Aşağıdaki gibi iki parçadan oluşan bir \( f: A \to B \) parçalı fonksiyonu tanımlayalım.
\( D_1 \cup D_2 = A \) ve \( D_1 \cap D_2 = \emptyset \) olmak üzere,
\( f(x) = \begin{cases} f_1(x) & x \in D_1 \\ f_2(x) & x \in D_2 \end{cases} \)
\( f \) fonksiyonunun tersinin tanımlı olması için aşağıdaki üç koşul sağlanmalıdır.
Üçüncü koşulun sağlanmadığı durumda, parçalı fonksiyonun değer kümesi görüntü kümesine daraltılarak da örtenlik koşulu sağlanabilir.
Bu koşulları sağlayan \( f \) parçalı fonksiyonunun tersi aşağıdaki adımlarla alınır.
Bu doğrultuda elde edilen ters fonksiyon aşağıdaki gibi olur.
\( f^{-1}(x) = \begin{cases} f_1^{-1}(x) & x \in f_1(D_1) \\ f_2^{-1}(x) & x \in f_2(D_2) \end{cases} \)
Yukarıda paylaştığımız yöntem kolaylıkla \( n \) parçalı bir fonksiyona da uyarlanabilir.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \begin{cases} 3x - 6 & x \le 2 \\ x - 2 & x \gt 2 \end{cases} \)
fonksiyonunun tersini bulalım.
Verilen fonksiyonun iki parçası da kendi tanım kümelerinde birebirdir.
Parçaların görüntü kümelerini bulalım.
Birinci parça:
\( f_1(x) = 3x - 6 \)
\( f_1^{-1}(x) = \dfrac{x + 6}{3} \)
\( x \le 2 \Longrightarrow 3x - 6 \le 0 \)
\( f_1((-\infty, 2]) = (-\infty, 0] \)
İkinci parça:
\( f_2(x) = x - 2 \)
\( f_2^{-1}(x) = x + 2 \)
\( x \gt 2 \Longrightarrow x - 2 \gt 0 \)
\( f_2((2, \infty)) = (0, \infty) \)
Bulduğumuz iki görüntü kümesi ayrıktır ve birleşimleri fonksiyonun değer kümesini verir.
\( (-\infty, 0] \cap (0, \infty) = \emptyset \)
\( (-\infty, 0] \cup (0, \infty) = \mathbb{R} \)
Üç koşul da sağlandığı için parçalı fonksiyon birebir ve örtendir, dolayısıyla tersi tanımlıdır.
Her parça için bulduğumuz ters fonksiyonlar ve görüntü kümeleri kullanılarak ters fonksiyon aşağıdaki şekilde bulunur.
\( f^{-1}(x) = \begin{cases} \dfrac{x + 6}{3} & x \le 0 \\ x + 2 & x \gt 0 \end{cases} \)