İki Kümenin Simetrik Farkı
İki kümenin simetrik farkı, kümelerin birleşim kümesinde olup kesişim kümesinde olmayan elemanlardan oluşur. İki kümenin simetrik farkı \( A \triangle B \) şeklinde gösterilir.
\( A \triangle B = \{ x \mid x \in A \veebar x \in B \} \)
\( A = \{ \textcolor{red}{1, 2, 3}, 4, 5 \} \)
\( B = \{ 4, 5, \textcolor{blue}{6, 7, 8} \} \)
\( A \triangle B = \{ \textcolor{red}{1, 2, 3}, \textcolor{blue}{6, 7, 8} \} \)
İki kümenin simetrik farkı, birbirinden ayrık iki kümenin (kümelerin birbirinden farklarının) birleşimi şeklinde de ifade edilebilir.
\( A \triangle B = (A - B) \cup (B - A) \)
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \)
\( B = \{ 4, 5, 6, 7, 8 \} \)
\( A - B = \{ 1, 2, 3 \} \)
\( B - A = \{ 6, 7, 8 \} \)
\( A \triangle B = (A - B) \cup (B - A) \)
\( = \{ 1, 2, 3, 6, 7, 8 \} \)
Alternatif olarak; iki kümenin simetrik farkı, kümelerin birleşiminin kesişimlerinden farkı şeklinde de ifade edilebilir.
\( A \triangle B = (A \cup B) - (A \cap B) \)
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \)
\( B = \{ 4, 5, 6, 7, 8 \} \)
\( A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \} \)
\( A \cap B = \{ 4, 5 \} \)
\( A \triangle B = (A \cup B) - (A \cap B) \)
\( = \{ 1, 2, 3, 6, 7, 8 \} \)
Simetrik Fark İşlem Özellikleri
Simetrik fark işleminin değişme özelliği vardır.
\( A \triangle B = B \triangle A \)
İSPATI GÖSTER
\( A \triangle B \) kümesinden herhangi bir \( x \) elemanı seçelim.
\( x \in A \triangle B \)
Simetrik fark kümesi tanımını kullanalım.
\( \Longleftrightarrow x \in A \veebar x \notin B \)
"Ya da" işleminin değişme özelliği vardır.
\( \Longleftrightarrow x \in B \veebar x \notin A \)
Simetrik fark kümesi tanımını kullanalım.
\( \Longleftrightarrow x \in B \triangle A \)
Buna göre \( A \triangle B \) ve \( B \triangle A \) eşit kümelerdir.
\( A \triangle B = B \triangle A \)
Simetrik fark işleminin birleşme özelliği vardır.
\( (A \triangle B) \triangle C = A \triangle (B \triangle C) \)
Simetrik Fark İşlem Kuralları
Bir kümenin boş küme ile simetrik farkı kendisine eşittir.
\( A \triangle \emptyset = A \)
İSPATI GÖSTER
Simetrik fark işleminin aşağıdaki tanımını kullanalım.
\( A \triangle B = (A - B) \cup (B - A) \)
\( A \triangle \emptyset = (A - \emptyset) \cup (\emptyset - A) \)
Bir kümenin boş kümeden farkı kendisine, boş kümenin bir kümede farkı boş kümeye eşittir.
\( = A \cup \emptyset \)
Bir kümenin boş küme ile birleşimi kümenin kendisine eşittir.
\( = A \)
Bir kümenin kendisi ile simetrik farkı boş kümedir.
\( A \triangle A = \emptyset \)
İSPATI GÖSTER
Simetrik fark işleminin aşağıdaki tanımını kullanalım.
\( A \triangle B = (A - B) \cup (B - A) \)
\( A \triangle A = (A - A) \cup (A - A) \)
Bir kümenin kendisinden farkı boş kümeye eşittir.
\( = \emptyset \cup \emptyset \)
Bir kümenin kendisi ile birleşimi yine kendisine eşittir.
\( = \emptyset \)
Bir kümenin evrensel küme ile simetrik farkı kümenin tümleyenine eşittir.
\( A \triangle E = A' \)
İSPATI GÖSTER
Simetrik fark işleminin aşağıdaki tanımını kullanalım.
\( A \triangle B = (A - B) \cup (B - A) \)
\( A \triangle E = (A - E) \cup (E - A) \)
Bir kümenin evrensel kümeden farkı boş kümeye, evrensel kümenin bir kümeden farkı kümenin tümleyenine eşittir.
\( = \emptyset \cup A' \)
Bir kümenin boş küme ile birleşimi kümenin kendisine eşittir.
\( = A' \)
Bir kümenin tümleyeni ile simetrik farkı evrensel kümeye eşittir.
\( A \triangle A' = E \)
İSPATI GÖSTER
Simetrik fark işleminin aşağıdaki tanımını kullanalım.
\( A \triangle B = (A - B) \cup (B - A) \)
\( A \triangle A' = (A - A') \cup (A' - A) \)
\( = (A - A') \cup (A' - (A')') \)
Bir kümenin tümleyeninden farkı kümenin kendisine eşittir.
\( = A \cup A' \)
Bir kümenin tümleyeni ile birleşimi evrensel kümeye eşittir.
\( = E \)
\( K = \{ 13, 14, 15, 16 \} \)
\( L = \{ 14, 18, 21, 30 \} \)
\( M = \{ 13, 16, 21, 30 \} \)
\( N = \{ 16, 23, 27, 32 \} \)
olduğuna göre, \( (K \triangle L) \triangle (M \triangle N) \) işleminin sonucu kaç elemanlıdır?
Çözümü Göster\( \triangle \) sembolü simetrik fark işlemi için kullanılır.
İki kümenin simetrik farkı, kümelerin birleşim kümesinde olup kesişim kümesinde olmayan elemanlardan oluşur.
\( K \triangle L = \{13, 15, 16, 18, 21, 30\} \)
\( M \triangle N = \{13, 21, 23, 27, 30, 32\} \)
\( (K \triangle L) \triangle (M \triangle N) = \{15, 16, 18, 23, 27, 32\} \)
Buna göre verilen işlemin sonucu 6 elemanlıdır.