Kümeler konusunda son olarak mantık ve kümeler konularında incelediğimiz bazı kavramlar arasındaki benzerliklere değineceğiz.
Kümelerle işlemler, mantıkta gördüğümüz bağlaçlar kullanılarak aşağıdaki şekilde tanımlanır.
| Tanım | Gösterim | Açıklama |
|---|---|---|
| Kesişim kümesi | \( A \cap B = \{ x \mid x \in A \land x \in B \} \) | İki kümenin kesişim kümesi, birinci VE ikinci kümede bulunan elemanlardan oluşur. |
| Birleşim kümesi | \( A \cup B = \{ x \mid x \in A \lor x \in B \} \) | İki kümenin kesişim kümesi, birinci VEYA ikinci kümede bulunan elemanlardan oluşur. |
| Tümleyen | \( A' = \{ x \mid x \notin A \land x \in E \} \) | Bir kümenin tümleyeni, o kümede bulunmayan VE evrensel kümede bulunan elemanlardan oluşur. |
| Alt Küme | \( A \subseteq B \Longleftrightarrow \forall x, (x \in A \Longrightarrow x \in B) \) | Bir kümenin HER elemanı diğer bir kümenin de elemanı İSE, birinci küme ikinci kümenin bir alt kümesidir. |
| Kümelerin Eşitliği | \( A = B \Longleftrightarrow \forall x, (x \in A \Longleftrightarrow x \in B) \) | Bir kümede bulunan HER eleman ikinci bir kümede de buluyorsa, bu iki küme birbirine eşittir. |
| İki kümenin farkı | \( A - B = \{ x \mid x \in A \land x \notin B \} \) | Bir kümenin diğer bir kümeden farkı, birinci kümede bulunan VE ikinci kümede bulunmayan elemanlardan oluşur. |
| İki kümenin simetrik farkı | \( A \triangle B = \{ x \mid x \in A \veebar x \in B \} \) | İki kümenin simetrik farkı, kümelerin birleşim kümesinde olup kesişim kümesinde bulunmayan elemanlardan oluşur. |
Mantık ve kümeler konularında gördüğümüz bazı sembol ve işlemler arasında aşağıdaki benzerlikler kurulabilir.
| Mantık | Kümeler | Notlar | |
|---|---|---|---|
| \( 0 \) | \( \emptyset \) | ||
| \( 1 \) | \( E \) | ||
| \( \land \) | \( \cap \) | Yukarıdaki tanımlarda gördüğümüz gibi, iki sembol benzer anlamlar taşımaktadır. | |
| \( \lor \) | \( \cup \) | Yukarıdaki tanımlarda gördüğümüz gibi, iki sembol benzer anlamlar taşımaktadır. | |
| Değil (\( p' \)) | Tümleyen (\( A' \)) | İki işlem de bir önerme ya da kümenin tersine işaret etmektedir. | |
| \( (p')' \equiv p \) | \( (A')' = A \) | Değilin değili ve tümleyenin tümleyeni kendisine eşittir. | |
| \( p \land p' \equiv 0 \) | \( A \cap A' = \emptyset \) | ||
| \( p \lor p' \equiv 1 \) | \( A \cup A' = E \) | ||
| \( (p \land q)' \equiv p' \lor q' \) | \( (A \cap B)' = A' \cup B' \) | De Morgan kuralları | |
| \( (p \lor q)' \equiv p' \land q' \) | \( (A \cup B)' = A' \cap B' \) | De Morgan kuralları |