Kartezyen Çarpımının Grafik Gösterimi
Önceki bölümde kartezyen çarpımının sıralı ikililerden oluşan bir kümeye karşılık geldiğini ve koordinat düzleminde bir noktayı ifade etmek için kullanılan \( (x, y) \) gösteriminin de aslında bir sıralı ikili olduğunu belirtmiştik.
Kartezyen çarpımı alınan iki kümenin elemanları sırasıyla bir noktanın \( x \) ve \( y \) koordinatları olarak kabul edilirse, kartezyen çarpımı sonucu elde edilen sıralı ikililer koordinat düzleminde birer nokta olarak işaretlenerek kartezyen çarpımının grafiksel gösterimi elde edilebilir.
Sonlu iki kümenin kartezyen çarpımının grafiksel gösterimini bir örnek üzerinde gösterelim.
Aşağıdaki iki kümenin kartezyen çarpımlarını liste yöntemi ile ve grafik olarak gösterelim.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4 \} \)
\( B = \{ 2, 3, 4 \} \)
İki kümenin kartezyen çarpımı aşağıdaki gibidir.
\( A \times B = \{ \)
\( \quad (1, 2), (1, 3), (1, 4), \)
\( \quad (2, 2), (2, 3), (2, 4), \)
\( \quad (3, 2), (3, 3), (3, 4), \)
\( \quad (4, 2), (4, 3), (4, 4) \)
\( \} \)
Kartezyen çarpımının elemanı olan sıralı ikilileri kartezyen düzleminde birer nokta olarak işaretleyelim.
Sonsuz iki kümenin kartezyen çarpımının grafiksel gösterimini bir örnek üzerinde gösterelim.
Aşağıdaki iki kümenin kartezyen çarpımlarını ortak özellik yöntemi ile ve grafik olarak gösterelim.
\( A = \{ x \mid -1 \le x \lt 3, x \in \mathbb{R} \} \)
\( B = \{ y \mid 1 \lt y \le 4, y \in \mathbb{R} \} \)
\( A \) kümesi sayı doğrusu üzerinde \( [-1, 3) \) yarı açık aralığını, \( B \) kümesi \( (1, 4] \) yarı açık aralığını ifade eder.
İki kümenin kartezyen çarpımı aşağıdaki gibidir.
\( A \times B = \{ (x, y) \mid -1 \le x \lt 3, 1 \lt y \le 4 \} \)
Kartezyen çarpımının karşılık geldiği aralıkları kartezyen düzleminde gösterelim.
Bu örnekteki grafikle ilgili birkaç noktayı vurgulamamız önem taşımaktadır.
- Bu grafik bir önceki örnekteki grafikten farklı olarak; sadece belirli noktaları değil, bu noktalar arasındaki sonsuz sayıda noktayı da içerir.
- Küme tanımlarındaki açık sınır değerleri grafikte kesikli doğrularla gösterilir ve bu doğrular üzerindeki noktalar grafiğe dahil değildir.
- Küme tanımlarındaki kapalı sınır değerleri grafikte sürekli doğrularla gösterilir ve bu doğrular üzerindeki noktalar grafiğe dahildir.
- Bir köşe noktasının grafiğe dahil olabilmesi için o noktanın hem \( x \) hem de \( y \) bileşeni ilgili kümelerde tanımlı olmalıdır.
Biri sonlu diğeri sonsuz iki kümenin kartezyen çarpımının grafiksel gösterimini bir örnek üzerinde gösterelim.
Aşağıdaki iki kümenin kartezyen çarpımlarını grafik olarak gösterelim.
\( A = \{ x \mid -2 \lt x \le 1, x \in \mathbb{R} \} \)
\( B = \{ x \mid -1 \le x \lt 3, x \in \mathbb{Z} \} \)
\( A \) kümesi reel sayılarda tanımlı olduğu için verilen aralıktaki tüm reel sayıları kapsar ve bir doğru parçasına karşılık gelir.
Bu yarı kapalı doğru parçasına -2 dahil değil, 1 dahildir.
