Örten ve İçine Fonksiyon
Bir fonksiyonda değer kümesindeki her eleman tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü ise bu fonksiyona örten fonksiyon ya da sürjektif fonksiyon denir. Bir diğer ifadeyle, örten bir fonksiyonda değer kümesinde eşlenmeyen hiçbir eleman bulunmaz.
Aşağıdaki fonksiyon değer kümesindeki her eleman tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olduğu için örtendir.
Bir fonksiyon örten değilse, yani değer kümesinde eşlenmeyen en az bir eleman kalıyorsa bu fonksiyona içine fonksiyon denir. Buna göre, her fonksiyon ya örtendir ya da içinedir.
Aşağıdaki fonksiyon değer kümesindeki son eleman tanım kümesindeki hiçbir elemanın görüntüsü olmadığı için içinedir.
\( f: A \to B \) fonksiyonunda,
Her \( b \in B \) için \( f(a) = b \) olacak şekilde en az bir \( a \in A \) varsa,
\( f \) örtendir, aksi takdirde \( f \) içinedir.
\( A = \{ a, b, c, d \} \)
\( B = \{ 1, 2, 3 \} \)
\( f, g: A \to B \) olmak üzere,
\( f = \{ (a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 3) \} \)
\( f \)'nin değer kümesindeki her eleman, tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olduğu için örtendir.
\( g = \{ (a, 1), (b, 3), (c, 3), (d, 1) \} \)
\( g \)'nin değer kümesindeki "2" elemanı, tanım kümesindeki hiçbir elemanın görüntüsü olmadığı için içinedir.
Bu tanımın bir sonucu olarak, örten fonksiyonlarda görüntü kümesi değer kümesine eşittir, içine fonksiyonlarda ise görüntü kümesi değer kümesinin bir öz alt kümesidir.
\( f: A \to B \) fonksiyonunda,
\( f \) örten \( \Longleftrightarrow f(A) = B \)
\( f \) içine \( \Longleftrightarrow f(A) \subsetneq B \)
İçine bir fonksiyonun eşleme kuralı ve tanım kümesi değiştirilmeden, değer kümesi görüntü kümesine daraltılarak yeni bir örten fonksiyon tanımlanabilir. Benzer şekilde, örten bir fonksiyonun değer kümesi genişletilerek aynı eşleme kuralı ve tanım kümesine sahip yeni bir içine fonksiyon tanımlanabilir.
\( f(x) = x^2 \) olmak üzere,
\( f \) fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlandığında içinedir.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
\( f \) fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlandığında örtendir.
\( f: \mathbb{R} \to [0, \infty) \)
\( A \) ve \( B \) sonlu kümeler olmak üzere, \( f: A \to B \) fonksiyonunun örten olabilmesi için gerekli koşullardan biri \( s(A) \ge s(B) \) olmasıdır. Aksi takdirde tanım kümesinde değer kümesindeki tüm elemanları "örtecek" kadar eleman bulunmaz.
\( A \) ve \( B \) sonlu kümeler olmak üzere,
\( f: A \to B \) fonksiyonunun örten olabilmesi için gerekli koşul:
\( s(A) \ge s(B) \)
Örten ve İçine Fonksiyon Sayısı
Örten fonksiyon sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( f: A \to B \)
\( s(A) = n, s(B) = k \) olmak üzere,
Örten fonksiyon sayısı \( = \begin{cases} 0 & n \lt k \\ k! & n = k \\ \sum_{i = 0}^{k} {(-1)^i \binom{k}{i} (k - i)^n} & n \gt k \end{cases} \)
5 elemanlı \( A \) kümesinden 5 elemanlı \( B \) kümesine tanımlanabilecek örten fonksiyon sayısı:
Örten fonksiyon sayısı \( = 5! = 120 \)
Yukarıdaki formülde üçüncü durumdaki formülün mantığını ve türetilmesini "Sayma" konusundaki dahil etme - hariç bırakma prensibi ve örten fonksiyon sayısı sayfalarında inceleyeceğiz.
İki küme arasında tanımlanabilecek içine fonksiyon sayısı, bu iki küme arasında tanımlanabilecek toplam fonksiyon sayısı ile örten fonksiyon sayısının farkına eşittir.
Örten ve İçine Fonksiyonların Grafik Yorumu
Grafiği verilen bir fonksiyonun örten olup olmadığını anlamak için değer kümesindeki tüm \( y \) değerleri için \( x \) eksenine paralel doğrular çizilir. Yatay doğru testi adı verilen bu yöntemde, eğer doğruların tümü grafiği en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir, doğrulardan en az biri grafiği kesmiyorsa fonksiyon içinedir.
