışında başka elemanları da olabilir ya da iki küme eşit kümeler olabilir. Alt küme sembolündeki eşitlik çizgisi iki kümenin eşit kümeler de olabileceğini gösterir.
\( B \) kümesi \( A \) kümesinin alt kümesi ise eleman sayısı \( A \) kümesinin eleman sayısından küçüktür ya da ona eşittir.
\( B \subseteq A \) ise,
\( s(B) \le s(A) \)
\( B \) kümesinin \( A \) kümesinde bulunmayan en az bir elemanı varsa \( B \) kümesi \( A \) kümesinin bir alt kümesi değildir. Bu durumda iki küme arasındaki alt küme ilişkisi "\( \not\subseteq \)" sembolü kullanılarak \( B \not\subseteq A \) şeklinde gösterilir.
En az bir \( x \) için, \( x \in B \) ve \( x \notin A \) ise,
\( B \) kümesi \( A \) kümesinin bir alt kümesi değildir.
\( B \not\subseteq A \)
\( A = \{ a, b, c, d, e \} \)
\( B = \{ a, b, f \} \)
\( B \) kümesinin her elemanı \( A \) kümesinin de elemanı olmadığı için \( B \) kümesi \( A \) kümesinin bir alt kümesi değildir.
İSPATI GÖSTER
\( B \) kümesinin \( A \) kümesinin bir alt kümesi olduğu durum için alt küme tanımını yazalım.
\( \forall x, x \in B \Longrightarrow x \in A \)
\( B \) kümesinin \( A \) kümesinin bir alt kümesi olmadığı durum için bu ifadenin değilini alalım.
\( (\forall x, x \in B \Longrightarrow x \in A)' \)
\( \equiv \exists x, (x \in B \Longrightarrow x \in A)' \)
Parantez içindeki "ise" ifadesini "veya" ifadesi şeklinde yazalım.
\( \equiv \exists x, ((x \in B)' \lor x \in A)' \)
\( \equiv \exists x, (x \notin B \lor x \in A)' \)
\( \equiv \exists x, x \in B \land x \notin A \)
Buna göre, en az bir \( x \) için, \( x \in B \) ve \( x \notin A \) ise \( B \) kümesi \( A \) kümesinin bir alt kümesi değildir.
Alt küme (\( \subseteq \)) sembolünün öncesinde ve sonrasında birer küme belirtilirken, eleman (\( \in \)) sembolü öncesinde bir ya da birden fazla eleman, sonrasında bir küme belirtilir. Aşağıdaki örneklerde eleman ve küme arasındaki ayrımlara ve "{ }" kullanımlarına dikkat edilmelidir.
\( \text{Küme} \subseteq \text{Küme} \)
\( \text{Eleman} \in \text{Küme} \)
\( A = \{ 1, 2, 3 \} \) olmak üzere,
\( 1, 3 \in A \)
\( \{ 1, 3 \} \subseteq A \)
\( \{ 1, 3 \} \notin A \)
\( \{ 1, 4 \} \not\subseteq A \)
Öz Alt Küme
\( B \) kümesi \( A \) kümesinin bir alt kümesi iken \( A \) kümesinin \( B \) kümesinin elemanları dışında başka elemanları da varsa (yani iki küme eşit kümeler değilse) \( B \) kümesi \( A \) kümesinin bir öz alt kümesidir.
\( B \) kümesi \( A \) kümesinin bir öz alt kümesi ise aralarındaki ilişki "\( \subset \)" sembolü ile gösterilir. Alt küme sembolünde bulunan eşitlik çizgisinin öz alt küme sembolünde bulunmaması iki kümenin eşit kümeler olamayacağını gösterir.
\( B \subset A \)
\( s(B) \lt s(A) \)
NOT: Bazı kaynaklarda "\( \subset \)" sembolü iki kümenin eşitliğini de kapsayacak şekilde ve "\( \subseteq \)" sembolü ile aynı anlamda kullanılmaktadır. Biz bu sitede karışıklığı önlemek adına "\( \subset \)" sembolünü öz alt küme anlamıyla kullanıyor olacağız.
