Parabolün Tanım ve Görüntü Kümeleri

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -4, \quad c = -2 \)

Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2(1)} = 2 \)

Buna göre tepe noktası fonksiyonun tanım kümesi içindedir.

Parabolün başkatsayısı pozitif olduğu için kolları yukarı yönlüdür. Tepe noktası fonksiyonun tanım kümesi içinde olduğu için parabol en küçük değerini tepe noktasında, en büyük değerini tanım kümesinin sınır değerlerinden birinde alır.

Bu üç noktadaki fonksiyon değerlerini bulalım.

\( f(2) = 2^2 - 4(2) - 2 = -6 \)

\( f(-2) = (-2)^2 - 4(-2) - 2 = 10 \)

\( f(8) = 8^2 - 4(8) - 2 = 30 \)

Buna göre parabolün \( [-2, 8] \) aralığında aldığı en küçük değer \( -6 \), en büyük değer \( 30 \)'dur.

Görüntü kümesi: \( f(x) \in [-6, 30] \)

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = k + 2, \quad b = -2k, \quad c = k - 3 \)

Parabolün grafiği daima \( x \) ekseninin altında kalıyorsa iki koşul sağlanmalıdır.

Koşul 1: Parabolün kolları aşağı yönlüdür (başkatsayısı negatiftir).

\( k + 2 \lt 0 \)

\( k \lt -2 \)

Koşul 2: Parabol \( x \) eksenini hiçbir noktada kesmez (deltası sıfırdan küçüktür).

\( \Delta \lt 0 \)

\( b^2 - 4ac \lt 0 \)

\( (-2k)^2 - 4(k + 2)(k - 3) \lt 0 \)

\( 4k^2 - 4(k^2 - k - 6) \lt 0 \)

\( 4k^2 - 4k^2 + 4k + 24 \lt 0 \)

\( 4k \lt -24 \)

\( k \lt -6 \)

Bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesi \( k \) değer aralığını verir.

\( k \lt -6 \) bulunur.

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 2n + 2, \quad b = -4n, \quad c = 2n + 1 \)

Parabol \( x \) ekseninin daima üstünde kalıyorsa iki koşul sağlanmalıdır.

Koşul 1:

Parabolün kolları yukarı yönlü, yani başkatsayısı pozitif olmalıdır.

\( 2n + 2 \gt 0 \)

\( n \gt -1 \)

Koşul 2:

Parabol \( x \) eksenini hiçbir noktada kesmemelidir, yani deltası sıfırdan küçük olmalıdır.

\( \Delta = b^2 - 4ac \lt 0 \)

\( (-4n)^2 - 4(2n + 2)(2n + 1) \lt 0 \)

\( 16n^2 - 4(4n^2 + 6n + 2) \lt 0 \)

\( 16n^2 - 16n^2 - 24n - 8 \lt 0 \)

\( -24n \lt 8 \)

\( n \gt -\dfrac{1}{3} \)

Bulunan iki aralığın kesişim kümesi \( n \)'nin değer aralığını verir.

\( n \in (-\dfrac{1}{3}, \infty) \) bulunur.

Parantez içindeki ifadelerin açılımını yazalım.

\( f(x) = 4x^2 - 36x + 81 + 49 - 28x + 4x^2 \)

\( = 8x^2 - 64x + 130 \)

Parabolün başkatsayısı pozitif olduğu için kolları yukarı yönlüdür, dolayısıyla parabol en küçük değerini tepe noktasında alır.

Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 8, \quad b = -64, \quad c = 130 \)

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-64}{2(8)} = 4 \)

Parabolün tepe noktasındaki değerini bulalım.

\( k = f(4) = 8(4)^2 - 64(4) + 130 \)

\( = 2 \) bulunur.

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -4, \quad c = 5 \)

Parabolün tepe noktasının fonksiyonun tanım aralığında olup olmadığını kontrol edelim.

Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2(1)} = 2 \)

Parabolün tepe noktası parabolün tanım aralığındadır ve parabolün başkatsayısı pozitif ve kolları yukarı yönlüdür, dolayısıyla parabol verilen aralıkta en küçük değerini tepe noktasında, en büyük değerini tanım kümesinin sınır noktalarından birinde alır.

Parabolün bu üç noktadaki değerlerini bulalım.

\( f(0) = 0^2 - 4(0) + 5 = 5 \)

\( f(2) = 2^2 - 4(2) + 5 = 1 \)

\( f(3) = 3^2 - 4(3) + 5 = 2 \)

Buna göre parabolün verilen aralıkta en küçük değeri \( f(2) = 1 \), en büyük değeri \( f(0) = 5 \) olur.

Bu iki değerin toplamı \( 5 + 1 = 6 \) olarak bulunur.

Verilen çarpımın açılımı bir parabol denklemi ifade eder.

\( f(x) = -x^2 + 12x - 20 \)

\( f \) parabolünün başkatsayısı negatif olduğu için parabol en büyük değerini tepe noktasında alır.

Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.

\( r = -\dfrac{b}{2a} \)

\( = -\dfrac{12}{2(-1)} = 6 \)

Parabolün en büyük değerini bulmak için denklemde \( x = 6 \) yazalım.

\( k = f(6) \)

\( = -6^2 + 12(6) - 20 = 16 \)

Buna göre parabol \( (-\infty, 16] \) aralığında tüm reel sayı değerlerini alır.

\( f(x) \le 16 \)

Buna göre parabol 18 değerini alamaz. Doğru cevap (e) seçeneğidir.

Parabolün başkatsayısı negatif olduğu için kolları aşağı yönlüdür.

Kolları aşağı yönlü bir parabol en büyük değerini tepe noktasında alır.

Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.

\( r = -\dfrac{b}{2a} \)

\( = -\dfrac{-4}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -4 \)

Tepe noktasının apsisi \( [-8, 1] \) tanım aralığında olduğu için parabol verilen aralıktaki en büyük değerini tepe noktasında alır.

Parabolün tepe noktasındaki değerini bulalım.

\( k = f(-4) \)

\( = -\dfrac{1}{2}(-4)^2 - 4(-4) + 10 = 18 \)

Buna göre parabolün en büyük tam sayı değeri 18'dir.

Parabolün en küçük değeri için verilen sınır değerlerini inceleyelim.

\( x = -8 \) için:

\( f(-8) = -\dfrac{1}{2}(-8)^2 - 4(-8) + 10 \)

\( = -32 + 32 + 10 = 10 \)

\( x = 1 \) için:

\( f(1) = -\dfrac{1}{2}(1)^2 - 4(1) + 10 \)

\( = -\dfrac{1}{2} - 4 + 10 = \dfrac{11}{2} \)

Parabolün kolları aşağı yönlü olduğu için parabolün verilen aralıktaki en küçük tam sayı değeri 6 olur.

Parabolün verilen aralıkta alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerin farkı \( 18 - 6 = 12 \) olarak bulunur.

Parabol denkleminde \( x \) değeri parabol üzerindeki bir noktanın apsis değerine, \( -x^2 + 6x + 16 \) ifadesi de bu noktanın ordinat değerine karşılık gelir.

Koordinatları pozitif tam sayılar olan noktaları bulmak için önce ordinatı pozitif olan noktaları bulalım.

\( y = f(x) \gt 0 \)

\( -x^2 + 6x + 16 \gt 0 \)

Eşitsizliğin taraflarını \( -1 \) ile çarpalım. Bir eşitsizliğin tarafları negatif bir sayı ile ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir.

\( x^2 - 6x - 16 \lt 0 \)

\( (x + 2)(x - 8) \lt 0 \)

Bu eşitsizlik her bir çarpanı sıfır yapan \( x = -2 \) ve \( x = 8 \) değerlerinin arasındaki aralıkta sağlanır.

