Fonksiyonel Denklemler
Bazı fonksiyonlar, girdiler arasındaki toplama veya çarpma işlemlerini fonksiyon değerleri üzerinde benzer ya da farklı işlemlere dönüştüren özel özelliklere sahiptir. Bu tür özellikler fonksiyonel denklemlerle ifade edilir ve birçok önemli fonksiyon türünü ayırt eden özellikleri oluşturur. Bu bölümde en sık karşılaşılan dört fonksiyonel denklemi inceleyeceğiz.
Doğrusal Fonksiyonlar
İki sayının toplamının görüntüsü, sayıların ayrı ayrı görüntülerinin toplamına eşit ise bu fonksiyon doğrusal bir fonksiyondur.
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) fonksiyonu sürekli olmak üzere,
\( f(x + y) = f(x) + f(y) \) ise,
\( f(x) = ax \quad (a \in \mathbb{R}) \)
\( f(x) = 2x \)
\( f(3 + 5) = f(3) + f(5) \)
\( 2 \cdot 8 = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 5 \)
Üstel Fonksiyonlar
İki sayının toplamının görüntüsü, sayıların ayrı ayrı görüntülerinin çarpımına eşit ise bu fonksiyon bir üstel fonksiyondur.
\( f: \mathbb{R} \to (0, \infty) \) fonksiyonu sürekli olmak üzere,
\( f(x + y) = f(x)f(y) \) ise,
\( f(x) = e^{kx} \quad (k \in \mathbb{R}) \)
\( f(x) = e^x \)
\( f(3 + 5) = f(3)f(5) \)
\( e^8 = e^3 \cdot e^5 \)
Logaritma Fonksiyonları
İki sayının çarpımının görüntüsü, sayıların ayrı ayrı görüntülerinin toplamına eşit ise bu fonksiyon bir logaritma fonksiyonudur.
\( f: (0, \infty) \to \mathbb{R} \) fonksiyonu sürekli olmak üzere,
\( f(xy) = f(x) + f(y) \) ise,
\( f(x) = k\ln{x} \quad (k \in \mathbb{R}) \)
\( f(x) = \ln{x} \)
\( f(3 \cdot 5) = f(3) + f(5) \)
\( \ln{15} = \ln{3} + \ln{5} \)
Kuvvet Fonksiyonları
İki sayının çarpımının görüntüsü, sayıların ayrı ayrı görüntülerinin çarpımına eşit ise bu fonksiyon bir kuvvet fonksiyonudur.
\( f: (0, \infty) \to (0, \infty) \) fonksiyonu sürekli olmak üzere,
\( f(xy) = f(x)f(y) \) ise,
\( f(x) = x^a \quad (a \in \mathbb{R}) \)
\( f(x) = x^3 \)
\( f(3 \cdot 5) = f(3)f(5) \)
\( (3 \cdot 5)^3 = 3^3 \cdot 5^3 \)
\( f(xy) = f(x) + f(y) \) ve \( f(3) = 6 \) olduğuna göre, \( f(27) \) kaçtır?
Çözümü Göster\( f(27) = f(3 \cdot 9) \)
Verilen özdeşliği kullanalım.
\( = f(3) + f(9) \)
\( = f(3) + f(3 \cdot 3) \)
Tekrar verilen özdeşliği kullanalım.
\( = f(3) + f(3) + f(3) \)
\( = 6 + 6 + 6 = 18 \) bulunur.
\( f(a + b) = f(a)f(b) \)
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri her \( a \) ve \( b \) reel sayısı için yukarıdaki eşitliği sağlar?
I. \( f(x) = 3x \)
II. \( g(x) = x^3 \)
III. \( h(x) = 3^x \)
IV. \( k(x) = \log_3{x} \)
Çözümü GösterI. öncül:
\( f(x) = 3x \)
\( f(a + b) = 3(a + b) \)
\( f(a) = 3a \)
\( f(b) = 3b \)
\( 3(a + b) \ne 3a \cdot 3b \)
Bu öncül verilen koşulu sağlamaz.
II. öncül:
\( g(x) = x^3 \)
\( g(a + b) = (a + b)^3 \)
\( g(a) = a^3 \)
\( g(b) = b^3 \)
\( (a + b)^3 \ne a^3 \cdot b^3 \)
Bu öncül verilen koşulu sağlamaz.
III. öncül:
\( h(x) = 3^x \)
\( h(a + b) = 3^{a + b} \)
\( h(a) = 3^a \)
\( h(b) = 3^b \)
\( 3^{a + b} = 3^a \cdot 3^b \)
Bu öncül verilen koşulu sağlar.
IV. öncül:
\( k(x) = \log_3{x} \)
\( k(a + b) = \log_3(a + b) \)
\( k(a) = \log_3{a} \)
\( k(b) = \log_3{b} \)
\( \log_3(a + b) \ne \log_3{a} \cdot \log_3{b} \)
Bu öncül verilen koşulu sağlamaz.
Sadece III. öncüldeki fonksiyon verilen koşulu sağlar.