Çok Değişkenli Fonksiyonlar
Konu tekrarı için: 3 Boyutlu Koordinat Sistemi
Çok değişkenli fonksiyonlar girdi olarak birden fazla değişken kabul eden fonksiyonlardır.
Tek Değişkenli Fonksiyonlar
Şu ana kadar tanımladığımız tek değişkenli fonksiyonlar bir \( A \) kümesinin her elemanını diğer bir \( B \) kümesinin tek bir elemanı ile eşleyen fonksiyonlardı. Bu fonksiyonlar girdi olarak bir \( x \) değeri alırlar ve çıktı olarak \( y = f(x) \) değeri üretirler.
\( f: A \to B \) olmak üzere,
\( y = f(x) \)
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( y = f(x) = 3x^2 \)
\( f(5) = 3 \cdot 5^2 = 75 \)
Buna göre fonksiyonun \( x = 5 \) için değeri \( y = f(5) = 75 \) olur.
\( f = \{ \ldots, (5, 75), \ldots \} \)
Tek değişkenli bir fonksiyonun grafiği, fonksiyonun tanım kümesindeki her \( x \) değeri için hesaplanan \( (x, y) \) sıralı ikililerinin iki boyutlu koordinat sisteminde işaretlenmesi ile oluşur.
İki Değişkenli Fonksiyonlar
Girdi olarak iki değişken kabul eden ve bu değişkenlerin oluşturduğu her \( (x, y) \) sıralı ikilisini değer kümesinde tek bir değer ile eşleyen fonksiyonlara iki değişkenli fonksiyon denir. Bu fonksiyonlar girdi olarak \( x \) ve \( y \) gibi iki değişken değeri alırlar ve çıktı olarak \( z = f(x, y) \) değeri üretirler.
\( f: X \to C \) olmak üzere,
\( z = f(x, y) \)
Yukarıda \( X \) ile gösterilen iki değişkenli fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun girdisini oluşturan \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin tanım kümelerinin kartezyen çarpımına karşılık gelir. Buna göre \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin farklı tanım kümelerine göre iki değişkenli fonksiyonun tanım kümesi aşağıdaki gibi olur.
| \( x \) Tanım Kümesi | \( y \) Tanım Kümesi | \( f \) Tanım Kümesi |
|---|---|---|
| \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2 \) |
| \( \mathbb{R^+} \) | \( \mathbb{Z} \) | \( \mathbb{R^+} \times \mathbb{Z} \) |
| \( A \) | \( A \) | \( A \times A = A^2 \) |
| \( A \) | \( B \) | \( A \times B \) |
| \( \{a, b\} \) | \( \{1, 2\} \) | \( \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)\}\) |
\( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( z = f(x, y) = 3x^2 + 4y \)
\( f(5, 2) = 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 2 = 83 \)
Buna göre fonksiyonun \( (x, y) = (5, 2) \) için değeri \( z = f(5, 2) = 83 \) olur.
\( f = \{ \ldots, (5, 2, 83), \ldots \} \)
İki değişkenli bir fonksiyonun grafiği, fonksiyonun tanım kümesindeki her \( x \) ve \( y \) değeri için hesaplanan \( (x, y, z) \) sıralı üçlülerinin üç boyutlu koordinat sisteminde işaretlenmesi ile oluşur.
Çok Değişkenli Fonksiyonlar
Benzer bir yaklaşımla daha fazla sayıda değişkenden oluşan fonksiyonlar da tanımlayabiliriz. Genel bir tanım olarak bu fonksiyonlar girdi olarak \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) şeklinde \( n \) değişken değeri alırlar ve çıktı olarak \( y = f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \) değeri üretirler.
\( f: X \to B \) olmak üzere,
\( y = f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \)
\( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( y = f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 - x_2x_3 \)
\( f(5, 2, 3) = 5^2 - 2 \cdot 3 = 19 \)
Buna göre fonksiyonun \( (x_1, x_2, x_3) = (5, 2, 3) \) için değeri \( y = f(5, 2, 3) = 19 \) olur.