\( -2 \lt x \lt 8 \)

Buna göre bu aralıktaki \( x \) değerlerinde parabolün ordinatı pozitif olur.

\( x \)'in bu aralıktaki pozitif tam sayı değerlerini bulalım.

\( x \in \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \)

Parabolün katsayıları tam sayı olduğu için, \( x \)'in tam sayı değerlerinde \( y \) de tam sayı olur.

Buna göre verilen parabolün koordinatları pozitif tam sayılar olan 7 noktası vardır.

1. yöntem:

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -6, \quad c = 16 \)

Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2(1)} = 3 \)

Buna göre tepe noktası fonksiyonun tanım kümesi içindedir.

Parabolün başkatsayısı pozitif olduğu için kolları yukarı yönlüdür. Tepe noktası fonksiyonun tanım kümesi içinde olduğu için parabol en küçük değerini tepe noktasında, en büyük değerini tanım kümesinin sınır değerlerinden birinde alır.

Bu üç noktadaki fonksiyon değerlerini bulalım.

\( f(3) = 3^2 - 6(3) + 16 = 7 \)

\( f(-4) = (-4)^2 - 6(-4) + 16 = 56 \)

\( f(9) = 9^2 - 6(9) + 16 = 43 \)

\( x = -4 \) noktası tanım kümesine dahil olmadığı için fonksiyon \( f(-4) = 56 \) değerini almaz.

Buna göre parabolün tanım kümesi içinde alabileceği en küçük tam sayı değeri 7, en büyük tamsayı değeri 55 olur.

\( f \) fonksiyonunun tanım kümesi içinde alabileceği \( 55 - 7 + 1 = 49 \) farklı tamsayı değeri vardır.

2. yöntem:

\( f(x) = x^2 - 6x + 16 \)

\( = x^2 - 6x + 9 + 7 \)

\( = (x - 3)^2 + 7 \)

Fonksiyonun tanım aralığını \( f(x) \) formuna getirelim.

\( -4 \lt x \le 9 \)

\( -7 \lt x - 3 \le 6 \)

Eşitsizliğin taraflarının karesini alalım.

Verilen aralık sıfır değerini içerdiği için tarafların karesini aldığımızda alt sınır değeri sıfır olur, üst sınır değeri eşitsizlikteki sınır değerlerinden mutlak değerce büyük olanın karesi olur.

\( 0 \le (x - 3)^2 \lt 49 \)

\( 7 \le (x - 3)^2 + 7 \lt 56 \)

\( 7 \le f(x) \lt 56 \)

\( f \) fonksiyonunun tanım kümesi içinde alabileceği \( 55 - 7 + 1 = 49 \) farklı tamsayı değeri vardır.

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = -2, \quad b = 4, \quad c = -7 \)

Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2(-2)} = 1 \)

Tepe noktasının apsisi \( x = r = 1 \) olduğu için tanım kümesi içinde yer almaz.

Fonksiyonun alabileceği en küçük/en büyük değerler için, fonksiyonun tanım kümesinin sınır değerlerindeki değerlerini bulalım.

\( f(2) = -2(2)^2 + 4(2) - 7 = -7 \)

\( f(10) = -2(10)^2 + 4(10) - 7 = -167 \)

\( x = 2 \) noktası tanım kümesine dahil olmadığı için fonksiyon \( f(2) = -7 \) değerini almaz.

Buna göre parabolün tanım kümesi içinde alabileceği en küçük tam sayı değeri -167, en büyük tamsayı değeri -8 olur.

\( f \) fonksiyonunun tanım kümesi içinde alabileceği \( -8 - (-167) + 1 = 160 \) farklı tamsayı değeri vardır.

Parabolün başkatsayısı pozitif olduğu için kolları yukarı yönlüdür.

\( f(x) = (x - r)^2 + k \) formundaki bir parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) noktasıdır.

Buna göre verilen parabolün tepe noktası \( T(3, 2) \) olur.

\( x = 1 \) noktasındaki fonksiyon değerini bulalım.

