Bileşke Fonksiyonun Tanım ve Görüntü Kümesi
\( f: A \to X \) ve \( g: B \to Y \) fonksiyonları arasında \( g \circ f \) bileşke fonksiyonu tanımlayalım.
Bir \( x \) değerinin \( g \circ f \) bileşke fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olabilmesi için \( x \) aşağıdaki iki koşulu sağlamalıdır.
- \( A \) kümesinin elemanı olmalıdır (\( x \in A \)).
- \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü \( g \) fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olmalıdır (\( f(x) \in B \)).
Şekildeki \( A \) kümesinin yeşil ile işaretli üç elemanı \( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesini oluşturur. \( A \) kümesinin kırmızı ile işaretli elemanı ikinci koşulu sağlamadığı için bu eleman bileşkenin tanım kümesine dahil değildir. \( B \) kümesinin kırmızı ile işaretli elemanı ise \( f \) fonksiyonunda hiçbir elemanın görüntüsü olmadığı için bileşke işleminde kullanılmaz.
Buna göre \( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesi her zaman \( f \) fonksiyonunun tanım kümesine eşittir ya da onun bir alt kümesidir.
Bileşke fonksiyonun tanım kümesi koşulları aşağıdaki örnek üzerinde daha net anlaşılabilir.
Aşağıdaki gibi iki fonksiyon tanımlayalım.
\( f \): Bir okuldaki öğrenciler ve en sevdikleri dersler
\( f = \) {(Ali, Robotik), (Can, Biyoloji), (Ece, Kimya), (Naz, Matematik)}
\( g \): Bu okulda açılan dersler ve her dersi veren öğretmen (her dersi bir öğretmenin verdiğini varsayalım)
\( g = \) {(Biyoloji, Alp Hoca), (Kimya, Eda Hoca), (Matematik, Gül Hoca), (Fizik, Efe Hoca)}
\( g \circ f \) bileşke fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlanır.
\( g \circ f \): Bu okuldaki öğrenciler ve en sevdikleri dersi veren öğretmenler
Ali'nin en sevdiği ders olan Robotik bu okulda bir ders olarak açılmadığı için bileşke fonksiyonun elemanı olamaz.
Ayrıca Fizik dersi herhangi bir öğrencinin en sevdiği ders olmadığı için, bu dersi veren Efe Hoca bileşke fonksiyonun görüntü kümesinde yer almaz.
Buna göre \( g \circ f \) bileşke fonksiyonu aşağıdaki gibi olur.
\( g \circ f = \) {(Can, Alp Hoca), (Ece, Eda Hoca), (Naz, Gül Hoca)}
Bu durumda \( g \circ f \) tanım kümesi üç elemanlı olur.
\( g \circ f \) tanım kümesi = {Can, Ece, Naz}
\( g \circ f \) fonksiyonunun tanımlı olması için \( f(A) \subseteq B \) olması şart değildir, bu koşul yalnızca bileşkenin tanım kümesinin \( A \) kümesinin tamamı olması için gereklidir.
Bileşke fonksiyonun tanım kümesini bulmayı iki örnek üzerinde gösterelim.
\( f(x) = 3x + 1, \quad x \in (-\infty, 3] \)
\( g(x) = x^2 - 1, \quad x \in [1, \infty) \)
\( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesini bulalım.
Bir \( x \) değerinin \( g \circ f \) bileşke fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olabilmesi için iki koşul sağlanmalıdır.
Koşul 1: \( x \) değeri \( f \) fonksiyonunun tanım kümesinde bulunmalıdır.
\( x \le 3 \)
Koşul 2: \( x \) değerinin \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü \( g \) fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olmalıdır.
\( f(x) \ge 1 \)
\( 3x + 1 \ge 1 \)
\( x \ge 0 \)
Bu iki aralığın kesişim kümesi \( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesini verir.
Tanım kümesi: \( [0, 3] \)
\( f(x) = \sqrt{x^2 - 9}, \quad x \in [3, \infty) \)
\( g(x) = 5x + 3, \quad x \in (-\infty, 4) \)
\( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesini bulalım.
Bir \( x \) değerinin \( g \circ f \) bileşke fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olabilmesi için iki koşul sağlanmalıdır.
Koşul 1: \( x \) değeri \( f \) fonksiyonunun tanım kümesinde bulunmalıdır.