\( f = \{ \ldots, (5, 2, 3, 19), \ldots \} \)
\( f: \mathbb{R^2} \to \mathbb{R} \) ve \( f(x, y) = 3x - 2y + 1 \) olduğuna göre \( f(f(1, 3), 2) \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen fonksiyonun girdi olarak iki değişkeni vardır.
\( f(1, 3) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 3 + 1 = -2 \)
\( f(f(1, 3), 2) = f(-2, 2) \) \( = 3 \cdot (-2) - 2 \cdot 2 + 1 \) \( = -9 \)
\( f(x, y) = \begin{cases} x^2 - 2y + 7 & x + y \text{ tek ise} \\ 4x + y^2 & x + y \text{ çift ise} \end{cases} \)
olduğuna göre, \( f(7, 4) - f(2, 6) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( 7 + 4 \) tek sayı olduğu için \( f(7, 4) \) değerini bulmak için parçalı fonksiyonun birinci tanımı kullanılır.
\( f(7, 4) = 7^2 - 2(4) + 7 = 48 \)
\( 2 + 6 \) çift sayı olduğu için \( f(2, 6) \) değerini bulmak için parçalı fonksiyonun ikinci tanımı kullanılır.
\( f(2, 6) = 4(2) + 6^2 = 44 \)
\( f(7, 4) - f(2, 6) = 48 - 44 = 4 \) bulunur.
\( f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2 - 1} + \sqrt{1 - x^2 - y^2} \)
iki değişkenli fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözümü GösterFonksiyonun tanımlı olması için birinci karekök ifadesinin içi sıfır ya da sıfırdan büyük olmalıdır.
\( x^2 + y^2 - 1 \ge 0 \)
\( x^2 + y^2 \ge 1 \)
Fonksiyonun tanımlı olması için ikinci karekök ifadesinin de içi sıfır ya da sıfırdan büyük olmalıdır.
\( 1 - x^2 - y^2 \ge 0 \)
\( x^2 + y^2 \le 1 \)
\( x^2 + y^2 \) için iki eşitsizliğin kesişim kümesini alalım.
\( (x, y) \in \mathbb{R}^2 \)
\( x^2 + y^2 = 1 \)
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad g: \mathbb{R^2} \to \mathbb{R} \)
\( f \) birim fonksiyondur.
\( g(x, y) = 8x^2 + 5y - 3f(2x + 3y^2) + 15 \) olduğuna göre,
\( g(3, g(1, 2)) \) ifadesinin değeri nedir?
Çözümü Göster\( f \) birim fonksiyon olduğu için \( f(2x + 3y^2) = 2x + 3y^2 \) olur.
\( g(x, y) = 8x^2 + 5y - 3(2x + 3y^2) + 15 \)
\( g(1, 2) = 8(1)^2 + 5(2) - 3(2(1) + 3(2)^2) + 15 = -9 \)
Bu değeri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( g(3, g(1, 2)) = g(3, -9) \)
\( = 8(3)^2 + 5(-9) - 3(2(3) + 3(-9)^2) + 15 = -705 \)
\( f(x, y) = \dfrac{2ax - 9y + 1}{(a - 2)x + (b + 7)y + 3} \)
\( f \) fonksiyonu tüm \( x \) ve \( y \) tüm reel sayı değerlerinde tanımlı olduğuna göre, \( f(a, b) \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyonu tanımsız yapabilecek tek durum paydanın sıfır olmasıdır. Fonksiyon tüm \( x \) ve \( y \) tüm reel sayı değerlerinde tanımlı ise paydada bu iki değişken bulunmamalıdır, çünkü bulunması durumunda paydayı sıfır yapacak \( x \) ve \( y \) değerleri bulunabilir.