\( f(1) = (1 - 3)^2 + 2 = 6 \)

Buna göre parabolün \( x \in [1, \infty) \) aralığındaki grafiği aşağıdaki gibidir.

Grafikte görülebileceği üzere, parabolün en küçük değeri tepe noktasındaki \( y = 2 \) değeridir, ayrıca parabol \( x \) sonsuza giderken pozitif sonsuza gider.

Görüntü kümesi: \( f(x) \in [2, \infty) \)

Parabolün başkatsayısı negatif olduğu için kolları aşağı yönlüdür.

Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.

\( r = -\dfrac{4}{2(-\frac{1}{2})} = 4 \)

\( k = f(4) \)

\( = -\dfrac{1}{2}(4)^2 + 4(4) + 3 = 11 \)

Buna göre verilen parabolün tepe noktası \( T(4, 11) \) olur.

Fonksiyonun tanım kümesinin uç noktalarındaki değerini bulalım.

\( f(2) = -\dfrac{1}{2}(2)^2 + 4(2) + 3 = 9 \)

\( f(8) = -\dfrac{1}{2}(8)^2 + 4(8) + 3 = 3 \)

Buna göre parabolün \( x \in [2, 8] \) aralığındaki grafiği aşağıdaki gibidir.

Grafikte görülebileceği üzere, parabolün en küçük değeri \( B \) noktasındaki \( y = 3 \) değeri, en büyük değeri tepe noktasındaki \( y = 11 \) değeridir.

Görüntü kümesi: \( f(x) \in [3, 11] \)

Parabolün üzerindeki noktaların geometrik yerini aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\( (x, f(x)) = (x, x^2 - 7x - 15) \)

Herhangi bir \( x \) değeri için bu noktaların koordinatları toplamını veren fonksiyonun geometrik yerini ise bu noktaların apsis ve ordinat değerlerini toplayarak aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

\( (x, x + f(x)) = (x, x^2 - 6x - 15) \)

Buna göre bir \( x \) değeri için \( f(x) \) parabolünün koordinatlar toplamını veren fonksiyon aşağıdaki gibi olur.

\( g(x) = x^2 - 6x - 15 \)

Başkatsayısı pozitif olan bu parabolün kolları yukarı yönlüdür, dolayısıyla en küçük değerini tepe noktasında alır.

Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2(1)} = 3 \)

Buna göre \( x = 3 \) apsisli noktada \( f(x) \) grafiği üzerindeki noktaların koordinatları toplamı en küçük değerini alır.

Bu değeri bulmak için \( g(3) \) değerini hesaplayalım.

\( k = g(3) = 3^2 - 6(3) - 15 \)

\( = -24 \) bulunur.

\( (4x^2 + 11x + 9)^{-1} = \dfrac{1}{4x^2 + 11x + 9} \)

Paydadaki ifadenin deltasını bulalım.

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

\( = 11^2 - 4(4)(9) = -23 \lt 0 \)

İfadenin başkatsayısı pozitif ve deltası sıfırdan küçük olduğu için ifade her \( x \) için pozitiftir.

Buna göre verilen ifade her \( x \) için pozitiftir ve ifadenin en büyük değerini alması için payda en küçük değerini almalıdır.

Paydadaki ifade başkatsayısı pozitif olan bir parabol olduğu için en küçük değerini tepe noktasında alır.

Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 4, \quad b = 11, \quad c = 9 \)

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{11}{2(4)} = -\dfrac{11}{8} \)

Parabolün tepe noktasındaki değerini bulalım.

\( k = f(-\dfrac{11}{8}) = 4(-\dfrac{11}{8})^2 + 11(-\dfrac{11}{8}) + 9 \)

\( = \dfrac{121}{16} - \dfrac{121}{8} + 9 \)

\( = \dfrac{23}{16} \)

Paydanın en küçük değerini sorudaki ifadede yerine koyalım.