Aşağıda farklı fonksiyonların örten ya da içine olma durumları yatay doğru testi ile yorumlanmıştır. Bu fonksiyonlarda değer kümeleri tüm reel sayılar olarak alınmıştır. Yukarıda bahsettiğimiz gibi, fonksiyonların değer kümesi genişletilerek ya da daraltılarak örten bir fonksiyon içine, içine bir fonksiyon da örten bir fonksiyon olarak yeniden tanımlanabilir.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
Sabit fonksiyon \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = c \) Sabit fonksiyon görüntü kümesi tek elemanlı olduğu için içinedir. |
|
Doğrusal fonksiyon \( m \ne 0 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = mx + c \) Eğimi sıfırdan farklı doğrusal fonksiyon her reel sayı değerini alabildiği için örtendir. |
|
Mutlak değer fonksiyonu \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = \abs{x} \) Mutlak değer fonksiyonu negatif değer almadığı için içinedir. Fonksiyon değer kümesi \( [0, \infty) \) olacak şekilde tanımlandığında örten olur. |
|
2. dereceden polinom fonksiyonu (parabol) \( a \ne 0 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = ax^2 + bx + c \) 2. dereceden polinom fonksiyonu \( a \gt 0 \) için tepe noktasının ordinat değerinden küçük, \( a \lt 0 \) için ordinat değerinden büyük değer almaz, dolayısıyla içinedir. Derecesi çift sayı olan tüm polinom fonksiyonları için aynı durum geçerlidir. |
|
3. dereceden polinom fonksiyonu \( a \ne 0 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) 3. dereceden polinom fonksiyonu \( a \gt 0 \) için negatif sonsuzdan gelip pozitif sonsuza, \( a \lt 0 \) için pozitif sonsuzdan gelip negatif sonsuza gider, dolayısıyla tüm reel sayı değerlerini alır ve bu yüzden örtendir. Derecesi tek sayı olan tüm polinom fonksiyonları için aynı durum geçerlidir. |
|
Üstel fonksiyon \( a \gt 0, \quad a \ne 1 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = a^x \) Üstel fonksiyon sıfır ve negatif değer almadığı için içinedir. Fonksiyon değer kümesi \( (0, \infty) \) olacak şekilde tanımlandığında örten olur. |
|
Logaritma fonksiyonu \( a \gt 0, \quad a \ne 1 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R} \) \( f(x) = \log_a{x} \) Logaritma fonksiyonu tüm reel sayı değerlerini alabildiği için örtendir. |
Yukarıda paylaştığımız örten fonksiyon tanımı ile yatay doğru testi arasındaki ilişkinin anlaşılması önemlidir. Örten bir fonksiyonda değer kümesinde eşlenmeyen eleman bulunmadığını belirtmiştik. Yatay doğru testi de fonksiyonun değer kümesindeki her elemanın tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olup olmadığını test eder.
Bir fonksiyonun örten ya da içine olduğunu anlamanın bir diğer yolu grafiğin \( y \) eksenine izdüşümünü incelemektir. Bir fonksiyonun grafiğinin \( y \) eksenine izdüşümü fonksiyonun görüntü kümesini verir. Bu izdüşüm değer kümesinin tamamını kapsıyorsa fonksiyon örten, değer kümesinin yalnızca bir öz alt kümesini kapsıyorsa içinedir.
Yukarıdaki tabloda yatay doğru testi uygulanan iki fonksiyona bu ikinci test uygulandığında aşağıdaki gibi aynı sonuca ulaşılabilir.
| Grafik | Açıklama |
|---|---|
|
2. dereceden polinom fonksiyonu (parabol) \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( a \ne 0 \) \( f(x) = ax^2 + bx + c \) Grafik üzerindeki tüm noktaların \( y \) eksenine izdüşümlerini mavi renkle işaretlediğimizde değer kümesinde kırmızı ile işaretli kısmın açıkta kaldığını görebiliriz. Bu yüzden fonksiyon içinedir. |
|
3. dereceden polinom fonksiyonu \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) \( a \ne 0 \) \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) Grafik üzerindeki tüm noktaların \( y \) eksenine izdüşümlerini mavi renkle işaretlediğimizde grafiğin değer kümesinin tümünü kapsadığını görebiliriz. Bu yüzden fonksiyon örtendir. |
\( A = \{ 1, 2, 3 \} \)
\( f : A \to A \) olmak üzere,
\( f = \{ (3, 1), (2, b), (a, 2) \} \)
fonksiyonu örten olduğuna göre, \( a + b \) kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyon tanımı gereği tanım kümesindeki her eleman değer kümesindeki bir ve yalnız bir elemanla eşlenmelidir.