\( B \) kümesi tam sayılarda tanımlı olduğu için sadece aralıktaki tam sayıları kapsar ve sonlu sayıda noktaya karşılık gelir.
Bu noktalara -1 dahil, 3 dahil değildir.
Bu iki kümenin kartezyen çarpımlarının grafiği aşağıdaki gibi olur.
Yukarıda \( A \times B \) kümesinin elemanları gösterilmiştir. Buna göre \( A - B \) kümesinin kaç alt kümesi vardır?
Çözümü GösterGrafikteki noktaların \( A \) ekseni üzerindeki izdüşümlerinin karşılık geldiği değerler \( A \) kümesinin elemanlarıdır.
\( A = \{ -1, 0, 1, 2, 3, 4 \}\)
Grafikteki noktaların \( B \) ekseni üzerindeki izdüşümlerinin karşılık geldiği değerler \( B \) kümesinin elemanlarıdır.
\( B = \{ -1, 0, 1, 2 \}\)
\( A - B = \{ 3, 4 \} \)
\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) formülü ile bulunur.
Buna göre \( A - B \) kümesinin alt küme sayısı \( 2^2 = 4 \) olur.
Şekilde \( A \times B \) kartezyen çarpımının grafiği verilmiştir.
Buna göre, \( B \cap A' \) kümesi nedir?
Çözümü GösterGrafikteki noktaların \( A \) ekseni üzerindeki izdüşümlerinin karşılık geldiği değerler \( A \) kümesinin elemanlarıdır.
\( A = [1, 4] \)
Grafikteki noktaların \( B \) ekseni üzerindeki izdüşümlerinin karşılık geldiği değerler \( B \) kümesinin elemanlarıdır.
\( B = [-1, 3) \)
İki kümeyi sayı doğrusu üzerinde gösterelim.
\( B \cap A' = [-1, 3) \cap [(-\infty, 1) \cup (4, \infty)] \)
\( = [-1, 1) \) bulunur.
Yukarıda \( A \times B \) kartezyen çarpımının koordinat düzleminde grafiği verilmiştir.
Buna göre, aynı düzleme \( B \times A \) kartezyen çarpımının grafiği çizilirse kaç nokta iki kez işaretlenmiş olur?
Çözümü GösterGrafikteki noktaların \( A \) ekseni üzerindeki izdüşümlerinin karşılık geldiği değerler \( A \) kümesinin elemanlarıdır.
\( A = \{ 0, 1, 2 \} \)
Grafikteki noktaların \( B \) ekseni üzerindeki izdüşümlerinin karşılık geldiği değerler \( B \) kümesinin elemanlarıdır.
\( B = \{ -1, 0, 2, 3 \} \)
\( B \times A \) kartezyen çarpımında da bulunacak elemanlar iki kümenin ortak elemanları arasındaki kartezyen çarpımına eşittir.
\( A \cap B = \{ 0, 2 \} \)
Buna göre aşağıdaki 4 nokta iki grafikte de ortaktır ve iki kez işaretlenir.
\( (A \cap B) \times (A \cap B) = \{ (0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2) \} \)
\( A = \{ x \mid 2 \le x \le 3, x \in \mathbb{R} \} \)
\( B = \{ x \mid 1 \le x \le 5, x \in \mathbb{R} \} \)
\( K = B - A \)
olduğuna göre, \( K \times K \) kartezyen çarpım kümesinin grafiğini çiziniz.
Çözümü Göster\( K = B - A \) olduğu için iki kümenin farkı \( [1, 2) \) ve \( (3, 5] \) yarı açık aralıklarının birleşimi olur.
\( K = [1, 2) \cup (3, 5] \)
O halde \( K \times K \) kartezyen çarpımının grafiği aşağıdaki gibi olur.
Eksenler üzerinde işaretli yeşil aralıklar grafiğin parçası olmayıp kartezyen çarpım grafiğinin nasıl oluştuğunu göstermek için bilgi amaçlı verilmiştir.
