Birebir Fonksiyon
Tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri de farklı olan fonksiyonlara birebir fonksiyon ya da injektif fonksiyon denir. Bir diğer ifadeyle, birebir bir fonksiyonda tanım kümesindeki iki farklı eleman aynı görüntüye sahip olamaz.
Aşağıdaki fonksiyon tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü farklı olduğu için birebirdir.
\( f: A \to B \) fonksiyonunda, her \( x_1, x_2 \in A \) için,
\( x_1 \ne x_2 \Longrightarrow f(x_1) \ne f(x_2) \)
önermesi doğru ise \( f \) birebirdir.
Yukarıdaki önerme yerine aşağıdaki karşıt tersi de kullanılabilir.
\( f(x_1) = f(x_2) \Longrightarrow x_1 = x_2 \)
Karşıt ters: \( (p \Rightarrow q) \equiv (q' \Rightarrow p') \)
\( A = \{ a, b, c \} \)
\( B = \{ 1, 2, 3, 4 \} \)
\( f, g: A \to B \)
\( f = \{ (a, 3), (b, 4), (c, 1) \} \)
\( f \) tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü farklı olduğu için birebirdir.
\( g = \{ (a, 3), (b, \textcolor{red}{1}), (c, \textcolor{red}{1}) \} \)
\( g \) tanım kümesindeki iki elemanın görüntüsü aynı olduğu için birebir değildir.
\( A \) ve \( B \) sonlu kümeler olmak üzere, \( f: A \to B \) fonksiyonunun birebir olabilmesi için gerekli koşullardan biri \( s(A) \le s(B) \) olmasıdır. Aksi takdirde değer kümesinde tanım kümesindeki her elemanın farklı bir görüntüsü olacak kadar eleman bulunmaz.
\( A \) ve \( B \) sonlu kümeler olmak üzere,
\( f: A \to B \) fonksiyonunun birebir olabilmesi için gerekli koşul:
\( s(A) \le s(B) \)
Hem birebir hem de örten olan fonksiyonlara bijektif fonksiyon denir. Bijektif bir fonksiyonda tanım ve değer kümelerinin eleman sayıları birbirine eşittir.
\( s(A) = s(B) \)
Birebir Fonksiyon Sayısı
Birebir fonksiyon sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( f: A \to B \)
\( s(A) = n, s(B) = k \) olmak üzere,
Birebir fonksiyon sayısı \( = \begin{cases} 0 & n \gt k \\ P(k, n) = \dfrac{k!}{(k - n)!} & n \le k \\ \end{cases} \)
3 elemanlı \( A \) kümesinden 5 elemanlı \( B \) kümesine tanımlanabilecek birebir fonksiyon sayısı:
Birebir fonksiyon sayısı \( = P(5, 3) = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \)
İSPATI GÖSTER
İki küme arasında yazılabilecek fonksiyon sayısını tanım kümesinin her bir elemanından değer kümesinin her bir elemanına çizilebilecek ok sayısı olarak düşünerek \( k^n \) olarak belirtmiştik.
Birebir bir fonksiyonda tanım kümesinin bir elemanı değer kümesinin bir elemanı ile eşlendikten sonra artık tanım kümesinin bir diğer elemanı aynı elemanla eşlenemeyeceği için, birebir fonksiyon sayısını permütasyon formülü ile bulabiliriz.
Buna göre tanım kümesinin 1. elemanı \( k \) elemanla, 2. elemanı \( k - 1 \) elemanla, \( n \). elemanı da \( k - n + 1 \) elemanla eşlenebilir.
Buna göre toplam farklı eşlenme sayısı aşağıdaki gibi olur.