Bu koşulu sağlamak için \( a \) tanım kümesinden eksik olan tek eleman olan 1'e eşit olmalıdır.
\( a = 1 \)
Fonksiyon örten olduğu için değer kümesindeki her eleman tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olmalıdır.
Bu koşulu sağlamak için \( b \) değer kümesinde eşlenmeyen tek eleman olan 3'e eşit olmalıdır.
\( b = 3 \)
\( a + b = 1 + 3 = 4 \) bulunur.
\( A = \{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \} \)
\( f : A \to B \) olmak üzere,
\( f(x) = x^2 + 2x + 2 \)
fonksiyonu içine olduğuna göre, \( B \) kümesinin eleman sayısı en az kaçtır?
Çözümü GösterTanım kümesindeki her bir elemanın görüntüsünü bulalım.
\( f(-3) = (-3)^2 + 2(-3) + 2 = 5 \)
\( f(-2) = (-2)^2 + 2(-2) + 2 = 2 \)
\( f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 2 = 1 \)
\( f(0) = 0^2 + 2(0) + 2 = 2 \)
\( f(1) = 1^2 + 2(1) + 2 = 5 \)
\( f(2) = 2^2 + 2(2) + 2 = 10 \)
\( f(3) = 3^2 + 2(3) + 2 = 17 \)
Buna göre fonksiyonun görüntü kümesi 5 elemanlıdır.
\( f(A) = \{ 1, 2, 5, 10, 17 \} \)
Fonksiyonun içine olması için değer kümesinde tanım kümesinde bir elemanla eşlenmeyen en az bir eleman olmalıdır, dolayısıyla değer kümesi en az \( s(B) = 5 + 1 = 6 \) elemanlı olmalıdır.
\( A = \{ 2, 4, 6, 8 \} \)
\( B = \{ a, b, c, d \} \) olduğuna göre,
\( A \)'dan \( B \)'ye kaç farklı içine fonksiyon yazılabilir?
Çözümü GösterBir fonksiyon ya içine ya da örtendir, bu yüzden yazılabilecek içine fonksiyonların sayısı tüm fonksiyonların sayısının örten fonksiyonlardan farkına eşittir.
İçine fonksiyon sayısı = Tüm fonksiyonların sayısı - Örten fonksiyon sayısı
\( s(A) = m = 4 \)
\( s(B) = n = 4 \)
\( A \)'dan \( B \)'ye yazılabilecek fonksiyonların sayısı: \( n^m = 4^4 = 256 \)
\( s(A) = s(B) = 4 \) olduğu için yazılabilecek örten fonksiyonların sayısı: \( n! = 4! = 24 \)
Buna göre \( A \)'dan \( B \)'ye yazılabilecek içine fonksiyonların sayısı \( 256 - 24 = 232 \) olur.
\( s(A) = x^2 - 4 \) ve \( s(B) = 5x + 2 \) olmak üzere,
\( f: A \to B \) fonksiyonu örten olduğuna göre, \( B \) kümesi en az kaç elemanlıdır?
Çözümü GösterBir fonksiyonun örten olabilmesi için gerekli bir koşul, tanım kümesinin eleman sayısının değer kümesinin eleman sayısına eşit ya da ondan büyük olmasıdır.
\( s(A) \ge s(B) \)
\( x^2 - 4 \ge 5x + 2 \)
\( x^2 - 5x - 6 \ge 0 \)
\( (x + 1)(x - 6) \ge 0 \)
Eşitsizliğin sağlanması için \( x \le -1 \) ya da \( x \ge 6 \) olmalıdır.
\( x \le -1 \) aralığı için \( s(A) \) ve \( s(B) \) negatif değerler alır, bir kümenin eleman sayısı negatif olamayacağı için bu geçerli bir aralık değildir.
\( x \ge 6 \) aralığındaki en küçük değer olan 6'yı \( s(B) \) ifadesinde yerine koyarak \( B \) kümesinin eleman sayısının en küçük değerini bulalım.
\( s(B) = 5(6) + 2 = 32 \) bulunur.
\( f: \mathbb{R} \to B \) olmak üzere,
\( f(x) = \begin{cases} -x + 8 & x \lt 3 \\ x + 1 & x \ge 3 \end{cases} \)
\( f \) fonksiyonu örten olduğuna göre, \( B \) kümesini bulunuz.
Çözümü GösterVerilen parçalı fonksiyonun grafiğini çizelim.
Grafikten görebileceğimiz üzere, fonksiyonun görüntü kümesi \( [4, \infty) \) olur.
\( f \) fonksiyonu örten olduğu için değer kümesi görüntü kümesine eşittir.