Sayı kümeleri arasındaki alt küme ilişkisi aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \)
Kapsama
Alt küme sembolleri yönleri tersine çevrilerek de kullanılabilir. Bu durumda sembolün solundaki küme alt küme değil, kapsayan (üst) küme olur.
\( B \subseteq A \Longleftrightarrow A \supseteq B \)
\( B \subset A \Longleftrightarrow A \supset B \)
\( B \not\subseteq A \Longleftrightarrow A \not\supseteq B \)
\( B \not\subset A \Longleftrightarrow A \not\supset B \)
Alt Küme İşlem Kuralları
Boş küme tüm kümelerin bir alt kümesidir.
\( \emptyset \subseteq A \)
İSPATI GÖSTER
\( \emptyset \subseteq A \) olduğunu göstermek için aşağıdaki alt küme tanımının sağlandığını göstermeliyiz.
Her \( x \) için, \( x \in \emptyset \Longrightarrow x \in A \)
Hiçbir \( x \) için \( x \in \emptyset \) sağlanmadığı için bu ifade boş nedenle doğrudur.
"Boş doğruluk" kavramı için ise bağlacı sayfasını inceleyebilirsiniz.
Her küme kendisinin bir alt kümesidir.
\( A \subseteq A \)
İSPATI GÖSTER
\( A \subseteq A \) olduğunu gösterelim.
Alt küme tanımına göre, bir küme diğer bir kümenin alt kümesi ise birinci kümenin her elemanı ikinci kümenin de elemanıdır.
\( \forall x, x \in A \Rightarrow x \in A \)
\( p \Rightarrow p \) ifadesi bir totolojidir.
\( p \Rightarrow p \equiv 1 \)
\( A \subseteq A \) olduğunu göstermiş olduk.
Her küme evrensel kümenin bir alt kümesidir.
\( A \subseteq E \)
İki küme birbirinin alt kümesi ise bu iki küme eşittir. İki kümenin eşit olduğunu göstermek için en sık kullanılan yöntem, bu iki kümeden her birinin diğerinin alt kümesi olduğunu ayrı ayrı göstermektir.
\( A \subseteq B \) ve \( B \subseteq A \Longleftrightarrow A = B \)
Bir okulda ortalaması 85 ve üzeri olan öğrenciler takdir almaktadır.
\( A \): Ortalaması 85 ve üzeri olan öğrenciler
\( B \): Takdir alan öğrenciler
\( A \) kümesinin elemanı olan öğrenciler aynı zamanda \( B \) kümesinin de elemanıdır (\( A \subseteq B \)).
\( B \) kümesinin elemanı olan öğrenciler aynı zamanda \( A \) kümesinin de elemanıdır (\( B \subseteq A \)).
Buna göre iki küme birbirine eşittir (\( A = B \)).
\( A \) kümesi \( B \) kümesinin, \( B \) kümesi de \( C \) kümesinin birer alt kümesi ise \( A \) kümesi \( C \) kümesinin bir alt kümesidir.
\( A \subseteq B \) ve \( B \subseteq C \) ise \( A \subseteq C \)
Kediler memeliler kümesinin bir elemanı, memeliler de hayvanlar kümesinin bir elemanıdır.
Buna göre kediler aynı zamanda hayvanlar kümesinin bir elemanıdır.
İSPATI GÖSTER
\( A \subseteq B \) ve \( B \subseteq C \) olduğunu varsayalım.
\( A \subseteq C \) olduğunu göstermek için \( A \) kümesinin her elemanının \( C \) kümesinin de elemanı olduğu göstermeliyiz.
Herhangi bir \( x \in A \) elemanı seçelim.
\( A \subseteq B \) olduğu için, alt küme tanımına göre aynı zamanda \( x \in B \) olur.
\( B \subseteq C \) olduğu için, alt küme tanımına göre aynı zamanda \( x \in C \) olur.
Yaptığımız varsayım doğrultusunda \( A \) kümesinin her elemanının \( C \) kümesinin de elemanı olduğu göstermiş olduk, buna göre \( A \subseteq C \) olur.