Toplam farklı eşlenme sayısı \( = k \cdot (k - 1) \cdot \ldots \cdot (k - n + 1) = P(k, n) \)
Bijektif fonksiyon sayısı ise aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( f: A \to B \)
\( s(A) = s(B) = n \) olmak üzere,
Bijektif fonksiyon sayısı \( = n! \)
5 elemanlı \( A \) kümesinden 5 elemanlı \( B \) kümesine tanımlanabilecek bijektif fonksiyon sayısı:
Bijektif fonksiyon sayısı \( = 5! = 120 \)
Birebir Fonksiyonların Grafik Yorumu
Grafiği verilen bir fonksiyonun birebir olup olmadığını anlamak için görüntü kümesindeki tüm \( y \) değerleri için \( x \) eksenine paralel doğrular çizilir. Yatay doğru testi adı verilen bu yöntemde eğer doğruların hiçbiri grafiği birden fazla noktada kesmiyorsa fonksiyon birebirdir.
Bir fonksiyon bir aralıkta kesin artan ya da kesin azalan ise o aralıkta birebirdir. Ayrıca bir fonksiyon bir aralıkta sürekli ve birebir ise o aralıkta ya kesin artan ya da kesin azalandır.
Aşağıda farklı fonksiyonların birebir olma durumları yatay doğru testi ile yorumlanmıştır.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
Sabit fonksiyon \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = c \) Yatay doğru fonksiyon grafiği ile çakışık olduğu (grafiği sonsuz noktada kestiği) için fonksiyon birebir değildir. |
|
Doğrusal fonksiyon \( m \ne 0 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = mx + c \) Her yatay doğru fonksiyon grafiğini bir ve yalnız bir noktada keser, bu yüzden fonksiyon birebirdir. |
|
Mutlak değer fonksiyonu \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = \abs{x} \) \( y \gt 0 \) doğruları fonksiyon grafiğini iki noktada keser, bu yüzden fonksiyon birebir değildir. |
|
2. dereceden polinom fonksiyonu (parabol) \( a \ne 0 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = ax^2 + bx + c \) Yatay doğrular fonksiyon grafiğini tepe noktası hariç iki noktada keser, bu yüzden fonksiyon birebir değildir. Derecesi çift sayı olan tüm polinom fonksiyonlarında da fonksiyon grafiğini birden fazla noktada kesen yatay doğrular bulunur, bu yüzden bu fonksiyonlar da birebir değildir. |
|
3. dereceden polinom fonksiyonu \( a \ne 0 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) Yandaki grafikte yatay doğrular fonksiyon grafiğini birden fazla noktada kesmektedir, bu yüzden fonksiyon birebir değildir. Ancak 3. dereceden polinom fonksiyon grafikleri kesin artan/azalan da olabilirler (örneğin \( x^3 \)), bu gibi durumlarda fonksiyonlar birebir olur. Derecesi tek sayı olan tüm polinom fonksiyonları için aynı durum geçerlidir. |
|
Üstel fonksiyon \( a \gt 0, a \ne 1 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = a^x \) Üstel fonksiyonlar taban değerine göre kesin artan ya da kesin azalan oldukları için birebirdirler. |
|
Logaritma fonksiyonu \( a \gt 0, a \ne 1 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = \log_a{x} \) Logaritma fonksiyonları taban değerine göre kesin artan ya da kesin azalan oldukları için birebirdirler. |
Yukarıda paylaştığımız birebir fonksiyon tanımı ile yatay doğru testi arasındaki paralelliğin anlaşılması önem taşımaktadır. Birebir bir fonksiyonda tanım kümesindeki iki eleman değer kümesinde aynı elemanla eşlenemezler. Yatay doğru testi de fonksiyonun değer kümesindeki elemanların tanım kümesindeki en fazla bir elemanın görüntüsü olup olmadığını test eder.
Özet
Bir fonksiyonun örten, içine ya da birebir olup olmadığını anlamak için kullandığımız yatay doğru testini özetlemeye çalışalım. Bir fonksiyonun grafiğinde değer kümesindeki tüm \( y \) değerleri için \( x \) eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğruların aşağıdaki koşullara göre durumu fonksiyonun örten, içine ya da birebir olup olmadığını gösterir.
