Tersi Kendisine Eşit Fonksiyon
Ters fonksiyonu kendisine eşit olan fonksiyonlara tersi kendisine eşit fonksiyon ya da involüsyon denir.
\( f: A \to A \) olmak üzere,
\( f^{-1} = f \) ise,
\( f \) tersi kendisine eşit fonksiyondur.
Tersi kendisine eşit fonksiyonların tanım gereği tersi var olduğu için bu fonksiyonlar birebir ve örtendir.
Tersi var olan bir fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyonu verdiği için, tersi kendisine eşit fonksiyonların kendisiyle bileşkesi birim fonksiyonu verir.
\( f: A \to A \) olmak üzere,
\( f \circ f = I_A \)
Her \( x \in A \) için \( f(f(x)) = x \)
Bir fonksiyonun tanım kümesi tersinin görüntü kümesine ve görüntü kümesi de tersinin tanım kümesine eşit olduğu için, tersi kendisine eşit fonksiyonların tanım ve görüntü kümeleri birbirine eşit olur.
Bir fonksiyonun ve tersinin grafikleri \( y = x \) doğrusuna göre simetrik olduğu için, tersi kendisine eşit fonksiyonların grafikleri \( y = x \) doğrusuna göre simetrik olur. Bunun karşıtı da doğrudur, yani bir fonksiyonun grafiği \( y = x \) doğrusuna göre simetrikse fonksiyon kendi tersine eşittir.
Aşağıda en sık karşımıza çıkabilecek tersi kendisine eşit fonksiyonlar listelenmiştir. Verilen grafiklerde bu fonksiyonların tümünün \( y = x \) doğrusuna göre simetrik oldukları görülebilir.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere, \( f(x) = x \) Fonksiyonun kendisiyle bileşkesinin birim fonksiyonu verdiğini gösterelim. \( f(f(x)) = x \) |
|
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere, \( f(x) = -x \) Fonksiyonun kendisiyle bileşkesinin birim fonksiyonu verdiğini gösterelim. \( f(f(x)) = -(-x) = x \) |
|
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere, \( f(x) = a - x \) Fonksiyonun kendisiyle bileşkesinin birim fonksiyonu verdiğini gösterelim. \( f(f(x)) = a - (a - x) = x \) Soldaki grafik \( a \gt 0 \) için çizilmiştir. |
|
\( a \ne 0 \) \( f: \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R} - \{0\} \) olmak üzere, \( f(x) = \dfrac{a}{x} \) Fonksiyonun kendisiyle bileşkesinin birim fonksiyonu verdiğini gösterelim. \( f(f(x)) = \dfrac{a}{\frac{a}{x}} = x \) Soldaki grafik \( a \gt 0 \) için çizilmiştir. |
|
\( a^2 + bc \ne 0, c \ne 0 \) \( f: \mathbb{R} - \{ \frac{a}{c} \} \to \mathbb{R} - \{ \frac{a}{c} \} \) olmak üzere, \( f(x) = \dfrac{ax + b}{cx - a} \) Fonksiyonun kendisiyle bileşkesinin birim fonksiyonu verdiği aşağıda bir soru olarak paylaşılmıştır. |
|
\( n \) pozitif tek sayı olmak üzere, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere, \( f(x) = \sqrt[n]{a^n - x^n} \) Fonksiyonun kendisiyle bileşkesinin birim fonksiyonu verdiğini gösterelim. \( f(f(x)) = \sqrt[n]{a^n - (\sqrt[n]{a^n - x^n})^n} \) \( = \sqrt[n]{a^n - (a^n - x^n)} = x \) Soldaki grafik \( a \gt 0 \) için çizilmiştir. |
|
\( a \gt 0 \) \( n \) pozitif çift sayı olmak üzere, \( f: [0, a] \to [0, a] \) olmak üzere, \( f(x) = \sqrt[n]{a^n - x^n} \) Fonksiyonun kendisiyle bileşkesinin birim fonksiyonu verdiğini gösterelim. \( f(f(x)) = \sqrt[n]{a^n - (\sqrt[n]{a^n - x^n})^n} \) \( = \sqrt[n]{a^n - (a^n - x^n)} = \abs{x} = x \) |
Ayrıca aşağıdaki örnekteki gibi \( y = x \) doğrusuna göre simetri özelliği taşıyan parçalı fonksiyonlar da birer tersi kendisine eşit fonksiyondur.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere, \( f(x) = \begin{cases} -2x & x \lt 0 \\ -\dfrac{x}{2} & x \ge 0 \end{cases} \) |
\( a^2 + bc \ne 0 \)
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{ax + b}{cx - a} \) fonksiyonunun tersi kendisine eşit bir fonksiyon olduğunu gösteriniz.
Çözümü GösterTersi kendisine eşit fonksiyonların kendisiyle bileşkesi birim fonksiyonu verir.
\( (f \circ f)(x) = f(f(x)) \)
\( = \dfrac{a \cdot \frac{ax + b}{cx - a} + b}{c \cdot \frac{ax + b}{cx - a} - a} \)
\( = \dfrac{\frac{a(ax + b)}{cx - a} + \frac{b(cx - a)}{cx - a}}{\frac{c(ax + b)}{cx - a} - \frac{a(cx - a)}{cx - a}} \)
\( = \dfrac{\frac{a^2x + ab + bcx - ab}{cx - a}}{\frac{acx + bc - acx + a^2}{cx - a}} \)
\( = \dfrac{x(a^2 + bc)}{a^2 + bc} = x \)