\( B = [4, \infty) \)
\( B = \{-2, 0, 2, 4\} \)
\( f: A \to B \) olmak üzere,
\( f(x) = 2x - 4 \) fonksiyonu içine olduğuna göre, \( A \) kümesinin elemanları toplamı en fazla kaç olabilir?
Çözümü GösterFonksiyon içine olduğu için \( B \) kümesinde tanım kümesinde bir elemanla eşlenmeyen en az bir eleman bulunmalıdır.
Verilen fonksiyon tanımını kullanarak görüntüsü \( B \) kümesinin her bir elemanı olabilecek girdi değerlerini bulalım.
\( f(x) = -2 \) için:
\( 2x - 4 = -2 \Longrightarrow x = 1 \)
\( f(x) = 0 \) için:
\( 2x - 4 = 0 \Longrightarrow x = 2 \)
\( f(x) = 2 \) için:
\( 2x - 4 = 2 \Longrightarrow x = 3 \)
\( f(x) = 4 \) için:
\( 2x - 4 = 4 \Longrightarrow x = 4 \)
\( A \) kümesinin bu dört elemanı da içermesi durumunda fonksiyon örten olacaktır. Fonksiyon içine olduğu için en az bir eleman tanım kümesinin dışında kalmalıdır.
\( A \) kümesinin elemanları toplamının en büyük değeri \( x = 1 \) değeri hariç tutulduğunda elde edilir.
\( A = \{2, 3, 4\} \)
Buna göre \( A \) kümesinin elemanları toplamı en fazla \( 2 + 3 + 4 = 9 \) olur.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri içinedir?
(a) \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x^2 \)
(b) \( g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}, \quad g(x) = x + 2 \)
(c) \( h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad h(x) = x\abs{x} \)
(d) \( k: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, \quad k(x) = 5x - 7 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x^2 \)
\( f \) fonksiyonunun tanım kümesindeki reel sayıların görüntüsü sadece pozitif reel sayı ya da sıfır olabileceği için değer kümesindeki negatif reel sayılar tanım kümesindeki hiçbir elemanla eşlenmez.
\( f \) fonksiyonu içinedir.
(b) seçeneği:
\( g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}, \quad g(x) = x + 2 \)
\( g \) fonksiyonunun tanım kümesindeki sayılar değer kümesinde kendilerinden iki fazla olan sayılarla eşlendiği için değer kümesindeki 0 ve 1 sayıları tanım kümesindeki hiçbir elemanla eşlenmez.
\( g \) fonksiyonu içinedir.
(c) seçeneği:
\( h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad h(x) = x\abs{x} \)
\( h \) fonksiyonu pozitif ve sıfır \( x \) değerleri için \( x^2 \) fonksiyonuna, negatif \( x \) değerleri için \( -x^2 \) fonksiyonuna eşittir ve tüm reel sayı değerlerini alır.
\( h \) fonksiyonu örtendir.
(d) seçeneği:
\( k: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, \quad k(x) = 5x - 7 \)
\( k \) fonksiyonunda örneğin tanım kümesindeki hiçbir elemanın görüntüsü değer kümesindeki 10 elemanı değildir.
\( k \) fonksiyonu içinedir.
Buna göre \( f \), \( g \) ve \( k \) fonksiyonları içinedir.
\( A = \{1, 2, 3\} \)
\( B = \{3, 4, 5\} \)
\( f: A \to B \) olmak üzere,
\( f \) fonksiyonu içine olduğuna göre, \( f(1) + f(2) + f(3) \) toplamı kaç farklı değer alabilir?
Çözümü GösterFonksiyon içine olduğuna göre, değer kümesinde tanım kümesinde bir elemanla eşlenmeyen en az bir eleman bulunur, dolayısıyla görüntü kümesi 1 ya da 2 elemanlı olur.
Durum 1:
Görüntü kümesi 1 elemanlıdır.
\( f(1) + f(2) + f(3) = \)
\( 3 + 3 + 3 = 9 \)
\( 4 + 4 + 4 = 12 \)
\( 5 + 5 + 5 = 15 \)
Durum 2:
Görüntü kümesi 2 elemanlıdır.
\( f(1) + f(2) + f(3) = \)
\( 3 + 3 + 4 = 10 \)
\( 3 + 4 + 4 = 11 \)
\( 3 + 3 + 5 = 11 \)
\( 3 + 5 + 5 = 13 \)
\( 4 + 4 + 5 = 13 \)
\( 4 + 5 + 5 = 14 \)
Tüm olası durumları saydığımızda istenen toplamın 9 ve 15 arasında, yani \( 15 - 9 + 1 = 7 \) farklı değer alabildiğini görürüz.