- Doğruların her biri grafiği en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir.
- Doğruların bir kısmı grafiği kesiyor, bir kısmı kesmiyorsa fonksiyon içinedir.
- Doğruların hiçbiri grafiği birden fazla noktada kesmiyorsa fonksiyon birebirdir.
- Doğruların her biri grafiği bir ve yalnız bir noktada kesiyorsa fonksiyon bijektiftir.
Bir fonksiyonun örten/içine ve birebir olma durumları aşağıdaki dört şekilde olabilir.
| Grafik | Notlar |
|---|---|
|
Birebir değil, içine fonksiyon Tanım kümesindeki iki elemanın görüntüsü aynı olduğu için birebir değil. Değer kümesinde tanım kümesinin bir elemanı ile eşlenmeyen bir eleman bulunduğu için içine. |
|
Birebir değil, örten fonksiyon Tanım kümesindeki iki elemanın görüntüsü aynı olduğu için birebir değil. Değer kümesindeki her eleman tanım kümesindeki bir elemanın görüntüsü olduğu için örten. |
|
Birebir ve içine fonksiyon Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü farklı olduğu için birebir. Değer kümesinde tanım kümesinin bir elemanı ile eşlenmeyen bir eleman bulunduğu için içine. |
|
Birebir ve örten fonksiyon Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü farklı olduğu için birebir. Değer kümesindeki her eleman tanım kümesindeki bir elemanın görüntüsü olduğu için örten. |
\( A = \{ 0, 2, 4, 6, 8, 10 \} \)
\( f: A \to A \) olmak üzere,
\( f \) fonksiyonu birebir olduğuna göre, \( f(0) + f(10) \) ifadesinin en büyük değeri kaçtır?
Çözümü Gösterİfadenin en büyük değerini elde etmek için \( f(0) \) ve \( f(10) \) değer kümesinin en büyük iki değerini almalıdır.
Fonksiyon birebir olduğu için \( f(0) = 10 \) ikinci en büyük değer olarak \( f(10) = 8 \) seçmeliyiz.
Buna göre toplamın en büyük değeri \( f(0) + f(10) = 10 + 8 = 18 \) olur.
\( s(A) = x^2 - 5 \) ve \( s(B) = 5x + 1 \) olmak üzere,
\( f: A \to B \) fonksiyonu birebir ve örten olduğuna göre, \( A \) kümesi kaç elemanlıdır?
Çözümü GösterBir fonksiyonun örten olabilmesi için tanım kümesinin eleman sayısı değer kümesinin eleman sayısına eşit ya da ondan büyük olmalıdır.
\( s(A) \ge s(B) \)
Bir fonksiyonun birebir olabilmesi için tanım kümesinin eleman sayısı değer kümesinin eleman sayısına eşit ya da ondan küçük olmalıdır.
\( s(A) \le s(B) \)
Buna göre bir fonksiyonun hem birebir hem örten olabilmesi için tanım kümesinin eleman sayısı değer kümesinin eleman sayısına eşit olmalıdır.
\( s(A) = s(B) \)
\( x^2 - 5 = 5x + 1 \)
\( x^2 - 5x - 6 = 0 \)
\( (x - 6)(x + 1) = 0 \)
\( x = -1 \) olduğu durumda kümelerin eleman sayıları negatif olacağı için bu geçerli bir çözüm değildir.
\( x = 6 \) için \( A \) kümesinin eleman sayısını bulalım.
\( s(A) = x^2 - 5 = 6^2 - 5 = 31 \) bulunur.
\( s(A) = 3 \) ve \( s(B) = 6 \) olduğuna göre, \( A \)'dan \( B \)'ye birebir olmayan kaç farklı fonksiyon tanımlanabilir?
Çözümü Göster\( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlanabilecek birebir olmayan fonksiyon sayısı, toplam fonksiyon sayısı ile birebir fonksiyon sayısının farkına eşittir.