\( A = \{ a, b, \{ a \}, \{ a, c \}, \{ b, c \} \} \) olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
I. \( \{ a, b \} \in A \)
II. \( \{ a, c \} \subset A \)
III. \( c \in A \)
IV. \( A \in A \)
V. \( s(A) = 3 \)
Çözümü Göster\( A \) kümesinin 5 elemanı vardır ve bu elemanlar \( a \), \( b \), \( \{ a \} \), \( \{ a, c \} \) ve \( \{ b, c \} \)'dir.
\( \in \) sembolünü kullanırken elemanlar küme parantezi içine alınmaz, \( \subseteq \) ve \( \subset \) sembollerini kullanırken ise alınır.
I. öncül yanlıştır, doğrusu \( a, b \in A \) veya \( \{ a, b \} \subset A \) olmalıdır.
II. öncül yanlıştır, doğrusu \( \{ a, c \} \in A \) veya \( \{\{ a, c \}\} \subset A \) olmalıdır.
III. öncül yanlıştır, doğrusu \( c \notin A \) olmalıdır.
IV. öncül yanlıştır, doğrusu \( A \subseteq A \) olmalıdır.
V. öncül yanlıştır, doğrusu \( s(A) = 5 \) olmalıdır.
Buna göre verilen öncüllerin tümü yanlıştır.
\( A = \{ 1, 2, \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 1, 2 \} \} \) olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
I. \( s(A) = 5 \)
II. \( \{ 1, 2 \} \subset A \)
III. \( \{ 1, \{ 1 \} \} \subset A \)
IV. \( \{ 1, 2 \} \in A \)
V. \( \{ 2, \{ 2 \} \} \in A \)
Çözümü Göster\( A \) kümesinin 5 elemanı vardır ve bu elemanlar \( 1 \), \( 2 \), \( \{ 1 \} \), \( \{ 2 \} \) ve \( \{ 1, 2 \} \)'dir.
\( \in \) sembolünü kullanırken elemanlar küme parantezi içine alınmaz, \( \subseteq \) ve \( \subset \) sembollerini kullanırken ise alınır.
I. öncül doğrudur. \( \{ 1, 2 \} \) gibi parantez içindeki elemanlar tek birer elemandır.
II. öncül doğrudur. \( 1 \) ve \( 2 \) elemanlarından oluşan küme \( A \) kümesinin alt kümesidir.
III. öncül doğrudur. \( 1 \) ve \( \{ 1 \} \) elemanlarından oluşan küme \( A \) kümesinin alt kümesidir.
IV. öncül doğrudur. \( \{ 1, 2 \} \) \( A \) kümesinin bir elemanıdır.
V. öncül yanlıştır. \( A \) kümesinin \( \{ 2, \{2\} \} \) diye bir elemanı yoktur. İfadenin doğrusu \( \{ 2, \{ 2 \} \} \subset A \) veya \( 2, \{ 2 \} \in A \) olmalıdır.
Buna göre V. öncül dışındaki öncüller doğrudur.
\( A \subset \{ 2, 5 \} \) ve \( B \subset \{ 1, 4, 5, 7, 9 \} \) olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri doğru olabilir?
I. \( A \subset B \)
II. \( B \subset A \)
III. \( A \subseteq B \subseteq A \)
IV. \( A \subseteq \emptyset \subset B \)
Çözümü Göster\( A = \{ 5 \} \) ve \( B = \{ 5, 7 \} \) olduğunda \( A \subset B \) olacağı için I. öncül doğru olabilir.
\( A = \{ 2, 5 \} \) ve \( B = \{ 5 \} \) olduğunda \( B \subset A \) olacağı için II. öncül doğru olabilir.
\( A = B \) olduğunda \( A \subseteq B \subseteq A \) olacağı için III. öncül doğru olabilir.
\( A = \emptyset \) ve \( B = \{ 5 \} \) olduğunda \( A \subseteq \emptyset \subset B \) olacağı için IV. öncül doğru olabilir.
Buna göre dört öncül de doğru olabilir.