\( x \ge 3 \)
Koşul 2: \( x \) değerinin \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü \( g \) fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olmalıdır.
\( f(x) \lt 4 \)
\( \sqrt{x^2 - 9} \lt 4 \)
\( 0 \le x^2 - 9 \lt 16 \)
\( 9 \le x^2 \lt 25 \)
\( -5 \lt x \le -3 \) veya \( 3 \le x \lt 5 \)
Bu iki aralığın kesişim kümesi \( g \circ f \) fonksiyonunun tanım kümesini verir.
Tanım kümesi: \( [3, 5) \)
Bir bileşke fonksiyonun tanım kümesi ve eşleme kuralı bulunduktan sonra, görüntü kümesi fonksiyonlarda görüntü kümesini bulma sayfasında incelediğimiz yöntemlerle bulunabilir.
Tanım kümesine benzer şekilde, bir bileşke fonksiyonun görüntü kümesi dıştaki fonksiyonun görüntü kümesine eşittir ya da onun bir alt kümesidir.
\( f(x) = \ln{x} \)
\( g(x) = \dfrac{2x}{x - 2} \)
olduğuna göre, \( g \circ f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterBir \( x \) değerinin \( g \circ f \) bileşke fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olabilmesi için iki koşul sağlanmalıdır.
Koşul 1: \( x \) değeri \( g \) fonksiyonunun tanım kümesinde bulunmalıdır.
\( f \) fonksiyonu \( x \le 0 \) olduğunda logaritma içi sıfır ya da negatif olduğu için tanımsız olur.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi pozitif reel sayılardır.
\( x \gt 0 \)
Koşul 2: \( x \) değerinin \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü \( g \) fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olmalıdır.
\( g \) fonksiyonu \( x = 2 \) olduğunda paydası sıfır olduğu için tanımsız olur.
Buna göre \( g \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi bu değer dışındaki tüm reel sayılardır.
\( x \in \mathbb{R} - \{ 2 \} \)
\( x \) değerinin \( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü \( g \) fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olmalıdır.
\( f(x) = \ln{x} \ne 2 \)
\( x \ne e^2 \)
İki koşul için bulduğumuz aralıkların kesişim kümesi \( g \circ f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini verir.
Tanım kümesi: \( \mathbb{R^+} - \{ e^2 \} \)
\( f(x) = \sqrt{x^2 - 9} \)
\( g(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \)
olduğuna göre, \( f \circ g \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterBir \( x \) değerinin \( f \circ g \) bileşke fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olabilmesi için iki koşul sağlanmalıdır.
Koşul 1: \( x \) değeri \( g \) fonksiyonunun tanım kümesinde bulunmalıdır.
\( g \) fonksiyonu \( x \lt 0 \) olduğunda kök içi negatif olduğu için, \( x = 0 \) olduğunda payda sıfır olduğu için tanımsız olur.
Buna göre \( g \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi pozitif reel sayılardır.
\( x \gt 0 \)
Koşul 2: \( x \) değerinin \( g \) fonksiyonuna göre görüntüsü \( f \) fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olmalıdır.
\( f(x) = \sqrt{(x + 3)(x - 3)} \)
\( f \) fonksiyonu \( -3 \lt x \lt 3 \) aralığında kök içi negatif olduğu için tanımsız olur.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi bu aralık dışındaki tüm reel sayılardır.
\( x \le -3 \) ya da \( x \ge 3 \)
\( x \) değerinin \( g \) fonksiyonuna göre görüntüsü \( f \) fonksiyonunun tanım kümesinin elemanı olmalıdır.
Durum 1:
\( g(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \le -3 \)
Bir karekök ifadesi hiçbir zaman negatif olamayacağı için bu durumun reel çözümü yoktur.
\( x \in \emptyset \)
Durum 2:
\( g(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \ge 3 \)
\( 0 \lt \sqrt{x} \le \dfrac{1}{3} \)
\( 0 \lt x \le \dfrac{1}{9} \)
İki durumun birleşim kümesi ikinci koşulu sağlayan \( x \) aralığını verir.
\( 0 \lt x \le \dfrac{1}{9} \)
İki koşul için bulduğumuz aralıkların kesişim kümesi \( f \circ g \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini verir.
Tanım kümesi: \( \left( 0, \dfrac{1}{9} \right] \)