Birebir olmayan fonksiyon sayısı = Tüm fonksiyonların sayısı - Birebir fonksiyon sayısı
\( A \)'dan \( B \)'ye toplam fonksiyon sayısı: \( 6^3 = 216 \)
\( A \)'dan \( B \)'ye birebir fonksiyon sayısı: \( P(6, 3) = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120 \)
Buna göre birebir olmayan fonksiyon sayısı \( 216 - 120 = 96 \) olarak bulunur.
\( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlanabilecek tüm fonksiyonların sayısı 243, birebir fonksiyonların sayısı ise 0'dır.
Buna göre \( B \) kümesinden \( A \) kümesine tanımlanabilecek tüm fonksiyonların sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlanabilecek tüm fonksiyonların sayısı \( s(B)^{s(A)} \) formülü ile hesaplanır.
\( s(B)^{s(A)} = 243 \)
Bu eşitlik iki durumda sağlanır.
\( s(B) = 3, s(A) = 5 \)
\( 3^5 = 243 \)
\( s(B) = 243, s(A) = 1 \)
\( 243^1 = 243 \)
Bir fonksiyonun birebir olabilmesi için tanım kümesinin eleman sayısı, değer kümesinin eleman sayısından küçük veya ona eşit olmalıdır.
\( s(A) \le s(B) \)
\( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlanabilecek birebir fonksiyon sayısı 0 ise \( s(A) \gt s(B) \) olmalıdır.
Buna göre kümelerin eleman sayıları \( s(B) = 3 \) ve \( s(A) = 5 \) olmalıdır.
\( B \) kümesinden \( A \) kümesine tanımlanabilecek tüm fonksiyonların sayısını bulalım.
\( s(A)^{s(B)} = 5^3 = 125 \) bulunur.
\( A = \{ 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \)
\( f: A \to A \) fonksiyonu birebir olduğuna göre, \( f(2) + f(3) + f(4) \) toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır?
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonu birebir olduğu için tanım kümesindeki her eleman değer kümesinde farklı bir elemanla eşlenmelidir.
\( f(2) \), \( f(3) \) ve \( f(4) \) sırası önemsiz şekilde en küçük 2, 3 ve 4 değerlerini alabilir ve bu durumda toplamları \( 2 + 3 + 4 = 9 \) olur.
\( f(2) \), \( f(3) \) ve \( f(4) \) sırası önemsiz şekilde en büyük 5, 6 ve 7 değerlerini alabilir ve bu durumda toplamları \( 5 + 6 + 7 = 18 \) olur.
Bu toplam en küçük ve en büyük değerleri arasındaki diğer tüm değerleri de alabilir.
Buna göre verilen toplam \( 18 - 9 + 1 = 10 \) farklı değer alabilir.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \begin{cases} x - 2 & x \le 1 \\ x & x \gt 1 \end{cases} \)
fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( f \)'nin görüntü kümesi değer kümesine eşittir.
II. \( f \) içine fonksiyondur.
III. \( f \) birebir fonksiyondur.
Çözümü GösterVerilen parçalı fonksiyonun grafiğini çizelim.
I. öncül:
Fonksiyonun değer kümesi \( \mathbb{R} \), görüntü kümesi \( \mathbb{R} - (-1, 1] \) olur.
Bu öncül yanlıştır.
II. öncül:
Değer kümesindeki \( (-1, 1] \) aralığı görüntü kümesinde bulunmadığı için fonksiyon içinedir.
Bu öncül doğrudur.
III. öncül:
Fonksiyon grafiğine yatay doğru testini uyguladığımızda doğruların hiçbirinin grafiği birden fazla noktada kesmediğini görürüz, dolayısıyla fonksiyon birebirdir.
Bu öncül doğrudur.
Buna göre II. ve III. öncüller doğrudur.