\( a - 2 = 0 \Longrightarrow a = 2 \)
\( b + 7 = 0 \Longrightarrow b = -7 \)
Buna göre fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x, y) = \dfrac{2(2)x - 9y + 1}{(2 - 2)x + (-7 + 7)y + 3} \)
\( = \dfrac{4x - 9y + 1}{3} \)
\( f(a, b) = f(2, -7) \) değerini bulalım.
\( f(2, -7) = \dfrac{4(2) - 9(-7) + 1}{3} = 24 \) bulunur.
\( f: A \to \mathbb{R} \) fonksiyonu veriliyor.
\( f(x + 1, y + 4) = 4x + 2y + 13 \)
\( A = \{(-2, 1), (3, 0), (4, 5), (8, -2)\} \) olduğuna göre, \( f(A) \) görüntü kümesi nedir?
Çözümü Göster\( f(x, y) \) fonksiyonunu bulalım.
\( f(x + 1, y + 4) = 4x + 2y + 13 \)
\( f(x + 1, y + 4) = 4x + 4 + 2y + 8 + 1 \)
\( f(x + 1, y + 4) = 4(x + 1) + 2(y + 4) + 1 \)
\( f(x, y) = 4x + 2y + 1 \)
Verilen \( A \) kümesi için \( f(A) \) görüntü kümesini bulalım.
\( f(-2, 1) = 4(-2) + 2(1) + 1 = -5 \)
\( f(3, 0) = 4(3) + 2(0) + 1 = 13 \)
\( f(4, 5) = 4(4) + 2(5) + 1 = 27 \)
\( f(8, -2) = 4(8) + 2(-2) + 1 = 29 \)
\( f(A) = \{-5, 13, 27, 29\} \) olarak bulunur.
\( f(x, y) = x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 \) fonksiyonu veriliyor.
\( f(a, a) = f(1, 1) + f(2, 2) + f(4, 4) - 36 \)
olduğuna göre, \( a \) reel sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( f(a, a) = a^3 + a^2a + (a)a^2 + a^3 \)
\( = a^3 + a^3 + a^3 + a^3 = 4a^3 \)
\( f(1, 1) = 4(1)^3 = 4 \)
\( f(2, 2) = 4(2)^3 = 32 \)
\( f(4, 4) = 4(4)^3 = 256 \)
\( f(a, a) = f(1, 1) + f(2, 2) + f(4, 4) - 36 \)
\( 4(a)^3 = 4 + 32 + 256 - 36 \)
\( 4(a)^3 = 256 \)
\( a = 4 \) bulunur.
Aşağıda verilen çok değişkenli fonksiyonların en geniş tanım kümelerini bulunuz.
I. \( f(x, y, z) = \sqrt{3 - x^2 - y^2 - z^2} \)
II. \( g(x, y, z, t) = \log{\dfrac{1 + x^2}{y - z - t}} \)
III. \( h(x, y, z, t) = \dfrac{x^2 + y^2}{z^2 + t^2} \)
Çözümü GösterI. \( f(x, y, z) = \sqrt{3 - x^2 - y^2 - z^2} \)
\( f \) fonksiyonunda karekök içi sıfır ya da sıfırdan büyük olmalıdır.
\( 3 - x^2 - y^2 - z^2 \ge 0 \)
\( (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \)
\( x^2 + y^2 + z^2 \le 3 \) olmalıdır.
II. \( g(x, y, z, t) = \log{\dfrac{1 + x^2}{y - z - t}} \)
\( g \) fonksiyonunda logaritma içi pozitif olmalıdır.
Pay her zaman pozitif olduğuna göre paydanın pozitif olma koşulunu yazalım.
\( (x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \)
\( y - z - t \gt 0 \) olmalıdır.
III. \( h(x, y, z, t) = \dfrac{x^2 + y^2}{z^2 + t^2} \)
\( h \) fonksiyonunda payda sıfırdan farklı olmalıdır.
\( (x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \)
\( (z, t) \ne (0, 0) \) olmalıdır.