\( \dfrac{1}{\frac{23}{16}} = \dfrac{16}{23} \) bulunur.

Fonksiyonu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( f(x) = ax^2 + bx + c \)

Fonksiyonda \( x = 1 \) yazalım.

\( f(1) = a + b + c = 8 \)

Fonksiyonda \( x = 2 \) yazalım.

\( f(2) = 4a + 2b + c = 2 \)

\( b \) ifadesini \( a \) cinsinden bulmak için ikinci denklemden birinci denklemi taraf tarafa çıkaralım.

\( 3a + b = -6 \)

\( b = -6 - 3a \)

\( c \) ifadesini \( a \) cinsinden bulmak için birinci denklemin taraflarını 2 ile çarpıp ikinci denklemden taraf tarafa çıkaralım.

\( 2a - c = -14 \)

\( c = 2a + 14 \)

Her \( x \) değeri için \( f(x) \ge 0 \) sağlandığına göre iki koşul sağlanmalıdır.

Koşul 1: Parabolün kolları yukarı yönlüdür (başkatsayısı pozitiftir).

\( a \gt 0 \)

Koşul 2: Parabol \( x \) eksenini ya tek noktada keser ya da kesmez (deltası sıfıra eşit ya da sıfırdan küçüktür).

\( \Delta = b^2 - 4ac \le 0 \)

\( b \) ve \( c \) ifadelerini \( a \) cinsinden yazalım.

\( (-6 - 3a)^2 - 4a(2a + 14) \le 0 \)

\( 36 + 36a + 9a^2 - 8a^2 - 56a \le 0 \)

\( a^2 - 20a + 36 \le 0 \)

\( (a - 2)(a - 18) \le 0 \)

Bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesi \( a \) değer aralığını verir.

\( a \in [2, 18] \) bulunur.

Elde edilen kar, satış ve alış fiyatları arasındaki farka eşittir.

\( y - x = -x^2 + 17x + 25 - x \)

\( = -x^2 + 16x + 25 \)

Buna göre bu ifadenin belirttiği fonksiyonun en büyük değerini bulmalıyız.

Fonksiyon negatif başkatsayılı ve kolları aşağı yönlü bir parabol olduğu için en büyük değerini tepe noktasında alır.

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = -1, \quad b = 16, \quad c = 25 \)

Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{16}{2(-1)} = 8 \)

Buna göre parabol en büyük değerini \( r = 8 \) noktasında alır.

Bu noktadaki fonksiyon değerini bulalım.

\( k = f(8) = -8^2 + 16(8) + 25 \)

\( = 89 \) bulunur.

I. öncül:

\( f \) parabolünün kolları aşağı yönlüdür, dolayısıyla fonksiyon en büyük değerini tepe noktasında alır.

Parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = -8, \quad b = 320, \quad c = -2400 \)

Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.

\( r = -\dfrac{b}{2a} \)

\( = -\dfrac{320}{2(-8)} = 20 \)

\( x \) üye sayısını gösterdiğine göre, kâr üye sayısı 20 olduğunda en yüksek değerine ulaşır.

I. öncül doğrudur.

II. öncül:

\( f \) parabolünün kolları aşağı yönlüdür, dolayısıyla fonksiyon en büyük değerini tepe noktasında alır.

Parabolün tepe noktasındaki değerini bulalım.

\( f(20) = 320(20) - 2400 - 8(20)^2 \)

\( = 6400 - 2400 - 3200 = 800 \)

Salonun elde edebileceği en yüksek kâr 800 bin TL'dir.

II. öncül yanlıştır.

III. öncül:

\( x = 5 \) için fonksiyonun değerini bulalım.

\( f(5) = 320(5) - 2400 - 8(5)^2 \)

\( = 1600 - 2400 - 200 = -1000 \)

\( x = 5 \) için fonksiyonun değeri negatif olduğu için salon 5 üye ile zarar etmektedir.

III. öncül doğrudur.

Buna göre I. ve III. öncüller doğrudur.