\( A = \{ a, b, c \} \)
\( B = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \) olmak üzere,
\( A \)'dan \( B \)'ye görüntü kümesinde "2" elemanı bulunan birebir kaç fonksiyon yazılabilir?
Çözümü GösterBu soruyu iki yöntemle çözebiliriz.
1. yöntem:
İstenen fonksiyon sayısını, tüm birebir fonksiyonların sayısından görüntü kümesinde "2" bulunmayan birebir fonksiyon sayısını çıkararak bulabiliriz.
\( s(A) = 3, \quad s(B) = 5 \)
Tüm birebir fonksiyonların sayısı \( = P(5, 3) = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \)
Görüntü kümesinde "2" bulunmayan birebir fonksiyonların sayısını bulmak için değer kümesinin "2" elemanını içermediği durum için aynı formülü kullanabiliriz.
Görüntü kümesinde "2" bulunmayan birebir fonksiyonların sayısı: \( P(5 - 1, 3) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \)
Buna göre görüntü kümesinde "2" elemanı bulunan birebir fonksiyon sayısı \( 60 - 24 = 36 \) olarak bulunur.
2. yöntem:
İlk önce tanım kümesindeki elemanlardan birini "2" elemanı ile eşleyelim. Bu eşlemeyi tanım kümesindeki her eleman için olmak üzere 3 farklı şekilde yapabiliriz.
Bu eşleme sonucunda tanım kümesinde 2, değer kümesinde 4 eleman kalır. Bu durumda yazılabilecek birebir fonksiyon sayısı: \( P(4, 2) = 4 \cdot 3 = 12 \)
Buna göre görüntü kümesinde "2" elemanı bulunan birebir fonksiyon sayısı \( 3 \cdot 12 = 36 \) olarak bulunur.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri birebirdir?
(a) \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x^2 + 1 \)
(b) \( g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, \quad g(x) = 7x - 3 \)
(c) \( h: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R}, \quad h(x) = 4x^2 + 2 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x^2 + 1 \)
\( f \) fonksiyonunda \( x^2 \) ifadesi \( x \)'in pozitif ve negatif değerleri için aynı sonucu verir, grafiği de bir parabol olduğu için çizilecek yatay doğrular grafiği iki noktada keser.
\( f \) fonksiyonu birebir değildir.
(b) seçeneği:
\( g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, \quad g(x) = 7x - 3 \)
\( g \) fonksiyonunun grafiği eğimi pozitif olan bir doğrudur, dolayısıyla çizilecek yatay doğrular doğruyu tek bir noktada keser.
\( g \) fonksiyonu birebirdir.
(c) seçeneği:
\( h: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R}, \quad h(x) = 4x^2 + 2 \)
\( h \) fonksiyonu da \( f \) fonksiyonu gibi bir paraboldür, ancak tanım kümesi pozitif reel sayılar olduğu için grafiği tepe noktasının sağındaki kısma karşılık gelir ve çizilecek yatay doğrular grafiği tek bir noktada keser.
\( h \) fonksiyonu birebirdir.
Buna göre \( g \) ve \( h \) fonksiyonları birebirdir.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = ax^2 + bx + c \) fonksiyonu birebir olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri doğru olabilir?
I. \( a \neq 0, b = 1, c = 1 \)
II. \( a = 0, b = 0, c = 2 \)
III. \( a \neq 0, b = 0, c = 2 \)
IV. \( a = 0, b \neq 0, c \neq 0 \)
V. \( a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0 \)
Çözümü Göster\( a \ne 0 \) olduğunda fonksiyon bir parabol olur. Paraboller tüm reel sayılarda birebir olmadıkları için \( a = 0 \) olmalıdır.
Geriye kalan \( bx + c \) ifadesi bir doğrudur. \( b = 0 \) olduğunda ifade sabit fonksiyon olur. Sabit fonksiyonlar birebir olmadıkları için \( b \ne 0 \) olmalıdır.
Buna göre seçeneklerden sadece IV. doğru olabilir.